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9. 如图,正方形 $ABCD$ 内接于 $\odot O,E$ 为 $\overset{\frown}{BC}$ 上一点,连接 $BE,CE$. 若 $∠ CBE=15°$,$BE=5$,则正方形 $ABCD$ 的边长为
5√2
.答案
如图,连接 $AO,BO,EO.$ $\because$ 正方形 $ABCD$ 内接于 $\odot O,\therefore OA=OB=OE.\because ∠ AOB=\frac{360°}{4}=90°,AB=BC,∠ ABC=90°,\therefore ∠ OAB=∠ OBA=\frac{1}{2}（180°-∠ AOB）=45°.\therefore ∠ OBC=∠ ABC-∠ OBA=90°-45°=45°.\because ∠ CBE=15°,\therefore ∠ OBE=∠ OBC+∠ CBE=45°+15°=60°.$ 又 $\because OB=OE,\therefore △ OBE$ 是等边三角形. $\therefore OB=BE=5.\therefore OA=OB=5.\therefore AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=5\sqrt{2}.\therefore$ 正方形 $ABCD$ 的边长为 $5\sqrt{2}.$
解析
【分析】
这道题的解题思路可以按以下步骤梳理：首先看到正方形内接于圆的条件，优先回忆圆内接正方形的性质：它的顶点四等分圆周，相邻顶点和圆心的夹角（中心角）为90°，所有半径长度相等。我们的目标是求正方形边长，正方形的边长是圆内接正四边形的边长，只要得到圆的半径就能通过等腰直角三角形算出边长。已知BE的长度和∠CBE的度数，我们连接圆心O与A、B、E三点，先推导∠OBE的度数：正方形的内角为90°，OB平分∠ABC得到∠OBC=45°，加上已知的∠CBE=15°，可得∠OBE=60°，结合OB=OE都是半径，直接判定△OBE是等边三角形，就能得到半径OB=BE=5，最后在等腰直角△AOB中用勾股定理算出正方形边长即可。
【解析】
解：连接OA、OB、OE，
∵ 正方形ABCD内接于⊙O，
∴ OA=OB=OE，正方形的顶点四等分圆周，
∴ ∠AOB = 360°/4 = 90°，且∠ABC=90°，AB=BC。
在△AOB中，OA=OB，∠AOB=90°，
∴ ∠OAB=∠OBA = 1/2×(180°-∠AOB) = 45°，
∴ ∠OBC = ∠ABC - ∠OBA = 90° - 45° = 45°。
已知∠CBE=15°，
∴ ∠OBE = ∠OBC + ∠CBE = 45° + 15° = 60°。
又
∵ OB=OE，
∴ 有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形，即△OBE为等边三角形，
∴ OB = BE = 5，即⊙O的半径为5。
在Rt△AOB中，OA=OB=5，∠AOB=90°，由勾股定理得：
AB = √(OA² + OB²) = √(5² + 5²) = 5√2。
【答案】
$5\sqrt{2}$
【知识点】
圆内接正多边形性质，等边三角形判定，勾股定理
【点评】
本题的核心突破口是通过连接圆心与相关点，利用圆内接正方形的中心角特征构造出等边三角形，直接将已知的BE长度转化为圆的半径，避免了复杂的圆周角、弦长公式运算，是圆内接正多边形结合特殊三角形的典型考题，侧重考察学生对基础几何性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
这道题的解题思路可以按以下步骤梳理：首先看到正方形内接于圆的条件，优先回忆圆内接正方形的性质：它的顶点四等分圆周，相邻顶点和圆心的夹角（中心角）为90°，所有半径长度相等。我们的目标是求正方形边长，正方形的边长是圆内接正四边形的边长，只要得到圆的半径就能通过等腰直角三角形算出边长。已知BE的长度和∠CBE的度数，我们连接圆心O与A、B、E三点，先推导∠OBE的度数：正方形的内角为90°，OB平分∠ABC得到∠OBC=45°，加上已知的∠CBE=15°，可得∠OBE=60°，结合OB=OE都是半径，直接判定△OBE是等边三角形，就能得到半径OB=BE=5，最后在等腰直角△AOB中用勾股定理算出正方形边长即可。
