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例4(2024·金华金东、婺城)学习了“三角形中位线定理”后，在“在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点”这个前提条件下，某同学得到以下3个结论，其中正确的是（
①若D是AB的中点，DE//BC，则E是AC的中点。
②若D是AB的中点，$DE=\frac{1}{2}BC$，则E是AC的中点。
③若$DE// BC$，$DE=\frac{1}{2}BC$，则D，E分别是AB，AC的中点。
A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
B
）①若D是AB的中点，DE//BC，则E是AC的中点。
②若D是AB的中点，$DE=\frac{1}{2}BC$，则E是AC的中点。
③若$DE// BC$，$DE=\frac{1}{2}BC$，则D，E分别是AB，AC的中点。
A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
答案
例4 B
解析
【分析】
这道题考查三角形中位线定理及其相关推论，需逐个验证三个结论的正确性。核心思路是结合平行线分线段成比例定理、余弦定理的应用，对每个结论的条件和结论逐一推导，必要时通过举反例判断错误结论。
【解析】
我们逐个分析三个结论：
1. 结论①：
已知D是AB中点，故$AD=\frac{1}{2}AB$；又$DE// BC$，根据平行线分线段成比例定理，得$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$。代入$AD=\frac{1}{2}AB$，可得$\frac{AE}{AC}=\frac{1}{2}$，即$AE=\frac{1}{2}AC$，因此E是AC中点，故①正确。
2. 结论②：
举反例验证：设$△ ABC$中，$AB=6$，$AC=4$，$BC=5$，D是AB中点（$AD=3$），E在AC边上。
根据余弦定理，$BC^2=AB^2+AC^2-2· AB· AC·\cos A$，代入得：
$25=36+16-2×6×4×\cos A$，解得$\cos A=\frac{9}{16}$。
对$△ ADE$，$DE=\frac{1}{2}BC=2.5$，由余弦定理得：
$DE^2=AD^2+AE^2-2· AD· AE·\cos A$，代入数值整理得：
$8AE^2-27AE+22=0$，解得$AE=2$或$AE=\frac{11}{8}$。
当$AE=\frac{11}{8}$时，E在AC边上，但$AE≠\frac{1}{2}AC$（$\frac{1}{2}AC=2$），即E不是AC中点，满足条件但结论不成立，故②错误。
3. 结论③：
已知$DE// BC$，根据平行线分线段成比例定理，得$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$；又$DE=\frac{1}{2}BC$，故$\frac{DE}{BC}=\frac{1}{2}$，因此$\frac{AD}{AB}=\frac{1}{2}$，$\frac{AE}{AC}=\frac{1}{2}$，即D、E分别是AB、AC的中点，故③正确。
综上，正确的是①③，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形中位线定理、平行线分线段成比例定理
【点评】
本题考查三角形中位线相关推论的判断，需熟练掌握平行线分线段成比例定理，通过举反例可快速验证错误结论，是基础几何题，侧重对定理适用条件的理解。
【难度系数】
0.5
这道题考查三角形中位线定理及其相关推论，需逐个验证三个结论的正确性。核心思路是结合平行线分线段成比例定理、余弦定理的应用，对每个结论的条件和结论逐一推导，必要时通过举反例判断错误结论。
【解析】
我们逐个分析三个结论：
1. 结论①：
已知D是AB中点，故$AD=\frac{1}{2}AB$；又$DE// BC$，根据平行线分线段成比例定理，得$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$。代入$AD=\frac{1}{2}AB$，可得$\frac{AE}{AC}=\frac{1}{2}$，即$AE=\frac{1}{2}AC$，因此E是AC中点，故①正确。
