8. 如图,$S$是圆锥的顶点,$AB$是圆锥底面的直径,$M$是$SA$的中点.若从点$B$出发,沿圆锥侧面走回点$B$的最短路径恰好经过点$M$,则圆锥的侧面展开图的圆心角为.

8. 如图,将圆锥沿母线$SB$展开,$A'$为$\overset{\frown}{BB'}$的中点,$M'$为$SA'$的中点,则$\overset{\frown}{BB'}$为从点$B$出发,沿圆锥侧面走回点$B$的最短路径,且$BB'$经过点$M'$. $\because \overset{\frown}{A'B'}=\overset{\frown}{A'B}$,$\therefore ∠ B'SA'=∠ BSA'$,$SA' ⊥ BB'$. 在$\mathrm{Rt}△ BSM'$中,$SM'=\frac{1}{2}SA'=\frac{1}{2}SA=\frac{1}{2}SB$,$\therefore \frac{SM'}{SB}=\frac{1}{2}$. $\therefore$ 易知$∠ SBM'=30°$,则$∠ BSM'=60°$. $\therefore ∠ BSB'=2 × 60°=120°$.

【分析】
要解决圆锥侧面上的最短路径问题，核心思路是化曲为直，将圆锥的曲面侧面转化为平面扇形，利用“两点之间线段最短”得到最短路径对应的线段。首先沿母线SB剪开圆锥侧面，得到扇形展开图，原圆锥上的点B展开后对应扇形的两个端点B、B'，二者在圆锥上是同一点，因此从B出发沿侧面走回B的最短路径就是线段BB'；接着结合AB是底面直径的条件，确定展开后A点是弧BB'的中点，M作为SA中点展开后对应SA'的中点M'，结合题意可知线段BB'经过M'；最后利用等腰三角形三线合一的性质，得到直角三角形BSM'，通过边长比例推导出半顶角为60°，最终算出整个侧面展开图的圆心角。
【解析】
1. 侧面展开转化：将圆锥沿母线SB剪开，得到其侧面展开的扇形，设该扇形的圆心角为α。原圆锥上的点B在展开图中对应扇形的两个端点B和B'，二者在圆锥上是同一个点，因此从B出发沿圆锥侧面走回B的最短路径就是线段BB'。
2. 确定点的对应关系：因为AB是圆锥底面的直径，底面半圆弧长对应展开图中弧BA'的长度，因此A'是弧BB'的中点，SA'平分圆心角∠BSB'，即∠BSA'=∠B'SA'=α/2。已知M是SA的中点，展开后M对应SA'的中点M'，由题设条件可知线段BB'经过M'。
3. 利用几何性质计算：圆锥的所有母线长度相等，因此SB=SA'，又M'是SA'的中点，可得$SM' = \frac{1}{2}SA' = \frac{1}{2}SB$。
因为SB=SB'，△BSB'是等腰三角形，SA'是顶角∠BSB'的角平分线，根据等腰三角形三线合一的性质，可得SA'⊥BB'，即△BSM'是直角三角形，∠SM'B=90°。
在Rt△BSM'中，直角边$SM' = \frac{1}{2}SB$，因此可得∠BSM'=60°，也就是$\frac{α}{2}=60°$，最终得到α=120°。
【答案】

【知识点】
圆锥侧面展开图，两点之间线段最短，等腰三角形三线合一
【点评】
本题是圆锥侧面最短路径的经典题型，核心考查“化曲为直”的空间转平面的转化思想，要求学生准确把握展开前后各点、各线段的对应关系，结合直角三角形的边角性质即可完成推导，属于立体几何中基础的空间转化类问题。
【难度系数】
0.6

9. 如图,从一块半径是$\sqrt{13}\ {cm}$的圆形铁皮上剪下一个圆心角为$60^{ \circ }$的扇形,将剪下的扇形围成一个圆锥.若$OA=2\ {cm}$,则圆锥的高是.

