1. 如图,正六边形 $ABCDEF$ 内接于$\odot O$,连接 $AC,FC$,则$∠ ACF$ 的度数为 （）

A.$30°$
B.$36°$
C.$45°$
D.$60°$

连接OA.根据正六边形ABCDEF内接于⊙O,得
$∠ AOF=\frac{360°}{6}=60°.\therefore ∠ ACF=\frac{1}{2}∠ AOF=30°.$

【分析】
我们要计算∠ACF的度数，首先从正六边形内接于圆的性质入手：正六边形的6条边会把整个圆周平均分成6等份，每一段弧对应的圆心角都相等，整个圆周总度数为360°，因此每段弧对应的圆心角为360°÷6=60°。接下来观察∠ACF，它是圆周角，对应的弧是AF，根据圆周角定理，圆周角的度数等于它所对弧对应的圆心角度数的一半，代入计算就能直接得到∠ACF的度数。
【解析】
解：连接OA，
∵ 正六边形ABCDEF内接于⊙O，
∴ 正六边形的各边相等，对应的各段弧也相等，将圆六等分，
∴ 弧AF对应的圆心角∠AOF = $\frac{360°}{6}=60°$，
又
∵ ∠ACF是弧AF所对的圆周角，∠AOF是弧AF所对的圆心角，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于对应圆心角的一半，
∴ $∠ACF=\frac{1}{2}∠AOF=\frac{1}{2}×60°=30°$。
【答案】
A
【知识点】
正六边形性质，圆周角定理，圆内接正多边形
【点评】
本题属于圆相关的基础题型，核心考察圆内接正多边形的等分圆周性质和圆周角定理的基础应用，解题思路清晰直接，只要掌握正n边形将外接圆n等分的规律，结合圆周角和圆心角的数量关系即可快速得出结果，是巩固圆基础性质的典型习题。
【难度系数】
0.8

2. 如图,$△ ABC$ 内接于 $\odot O,∠ ACB=18°$. 若弦 $AB$ 是圆内接正多边形的一边,则该正多边形为（）

A.正十边形
B.正九边形
C.正八边形
D.正六边形

连接OA,OB,则$∠ AOB=2∠ ACB=2× 18°=36°.$
根据题意,得$360÷ 36=10,\therefore$ 这个正多边形是正十边形.

【分析】
解题思路：要确定弦AB对应的圆内接正多边形的边数，首先要明确圆内接正多边形的每条边对应的中心角之和为周角360°，边数等于360°除以单条边对应的中心角度数。题目给出的∠ACB是弧AB对应的圆周角，我们可以利用圆周角定理，先连接圆心O与点A、B，得到弧AB对应的圆心角∠AOB，算出∠AOB的度数后，用360°除以该角度就能得到正多边形的边数，进而判断正多边形的类型。
【解析】
解：连接OA、OB，
根据圆周角定理：同一段弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
已知∠ACB=18°，∠ACB是弧AB对应的圆周角，∠AOB是弧AB对应的圆心角，
因此可得：∠AOB=2∠ACB=2×18°=36°。
圆内接正n边形的每条边对应的中心角就是∠AOB，满足边数计算公式：$n=\frac{360°}{\mathrm{中心角度数}}$，
代入数值计算得：$n=360°÷36°=10$，
因此该正多边形为正十边形。
【答案】
A.正十边形
【知识点】
圆周角定理，正多边形与圆
【点评】
本题是圆相关的基础综合题型，核心考察圆周角和圆心角的关系、圆内接正多边形中心角的性质，解题逻辑清晰，只要理清三者的关联就可以顺利求解，易错点是记错圆周角和圆心角的2倍关系，导致算出错误的中心角得到错误边数。
【难度系数】
0.8

3. 易错题 [2025 自贡中考改编]如图,正六边形与正方形的两邻边相交,则 $α+β=$ $°$.

如图,正六边形的每个内角为$\frac{(6-2)× 180°}{6}=120°$,正方形的每个内角为$90°.$ $\because$ 四边形的内角和是$(4-2)× 180°=360°,\therefore ∠ 1+∠ 2=360°-120°-90°=150°.$
$\because α=∠ 1,β=∠ 2,\therefore α+β=150°.$

