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12. 掌旋球(如图)又叫健身球,有木制的、金属制的、玉制的。制作木质的掌旋球需要先把木块截成正方体,再修整成球形。木工王师傅要做几个“掌旋球”把玩,他找来一块长方体红木,正好将其截成3个大小相同的正方体,此时红木的表面积比原来增加了$256\ \mathrm{cm}^2$。原来这块长方体红木的体积是()$\mathrm{cm}^3$。
答案
1536
【解析】把一块长方体红木截成3个大小相同的正方体,
,表面积与原来相比,增加了4个截面的面积,已知表面积增加了256 cm²,所以每个截面的面积是256÷4=64(cm²),8×8=64,即每个小正方体的棱长为8 cm,由此可得原来这块长方体红木的体积是64×(8×3)=1536(cm³)。解析
【分析】要解决这个问题，需先明确长方体截成3个相同正方体时，切割次数与增加面数的关系：截成3个正方体需要截2次，每截1次增加2个截面，因此共增加4个相同的正方形截面。根据增加的表面积算出单个截面面积，进而得到小正方体的棱长，再确定原长方体的长、宽、高，最后利用长方体体积公式计算体积。
【解析】把长方体截成3个大小相同的正方体，需截2次，每截1次增加2个截面，共增加$2×2=4$个截面的面积。
已知表面积增加了$256\ \mathrm{cm}^2$，则每个截面（小正方体的一个面）的面积为：$256÷4=64\ \mathrm{cm}^2$。
因为$8×8=64$，所以小正方体的棱长为$8\ \mathrm{cm}$。
原长方体的长为$8×3=24\ \mathrm{cm}$，宽和高均等于小正方体的棱长$8\ \mathrm{cm}$。
根据长方体体积公式$V=长×宽×高$，可得原长方体体积为：$24×8×8=1536\ \mathrm{cm}^3$。
【答案】1536
【知识点】长方体体积、立体图形切割、正方体表面积
【点评】本题核心是掌握立体图形切割时表面积的变化规律，通过增加的面数求出小正方体棱长，再结合长方体与正方体的关系计算体积，属于几何基础应用题，需理清切割后各部分的尺寸关系。
【难度系数】0.6
【解析】把长方体截成3个大小相同的正方体，需截2次，每截1次增加2个截面，共增加$2×2=4$个截面的面积。
已知表面积增加了$256\ \mathrm{cm}^2$，则每个截面（小正方体的一个面）的面积为：$256÷4=64\ \mathrm{cm}^2$。
因为$8×8=64$，所以小正方体的棱长为$8\ \mathrm{cm}$。
原长方体的长为$8×3=24\ \mathrm{cm}$，宽和高均等于小正方体的棱长$8\ \mathrm{cm}$。
根据长方体体积公式$V=长×宽×高$，可得原长方体体积为：$24×8×8=1536\ \mathrm{cm}^3$。
【答案】1536
【知识点】长方体体积、立体图形切割、正方体表面积
【点评】本题核心是掌握立体图形切割时表面积的变化规律，通过增加的面数求出小正方体棱长，再结合长方体与正方体的关系计算体积，属于几何基础应用题，需理清切割后各部分的尺寸关系。
【难度系数】0.6
13. 某皮影戏剧团20名成员有紧急演出，团队负责人要打电话尽快通知到每名成员（一对一进行传达），每次通话需要1分钟，最少()分钟才能通知到每个人。
答案
5
解析
【分析】这是一道最优通知问题，核心思路是让所有已经接到通知的人员都参与后续的通知，这样每分钟新增的通知人数会呈倍增式增长，从而用最少的时间通知到所有人。我们通过逐步计算每分钟累计通知的人数，找到刚好覆盖20人的最短时间。
【解析】按分钟逐步计算累计通知的人数：
第1分钟：负责人通知1名成员，累计通知1人；
第2分钟：负责人和已通知的1名成员各通知1人，新增2人，累计通知1+2=3人；
第3分钟：已通知的3名成员各通知1人，新增4人，累计通知3+4=7人；