2. 结论②：
举反例验证：设$△ ABC$中，$AB=6$，$AC=4$，$BC=5$，D是AB中点（$AD=3$），E在AC边上。
根据余弦定理，$BC^2=AB^2+AC^2-2· AB· AC·\cos A$，代入得：
$25=36+16-2×6×4×\cos A$，解得$\cos A=\frac{9}{16}$。
对$△ ADE$，$DE=\frac{1}{2}BC=2.5$，由余弦定理得：
$DE^2=AD^2+AE^2-2· AD· AE·\cos A$，代入数值整理得：
$8AE^2-27AE+22=0$，解得$AE=2$或$AE=\frac{11}{8}$。
当$AE=\frac{11}{8}$时，E在AC边上，但$AE≠\frac{1}{2}AC$（$\frac{1}{2}AC=2$），即E不是AC中点，满足条件但结论不成立，故②错误。
3. 结论③：
已知$DE// BC$，根据平行线分线段成比例定理，得$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$；又$DE=\frac{1}{2}BC$，故$\frac{DE}{BC}=\frac{1}{2}$，因此$\frac{AD}{AB}=\frac{1}{2}$，$\frac{AE}{AC}=\frac{1}{2}$，即D、E分别是AB、AC的中点，故③正确。
综上，正确的是①③，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形中位线定理、平行线分线段成比例定理
【点评】
本题考查三角形中位线相关推论的判断，需熟练掌握平行线分线段成比例定理，通过举反例可快速验证错误结论，是基础几何题，侧重对定理适用条件的理解。
【难度系数】
0.5
5.(2024·诸暨)三角形的三条中位线的长分别为3 cm,4 cm,5 cm,则这个三角形的周长为（
A.6.5 cm
B.24 cm
C.26 cm
D.52 cm
B
）A.6.5 cm
B.24 cm
C.26 cm
D.52 cm
答案
5.B
解析
【分析】解题思路：首先回忆三角形中位线定理，明确中位线与对应第三边的数量关系（中位线长度是第三边的一半）；接着根据已知的中位线长度，计算出原三角形的三条边长；最后将三条边长相加得到三角形的周长，匹配选项得出答案。
【解析】根据三角形中位线定理：三角形的中位线等于对应第三边长度的一半，因此原三角形的三条边长分别为：$2×3 = 6\ \mathrm{cm}$，$2×4 = 8\ \mathrm{cm}$，$2×5 = 10\ \mathrm{cm}$。该三角形的周长为三条边长之和：$6 + 8 + 10 = 24\ \mathrm{cm}$，对应选项B。
【答案】B
【知识点】三角形中位线定理、三角形周长计算
【点评】本题为三角形中位线定理的基础应用题，核心是掌握中位线与第三边的数量关系，计算过程简单，属于基础题型。
【难度系数】0.8
【解析】根据三角形中位线定理：三角形的中位线等于对应第三边长度的一半，因此原三角形的三条边长分别为：$2×3 = 6\ \mathrm{cm}$，$2×4 = 8\ \mathrm{cm}$，$2×5 = 10\ \mathrm{cm}$。该三角形的周长为三条边长之和：$6 + 8 + 10 = 24\ \mathrm{cm}$，对应选项B。
【答案】B
【知识点】三角形中位线定理、三角形周长计算
【点评】本题为三角形中位线定理的基础应用题，核心是掌握中位线与第三边的数量关系，计算过程简单，属于基础题型。
【难度系数】0.8
6.(2025·宁波江北)如图，DE是△ABC的中位线，∠ACB的平分线交DE于点F，若AC=4，BC=8，则DF的长为________。
答案
6.2
解析
【分析】
要解决这道题，首先利用三角形中位线的性质得到DE与BC的位置和数量关系，再结合角平分线的性质、平行线的内错角相等推导出等腰三角形，进而计算DF的长度。
【解析】
∵ DE是△ABC的中位线，
∴ DE//BC，且DE = ½BC，E为AC中点，即EC = ½AC。
已知BC=8，AC=4，
∴ DE = ½×8 = 4，EC = ½×4 = 2。