【分析】
解题时首先回忆正多边形内角和的计算公式，先分别算出正六边形、正方形的单个内角度数；接着观察两个图形相交的区域，可发现重叠部分构成了一个四边形，利用四边形内角和定理，求出该四边形除了正六边形内角、正方形内角之外剩余两个内角的和；最后结合对顶角相等的性质，将α、β和这两个内角对应相等，即可直接得到α+β的结果。
【解析】
1. 计算正六边形的内角度数：
根据正n边形内角和公式$(n-2)×180°$，正六边形内角和为$(6-2)×180°=720°$，因此正六边形每个内角为$\frac{720°}{6}=120°$。
2. 正方形的性质：
正方形的每个内角都为$90°$。
3. 利用四边形内角和计算剩余两角和：
两个图形相交形成的四边形内角和为$(4-2)×180°=360°$，因此该四边形中除正六边形内角、正方形内角外的两个内角$∠1$、$∠2$满足：
$∠1+∠2=360° - 120° -90°=150°$。
4. 利用对顶角相等推导结果：
由对顶角相等的性质可知，$α=∠1$，$β=∠2$，因此$α+β=∠1+∠2=150°$。
【答案】
150°
【知识点】
正多边形内角和，四边形内角和，对顶角相等
【点评】
本题属于基础易错题，不少同学容易直接混淆角度关系，想不到通过中间的重叠四边形做过渡，解题的核心是从组合图形中拆分出熟悉的基本几何图形，利用基础几何性质完成角度转换，需要牢记常见正多边形的内角度数，熟练运用内角和相关定理。
【难度系数】
0.7

4. 如图，在正六边形$ABCDEF$中，$AC=2\sqrt{3}$，则它的外接圆的半径是。

如图,连接$OA,OB,OC,OB$ 与 $AC$ 相交于点 $G$. 由对称性可知,$OB⊥ AC,AG=CG=\frac{1}{2}AC=\sqrt{3}.$ 由正六边形$ABCDEF$,可得$∠ AOB=\frac{360°}{6}=60°.\therefore$ 易得$∠ OAG=30°.$
在 $\mathrm{Rt}△ OAG$ 中, 设 $OG=x$, 则 $OA=2x,\therefore AG=\sqrt{OA^2-OG^2}=\sqrt{3}x.\therefore \sqrt{3}x=\sqrt{3}$, 解得 $x=1.\therefore OA=2.$

【分析】
我们可以按照以下思路解题：首先回忆正六边形的性质，正六边形的外接圆圆心就是它的几何中心，所有中心角总和为360°，单个中心角为60°。首先连接外接圆的圆心O与点A、B、C，利用正六边形的轴对称性，可得OB垂直平分AC，先算出AG的长度为AC的一半即√3。接着推导得到∠AOC=120°，结合OA=OC都是半径，得到等腰△OAC的底角∠OAG=30°，在Rt△OAG中利用30°直角三角形的边长关系和勾股定理，就可以建立方程解出外接圆半径OA的长度。
【解析】
解：设正六边形ABCDEF的外接圆圆心为O，连接OA、OB、OC，OB与AC交于点G。
1. 由正六边形的对称性可知：OB⊥AC，且AG=CG=$\frac{1}{2}$AC。
已知AC=$2\sqrt{3}$，因此AG = $\frac{1}{2} × 2\sqrt{3} = \sqrt{3}$。
2. 正六边形的中心角为 $\frac{360°}{6} = 60°$，因此∠AOB=∠BOC=60°，可得∠AOC=∠AOB+∠BOC=120°。
因为OA、OC都是外接圆半径，即OA=OC，所以△OAC是等腰三角形，底角∠OAG = $\frac{180° - 120°}{2} = 30°$。
3. 在Rt△OAG中，∠OGA=90°，∠OAG=30°，设OG=x，则OA=2OG=2x。
根据勾股定理：AG = $\sqrt{OA^2 - OG^2} = \sqrt{(2x)^2 - x^2} = \sqrt{3}x$。
将AG=$\sqrt{3}$代入得：$\sqrt{3}x = \sqrt{3}$，解得x=1，因此OA=2x=2。
即该正六边形的外接圆半径为2。
【答案】

【知识点】
正六边形性质，勾股定理，正多边形中心角
【点评】
本题是正多边形相关的基础计算题，核心考察正六边形的对称性和特殊角度直角三角形的性质，解题关键是通过连接中心与顶点构造出含30°角的直角三角形，将已知的对角线AC的长度和待求的外接圆半径建立等量关系，整体思路清晰，是正多边形章节的典型基础题型。
【难度系数】
0.7

5. 如图,在正五边形$ABCDE$中,对角线$AC$与$BD$相交于点$O$.试判断四边形$AODE$的形状,并说明理由.