9. 如图,连接$OB$,过点$O$作$OH ⊥ AB$于点$H$.由对称性可知,$∠ OAH=∠ OAC=\frac{1}{2}∠ BAC=30°$.
$\because ∠ AHO=90°$,$OA=2\ \mathrm{cm}$,$\therefore$ 易得$OH=\frac{1}{2}OA=1\ \mathrm{cm}$.
$\therefore AH=\sqrt{OA^2-OH^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}(\mathrm{cm})$. $\because$ 在$\mathrm{Rt}△ OBH$中,$OB=\sqrt{13}\ \mathrm{cm}$,$\therefore BH=\sqrt{OB^2-OH^2}=\sqrt{(\sqrt{13})^2-1^2}=2\sqrt{3}(\mathrm{cm})$. $\therefore AB=AH+BH=\sqrt{3}+2\sqrt{3}=3\sqrt{3}(\mathrm{cm})$. $\therefore \overset{\frown}{BC}$的长$=\frac{60π × 3\sqrt{3}}{180}=\sqrt{3}π(\mathrm{cm})$.设圆锥的底面圆半径为$R$ cm,则$2π R=\sqrt{3}π$. $\therefore R=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
$\therefore$ 圆锥的高$=\sqrt{(3\sqrt{3})^2-(\frac{\sqrt{3}}{2})^2}=\frac{\sqrt{105}}{2}(\mathrm{cm})$.

【分析】
解题思路如下：1. 首先我们需要先求出剪下的扇形的半径AB的长度，也就是后续围成圆锥的母线长：已知圆形铁皮的半径OB=√13 cm，OA=2 cm，扇形圆心角∠BAC=60°，我们可以过点O作AB的垂线OH，结合角的对称性得到∠OAH=30°，先在Rt△AOH中求出OH和AH的长度，再在Rt△OBH中用勾股定理求出BH，相加即可得到AB的长度。2. 接着利用弧长公式计算扇形BC的弧长，这个弧长就等于围成圆锥之后底面圆的周长，据此可以算出圆锥底面的半径R。3. 最后根据圆锥的母线长、底面半径、高三者满足勾股定理，代入数值计算即可得到圆锥的高。
【解析】
解：连接OB，过点O作OH ⊥ AB于点H。
由图形对称性可知，∠OAH=∠OAC=1/2∠BAC=30°。
∵ ∠AHO=90°，OA=2 cm，
∴ OH = 1/2 OA = 1 cm，
由勾股定理得：AH=√(OA²-OH²)=√(2²-1²)=√3 cm。
在Rt△OBH中，OB=√13 cm，
∴ BH=√(OB²-OH²)=√[(√13)²-1²]=2√3 cm，
∴ AB=AH+BH=√3+2√3=3√3 cm。
根据弧长公式，弧BC的长为：l = (60π × 3√3)/180 = √3 π cm。
设圆锥的底面圆半径为R cm，由圆锥底面周长等于扇形弧长得：
2πR = √3 π，解得R=√3/2 cm。
根据圆锥的母线、底面半径、高满足勾股定理，可得圆锥的高为：
h=√(AB² - R²) = √[(3√3)² - (√3/2)²] = √(27 - 3/4) = √(105/4) = √105/2 cm。
【答案】

【知识点】
垂径定理，弧长计算，圆锥性质
【点评】
本题是圆与圆锥的综合计算题，核心考点是圆锥侧面展开图的弧长等于底面周长，解题的关键是通过构造直角三角形求出扇形的母线长AB，综合运用了直角三角形性质、勾股定理、弧长公式等多个知识点，容易出错的点是辅助线的构造以及圆锥相关量的关系混淆，需要学生理清各部分的对应关系。
【难度系数】
0.4

10. 新情境 生活实际 如图所示为一纸杯 $ACFE$, 以它为基础, 伸展它的侧面, 形成圆锥, 该圆锥的侧面展开图是扇形 $OAB$. 经测量, 纸杯上底面圆的直径是 $6\ \mathrm{cm}$, 下底面圆的直径为 $4\ \mathrm{cm}$, 母线长$EF=8\ \mathrm{cm}$. 求扇形 $OAB$ 的圆心角的度数及这个纸杯的表面积.