第4分钟：已通知的7名成员各通知1人，新增8人，累计通知7+8=15人；
第5分钟：已通知的15名成员各通知1人，新增16人，累计通知15+16=31人；
因为31＞20，所以最少需要5分钟。
【答案】5
【知识点】最优通知问题、优化思想
【点评】本题考查数学中的优化思想，通过合理安排通知人员（让已通知者参与通知）实现时间最短，是典型的统筹优化类问题，需理解倍增原理在实际问题中的应用。
【难度系数】0.5
【解析】按分钟逐步计算累计通知的人数：
第1分钟：负责人通知1名成员，累计通知1人；
第2分钟：负责人和已通知的1名成员各通知1人，新增2人，累计通知1+2=3人；
第3分钟：已通知的3名成员各通知1人，新增4人，累计通知3+4=7人；
第4分钟：已通知的7名成员各通知1人，新增8人，累计通知7+8=15人；
第5分钟：已通知的15名成员各通知1人，新增16人，累计通知15+16=31人；
因为31＞20，所以最少需要5分钟。
【答案】5
【知识点】最优通知问题、优化思想
【点评】本题考查数学中的优化思想，通过合理安排通知人员（让已通知者参与通知）实现时间最短，是典型的统筹优化类问题，需理解倍增原理在实际问题中的应用。
【难度系数】0.5
14. 有一个正方体魔方,表面涂有颜色,如果其中只有一面涂色的小方块有24个,则这个正方体魔方是()阶魔方,这个魔方两面涂色的小方块有()个。
答案
四 24
【解析】魔方是一个正方体,有6个面,那么平均每个面有24÷6=4(个)一面涂色的小方块,如图(深色部分):
,通过观察可以发现这是一个四阶魔方。四阶魔方每条棱上有2个两面涂色的小方块(浅色部分),一共有12条棱,所以这个魔方两面涂色的小方块有12×2=24(个)。解析
【分析】
要解决这个问题，需先明确n阶魔方中不同涂色小方块的位置与数量规律：①只有一面涂色的小方块位于每个面的中心区域，不与棱接触，每个面的数量为$(n-2)^2$，正方体共6个面，因此总一面涂色数为$6×(n-2)^2$；②两面涂色的小方块位于正方体的棱上（不含顶点），每条棱的数量为$(n-2)$，正方体共12条棱，因此总两面涂色数为$12×(n-2)$。已知一面涂色的小方块共24个，先通过该条件求出魔方的阶数n，再计算两面涂色的小方块数量。
【解析】
1. 求魔方的阶数：
已知一面涂色的小方块共24个，正方体有6个面，因此每个面的一面涂色小方块数量为$24÷6=4$（个）。
根据一面涂色小方块的规律，每个面的数量为$(n-2)^2$，可得方程$(n-2)^2=4$，解得$n-2=2$（n为正整数，舍去负解），故$n=4$，即这个魔方是四阶魔方。
2. 求两面涂色的小方块数量：
两面涂色的小方块在棱上，每条棱的数量为$n-2=4-2=2$（个），正方体共12条棱，因此两面涂色的小方块总数为$12×2=24$（个）。
【答案】
四 24
【知识点】
正方体涂色问题，n阶魔方特征
【点评】
本题考查正方体魔方的涂色规律，核心是掌握不同涂色情况小方块的位置及数量计算方法，结合正方体的面、棱的数量特征即可推导，是常见的空间几何基础题，难度适中。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，需先明确n阶魔方中不同涂色小方块的位置与数量规律：①只有一面涂色的小方块位于每个面的中心区域，不与棱接触，每个面的数量为$(n-2)^2$，正方体共6个面，因此总一面涂色数为$6×(n-2)^2$；②两面涂色的小方块位于正方体的棱上（不含顶点），每条棱的数量为$(n-2)$，正方体共12条棱，因此总两面涂色数为$12×(n-2)$。已知一面涂色的小方块共24个，先通过该条件求出魔方的阶数n，再计算两面涂色的小方块数量。
【解析】
1. 求魔方的阶数：
已知一面涂色的小方块共24个，正方体有6个面，因此每个面的一面涂色小方块数量为$24÷6=4$（个）。