【解析】
解：连接OA、OB、OE，
∵ 正方形ABCD内接于⊙O，
∴ OA=OB=OE，正方形的顶点四等分圆周，
∴ ∠AOB = 360°/4 = 90°，且∠ABC=90°，AB=BC。
在△AOB中，OA=OB，∠AOB=90°，
∴ ∠OAB=∠OBA = 1/2×(180°-∠AOB) = 45°，
∴ ∠OBC = ∠ABC - ∠OBA = 90° - 45° = 45°。
已知∠CBE=15°，
∴ ∠OBE = ∠OBC + ∠CBE = 45° + 15° = 60°。
又
∵ OB=OE，
∴ 有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形，即△OBE为等边三角形，
∴ OB = BE = 5，即⊙O的半径为5。
在Rt△AOB中，OA=OB=5，∠AOB=90°，由勾股定理得：
AB = √(OA² + OB²) = √(5² + 5²) = 5√2。
【答案】
$5\sqrt{2}$
【知识点】
圆内接正多边形性质，等边三角形判定，勾股定理
【点评】
本题的核心突破口是通过连接圆心与相关点，利用圆内接正方形的中心角特征构造出等边三角形，直接将已知的BE长度转化为圆的半径，避免了复杂的圆周角、弦长公式运算，是圆内接正多边形结合特殊三角形的典型考题，侧重考察学生对基础几何性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
10. 如图,$CE$是正六边形$ABCDEF$的一条对角线,延长$CE$,$AF$交于点$M$.
（1）判断$△ EFM$的形状,并说明理由.
（2）若$EF=3$,求$AM$的长.
（1）判断$△ EFM$的形状,并说明理由.
（2）若$EF=3$,求$AM$的长.
答案
(1) $△ EFM$ 是直角三角形. 理由:$\because$ 六边形 $ABCDEF$ 是正六边形,$\therefore ∠ AFE=∠ FED=∠ D=120°,DE=DC.\therefore ∠ CED=∠ ECD=\frac{1}{2}(180°-∠ D)=30°.\therefore ∠ CEF=∠ FED-∠ CED=120°-30°=90°.\therefore ∠ FEM=180°-∠ CEF=90°.\therefore △ EFM$ 是直角三角形. (2) $\because ∠ AFE=120°,∠ FEM=90°,\therefore ∠ M=∠ AFE-∠ FEM=120°-90°=30°.\therefore FM=2EF=6.$ 又由正六边形 $ABCDEF$, 可得 $AF=EF=3,\therefore AM=AF+FM=3+6=9.$
解析
【分析】
这道题围绕正六边形的性质展开，分两小问逐步推导：
1. 第一问判断△EFM的形状，首先回忆正六边形的核心性质：所有边长相等，每个内角的度数为120°。首先观察△CDE，它是等腰三角形，顶角∠D=120°，可以算出两个底角∠CED和∠ECD都为30°，进而用∠FED（正六边形内角120°）减去∠CED得到∠CEF=90°，利用平角的性质得到邻补角∠FEM=90°，即可判定三角形为直角三角形。
2. 第二问求AM的长度，先在△EFM中，结合∠AFE=120°，算出它的邻补角∠EFM=60°，在已经判定的直角△EFM中，可得∠M=30°，根据含30°角的直角三角形的性质，斜边FM的长度是直角边EF的2倍，再结合正六边形边长AF=EF=3，将AF和FM相加即可得到AM的总长度。
【解析】
（1）$△ EFM$是直角三角形，理由如下：
$\because$ 六边形$ABCDEF$是正六边形，
$\therefore$ 正六边形各内角相等，边长相等，可得$∠ AFE=∠ FED=∠ D=120°$，$DE=DC$。
在$△ CDE$中，$DE=DC$，$∠ D=120°$，
$\therefore ∠ CED=∠ ECD=\frac{1}{2}(180°-∠ D)=\frac{1}{2}×(180°-120°)=30°$，
$\therefore ∠ CEF=∠ FED-∠ CED=120°-30°=90°$，