10. 由题意可知,$\overset{\frown}{BA}$的长为$6π\ \mathrm{cm}$,$\overset{\frown}{CD}$的长为$4π\ \mathrm{cm}$. 设$∠ AOB=n°$,$AO=R$ cm,则$CO=(R-8)\mathrm{cm}$. 由题意,得$\frac{nπ R}{180}=6π$,$\frac{nπ(R-8)}{180}=4π$, $\therefore \begin{cases}nR=1\ 080,\\nR-8n=720,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}n=45,\\R=24.\end{cases}$ $\therefore$ 扇形$OAB$的圆心角的度数是$45°$. $\because R=24$,$\therefore R-8=16$. $\therefore S_{\mathrm{扇形}OCD}=\frac{1}{2} × 4π × 16=32π(\mathrm{cm}^2)$,$S_{\mathrm{扇形}OAB}=\frac{1}{2} × 6π × 24=72π(\mathrm{cm}^2)$. $\therefore$ 纸杯的侧面积$=S_{\mathrm{扇形}OAB}-S_{\mathrm{扇形}OCD}=72π-32π=40π(\mathrm{cm}^2)$,纸杯的底面积$=π · 2^2=4π(\mathrm{cm}^2)$. $\therefore$ 纸杯的表面积$=40π+4π=44π(\mathrm{cm}^2)$.

【分析】
这道题是圆台侧面展开的实际应用问题，解题思路可以按以下步骤梳理：
1. 首先明确纸杯上下底面的周长，恰好对应展开后大弧AB和小弧CD的弧长，先根据圆周长公式算出两段弧的长度：上底直径6cm，对应弧长为6π cm，下底直径4cm，对应弧长为4π cm。
2. 设扇形OAB的圆心角为n°，大扇形半径OA为R cm，那么小扇形的半径OC就等于OA减去纸杯母线长EF，也就是(R-8)cm。
3. 利用弧长公式分别对两段弧列方程，组成二元一次方程组，就能解出圆心角n的数值。
4. 计算纸杯表面积时，注意纸杯上底是开口的，不需要计算上底面积：侧面积是大扇形OAB减去小扇形OCD的面积，再加上下底面圆的面积，就得到总表面积。
【解析】
由题意可得：
纸杯上底面周长即$\overset{\frown}{AB}$的长：$l_{AB}=π×6=6π\ \mathrm{cm}$
纸杯下底面周长即$\overset{\frown}{CD}$的长：$l_{CD}=π×4=4π\ \mathrm{cm}$
设$∠ AOB=n°$，$OA=R\ \mathrm{cm}$，则$OC=(R-8)\ \mathrm{cm}$。
根据弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$，列方程：
$\begin{cases}\frac{nπ R}{180}=6π \\\frac{nπ(R-8)}{180}=4π\end{cases}$
约去π后整理得：
$\begin{cases}nR=1080 \\nR-8n=720\end{cases}$
将$nR=1080$代入第二个方程，解得$n=45$，再代入得$R=24$。
因此$OC=R-8=24-8=16\ \mathrm{cm}$。
计算扇形面积：
$S_{\mathrm{扇形}OCD}=\frac{1}{2}× l_{CD}× OC=\frac{1}{2}×4π×16=32π\ \mathrm{cm}^2$
$S_{\mathrm{扇形}OAB}=\frac{1}{2}× l_{AB}× OA=\frac{1}{2}×6π×24=72π\ \mathrm{cm}^2$
纸杯侧面积：$S_{\mathrm{侧}}=S_{\mathrm{扇形}OAB}-S_{\mathrm{扇形}OCD}=72π-32π=40π\ \mathrm{cm}^2$
纸杯下底面积：$S_{\mathrm{底}}=π×(\frac{4}{2})^2=4π\ \mathrm{cm}^2$
纸杯总表面积：$S_{\mathrm{表}}=S_{\mathrm{侧}}+S_{\mathrm{底}}=40π+4π=44π\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
扇形OAB的圆心角为$45°$，纸杯的表面积为$44π\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
弧长公式，扇形面积公式，圆台侧面积计算
【点评】
本题结合生活中的纸杯场景考察圆锥展开图相关计算，核心是通过两段弧长的关系建立方程组求解圆心角，易错点是计算表面积时误将开口的上底面积计入，要注意实际容器的结构特征，避免多余计算。
【难度系数】
0.6

11. 新考向 探究题 综合与实践
【主题】制作圆锥.
【素材】直径为 40 cm 的圆形卡纸、剪刀、透明胶.
【实践操作】
步骤 1: 如图①,把直径为 40 cm 的圆形卡纸剪出一个圆心角为 $60°$的最大扇形 $ABC$(图②).
步骤 2: 如图③,将剪下的扇形卡纸无缝隙、不重叠地围成一个圆锥,并用透明胶粘住接合处.
【实践探索】
(1) 求剪下的扇形 $ABC$ 的半径.
(2) 求卡纸围成的圆锥的底面圆半径.