根据一面涂色小方块的规律，每个面的数量为$(n-2)^2$，可得方程$(n-2)^2=4$，解得$n-2=2$（n为正整数，舍去负解），故$n=4$，即这个魔方是四阶魔方。
2. 求两面涂色的小方块数量：
两面涂色的小方块在棱上，每条棱的数量为$n-2=4-2=2$（个），正方体共12条棱，因此两面涂色的小方块总数为$12×2=24$（个）。
【答案】
四 24
【知识点】
正方体涂色问题，n阶魔方特征
【点评】
本题考查正方体魔方的涂色规律，核心是掌握不同涂色情况小方块的位置及数量计算方法，结合正方体的面、棱的数量特征即可推导，是常见的空间几何基础题，难度适中。
【难度系数】
0.5
三、选择。（将正确答案的序号填在括号里）（10分）
15. 辉辉一家准备坐火车去北京旅行，购票时发现：从武汉开往北京的车次用偶数表示，从北京开往武汉的车次用奇数表示。下面的车次中，有()个是开往北京的。
①G68 ②G77 ③G336 ④G522 ⑤G891 ⑥G506 ⑦G1579
A.3
B.4
C.5
D.6
15. 辉辉一家准备坐火车去北京旅行，购票时发现：从武汉开往北京的车次用偶数表示，从北京开往武汉的车次用奇数表示。下面的车次中，有()个是开往北京的。
①G68 ②G77 ③G336 ④G522 ⑤G891 ⑥G506 ⑦G1579
A.3
B.4
C.5
D.6
答案
B
解析
【分析】首先明确题目规则：开往北京的车次编号为偶数，开往武汉的车次编号为奇数。解题时需逐个判断每个车次编号的奇偶性，统计出偶数编号的数量，再匹配对应选项。
【解析】根据奇数、偶数的定义：能被2整除的数是偶数，不能被2整除的数是奇数。逐个分析车次编号：
①G68：68是偶数→开往北京；
②G77：77是奇数→开往武汉；
③G336：336是偶数→开往北京；
④G522：522是偶数→开往北京；
⑤G891：891是奇数→开往武汉；
⑥G506：506是偶数→开往北京；
⑦G1579：1579是奇数→开往武汉；
统计得开往北京的车次共4个，对应选项B。
【答案】B
【知识点】奇数与偶数的认识、奇数和偶数的应用
【点评】本题结合实际场景考查奇数、偶数的判断，属于基础应用类题目，只要掌握奇偶性的判断方法即可轻松解答，难度较低。
【难度系数】0.8
【解析】根据奇数、偶数的定义：能被2整除的数是偶数，不能被2整除的数是奇数。逐个分析车次编号：
①G68：68是偶数→开往北京；
②G77：77是奇数→开往武汉；
③G336：336是偶数→开往北京；
④G522：522是偶数→开往北京；
⑤G891：891是奇数→开往武汉；
⑥G506：506是偶数→开往北京；
⑦G1579：1579是奇数→开往武汉；
统计得开往北京的车次共4个，对应选项B。
【答案】B
【知识点】奇数与偶数的认识、奇数和偶数的应用
【点评】本题结合实际场景考查奇数、偶数的判断，属于基础应用类题目，只要掌握奇偶性的判断方法即可轻松解答，难度较低。
【难度系数】0.8
16. 王奶奶要在一个团扇上绣荷花,她准备了1根1m长的粉色丝线,绣第一片花瓣用去了$\frac{1}{4}$,绣第二片花瓣用去了$\frac{1}{4}$m,两次用去的长度相比,()。
A.第一次长
B.第二次长
C.一样长
D.无法比较
A.第一次长
B.第二次长
C.一样长
D.无法比较
答案
C
解析
【分析】要比较两次用去的丝线长度，需先算出第一次用去的实际长度，再与第二次的具体长度对比。第一次用去的是1米丝线的$\frac{1}{4}$，属于分率，需结合总长转化为具体长度后，再和第二次的$\frac{1}{4}$米比较，不能直接比较分率和具体数量。
【解析】第一次用去的长度：已知丝线总长1m，第一次用去总长的$\frac{1}{4}$，则第一次用去的长度为$1×\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$（m）；第二次用去的长度是$\frac{1}{4}$m，因为$\frac{1}{4}$m = $\frac{1}{4}$m，所以两次用去的长度一样长。
