例6(2024·宁波海曙)在综合实践课上,小明画出$△ ABC$,利用尺规作图找一点$D$,使得四边形$ABDC$为平行四边形。下面是其作图过程。小明这一作法判定四边形$ABDC$为平行四边形的直接依据是
()


A.两组对边分别平行
B.两组对边分别相等
C.对角线互相平分
D.一组对边平行且相等

例6 B

【分析】要确定判定四边形ABDC为平行四边形的依据，需先分析作图得到的线段关系：第一步以B为圆心、AC为半径画弧，可得BD=AC；第二步以C为圆心、AB为半径画弧，交前弧于D，可得CD=AB。由此可知四边形ABDC的两组对边分别相等，对应平行四边形的判定定理。
【解析】根据作图过程：①以点B为圆心，AC为半径作弧，故BD=AC；②以点C为圆心，AB为半径作弧，与前弧交于D，故CD=AB。在四边形ABDC中，两组对边分别相等（AB=CD，AC=BD），根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，可判定四边形ABDC为平行四边形，对应选项B。
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【点评】本题结合尺规作图考查平行四边形的判定，需从作图中提取线段相等的关系，匹配对应判定定理，属于基础题型，需掌握平行四边形的基本判定方法。
【难度系数】0.6

9.(2024·温州)如图,在四边形ABCD中,AB//CD,AC是对角线,要使四边形ABCD为平行四边形,可添加条件 ()

A.$AD=BC$
B.$∠ACD=∠BAC$
C.$∠BAD+∠D=180°$
D.$AB=CD$

9.D

【分析】
要解决本题，需结合平行四边形的判定定理，逐一分析选项。已知四边形ABCD中AB//CD，需添加条件使其成为平行四边形。平行四边形的核心判定定理包括：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别平行的四边形是平行四边形等。接下来逐个判断选项：
1. 选项A：AD=BC，AB//CD时，该四边形可能是等腰梯形，无法判定为平行四边形；
2. 选项B：∠ACD=∠BAC，由AB//CD可直接推出这组内错角相等，属于已知条件的隐含结论，无额外判定作用；
3. 选项C：∠BAD+∠D=180°，可推出AB//CD（同旁内角互补，两直线平行），但题目已给出AB//CD，仅一组对边平行无法判定为平行四边形；
4. 选项D：AB=CD，结合AB//CD，满足“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可判定ABCD为平行四边形。
【解析】
已知AB//CD，对各选项逐一分析：
A选项：AD=BC，AB//CD时，四边形ABCD可能是等腰梯形，不符合平行四边形判定要求，排除；
B选项：∠ACD=∠BAC，因AB//CD，内错角∠ACD与∠BAC本来就相等，该条件无新增判定价值，排除；
C选项：∠BAD+∠D=180°，可推出AB//CD，但题目已给出该条件，仅一组对边平行无法判定为平行四边形，排除；
D选项：AB=CD，结合AB//CD，根据平行四边形判定定理“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可确定四边形ABCD为平行四边形，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的判定，平行线的性质
【点评】
本题考查平行四边形的判定，需熟练掌握判定定理，注意区分“一组对边平行且相等”与“一组对边平行另一组对边相等”的差异，后者可能为等腰梯形，是易混淆的易错点。
【难度系数】
0.5

10.(2025·嵊州)如图,在平行四边形ABCD中,点E,F分别在边AD,BC上,∠AEB=∠CFD,求证:四边形BEDF是平行四边形。

10.证明:因为四边形ABCD为平行四边形,所以$AB=CD,∠A=∠C,AD=BC$,又因为$∠AEB=∠CFD$,所以$△ABE≌△CDF$,所以$BE=DF,AE=CF$,所以$DE=AD-AE=BC-CF=BF$,所以由$DE=BF,BE=DF$,得四边形 BEDF 是平行四边形。

【分析】要证明四边形BEDF是平行四边形，首先利用平行四边形ABCD的性质得到边和角的对应关系，结合已知∠AEB=∠CFD，通过AAS证明△ABE≌△CDF，进而得到BE=DF和AE=CF；再结合平行四边形对边相等的性质，推出DE=BF，最后依据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”完成证明。
【解析】证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$AB=CD$，$∠A=∠C$，$AD=BC$（平行四边形的对边相等，对角相等）。
在△ABE和△CDF中，
$\{\begin{array}{l}∠A=∠C \\∠AEB=∠CFD \\AB=CD\end{array} $
∴△ABE≌△CDF（AAS）。
∴$BE=DF$，$AE=CF$（全等三角形对应边相等）。
又
∵$AD=BC$，
∴$AD - AE = BC - CF$，即$DE=BF$。
∵$BE=DF$，$DE=BF$，
∴四边形BEDF是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）。
【答案】四边形BEDF是平行四边形。
【知识点】平行四边形的性质、全等三角形的判定、平行四边形的判定
【点评】本题是平行四边形相关的基础证明题，结合全等三角形的知识，考查学生对平行四边形性质与判定定理的掌握和应用，思路清晰，难度适中。
【难度系数】0.6

例7(2025·杭州上城)牛顿曾说：“反证法是数学家最精良的武器之一”，用反证法证明“四边形中至少有一个内角大于或等于$90°$”时，应先假设 （）

A.有一个内角小于$90°$
B.每一个内角都小于$90°$
C.有一个内角小于或等于$90°$
D.每一个内角都大于$90°$

例7 B

【分析】
用反证法证明命题时，第一步需假设原命题的结论不成立，即找出原命题结论的否定。原命题结论是“四边形中至少有一个内角大于或等于90°”，“至少有一个”的否定是“所有都不”，因此其否定为“四边形中每一个内角都小于90°”，据此可确定假设内容。
【解析】
反证法的核心是先假设命题结论的反面成立。原命题“四边形中至少有一个内角大于或等于90°”的结论否定为“四边形中每一个内角都小于90°”，所以应先假设该内容，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
反证法；命题的否定
【点评】
本题考查反证法的基本操作，重点在于掌握“至少有一个”这类表述的否定形式，属于基础概念题，难度较低。
【难度系数】
0.3

11.(2024·诸暨)在用“反证法”证明“在$△ ABC$中,若$AB≠AC$,则$∠B≠∠C$”时,应先假设________。

11.$∠B=∠C$

【分析】
本题考查反证法的应用，反证法的核心步骤是先假设原命题的结论不成立。原命题的结论是“∠B≠∠C”，其反面（否定形式）为“∠B=∠C”，因此需先假设该结论。
【解析】
用反证法证明命题时，第一步要假设命题的结论不成立。本题命题的结论为“∠B≠∠C”，它的否定是“∠B=∠C”，所以应先假设∠B=∠C。
【答案】
∠B=∠C
【知识点】
反证法，命题的否定
【点评】
本题是反证法的基础题型，只需掌握反证法“先假设结论不成立”的基本规则即可解答，属于初中数学的基础考点。
【难度系数】
0.7