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1.(2024·余姚)下列图形是用数学家名字命名的,其中是中心对称图形的是 (
A.谢尔宾斯基三角形
B.笛卡尔心形线
C.赵爽弦图
D.斐波那契螺旋线
C
)A.谢尔宾斯基三角形
B.笛卡尔心形线
C.赵爽弦图
D.斐波那契螺旋线
答案
1.C
解析
【分析】
要判断哪个图形是中心对称图形，需先明确中心对称图形的定义：在平面内，将一个图形绕某一点旋转180°，若旋转后的图形与原图形完全重合，则该图形为中心对称图形。接下来逐个分析选项：A选项谢尔宾斯基三角形旋转180°后无法与原图形重合；B选项笛卡尔心形线旋转180°后也不重合；C选项赵爽弦图绕中心旋转180°后与原图形重合；D选项斐波那契螺旋线旋转180°后不重合，据此确定答案。
【解析】
根据中心对称图形的定义，逐一分析各选项：
1. 选项A：谢尔宾斯基三角形，绕任意一点旋转180°后，无法与原图形重合，不是中心对称图形；
2. 选项B：笛卡尔心形线，绕任意一点旋转180°后，无法与原图形重合，不是中心对称图形；
3. 选项C：赵爽弦图，绕其中心旋转180°后，旋转后的图形与原图形完全重合，是中心对称图形；
4. 选项D：斐波那契螺旋线，绕任意一点旋转180°后，无法与原图形重合，不是中心对称图形。
综上，答案为C。
【答案】
C
【知识点】
中心对称图形
【点评】
本题考查中心对称图形的判定，核心是掌握中心对称图形的定义，属于初中数学基础知识点的应用，难度较低，适合学生巩固基础。
【难度系数】
0.7
要判断哪个图形是中心对称图形，需先明确中心对称图形的定义：在平面内，将一个图形绕某一点旋转180°，若旋转后的图形与原图形完全重合，则该图形为中心对称图形。接下来逐个分析选项：A选项谢尔宾斯基三角形旋转180°后无法与原图形重合；B选项笛卡尔心形线旋转180°后也不重合；C选项赵爽弦图绕中心旋转180°后与原图形重合；D选项斐波那契螺旋线旋转180°后不重合，据此确定答案。
【解析】
根据中心对称图形的定义，逐一分析各选项：
1. 选项A：谢尔宾斯基三角形，绕任意一点旋转180°后，无法与原图形重合，不是中心对称图形；
2. 选项B：笛卡尔心形线，绕任意一点旋转180°后，无法与原图形重合，不是中心对称图形；
3. 选项C：赵爽弦图，绕其中心旋转180°后，旋转后的图形与原图形完全重合，是中心对称图形；
4. 选项D：斐波那契螺旋线，绕任意一点旋转180°后，无法与原图形重合，不是中心对称图形。
综上，答案为C。
【答案】
C
【知识点】
中心对称图形
【点评】
本题考查中心对称图形的判定，核心是掌握中心对称图形的定义，属于初中数学基础知识点的应用，难度较低，适合学生巩固基础。
【难度系数】
0.7
2.(2024·金华金东、婺城)我国古代建筑具有悠久的历史传统，其建筑艺术也是美术鉴赏的重要对象。如图是古代建筑中的一个正八边形的窗户，则它的内角和为 （
A.$1080°$
B.$900°$
C.$720°$
D.$540°$
A
）A.$1080°$
B.$900°$
C.$720°$
D.$540°$
答案
2.A
解析
【分析】
本题要求正八边形窗户的内角和，解题思路是先确定多边形的边数，再运用多边形内角和公式计算结果，最后匹配对应选项。首先明确正八边形的边数为8，再代入n边形内角和公式计算，即可得出答案。
【解析】
多边形内角和公式为：对于n边形（n≥3且为整数），内角和为$(n-2)×180°$。本题中图形是正八边形，边数n=8，将n=8代入公式得：内角和=$(8-2)×180°=6×180°=1080°$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
多边形内角和公式
【点评】
本题考查多边形内角和公式的基础应用，属于简单题，只需牢记公式并正确代入边数计算即可，是多边形相关的基础考点。
【难度系数】
0.2
本题要求正八边形窗户的内角和，解题思路是先确定多边形的边数，再运用多边形内角和公式计算结果，最后匹配对应选项。首先明确正八边形的边数为8，再代入n边形内角和公式计算，即可得出答案。