四边形 $AODE$ 是菱形. 理由:$\because$ 正五边形 $ABCDE$ 有一个外接圆,$\therefore ∠ BDE=\frac{1}{2}× \frac{2}{5}× 360°=72°,∠ E=\frac{1}{2}× \frac{3}{5}× 360°=108°.\therefore ∠ BDE+∠ E=180°.\therefore DO// AE.$ 同理,可证 $AO// DE.\therefore$ 四边形 $AODE$ 是平行四边形. 又由正五边形 $ABCDE$, 可得 $AE=DE,\therefore$ 四边形 $AODE$ 是菱形.

【分析】
我们要判断四边形AODE的形状，解题思路如下：首先从正五边形的固有性质出发，正五边形各边相等、各内角相等且存在外接圆，我们可以先通过圆周角定理计算出相关角的度数，通过同旁内角互补证明两组对边分别平行，先证出四边形AODE是平行四边形，再结合正五边形邻边AE=DE的特征，利用“一组邻边相等的平行四边形是菱形”的判定定理，即可得到最终结论。
【解析】
四边形$AODE$是菱形，理由如下：
$\because$ 正五边形$ABCDE$有一个外接圆，
$\therefore ∠ BDE=\frac{1}{2}× \frac{2}{5}× 360°=72°,∠ E=\frac{1}{2}× \frac{3}{5}× 360°=108°$。
$\therefore ∠ BDE+∠ E=180°$，根据同旁内角互补，两直线平行，可得$DO// AE$。
同理，可证$AO// DE$。
$\therefore$ 四边形$AODE$两组对边分别平行，是平行四边形。
又由正五边形$ABCDE$的性质，可得$AE=DE$，一组邻边相等的平行四边形为菱形，因此四边形$AODE$是菱形。
【答案】
四边形$AODE$是菱形，理由如上。
【知识点】
正五边形性质，平行四边形判定，菱形判定
【点评】
本题结合正五边形的几何特征考察特殊四边形的判定，解题核心是通过角度推导得到两组对边分别平行，先判定平行四边形再结合邻边相等得到菱形，也可通过直接计算正五边形内角、等腰三角形底角完成平行的证明，方法灵活，能帮助学生巩固多边形与特殊四边形的关联知识点。
【难度系数】
0.6

6. 新情境 生活实际 [2024 青岛中考]为筹备运动会,小松制作了如图所示的宣传牌,在正五边形$ABCDE$和正方形$CDFG$中,$CF$,$DG$的延长线分别交$AE$,$AB$于点$M$,$N$,则$∠ FME$的度数是 （）

A.$90°$
B.$99°$
C.$108°$
D.$135°$

$\because$ 五边形 $ABCDE$ 是正五边形,$\therefore ∠ CDE=∠ E=\frac{(5-2)× 180°}{5}=108°.$ $\because$ 四边形 $CDFG$ 为正方形,$\therefore ∠ CDF=90°,∠ CFD=45°.\therefore ∠ FDE=∠ CDE-∠ CDF=108°-90°=18°,∠ DFM=180°-∠ CFD=180°-45°=135°.\therefore ∠ FME=360°-∠ FDE-∠ DFM-∠ E=360°-18°-135°-108°=99°.$

【分析】
解题时我们可以按以下思路逐步推导：1. 首先回忆正多边形内角和公式，先算出正五边形ABCDE的每个内角的度数，得到∠CDE和∠E的数值；2. 再结合正方形的性质，得到正方形的内角、对角线分割出的角的度数；3. 推导得到∠FDE和∠DFM这两个角的度数；4. 观察∠FME处于四边形DEMF中，利用四边形内角和为360°，用360°减去其余三个已知内角的度数，即可直接求出∠FME的结果。
【解析】
解：
1. 计算正五边形的内角：
∵ 五边形ABCDE是正五边形，根据多边形内角和公式$(n-2)×180°$，可得正五边形每个内角为：
$∠ CDE=∠ E=\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$
2. 利用正方形性质求相关角度：
∵ 四边形CDFG是正方形，
∴ $∠ CDF=90°$，等腰直角$△ CDF$中$∠ CFD=45°$
3. 推导剩余两个内角：
$∠ FDE=∠ CDE-∠ CDF=108°-90°=18°$
∵ 点M在CF的延长线上，$∠ CFD$与$∠ DFM$互为邻补角，
∴ $∠ DFM=180°-∠ CFD=180°-45°=135°$
4. 利用四边形内角和计算目标角：
在四边形DEMF中，四边形内角和为$360°$，因此：
$∠ FME=360°-∠ E-∠ FDE-∠ DFM=360°-108°-18°-135°=99°$
【答案】
B.$99°$
【知识点】
正多边形内角和，正方形性质，四边形内角和
【点评】
本题结合运动会宣传牌的生活化情境命题，考察基础几何性质的综合应用，解题核心是快速定位目标角所在的四边形，无需添加复杂辅助线，只要熟练掌握正五边形、正方形的基础角度特征即可顺利求解，易错点为邻补角的角度计算失误。
【难度系数】
0.7

