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8.(2024·嘉兴)如图,在四边形ABCD中,AB//CD。若添加一个条件,使四边形ABCD为平行四边形,则可添加的条件为
$AB=CD$(答案不唯一)
。(不添加任何辅助线,写出一个即可)答案
8.$AB=CD$(答案不唯一)
解析
【分析】首先，题目给出四边形ABCD中AB//CD，要使其成为平行四边形，需回忆平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别平行的四边形是平行四边形等。因此，可添加条件使AB和CD不仅平行还相等，或添加另一组对边平行，即可满足平行四边形的判定条件，这里选择添加AB=CD即可。
【解析】已知AB//CD，根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，当添加条件AB=CD时，AB与CD平行且相等，因此四边形ABCD是平行四边形。（答案不唯一，也可添加AD//BC、∠A=∠C等条件）
【答案】AB=CD（答案不唯一）
【知识点】平行四边形的判定
【点评】本题考查平行四边形的判定，属于基础题型，需熟练掌握平行四边形的判定定理，结合已知条件选择合适的添加条件即可。
【难度系数】0.7
【解析】已知AB//CD，根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，当添加条件AB=CD时，AB与CD平行且相等，因此四边形ABCD是平行四边形。（答案不唯一，也可添加AD//BC、∠A=∠C等条件）
【答案】AB=CD（答案不唯一）
【知识点】平行四边形的判定
【点评】本题考查平行四边形的判定，属于基础题型，需熟练掌握平行四边形的判定定理，结合已知条件选择合适的添加条件即可。
【难度系数】0.7
9.(2025·杭州上城)在平行四边形ABCD中,∠A与∠B的度数之比是1:3,则∠D=
$135°$
。答案
9.$135°$
解析
【分析】
本题需利用平行四边形的性质解题，思路如下：首先，平行四边形的邻角互补，结合∠A与∠B的度数比可求出∠B的度数；其次，平行四边形的对角相等，∠D与∠B是对角，由此可得出∠D的度数。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A + ∠B = 180°（平行四边形邻角互补），且∠D = ∠B（平行四边形对角相等）。
已知∠A:∠B = 1:3，设∠A = x，则∠B = 3x，
代入∠A + ∠B = 180°得：x + 3x = 180°，
解得x = 45°，
∴∠B = 3×45° = 135°，
∴∠D = ∠B = 135°。
【答案】
135°
【知识点】
平行四边形的性质
【点评】
本题是平行四边形性质的基础应用题，主要考查邻角互补和对角相等的性质，解题步骤简单，学生易掌握。
【难度系数】
0.8
本题需利用平行四边形的性质解题，思路如下：首先，平行四边形的邻角互补，结合∠A与∠B的度数比可求出∠B的度数；其次，平行四边形的对角相等，∠D与∠B是对角，由此可得出∠D的度数。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A + ∠B = 180°（平行四边形邻角互补），且∠D = ∠B（平行四边形对角相等）。
已知∠A:∠B = 1:3，设∠A = x，则∠B = 3x，
代入∠A + ∠B = 180°得：x + 3x = 180°，
解得x = 45°，
∴∠B = 3×45° = 135°，
∴∠D = ∠B = 135°。
【答案】
135°
【知识点】
平行四边形的性质
【点评】
本题是平行四边形性质的基础应用题，主要考查邻角互补和对角相等的性质，解题步骤简单，学生易掌握。
【难度系数】
0.8
10.(2025·绍兴柯桥)如图,在$△ ABC$中,$AC=7\ \mathrm{cm}$,$D,E$分别是$AC,BC$的中点,连结$DE$,在$DE$上有一点$F$,$EF=2\ \mathrm{cm}$,连结$AF,CF$,若$AF⊥ CF$,则$AB=\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{cm}$。
答案
10.11
解析
【分析】
要解决本题，需结合直角三角形和三角形中位线的性质：首先，由AF⊥CF可知△AFC是直角三角形，利用直角三角形斜边中线定理可求出DF的长度；再根据D、E是AC、BC的中点，DE是△ABC的中位线，结合EF的长度求出DE，进而得到AB的长度。
【解析】
1. 因为AF⊥CF，所以△AFC为直角三角形，又D是AC的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得：
$DF = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}×7 = 3.5\ \mathrm{cm}$。