【解析】
多边形内角和公式为：对于n边形（n≥3且为整数），内角和为$(n-2)×180°$。本题中图形是正八边形，边数n=8，将n=8代入公式得：内角和=$(8-2)×180°=6×180°=1080°$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
多边形内角和公式
【点评】
本题考查多边形内角和公式的基础应用，属于简单题，只需牢记公式并正确代入边数计算即可，是多边形相关的基础考点。
【难度系数】
0.2
3.(2024·丽水)下列条件,不能判定如图四边形ABCD是平行四边形的是
（
A.$AB// CD,∠A=∠B$
B.$AB=CD,AD=BC$
C.$∠A=∠C,AD// BC$
D.$AB// CD,AB=CD$
（
A
）A.$AB// CD,∠A=∠B$
B.$AB=CD,AD=BC$
C.$∠A=∠C,AD// BC$
D.$AB// CD,AB=CD$
答案
3.A
解析
【分析】要判断哪个条件不能判定四边形ABCD是平行四边形，需回忆平行四边形的判定定理，逐一分析各选项是否符合判定条件，找出不符合的选项。
【解析】逐一分析各选项：
1. 选项A：已知AB//CD，根据平行线的性质，可得∠A + ∠D = 180°，∠B + ∠C = 180°。又因为∠A=∠B，所以∠C=∠D，此时四边形ABCD是等腰梯形，不是平行四边形，故该条件不能判定。
2. 选项B：AB=CD，AD=BC，满足“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，可判定四边形ABCD是平行四边形。
3. 选项C：AD//BC，故∠A + ∠B = 180°，结合∠A=∠C，可得∠C + ∠B = 180°，推出AB//CD，两组对边分别平行，可判定四边形ABCD是平行四边形。
4. 选项D：AB//CD且AB=CD，满足“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可判定四边形ABCD是平行四边形。
【答案】A
【知识点】平行四边形的判定
【点评】本题考查平行四边形的判定定理，需熟练掌握各判定条件，区分平行四边形与等腰梯形等其他四边形的特征，属于基础题型，需细心分析每个选项。
【难度系数】0.3
【解析】逐一分析各选项：
1. 选项A：已知AB//CD，根据平行线的性质，可得∠A + ∠D = 180°，∠B + ∠C = 180°。又因为∠A=∠B，所以∠C=∠D，此时四边形ABCD是等腰梯形，不是平行四边形，故该条件不能判定。
2. 选项B：AB=CD，AD=BC，满足“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，可判定四边形ABCD是平行四边形。
3. 选项C：AD//BC，故∠A + ∠B = 180°，结合∠A=∠C，可得∠C + ∠B = 180°，推出AB//CD，两组对边分别平行，可判定四边形ABCD是平行四边形。
4. 选项D：AB//CD且AB=CD，满足“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可判定四边形ABCD是平行四边形。
【答案】A
【知识点】平行四边形的判定
【点评】本题考查平行四边形的判定定理，需熟练掌握各判定条件，区分平行四边形与等腰梯形等其他四边形的特征，属于基础题型，需细心分析每个选项。
【难度系数】0.3
4.(2024·东阳)用反证法证明命题“已知$△ ABC,∠A＞∠B＞∠C,$求证:$∠C＜60^{\circ }$”时,第一步应先假设 （
A.$∠A≤60°$
B.$∠C＞60°$
C.$∠A＜60°$
D.$∠C≥60°$
D
）A.$∠A≤60°$
B.$∠C＞60°$
C.$∠A＜60°$
D.$∠C≥60°$
答案
4.D
解析
【分析】反证法的第一步是假设原命题结论的反面成立。本题要证明的结论是“∠C＜60°”，需先明确该结论的反面，再对应选项选出正确的假设内容。