11. (1) 如图,连接$OA$,过点$O$作$OD ⊥ AC$于点$D$,则$AD=DC$. $\because ∠ BAC=60°$,$\therefore$ 由对称性,易得$∠ OAD=\frac{1}{2}∠ BAC=30°$. $\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ ODA$中,$OD=\frac{1}{2}OA=\frac{1}{2} × 20=10(\mathrm{cm})$,$AD=\sqrt{OA^2-OD^2}=\sqrt{20^2-10^2}=10\sqrt{3}(\mathrm{cm})$.
$\therefore AC=2AD=20\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$,即剪下的扇形$ABC$的半径为$20\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$.
(2) 设卡纸围成的圆锥的底面圆半径为$r$ cm.根据题意,得扇形$ABC$的弧长为$\frac{60π × 20\sqrt{3}}{180}=\frac{20\sqrt{3}}{3}π(\mathrm{cm})$,
$\therefore 2π r=\frac{20\sqrt{3}}{3}π$,解得$r=\frac{10\sqrt{3}}{3}$. $\therefore$ 卡纸围成的圆锥的底面圆半径为$\frac{10\sqrt{3}}{3}\ \mathrm{cm}$.

【分析】
首先思考第一问：要求扇形ABC的半径，也就是线段AC（AB）的长度，已知原圆形卡纸直径为40cm，因此原圆半径OA=20cm，扇形的圆心角∠BAC=60°，我们可以利用圆的对称性，过原圆心O作AC的垂线，根据垂径定理得到AD=DC，同时由对称性得到∠OAD=30°，在直角三角形ODA中利用30°角的性质和勾股定理求出AD的长度，乘2即可得到AC也就是扇形的半径。
然后思考第二问：圆锥的侧面是由这个扇形围成的，因此扇形的弧长就等于圆锥底面圆的周长，先利用弧长公式算出扇形ABC的弧长，再结合圆的周长公式列方程，就能解出圆锥底面圆的半径。
【解析】
(1) 连接OA，过点O作OD ⊥ AC于点D，根据垂径定理可得AD=DC。
已知∠BAC=60°，由图形对称性可得∠OAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°。
原圆形卡纸直径为40cm，因此OA=$40÷2=20\mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ ODA$中，∠ODA=90°，∠OAD=30°，因此$OD=\frac{1}{2}OA=\frac{1}{2} × 20=10\mathrm{cm}$，
由勾股定理得$AD=\sqrt{OA^2-OD^2}=\sqrt{20^2-10^2}=10\sqrt{3}\mathrm{cm}$，
因此$AC=2AD=2×10\sqrt{3}=20\sqrt{3}\mathrm{cm}$，即剪下的扇形ABC的半径为$20\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
(2) 设卡纸围成的圆锥的底面圆半径为$r$ cm，
根据弧长公式计算扇形ABC的弧长：$l=\frac{nπ R}{180}=\frac{60π × 20\sqrt{3}}{180}=\frac{20\sqrt{3}}{3}π\ \mathrm{cm}$，
由于圆锥底面圆的周长等于侧面扇形的弧长，因此可得$2π r=\frac{20\sqrt{3}}{3}π$，
两边同时除以$π$，解得$r=\frac{10\sqrt{3}}{3}$。
【答案】
(1) 剪下的扇形$ABC$的半径为$20\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$；(2) 卡纸围成的圆锥的底面圆半径为$\frac{10\sqrt{3}}{3}\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆锥侧面展开图性质
【点评】
本题是结合手工制作的实践类探究题，将圆的性质、直角三角形计算和圆锥的相关性质结合起来，解题时要注意区分原圆形卡纸的半径和剪出的扇形的半径，避免出现直接把原圆半径当作扇形半径的常见错误，理清圆锥侧面展开图的弧长与底面周长的等量关系是第二问的解题核心。
【难度系数】
0.6