∵ CF平分∠ACB，
∴ ∠ECF = ∠BCF。
又
∵ DE//BC，
∴ ∠EFC = ∠BCF（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠ECF = ∠EFC，
∴ EF = EC = 2（等角对等边）。
因此DF = DE - EF = 4 - 2 = 2。
【答案】
2
【知识点】
三角形中位线、角平分线性质、等腰三角形判定
【点评】
本题综合考查三角形中位线、角平分线及平行线的性质，核心是通过角平分线与平行线的组合构造等腰三角形，进而求出线段长度，属于基础综合题。
【难度系数】
0.5
要解决这道题，首先利用三角形中位线的性质得到DE与BC的位置和数量关系，再结合角平分线的性质、平行线的内错角相等推导出等腰三角形，进而计算DF的长度。
【解析】
∵ DE是△ABC的中位线，
∴ DE//BC，且DE = ½BC，E为AC中点，即EC = ½AC。
已知BC=8，AC=4，
∴ DE = ½×8 = 4，EC = ½×4 = 2。
∵ CF平分∠ACB，
∴ ∠ECF = ∠BCF。
又
∵ DE//BC，
∴ ∠EFC = ∠BCF（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠ECF = ∠EFC，
∴ EF = EC = 2（等角对等边）。
因此DF = DE - EF = 4 - 2 = 2。
【答案】
2
【知识点】
三角形中位线、角平分线性质、等腰三角形判定
【点评】
本题综合考查三角形中位线、角平分线及平行线的性质，核心是通过角平分线与平行线的组合构造等腰三角形，进而求出线段长度，属于基础综合题。
【难度系数】
0.5
例5(2024·衢州)已知:如图,点 E 在$□ ABCD$的边 AB 的延长线上,连结 EC,且$EC// BD$。求证:$BE=AB$。
答案
例5 证明:在$□ABCD$中,$AB// CD,AB=CD$。因为$EC// BD$,所以四边形 BECD 为平行四边形,所以$BE=CD$,所以$BE=AB$。
解析
【分析】
要证明BE=AB，已知ABCD是平行四边形，根据平行四边形性质可知AB与CD平行且相等，因此只需证明BE=CD即可。结合已知条件EC//BD，可推出四边形BECD的两组对边分别平行，进而判定它是平行四边形，利用平行四边形对边相等的性质就能得到BE=CD，最终结合AB=CD完成证明。
【解析】
在平行四边形ABCD中，根据平行四边形的性质：对边平行且相等，可得AB//CD，AB=CD。
又因为EC//BD，且AB的延长线为BE，所以BE//CD，因此四边形BECD中两组对边分别平行（BD//EC，BE//CD），故四边形BECD是平行四边形。
根据平行四边形的性质：对边相等，可得BE=CD。
结合AB=CD，即可推出BE=AB。
【答案】
证明：在□ABCD中，AB//CD，AB=CD。因为EC//BD，所以四边形BECD为平行四边形，所以BE=CD，所以BE=AB。
【知识点】
平行四边形的性质、平行四边形的判定
【点评】
本题综合考查平行四边形的性质与判定，核心是通过判定四边形BECD为平行四边形，将待证线段BE转化为CD，再利用已知平行四边形ABCD中AB与CD的等量关系完成证明，是平行四边形相关的基础应用题型，思路直接。
【难度系数】
0.5
要证明BE=AB，已知ABCD是平行四边形，根据平行四边形性质可知AB与CD平行且相等，因此只需证明BE=CD即可。结合已知条件EC//BD，可推出四边形BECD的两组对边分别平行，进而判定它是平行四边形，利用平行四边形对边相等的性质就能得到BE=CD，最终结合AB=CD完成证明。
【解析】
在平行四边形ABCD中，根据平行四边形的性质：对边平行且相等，可得AB//CD，AB=CD。
又因为EC//BD，且AB的延长线为BE，所以BE//CD，因此四边形BECD中两组对边分别平行（BD//EC，BE//CD），故四边形BECD是平行四边形。
根据平行四边形的性质：对边相等，可得BE=CD。
结合AB=CD，即可推出BE=AB。
【答案】
证明：在□ABCD中，AB//CD，AB=CD。因为EC//BD，所以四边形BECD为平行四边形，所以BE=CD，所以BE=AB。
【知识点】