2. 已知$EF = 2\ \mathrm{cm}$，所以$DE = DF + EF = 3.5 + 2 = 5.5\ \mathrm{cm}$。
3. 因为D、E分别是AC、BC的中点，根据三角形中位线定理，DE是△ABC的中位线，故$DE = \frac{1}{2}AB$，因此：
$AB = 2×DE = 2×5.5 = 11\ \mathrm{cm}$。
【答案】
11
【知识点】
直角三角形斜边中线定理，三角形中位线定理
【点评】
本题综合考查直角三角形和三角形中位线的性质，解题关键是熟练运用两个定理建立线段间的关系，属于中等难度的几何计算题。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需结合直角三角形和三角形中位线的性质：首先，由AF⊥CF可知△AFC是直角三角形，利用直角三角形斜边中线定理可求出DF的长度；再根据D、E是AC、BC的中点，DE是△ABC的中位线，结合EF的长度求出DE，进而得到AB的长度。
【解析】
1. 因为AF⊥CF，所以△AFC为直角三角形，又D是AC的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得：
$DF = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}×7 = 3.5\ \mathrm{cm}$。
2. 已知$EF = 2\ \mathrm{cm}$，所以$DE = DF + EF = 3.5 + 2 = 5.5\ \mathrm{cm}$。
3. 因为D、E分别是AC、BC的中点，根据三角形中位线定理，DE是△ABC的中位线，故$DE = \frac{1}{2}AB$，因此：
$AB = 2×DE = 2×5.5 = 11\ \mathrm{cm}$。
【答案】
11
【知识点】
直角三角形斜边中线定理，三角形中位线定理
【点评】
本题综合考查直角三角形和三角形中位线的性质，解题关键是熟练运用两个定理建立线段间的关系，属于中等难度的几何计算题。
【难度系数】
0.5
11.(2025·东阳)如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ABC=90°$,$AB=1$,$AC=2$,现将线段$AB$绕点$B$顺时针旋转$α(0°＜α≤180°)$得到线段$BP$,连结$AP$,$PC$,当$∠ PCB=30°$时,$AP$的长为$\underline{\hspace{5cm}}$。
答案
11.$1或\sqrt{3}或2$
解析:如图,令$A'B=AB$,易得$∠A'CB=∠ACB=30°$,且$∠PCB=30°$,所以可知点P在$P_1,P_2,P_3$处。
由图,易得$AP_1=\frac{1}{2}AC=1$,$AP_2=BC=\sqrt{3}$,$AP_3=AA'=2$。
解析
【分析】首先在Rt△ABC中，利用勾股定理计算BC的长度，确定AB旋转后点P的轨迹是以B为圆心、AB长为半径的圆；再根据∠PCB=30°的条件，找出圆上满足该角度的所有点P，分情况计算AP的长度，注意避免漏解。
【解析】在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=1，AC=2，由勾股定理得：BC=√(AC² - AB²)=√(2² -1²)=√3，且∠ACB=30°（直角三角形中30°角对的直角边为斜边的一半，故∠BAC=60°）。
∵线段AB绕点B顺时针旋转α得到BP，
∴BP=AB=1，点P在以B为圆心、1为半径的圆上。
满足∠PCB=30°的点P有3个，对应AP的长分别为：
1. 当P为AC上的P₁时：△ABP₁中，AB=BP₁=1，∠BAP₁=60°，故△ABP₁是等边三角形，AP₁=AB=1；
2. 当P为P₂时：∠ABP₂=120°，由余弦定理得AP₂²=AB² + BP₂² - 2·AB·BP₂·cos120°=1+1 -2×1×1×(-1/2)=3，故AP₂=√3；
3. 当P为P₃（即A'）时：A'B=AB=1，AA'=AB + A'B=2，此时AP₃=AA'=2。
综上，AP的长为1或√3或2。
【答案】1或√3或2
【知识点】旋转的性质，直角三角形的性质，三角形边角关系
【点评】本题结合旋转性质考查直角三角形的计算，需分情况找到满足条件的点P，易漏解，解题时要仔细分析点的位置，利用几何定理计算线段长度。
【难度系数】0.5
【解析】在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=1，AC=2，由勾股定理得：BC=√(AC² - AB²)=√(2² -1²)=√3，且∠ACB=30°（直角三角形中30°角对的直角边为斜边的一半，故∠BAC=60°）。
∵线段AB绕点B顺时针旋转α得到BP，
∴BP=AB=1，点P在以B为圆心、1为半径的圆上。
满足∠PCB=30°的点P有3个，对应AP的长分别为：