【解析】用反证法证明命题时，第一步需假设命题的结论不成立。本题要证的结论为“∠C＜60°”，其反面是“∠C≥60°”，因此第一步应假设∠C≥60°，对应选项D。
【答案】D
【知识点】反证法
【点评】本题考查反证法的基本步骤，核心是掌握反证法“假设结论的反面”这一关键操作，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.7
【解析】用反证法证明命题时，第一步需假设命题的结论不成立。本题要证的结论为“∠C＜60°”，其反面是“∠C≥60°”，因此第一步应假设∠C≥60°，对应选项D。
【答案】D
【知识点】反证法
【点评】本题考查反证法的基本步骤，核心是掌握反证法“假设结论的反面”这一关键操作，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.7
5.(2024·湖州吴兴、长兴)如图,在$□ ABCD$中,对角线$AC,BD$相交于点$O$,$AC⊥BC$,$AB=10$,$BC=8$,则对角线$BD$的长是(
A.$2\sqrt{73}$
B.$\sqrt{55}$
C.$12$
D.$14$
A
)A.$2\sqrt{73}$
B.$\sqrt{55}$
C.$12$
D.$14$
答案
5.A
解析
【分析】
要解决本题，需结合平行四边形的性质和勾股定理逐步推导：首先利用平行四边形对角线互相平分的性质，将求BD转化为求BO的2倍；再根据AC⊥BC，确定△ACB为直角三角形，用勾股定理算出AC的长度，进而得到OC的长度；最后在Rt△OCB中，再次用勾股定理算出BO，即可求出BD的长。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC=½AC，OB=OD=½BD，即BD=2OB。
∵AC⊥BC，
∴△ACB是直角三角形。
在Rt△ACB中，AB=10，BC=8，由勾股定理得：
AC=√(AB² - BC²)=√(10² - 8²)=√(100 - 64)=√36=6，
∴OC=½AC=½×6=3。
在Rt△OCB中，BC=8，OC=3，由勾股定理得：
OB=√(OC² + BC²)=√(3² + 8²)=√(9 + 64)=√73，
∴BD=2OB=2√73。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形性质、勾股定理
【点评】
本题综合考查平行四边形的性质与勾股定理的应用，核心是利用平行四边形对角线互相平分的特点，将所求线段转化为直角三角形的边，通过两次勾股定理计算得出结果，属于中等难度的几何基础题，需熟练掌握相关定理的应用。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需结合平行四边形的性质和勾股定理逐步推导：首先利用平行四边形对角线互相平分的性质，将求BD转化为求BO的2倍；再根据AC⊥BC，确定△ACB为直角三角形，用勾股定理算出AC的长度，进而得到OC的长度；最后在Rt△OCB中，再次用勾股定理算出BO，即可求出BD的长。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC=½AC，OB=OD=½BD，即BD=2OB。
∵AC⊥BC，
∴△ACB是直角三角形。
在Rt△ACB中，AB=10，BC=8，由勾股定理得：
AC=√(AB² - BC²)=√(10² - 8²)=√(100 - 64)=√36=6，
∴OC=½AC=½×6=3。
在Rt△OCB中，BC=8，OC=3，由勾股定理得：
OB=√(OC² + BC²)=√(3² + 8²)=√(9 + 64)=√73，
∴BD=2OB=2√73。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形性质、勾股定理
【点评】
本题综合考查平行四边形的性质与勾股定理的应用，核心是利用平行四边形对角线互相平分的特点，将所求线段转化为直角三角形的边，通过两次勾股定理计算得出结果，属于中等难度的几何基础题，需熟练掌握相关定理的应用。
【难度系数】
0.5