$\therefore ∠ FEM=180°-∠ CEF=90°$，
$\therefore △ EFM$是直角三角形。
（2）由$∠ AFE=120°$，可得$∠ EFM=180°-∠ AFE=60°$，
在$Rt△ EFM$中，$∠ FEM=90°$，$∠ EFM=60°$，
$\therefore ∠ M=90°-60°=30°$，
根据含$30°$角的直角三角形性质，$FM=2EF$，
已知$EF=3$，$\therefore FM=2×3=6$，
又正六边形边长$AF=EF=3$，
$\therefore AM=AF+FM=3+6=9$。
【答案】
(1) $△ EFM$是直角三角形，理由见解析；(2) $AM=9$
【知识点】
正六边形性质，直角三角形判定，含30°直角三角形性质
【点评】
本题属于正六边形基础性质的常规应用题，解题的核心是熟练掌握正六边形内角的计算方法，结合等腰三角形性质推导角度，再利用直角三角形的边角关系求解边长，整体逻辑链条清晰，适合巩固多边形与特殊三角形结合的相关知识点。
【难度系数】
0.7
这道题围绕正六边形的性质展开，分两小问逐步推导：
1. 第一问判断△EFM的形状，首先回忆正六边形的核心性质：所有边长相等，每个内角的度数为120°。首先观察△CDE，它是等腰三角形，顶角∠D=120°，可以算出两个底角∠CED和∠ECD都为30°，进而用∠FED（正六边形内角120°）减去∠CED得到∠CEF=90°，利用平角的性质得到邻补角∠FEM=90°，即可判定三角形为直角三角形。
2. 第二问求AM的长度，先在△EFM中，结合∠AFE=120°，算出它的邻补角∠EFM=60°，在已经判定的直角△EFM中，可得∠M=30°，根据含30°角的直角三角形的性质，斜边FM的长度是直角边EF的2倍，再结合正六边形边长AF=EF=3，将AF和FM相加即可得到AM的总长度。
【解析】
（1）$△ EFM$是直角三角形，理由如下：
$\because$ 六边形$ABCDEF$是正六边形，
$\therefore$ 正六边形各内角相等，边长相等，可得$∠ AFE=∠ FED=∠ D=120°$，$DE=DC$。
在$△ CDE$中，$DE=DC$，$∠ D=120°$，
$\therefore ∠ CED=∠ ECD=\frac{1}{2}(180°-∠ D)=\frac{1}{2}×(180°-120°)=30°$，
$\therefore ∠ CEF=∠ FED-∠ CED=120°-30°=90°$，
$\therefore ∠ FEM=180°-∠ CEF=90°$，
$\therefore △ EFM$是直角三角形。
（2）由$∠ AFE=120°$，可得$∠ EFM=180°-∠ AFE=60°$，
在$Rt△ EFM$中，$∠ FEM=90°$，$∠ EFM=60°$，
$\therefore ∠ M=90°-60°=30°$，
根据含$30°$角的直角三角形性质，$FM=2EF$，
已知$EF=3$，$\therefore FM=2×3=6$，
又正六边形边长$AF=EF=3$，
$\therefore AM=AF+FM=3+6=9$。
【答案】
(1) $△ EFM$是直角三角形，理由见解析；(2) $AM=9$
【知识点】
正六边形性质，直角三角形判定，含30°直角三角形性质
【点评】
本题属于正六边形基础性质的常规应用题，解题的核心是熟练掌握正六边形内角的计算方法，结合等腰三角形性质推导角度，再利用直角三角形的边角关系求解边长，整体逻辑链条清晰，适合巩固多边形与特殊三角形结合的相关知识点。
【难度系数】
0.7
11. 如图①,正五边形$ABCDE$内接于$\odot O$,阅读以下作图过程,并回答下列问题.
作法:如图②.
步骤一,作直径$AF$.
步骤二,以点$F$为圆心,$FO$为半径作圆弧,与$\odot O$交于点$M,N$.
步骤三,连接$AM,MN,NA$.
(1)$△ AMN$是正三角形吗? 请说明理由.
(2) 从点$A$开始,以$DN$的长为边长,在$\odot O$上依次截取点,再依次连接这些分点,得到正$n$边形,求$n$的值.
作法:如图②.
步骤一,作直径$AF$.
步骤二,以点$F$为圆心,$FO$为半径作圆弧,与$\odot O$交于点$M,N$.