1. 当P为AC上的P₁时：△ABP₁中，AB=BP₁=1，∠BAP₁=60°，故△ABP₁是等边三角形，AP₁=AB=1；
2. 当P为P₂时：∠ABP₂=120°，由余弦定理得AP₂²=AB² + BP₂² - 2·AB·BP₂·cos120°=1+1 -2×1×1×(-1/2)=3，故AP₂=√3；
3. 当P为P₃（即A'）时：A'B=AB=1，AA'=AB + A'B=2，此时AP₃=AA'=2。
综上，AP的长为1或√3或2。
【答案】1或√3或2
【知识点】旋转的性质，直角三角形的性质，三角形边角关系
【点评】本题结合旋转性质考查直角三角形的计算，需分情况找到满足条件的点P，易漏解，解题时要仔细分析点的位置，利用几何定理计算线段长度。
【难度系数】0.5
三、解答题
12.(2024·杭州拱墅)如图,在$6×6$的正方形方格纸中(每个最小的正方格的边长为1),中心点为O,$△ ABC$的三个顶点都在格点(小正方形的顶点)上。$△ ABC$与$△ DEF$关于点O中心对称,点A,B,C的对称点分别是点D,$\dot{E}$,F。
(1)画出$△ DEF$。
(2)在点A,B,C,D,E,F中取三个点两两连结,使组成的三角形是等腰三角形。写出你取的三个点,并求这个三角形的面积。
12.(2024·杭州拱墅)如图,在$6×6$的正方形方格纸中(每个最小的正方格的边长为1),中心点为O,$△ ABC$的三个顶点都在格点(小正方形的顶点)上。$△ ABC$与$△ DEF$关于点O中心对称,点A,B,C的对称点分别是点D,$\dot{E}$,F。
(1)画出$△ DEF$。
(2)在点A,B,C,D,E,F中取三个点两两连结,使组成的三角形是等腰三角形。写出你取的三个点,并求这个三角形的面积。
答案
12.解:(1)略 (2)取A,D,F三个点,$S_{△ ADF}=3×4-\frac{1}{2}×4×2-\frac{1}{2}×3×1-\frac{1}{2}×3×1=5$。(答案不唯一)
解析
【分析】
第(1)问，利用中心对称的性质：关于点O中心对称的两个点，连线经过O且被O平分，据此找到A、B、C的对称点D、E、F，顺次连接即可画出△DEF；第(2)问，从六个点中选取三个点，先判断是否为等腰三角形，再用割补法结合方格边长计算三角形面积，选取A、D、F是典型例子，需掌握割补法的应用。
【解析】
(1) 根据中心对称的性质，分别作点A关于O的对称点D，点B关于O的对称点E，点C关于O的对称点F，顺次连接D、E、F，得到△DEF，图略。
(2) 选取点A、D、F组成△ADF，用割补法计算面积：
以A、D、F为顶点构造长为4、宽为3的矩形，矩形面积为$3×4=12$；
减去周围三个直角三角形的面积：
直角边为4和2的三角形面积：$\frac{1}{2}×4×2=4$；
两个直角边为3和1的三角形面积各为$\frac{1}{2}×3×1=1.5$，共$1.5×2=3$；
因此$S_{△ADF}=12 - 4 - 3=5$。（答案不唯一，合理即可）
【答案】
(1) 图略；(2) 示例：取A、D、F三点，面积为5（答案不唯一）
【知识点】
中心对称、等腰三角形、三角形面积计算
【点评】
本题结合方格纸考查中心对称作图、等腰三角形的判定及面积计算，核心是掌握中心对称的性质和割补法求面积，难度适中，属于基础题型。
【难度系数】
0.7
第(1)问，利用中心对称的性质：关于点O中心对称的两个点，连线经过O且被O平分，据此找到A、B、C的对称点D、E、F，顺次连接即可画出△DEF；第(2)问，从六个点中选取三个点，先判断是否为等腰三角形，再用割补法结合方格边长计算三角形面积，选取A、D、F是典型例子，需掌握割补法的应用。
【解析】
(1) 根据中心对称的性质，分别作点A关于O的对称点D，点B关于O的对称点E，点C关于O的对称点F，顺次连接D、E、F，得到△DEF，图略。
(2) 选取点A、D、F组成△ADF，用割补法计算面积：
以A、D、F为顶点构造长为4、宽为3的矩形，矩形面积为$3×4=12$；
减去周围三个直角三角形的面积：
直角边为4和2的三角形面积：$\frac{1}{2}×4×2=4$；
两个直角边为3和1的三角形面积各为$\frac{1}{2}×3×1=1.5$，共$1.5×2=3$；
因此$S_{△ADF}=12 - 4 - 3=5$。（答案不唯一，合理即可）
【答案】
(1) 图略；(2) 示例：取A、D、F三点，面积为5（答案不唯一）
【知识点】
中心对称、等腰三角形、三角形面积计算
【点评】
本题结合方格纸考查中心对称作图、等腰三角形的判定及面积计算，核心是掌握中心对称的性质和割补法求面积，难度适中，属于基础题型。
【难度系数】
0.7
13.(2024·东阳)如图,在$□ ABCD$中,点$E,F$在对角线$BD$上,且$BE=DF$。求证:
(1)$△ ABE≌△ CDF$。
(2)四边形$AECF$是平行四边形。
(1)$△ ABE≌△ CDF$。
(2)四边形$AECF$是平行四边形。
答案