平行四边形的性质、平行四边形的判定
【点评】
本题综合考查平行四边形的性质与判定，核心是通过判定四边形BECD为平行四边形，将待证线段BE转化为CD，再利用已知平行四边形ABCD中AB与CD的等量关系完成证明，是平行四边形相关的基础应用题型，思路直接。
【难度系数】
0.5
7.(2024·宁波鄞州)在$□ ABCD$中，$∠ A=5∠ D$，则$∠ B$的度数是 （
A.$20°$
B.$30°$
C.$40°$
D.$150°$
B
）A.$20°$
B.$30°$
C.$40°$
D.$150°$
答案
7.B
解析
【分析】
本题考查平行四边形的性质，解题思路是利用平行四边形邻角互补、对角相等的性质，先通过已知的∠A与∠D的关系求出∠D的度数，再根据对角相等得到∠B的度数。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A与∠D是邻角，根据平行四边形邻角互补的性质，得∠A + ∠D = 180°。
又已知∠A = 5∠D，将其代入上式：
5∠D + ∠D = 180°，即6∠D = 180°，
解得∠D = 30°。
再根据平行四边形对角相等的性质，∠B = ∠D，
∴∠B = 30°。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质
【点评】
本题为基础题，核心考查平行四边形角的性质，解题关键是熟练运用邻角互补、对角相等的性质进行计算，难度较低，适合学生巩固基础知识点。
【难度系数】
0.8
本题考查平行四边形的性质，解题思路是利用平行四边形邻角互补、对角相等的性质，先通过已知的∠A与∠D的关系求出∠D的度数，再根据对角相等得到∠B的度数。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A与∠D是邻角，根据平行四边形邻角互补的性质，得∠A + ∠D = 180°。
又已知∠A = 5∠D，将其代入上式：
5∠D + ∠D = 180°，即6∠D = 180°，
解得∠D = 30°。
再根据平行四边形对角相等的性质，∠B = ∠D，
∴∠B = 30°。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质
【点评】
本题为基础题，核心考查平行四边形角的性质，解题关键是熟练运用邻角互补、对角相等的性质进行计算，难度较低，适合学生巩固基础知识点。
【难度系数】
0.8
8.(2025·台州黄岩)如图,在平行四边形ABCD中,AB=3,BC=5,BE平分∠ABC交AD于点E,则ED=
2
。答案
8.2
解析
【分析】要解决本题，首先利用平行四边形的性质得到边的关系和角的关系，再结合角平分线的定义推出等腰三角形，进而计算线段长度。具体思路：1. 由平行四边形性质得AD//BC且AD=BC，AB=CD；2. 利用平行线内错角相等，结合角平分线定义，得到∠ABE=∠AEB，推出AE=AB；3. 用AD减去AE得到ED。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC=5，
∴∠AEB=∠EBC（两直线平行，内错角相等），
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AE=AB=3，
∴ED=AD - AE=5 - 3=2。
【答案】2
【知识点】平行四边形性质、角平分线性质、等腰三角形判定
【点评】本题是平行四边形与角平分线结合的基础题，核心是通过角的关系构造等腰三角形，进而转化线段长度，考查学生对平行四边形性质和等腰三角形判定的掌握。
【难度系数】0.6
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC=5，
∴∠AEB=∠EBC（两直线平行，内错角相等），
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AE=AB=3，
∴ED=AD - AE=5 - 3=2。
【答案】2
【知识点】平行四边形性质、角平分线性质、等腰三角形判定
【点评】本题是平行四边形与角平分线结合的基础题，核心是通过角的关系构造等腰三角形，进而转化线段长度，考查学生对平行四边形性质和等腰三角形判定的掌握。
【难度系数】0.6