7. 如图,在正六边形$ABCDEF$中,$M,N$是对角线$BE$上的两点.有下列条件:①$BM=EN$;②$∠ FAN=∠ CDM$;③$AM=DN$;④$∠ AMB=∠ DNE$.其中,能使四边形$AMDN$为平行四边形的是（）

A.①②④
B.①③④
C.①②③④
D.①④

如图,连接 $AD$ 交 $BE$ 于点 $O.$ $\because$ 在正六边形 $ABCDEF$ 中,$AB=DE$,易得$∠ BAO=∠ ABO=∠ OED=∠ ODE=60°,\therefore △ AOB$ 和 $△ DOE$ 是等边三角形. $\therefore OA=OB=AB=DE=OE=OD.$ ① $\because BM=EN,\therefore OB-BM=OE-EN$,即 $OM=ON.$ 又 $OA=OD,\therefore$ 四边形 $AMDN$ 为平行四边形. 故①符合题意. ② $\because ∠ FAN=∠ CDM$,易得$∠ DAF=∠ CDA=60°,\therefore ∠ DAF-∠ FAN=∠ CDA-∠ CDM$,即$∠ OAN=∠ ODM.\therefore AN// DM.$ 又 $\because ∠ AON=∠ DOM,OA=OD,\therefore △ AON≌ △ DOM(\mathrm{ASA}).\therefore AN=DM.\therefore$ 四边形 $AMDN$ 为平行四边形. 故②符合题意. ③ $\because AM=DN,AB=DE,∠ ABM=∠ DEN,\therefore △ ABM$ 和 $△ DEN$ 不一定全等,进而不能得出四边形 $AMDN$ 为平行四边形. 故③不符合题意. ④ $\because ∠ AMB=∠ DNE,∠ ABM=∠ DEN=60°,AB=DE,\therefore △ ABM≌ △ DEN(\mathrm{AAS}).\therefore AM=DN.\because ∠ AMB+∠ AMN=180°,∠ DNM+∠ DNE=180°,\therefore ∠ AMN=∠ DNM.\therefore AM// DN.\therefore$ 四边形 $AMDN$ 为平行四边形. 故④符合题意. 综上所述,符合题意的是①②④.

【分析】
我们先从正六边形的固有性质入手，首先连接AD交BE于点O，利用正六边形的对称性，可直接得到OA=OD，OB=OE，且∠ABO=∠DEO=60°，要判定四边形AMDN是平行四边形，我们可以利用对角线互相平分、一组对边平行且相等、两组对边分别相等等判定定理，逐个对给出的4个条件进行验证：
1. 对条件①：已知BM=EN，结合OB=OE，可推出OB-BM=OE-EN即OM=ON，此时AD和MN两条对角线互相平分，直接可判定平行四边形。
2. 对条件②：先利用正六边形内角的性质，得到∠DAF=∠ADC=60°，结合已知∠FAN=∠CDM，可推导出∠OAN=∠ODM，进而证明△AON和△DOM全等，得到AN平行且等于DM，满足平行四边形判定。
3. 对条件③：已知AM=DN，此时两边及非夹角相等（SSA），无法证明△ABM和△DEN全等，不能得到对应边/对角线的等量关系，无法判定平行四边形。
4. 对条件④：已知∠AMB=∠DNE，结合∠ABM=∠DEN，AB=DE，用AAS可证明△ABM≌△DEN，得到AM=DN，同时可推导出AM//DN，一组对边平行且相等即可判定平行四边形。
最后汇总符合要求的条件选出答案。
【解析】
解：连接AD交BE于点O，
∵ 正六边形ABCDEF中，AB=DE，由正六边形性质可得∠BAO=∠ABO=∠OED=∠ODE=60°，
∴ △AOB和△DOE都是等边三角形，
∴ OA=OB=AB=DE=OE=OD。
① 当BM=EN时：
∵ OB=OE，
∴ OB - BM = OE - EN，即OM=ON，
又
∵ OA=OD，即四边形AMDN的对角线AD、MN互相平分，
∴ 四边形AMDN为平行四边形，①符合题意。
② 当∠FAN=∠CDM时：
由正六边形性质易得∠DAF=∠CDA=60°，
∴ ∠DAF - ∠FAN = ∠CDA - ∠CDM，即∠OAN=∠ODM，
又
∵ OA=OD，∠AON=∠DOM，
∴ △AON ≌ △DOM（ASA），
∴ AN=DM，且∠OAN=∠ODM可得AN//DM，
即AN平行且等于DM，
∴ 四边形AMDN为平行四边形，②符合题意。
③ 当AM=DN时：
已知AB=DE，∠ABM=∠DEN=60°，AM=DN，属于两边及其中一边的对角相等（SSA），无法证明△ABM和△DEN全等，不能推出OM=ON或者对应边平行相等，因此不能判定四边形AMDN为平行四边形，③不符合题意。
④ 当∠AMB=∠DNE时：
∵ ∠ABM=∠DEN=60°，AB=DE，∠AMB=∠DNE，
∴ △ABM ≌ △DEN（AAS），
∴ AM=DN，
又
∵ ∠AMB + ∠AMN = 180°，∠DNE + ∠DNM = 180°，
∴ ∠AMN=∠DNM，可得AM//DN，
即AM平行且等于DN，
∴ 四边形AMDN为平行四边形，④符合题意。
综上，符合条件的是①②④。
【答案】
A
【知识点】
正六边形性质，平行四边形判定，全等三角形判定
【点评】
本题综合考查正六边形的几何性质和平行四边形的判定，核心易错点是注意SSA不能作为三角形全等的判定依据，避免误将条件③判定为成立，需要逐个严谨验证每个条件是否满足平行四边形的判定要求。
【难度系数】
0.5