步骤三,连接$AM,MN,NA$.
(1)$△ AMN$是正三角形吗? 请说明理由.
(2) 从点$A$开始,以$DN$的长为边长,在$\odot O$上依次截取点,再依次连接这些分点,得到正$n$边形,求$n$的值.
答案
(1) $△ AMN$ 是正三角形. 理由:如图,连接 $ON,NF.$ 由题意,可得 $FN=OF=ON,\therefore △ FON$ 是等边三角形. $\therefore ∠ NFA=60°.\therefore ∠ NMA=60°.$ 同理,可得 $∠ ANM=60°,\therefore ∠ MAN=60°.\therefore ∠ NMA=∠ ANM=∠ MAN.\therefore △ AMN$ 是正三角形. (2) 如图,连接 $OD.$ 由(1),得 $∠ AON=120°,∠ AMN=60°.\because ∠ AOD=\frac{360°}{5}× 2=144°,\therefore ∠ NOD=∠ AOD-∠ AON=144°-120°=24°.$ $\because 360°÷ 24°=15,\therefore$ 从点 $A$ 开始,以 $DN$ 的长为边长,在 $\odot O$ 上依次截取点,再依次连接这些分点,得到正 $n$ 边形,则 $n$ 的值是 $15.$
解析
【分析】
(1) 要判断△AMN是否为正三角形，可从正三角形的判定条件出发，证明三个内角都等于60°即可。首先从作图步骤提取已知条件：以F为圆心、FO为半径作弧得到点N，因此FN=FO，又ON、OF都是⊙O的半径，可推出△FON三边相等为等边三角形，得到对应圆心角∠NFA=60°，再根据圆周角定理得到对应的圆周角∠NMA=60°，同理可得∠ANM=60°，进而推出第三个内角∠MAN也为60°，即可判定△AMN是正三角形。
(2) 要计算正n边形的n值，本质是求边长DN对应的圆心角的度数，再用360°除以该圆心角即可。首先正五边形内接于⊙O，每段等弧对应的圆心角为360°/5=72°，点A到点D间隔2段等弧，因此∠AOD=2×72°=144°；再结合第(1)问的结论，正三角形AMN对应的圆心角∠AON=120°，作差即可得到DN对应的圆心角∠NOD=24°，最后用360°÷24°即可得到n的值。
【解析】
(1) $△ AMN$是正三角形，理由如下：
连接$ON$、$NF$。由作图步骤可知，$FN=FO$，
又$\because ON$、$OF$都是$\odot O$的半径，$\therefore ON=OF=FN$，
$\therefore △ FON$是等边三角形，$\therefore ∠ NFA=60°$。
根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，$\therefore ∠ NMA=∠ NFA=60°$。
同理可证$∠ ANM=60°$，
由三角形内角和为$180°$，可得$∠ MAN=180°-60°-60°=60°$，
$\therefore ∠ NMA=∠ ANM=∠ MAN=60°$，$\therefore △ AMN$是正三角形。
(2) 连接$OD$。
$\because$ 正五边形$ABCDE$内接于$\odot O$，
$\therefore$ 每段等弧对应的圆心角为$\frac{360°}{5}=72°$，点$A$到点$D$间隔2段等弧，
$\therefore ∠ AOD=2×72°=144°$。
由(1)中$△ AMN$是正三角形，可得弧$AN$对应的圆心角$∠ AON=2×∠ AMN=2×60°=120°$，
$\therefore ∠ NOD=∠ AOD-∠ AON=144°-120°=24°$，即弦$DN$对应的圆心角为$24°$。
$\therefore n=\frac{360°}{24°}=15$。