【答案】C
【知识点】分数乘法应用、分数大小比较
【点评】本题核心是区分分率与具体数量，需将分率转化为对应具体长度后再比较，考查对分数意义的基础理解，难度适中。
【难度系数】0.6
【解析】第一次用去的长度：已知丝线总长1m，第一次用去总长的$\frac{1}{4}$，则第一次用去的长度为$1×\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$（m）；第二次用去的长度是$\frac{1}{4}$m，因为$\frac{1}{4}$m = $\frac{1}{4}$m，所以两次用去的长度一样长。
【答案】C
【知识点】分数乘法应用、分数大小比较
【点评】本题核心是区分分率与具体数量，需将分率转化为对应具体长度后再比较，考查对分数意义的基础理解，难度适中。
【难度系数】0.6
17. 热爱京剧的李伯伯去剧院观看京剧表演，他发现男观众的人数占总人数的$\frac{2}{5}$。把$\frac{2}{5}$的分子加上6，要使分数的大小不变，分母应该()。
A.乘3
B.乘4
C.加上3
D.加上6
A.乘3
B.乘4
C.加上3
D.加上6
答案
B
【解析】分数的分子和分母同时乘或除以相同的数(0除外),分数的大小不变。$\frac{2}{5}$的分子加上6后,分子变为2+6=8,即分子扩大到原来的8÷2=4倍,要使分数的大小不变,分母也要扩大到原来的4倍,即分母应该乘4,或加上5×4-5=15。
【解析】分数的分子和分母同时乘或除以相同的数(0除外),分数的大小不变。$\frac{2}{5}$的分子加上6后,分子变为2+6=8,即分子扩大到原来的8÷2=4倍,要使分数的大小不变,分母也要扩大到原来的4倍,即分母应该乘4,或加上5×4-5=15。
解析
【分析】本题考查分数基本性质的应用，解题思路为：先计算原分数分子加上6后的数值，得出分子扩大的倍数，再依据分数基本性质（分子分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数大小不变），确定分母的变化方式，最后匹配选项得出答案。
【解析】根据分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。原分数为$\frac{2}{5}$，分子加上6后，新分子为$2 + 6 = 8$，分子扩大到原来的$8÷2 = 4$倍。要使分数大小不变，分母也应扩大到原来的4倍，即分母应乘4；也可计算分母需增加的数：原分母5扩大4倍为$5×4 = 20$，故分母应加$20 - 5 = 15$，对应选项中只有B符合。
【答案】B
【知识点】分数的基本性质
【点评】本题是分数基本性质的基础应用，只要掌握分数基本性质的核心内容，通过分析分子的变化倍数即可推导分母的变化，属于易得分的基础题。
【难度系数】0.7
【解析】根据分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。原分数为$\frac{2}{5}$，分子加上6后，新分子为$2 + 6 = 8$，分子扩大到原来的$8÷2 = 4$倍。要使分数大小不变，分母也应扩大到原来的4倍，即分母应乘4；也可计算分母需增加的数：原分母5扩大4倍为$5×4 = 20$，故分母应加$20 - 5 = 15$，对应选项中只有B符合。
【答案】B
【知识点】分数的基本性质
【点评】本题是分数基本性质的基础应用，只要掌握分数基本性质的核心内容，通过分析分子的变化倍数即可推导分母的变化，属于易得分的基础题。
【难度系数】0.7
18. 右图是无人机在空中拍到的海洋馆中海豚表演的表演台(图形上的数字表示在这个位置上所用的小正方体的个数),乐乐坐在表演台的正前方,他看到的表演台的形状是()。
A.