8. 如图,在正五边形$ABCDE$中,连接$CE$,以点$E$为圆心、$EA$长为半径画弧,与$CE$交于点$F$,连接$AF$,则$∠ AFE$的度数是$°$.

在正五边形 $ABCDE$ 中,$∠ AED=∠ CDE=\frac{(5-2)× 180°}{5}=108°.\because DE=CD,\therefore ∠ DCE=∠ CED=\frac{1}{2}×(180°-108°)=36°.\therefore ∠ AEF=∠ AED-∠ CED=108°-36°=72°.\because$ 由题意,得 $EF=AE,\therefore ∠ AFE=∠ EAF=\frac{1}{2}(180°-∠ AEF)=\frac{1}{2}×(180°-72°)=54°.$

【分析】
我们可以按清晰的步骤逐步推导：第一步先利用正多边形内角和公式，算出正五边形的每个内角的度数，得到∠AED和∠CDE的数值；第二步观察△CDE，正五边形所有边长相等，因此DE=CD，△CDE是等腰三角形，结合三角形内角和就能算出底角∠CED的度数；第三步用∠AED减去∠CED，得到△AEF中∠AEF的大小；第四步根据作图规则，以E为圆心、EA为半径画弧，说明EF和EA是同圆的两条半径，即EF=AE，△AEF也是等腰三角形，最后利用等腰三角形底角相等、三角形内角和为180°的性质，就能算出∠AFE的度数。
【解析】
解：
1. 计算正五边形的内角度数：
正五边形内角和为$(5-2)×180°=540°$，因此每个内角的度数为$\frac{540°}{5}=108°$，即$∠ AED=∠ CDE=108°$。
2. 计算∠CED的度数：
∵正五边形各边长度相等，
∴$DE=CD$，△CDE为等腰三角形，
因此$∠ DCE=∠ CED=\frac{1}{2}×(180°-∠ CDE)=\frac{1}{2}×(180°-108°)=36°$。
3. 计算∠AEF的度数：
$∠ AEF=∠ AED-∠ CED=108°-36°=72°$。
4. 计算∠AFE的度数：
由作图规则可知，EF、EA都是以E为圆心的圆的半径，因此$EF=AE$，△AEF是等腰三角形，
可得$∠ AFE=∠ EAF=\frac{1}{2}×(180°-∠ AEF)=\frac{1}{2}×(180°-72°)=54°$。
【答案】
54
【知识点】
正多边形内角，等腰三角形性质，三角形内角和
【点评】
本题以正五边形为背景，综合考查多边形角度计算和等腰三角形的相关性质，解题关键是先利用正五边形边长相等的性质得到等腰△CDE，算出∠CED的度数，再挖掘出作图隐含的“EF=AE”的条件，最终完成等腰△AEF的角度推导，属于多边形角度计算的常规基础题型。
【难度系数】
0.6