【答案】
(1) $△ AMN$是正三角形，理由见解析；(2) $n$的值为15
【知识点】
等边三角形判定；圆周角定理；正多边形与圆
【点评】
本题结合尺规作图的操作过程，考察正多边形和圆的相关性质，需要学生从作图步骤中挖掘隐含的边相等条件，灵活运用圆心角和圆周角的数量关系推导角度，既巩固了基础几何定理，也体现了构造特殊正多边形的几何原理，对学生的逻辑推理能力有一定的锻炼作用。
【难度系数】
0.4
(1) 要判断△AMN是否为正三角形，可从正三角形的判定条件出发，证明三个内角都等于60°即可。首先从作图步骤提取已知条件：以F为圆心、FO为半径作弧得到点N，因此FN=FO，又ON、OF都是⊙O的半径，可推出△FON三边相等为等边三角形，得到对应圆心角∠NFA=60°，再根据圆周角定理得到对应的圆周角∠NMA=60°，同理可得∠ANM=60°，进而推出第三个内角∠MAN也为60°，即可判定△AMN是正三角形。
(2) 要计算正n边形的n值，本质是求边长DN对应的圆心角的度数，再用360°除以该圆心角即可。首先正五边形内接于⊙O，每段等弧对应的圆心角为360°/5=72°，点A到点D间隔2段等弧，因此∠AOD=2×72°=144°；再结合第(1)问的结论，正三角形AMN对应的圆心角∠AON=120°，作差即可得到DN对应的圆心角∠NOD=24°，最后用360°÷24°即可得到n的值。
【解析】
(1) $△ AMN$是正三角形，理由如下：
连接$ON$、$NF$。由作图步骤可知，$FN=FO$，
又$\because ON$、$OF$都是$\odot O$的半径，$\therefore ON=OF=FN$，
$\therefore △ FON$是等边三角形，$\therefore ∠ NFA=60°$。
根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，$\therefore ∠ NMA=∠ NFA=60°$。
同理可证$∠ ANM=60°$，
由三角形内角和为$180°$，可得$∠ MAN=180°-60°-60°=60°$，
$\therefore ∠ NMA=∠ ANM=∠ MAN=60°$，$\therefore △ AMN$是正三角形。
(2) 连接$OD$。
$\because$ 正五边形$ABCDE$内接于$\odot O$，
$\therefore$ 每段等弧对应的圆心角为$\frac{360°}{5}=72°$，点$A$到点$D$间隔2段等弧，
$\therefore ∠ AOD=2×72°=144°$。
由(1)中$△ AMN$是正三角形，可得弧$AN$对应的圆心角$∠ AON=2×∠ AMN=2×60°=120°$，
$\therefore ∠ NOD=∠ AOD-∠ AON=144°-120°=24°$，即弦$DN$对应的圆心角为$24°$。
$\therefore n=\frac{360°}{24°}=15$。
【答案】
(1) $△ AMN$是正三角形，理由见解析；(2) $n$的值为15
【知识点】
等边三角形判定；圆周角定理；正多边形与圆
【点评】
本题结合尺规作图的操作过程，考察正多边形和圆的相关性质，需要学生从作图步骤中挖掘隐含的边相等条件，灵活运用圆心角和圆周角的数量关系推导角度，既巩固了基础几何定理，也体现了构造特殊正多边形的几何原理，对学生的逻辑推理能力有一定的锻炼作用。
【难度系数】
0.4
12. 如图,在正六边形 ABCDEF 中,以 AD 为对角线作正方形 APDQ,AP,DP 与 BC 分别交于点M,N.
(1) $∠ BAM=$
(2) 若 $AB=4$,求 MN 的长.
(1) $∠ BAM=$
15
$°$.(2) 若 $AB=4$,求 MN 的长.