6.(2025·杭州上城)如图,在平行四边形ABCD中,∠B=60°,AB=2,H,G分别是边DC,BC上的动点,连结AH,HG,E,F分别为AH,GH的中点,连结EF,则EF的最小值为（
A.1
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.$\sqrt{3}$
C
）A.1
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.$\sqrt{3}$
答案
6.C
解析
【分析】要解决本题，首先利用三角形中位线定理将EF的最小值转化为AG的最小值，再结合“点到直线的距离，垂线段最短”确定AG的最小值，最后通过三角函数计算即可。
【解析】
1. 因为E、F分别为AH、GH的中点，根据三角形中位线定理，EF是△AGH的中位线，因此$EF=\frac{1}{2}AG$，故EF的最小值等价于AG的最小值。
2. G是BC边上的动点，根据“点到直线的距离，垂线段最短”，AG的最小值为点A到BC的垂线段长度。
3. 在平行四边形ABCD中，∠B=60°，AB=2，当AG⊥BC时，AG为点A到BC的垂线段，此时在Rt△ABG中，$AG=AB·\sin60°=2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$。
4. 因此EF的最小值为$\frac{1}{2}AG=\frac{1}{2}×\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
【答案】C
【知识点】三角形中位线、垂线段最短、平行四边形性质
【点评】本题结合三角形中位线定理与点到直线的距离性质，将线段最值问题转化为垂线段长度计算，考查了几何最值的基本思路，难度适中。
【难度系数】0.5
【解析】
1. 因为E、F分别为AH、GH的中点，根据三角形中位线定理，EF是△AGH的中位线，因此$EF=\frac{1}{2}AG$，故EF的最小值等价于AG的最小值。
2. G是BC边上的动点，根据“点到直线的距离，垂线段最短”，AG的最小值为点A到BC的垂线段长度。
3. 在平行四边形ABCD中，∠B=60°，AB=2，当AG⊥BC时，AG为点A到BC的垂线段，此时在Rt△ABG中，$AG=AB·\sin60°=2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$。
4. 因此EF的最小值为$\frac{1}{2}AG=\frac{1}{2}×\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
【答案】C
【知识点】三角形中位线、垂线段最短、平行四边形性质
【点评】本题结合三角形中位线定理与点到直线的距离性质，将线段最值问题转化为垂线段长度计算，考查了几何最值的基本思路，难度适中。
【难度系数】0.5
7.(2025·宁波镇海)若一个多边形的每一个外角都是$36°$,则该多边形是
十
边形。答案
7.十
解析
【分析】首先回忆多边形的外角和定理：任意多边形的外角和固定为360°，与边数无关。题目中该多边形的每个外角都相等，为36°，因此用外角和除以每个外角的度数，即可求出多边形的边数。
【解析】解：任意多边形的外角和为360°，设该多边形的边数为$ n $，根据题意可得：
$ 36° × n = 360° $
解得$ n = 360° ÷ 36° = 10 $
所以该多边形是十边形。
【答案】十
【知识点】多边形的外角和
【点评】本题考查多边形外角和的基础应用，属于基础题，只要牢记多边形外角和为360°的性质，就能快速计算出边数，适合巩固相关基础知识点。
【难度系数】0.9
【解析】解：任意多边形的外角和为360°，设该多边形的边数为$ n $，根据题意可得：
$ 36° × n = 360° $
解得$ n = 360° ÷ 36° = 10 $
所以该多边形是十边形。
【答案】十
【知识点】多边形的外角和
【点评】本题考查多边形外角和的基础应用，属于基础题，只要牢记多边形外角和为360°的性质，就能快速计算出边数，适合巩固相关基础知识点。
【难度系数】0.9