13.证明:(1)如图,连结AC,交BD于点O,因为四边形ABCD为平行四边形,所以$AB// CD$,所以$∠ABD=∠CDB$,又因为$BE=DF$,所以$△ABE≌△CDF(SAS)$。(2)因为$BO=OD,BE=FD$,所以$OE=OF$。又因为$AO=CO$,所以四边形AECF是平行四边形。
解析
【分析】
要解决这道题，需结合平行四边形的性质，利用全等三角形的判定定理和四边形为平行四边形的判定定理来推导。
对于（1），要证△ABE≌△CDF，根据平行四边形对边平行且相等的性质，可得AB=CD，AB//CD，进而得到∠ABE=∠CDF，结合已知BE=DF，用SAS即可证明全等。
对于（2），要证四边形AECF是平行四边形，可利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”这一判定定理，因此连接AC交BD于O，利用平行四边形对角线互相平分得OA=OC、OB=OD，再结合BE=DF推出OE=OF，从而证明对角线互相平分，得出结论。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB=CD，AB//CD，
∴ ∠ABE=∠CDF。
在△ABE和△CDF中，
$\{\begin{array}{l}AB=CD \\∠ABE=∠CDF \\BE=DF\end{array} $
∴ △ABE≌△CDF（SAS）。
(2) 证明：连接AC，交BD于点O，
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ OA=OC，OB=OD。
又
∵ BE=DF，
∴ OB - BE = OD - DF，即OE=OF。
∵ OA=OC，OE=OF，
∴ 四边形AECF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
【答案】
13.证明:(1)如图,连结AC,交BD于点O,因为四边形ABCD为平行四边形,所以$AB// CD$,所以$∠ABD=∠CDB$,又因为$BE=DF$,所以$△ABE≌△CDF(SAS)$。(2)因为$BO=OD,BE=FD$,所以$OE=OF$。又因为$AO=CO$,所以四边形AECF是平行四边形。
【知识点】
平行四边形的性质、全等三角形的判定、平行四边形的判定
【点评】
本题考查平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定，属于几何基础证明题，需熟练掌握相关定理，通过辅助线（连接平行四边形的对角线）简化证明过程，是常见的几何题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，需结合平行四边形的性质，利用全等三角形的判定定理和四边形为平行四边形的判定定理来推导。
对于（1），要证△ABE≌△CDF，根据平行四边形对边平行且相等的性质，可得AB=CD，AB//CD，进而得到∠ABE=∠CDF，结合已知BE=DF，用SAS即可证明全等。
对于（2），要证四边形AECF是平行四边形，可利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”这一判定定理，因此连接AC交BD于O，利用平行四边形对角线互相平分得OA=OC、OB=OD，再结合BE=DF推出OE=OF，从而证明对角线互相平分，得出结论。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB=CD，AB//CD，
∴ ∠ABE=∠CDF。
在△ABE和△CDF中，
$\{\begin{array}{l}AB=CD \\∠ABE=∠CDF \\BE=DF\end{array} $
∴ △ABE≌△CDF（SAS）。
(2) 证明：连接AC，交BD于点O，
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ OA=OC，OB=OD。
又
∵ BE=DF，
∴ OB - BE = OD - DF，即OE=OF。
∵ OA=OC，OE=OF，
∴ 四边形AECF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
【答案】
13.证明:(1)如图,连结AC,交BD于点O,因为四边形ABCD为平行四边形,所以$AB// CD$,所以$∠ABD=∠CDB$,又因为$BE=DF$,所以$△ABE≌△CDF(SAS)$。(2)因为$BO=OD,BE=FD$,所以$OE=OF$。又因为$AO=CO$,所以四边形AECF是平行四边形。
【知识点】
平行四边形的性质、全等三角形的判定、平行四边形的判定
【点评】
本题考查平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定，属于几何基础证明题，需熟练掌握相关定理，通过辅助线（连接平行四边形的对角线）简化证明过程，是常见的几何题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