答案
(1) 在正六边形 $ABCDEF$ 中,$∠ DAB=\frac{1}{2}∠ BAF=\frac{1}{2}× 120°=60°.$ 在正方形 $APDQ$ 中,$∠ DAP=\frac{1}{2}∠ PAQ=\frac{1}{2}× 90°=45°.\therefore ∠ BAM=∠ DAB-∠ DAP=60°-45°=15°.$ (2) 如图,连接 $BE$ 交 $AD$ 于点 $O$,连接 $OP$ 交 $BC$ 于点 $H.$ 在正六边形 $ABCDEF$ 中,$CD=BC=AB=4$,$∠ BAF=∠ ABC=∠ C=∠ CDE=120°$,$AO,BO$ 分别平分 $∠ BAF,∠ ABC$,$OA=OB$,$\therefore ∠ BAO=∠ ABO=∠ CBO=\frac{1}{2}× 120°=60°.\therefore △ ABO$ 是等边三角形. $\therefore AO=BO=AB=4$,$∠ AOB=∠ CBO=60°.\therefore AD=2AO=8$,$BC// AD.$ 在正方形 $APDQ$ 中,$AP=DP$,$∠ APD=90°.\because AO=DO$,$\therefore PO=\frac{1}{2}AD=4$,$PO⊥ AD$,$∠ APO=∠ DPO=\frac{1}{2}∠ APD=45°.\because AD// BC$,$\therefore ∠ MHP=∠ AOP=90°.\therefore ∠ BHO=90°.\because ∠ OBH=60°$,$BO=4$,$\therefore ∠ BOH=30°.\therefore BH=\frac{1}{2}BO=2$,$OH=\sqrt{OB^2-BH^2}=2\sqrt{3}.$ 易得 $△ PHM$ 为等腰直角三角形,$\therefore MH=PH=OP-OH=4-2\sqrt{3}.$ 易得 $△ PMN$ 为等腰直角三角形,$PH⊥ MN$,$\therefore MN=2MH=8-4\sqrt{3}.$
解析
【分析】
(1) 首先回忆正六边形的内角特征，正六边形每个内角都是120°，且AD是它的长对角线，恰好平分∠BAF，由此可以算出∠DAB=60°；再根据正方形的性质，AD是正方形APDQ的对角线，正方形对角线平分内角，得到∠DAP=45°，用∠DAB减去∠DAP就能得到∠BAM的度数。
(2) 要求MN的长度，首先利用正六边形的性质，连接BE交AD于点O，可证△ABO是等边三角形，得到AD的长度为8，同时推出BC平行于AD；再结合正方形的性质，AD是正方形的对角线，取AD中点O，可得PO=1/2 AD=4，且PO垂直AD，由平行线的传递性得到PH垂直BC，先算出OH的长度，进而得到PH的长度，再结合∠APD=90°，AD//BC，可证△PMN是等腰直角三角形，PH是它斜边上的高，因此MN=2MH，代入数值即可算出MN的长。
【解析】
(1) 在正六边形ABCDEF中，每个内角的度数为$\frac{(6-2)×180°}{6}=120°$，AD是正六边形的长对角线，平分∠BAF，
因此$∠ DAB=\frac{1}{2}∠ BAF=\frac{1}{2}×120°=60°$。
在正方形APDQ中，AD是正方形的对角线，对角线平分正方形的内角∠PAQ，
因此$∠ DAP=\frac{1}{2}∠ PAQ=\frac{1}{2}×90°=45°$。
所以$∠ BAM=∠ DAB - ∠ DAP=60° - 45°=15°$。
(2) 连接BE交AD于点O，连接OP交BC于点H。
在正六边形ABCDEF中，$AB=BC=CD=4$，$∠ ABC=∠ C=120°$，AO、BO分别平分∠BAF、∠ABC，
因此$∠ BAO=∠ ABO=∠ OBC=60°$，可得△ABO是等边三角形，
所以$AO=BO=AB=4$，因此$AD=2AO=8$，且由$∠ OBC+∠ BOA=60°+60°=120°$，可得$BC// AD$。
在正方形APDQ中，$∠ APD=90°$，$AP=DP$，因为O是AD中点，
由直角三角形斜边中线性质得：$PO=\frac{1}{2}AD=4$，且$PO⊥ AD$，$∠ APO=45°$。
因为$BC// AD$，$PO⊥ AD$，所以$PH⊥ BC$，即$∠ PHM=90°$。
在Rt△BOH中，$BO=4$，$∠ OBH=60°$，因此$∠ BOH=30°$，
可得$BH=\frac{1}{2}BO=2$，由勾股定理得$OH=\sqrt{OB^2 - BH^2}=\sqrt{16-4}=2\sqrt{3}$。
因此$PH=PO - OH=4 - 2\sqrt{3}$。
因为$BC// AD$，所以$∠ PMN=∠ PAD=45°$，$∠ PNM=∠ PDA=45°$，因此△PMN是等腰直角三角形，
又因为$PH⊥ MN$，由等腰直角三角形三线合一得$MN=2· MH$，而△PMH也是等腰直角三角形，$MH=PH=4-2\sqrt{3}$，
因此$MN=2×(4-2\sqrt{3})=8-4\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{15}$；(2) $\boldsymbol{8-4\sqrt{3}}$
【知识点】
正六边形性质，正方形性质，等腰直角三角形性质
【点评】
本题综合考查正六边形与正方形的性质，需要学生合理构造辅助线，利用平行线的性质、特殊三角形的边角关系进行推导计算，既考察了基础正多边形性质的掌握，也对几何推理能力有一定要求，属于中等难度的几何综合题。
【难度系数】
0.5
(1) 首先回忆正六边形的内角特征，正六边形每个内角都是120°，且AD是它的长对角线，恰好平分∠BAF，由此可以算出∠DAB=60°；再根据正方形的性质，AD是正方形APDQ的对角线，正方形对角线平分内角，得到∠DAP=45°，用∠DAB减去∠DAP就能得到∠BAM的度数。
(2) 要求MN的长度，首先利用正六边形的性质，连接BE交AD于点O，可证△ABO是等边三角形，得到AD的长度为8，同时推出BC平行于AD；再结合正方形的性质，AD是正方形的对角线，取AD中点O，可得PO=1/2 AD=4，且PO垂直AD，由平行线的传递性得到PH垂直BC，先算出OH的长度，进而得到PH的长度，再结合∠APD=90°，AD//BC，可证△PMN是等腰直角三角形，PH是它斜边上的高，因此MN=2MH，代入数值即可算出MN的长。
【解析】
(1) 在正六边形ABCDEF中，每个内角的度数为$\frac{(6-2)×180°}{6}=120°$，AD是正六边形的长对角线，平分∠BAF，
因此$∠ DAB=\frac{1}{2}∠ BAF=\frac{1}{2}×120°=60°$。
在正方形APDQ中，AD是正方形的对角线，对角线平分正方形的内角∠PAQ，
因此$∠ DAP=\frac{1}{2}∠ PAQ=\frac{1}{2}×90°=45°$。
所以$∠ BAM=∠ DAB - ∠ DAP=60° - 45°=15°$。
(2) 连接BE交AD于点O，连接OP交BC于点H。
在正六边形ABCDEF中，$AB=BC=CD=4$，$∠ ABC=∠ C=120°$，AO、BO分别平分∠BAF、∠ABC，
因此$∠ BAO=∠ ABO=∠ OBC=60°$，可得△ABO是等边三角形，
所以$AO=BO=AB=4$，因此$AD=2AO=8$，且由$∠ OBC+∠ BOA=60°+60°=120°$，可得$BC// AD$。
在正方形APDQ中，$∠ APD=90°$，$AP=DP$，因为O是AD中点，
由直角三角形斜边中线性质得：$PO=\frac{1}{2}AD=4$，且$PO⊥ AD$，$∠ APO=45°$。
因为$BC// AD$，$PO⊥ AD$，所以$PH⊥ BC$，即$∠ PHM=90°$。
在Rt△BOH中，$BO=4$，$∠ OBH=60°$，因此$∠ BOH=30°$，
可得$BH=\frac{1}{2}BO=2$，由勾股定理得$OH=\sqrt{OB^2 - BH^2}=\sqrt{16-4}=2\sqrt{3}$。
因此$PH=PO - OH=4 - 2\sqrt{3}$。
因为$BC// AD$，所以$∠ PMN=∠ PAD=45°$，$∠ PNM=∠ PDA=45°$，因此△PMN是等腰直角三角形，
又因为$PH⊥ MN$，由等腰直角三角形三线合一得$MN=2· MH$，而△PMH也是等腰直角三角形，$MH=PH=4-2\sqrt{3}$，
因此$MN=2×(4-2\sqrt{3})=8-4\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{15}$；(2) $\boldsymbol{8-4\sqrt{3}}$
【知识点】
正六边形性质，正方形性质，等腰直角三角形性质
【点评】
本题综合考查正六边形与正方形的性质，需要学生合理构造辅助线，利用平行线的性质、特殊三角形的边角关系进行推导计算，既考察了基础正多边形性质的掌握，也对几何推理能力有一定要求，属于中等难度的几何综合题。
【难度系数】
0.5