B. C. D.
A.
B. C. D.答案
D
解析
【分析】要确定乐乐从正前方看到的表演台形状，本质是求该立体图形的主视图。解题思路：先明确观察者位置为正前方，对应立体图形的正面投影方向；再分析正面方向的列数，以及每一列上小正方体的最大层数（高度）；最后对比选项，选出符合该特征的图形。
【解析】从正前方观察由小正方体组成的表演台，得到的主视图需体现各列的最大高度：该立体图形正面方向分为左、中、右三列，左列小正方体最大层数为2，中列最大层数为1，右列最大层数为3，符合这一特征的是选项D的图形。
【答案】D
【知识点】三视图（主视图）
【点评】本题考查三视图中主视图的判断，核心是掌握从正面观察立体图形时，各列高度取该列小正方体的最大个数，属于基础几何视图题，难度适中。
【难度系数】0.6
【解析】从正前方观察由小正方体组成的表演台，得到的主视图需体现各列的最大高度：该立体图形正面方向分为左、中、右三列，左列小正方体最大层数为2，中列最大层数为1，右列最大层数为3，符合这一特征的是选项D的图形。
【答案】D
【知识点】三视图（主视图）
【点评】本题考查三视图中主视图的判断，核心是掌握从正面观察立体图形时，各列高度取该列小正方体的最大个数，属于基础几何视图题，难度适中。
【难度系数】0.6
19. 右图是“商鞅变法”的重要物证商鞅方升(如图)，它就是“度量衡”中的“量”，用来测量容积大小。它通长18.7 cm，内口长12.5 cm，宽7 cm，高2.3 cm，容积便是商鞅规定的“一升”。算一算，商鞅规定的“一升”大约相当于现在的()L。
A.0.2
B.1.5
C.0.6
D.2.3
A.0.2
B.1.5
C.0.6
D.2.3
答案
A
解析
【分析】要解决这个问题，需先利用长方体容积公式计算商鞅方升的容积，再将容积单位换算为升，最后对比选项得出答案。具体步骤：1. 明确方升内部为长方体，容积计算用“长×宽×高”；2. 代入内部尺寸计算容积（单位：立方厘米）；3. 进行单位换算（1立方厘米=1毫升，1升=1000毫升）；4. 对比选项选出结果。
【解析】长方体容积公式为：容积=长×宽×高。
代入数据：内口长12.5cm，宽7cm，高2.3cm，
则容积=12.5×7×2.3=87.5×2.3=201.25（立方厘米）。
因为1立方厘米=1毫升，所以201.25立方厘米=201.25毫升。
又因为1升=1000毫升，所以201.25毫升=201.25÷1000=0.20125升≈0.2升，对应选项A。
【答案】A
【知识点】长方体容积计算、体积单位换算
【点评】本题结合历史文物“商鞅方升”考查数学中的容积计算与单位换算，题目计算步骤简单，注重知识的实际应用，难度较低。
【难度系数】0.7
【解析】长方体容积公式为：容积=长×宽×高。
代入数据：内口长12.5cm，宽7cm，高2.3cm，
则容积=12.5×7×2.3=87.5×2.3=201.25（立方厘米）。
因为1立方厘米=1毫升，所以201.25立方厘米=201.25毫升。
又因为1升=1000毫升，所以201.25毫升=201.25÷1000=0.20125升≈0.2升，对应选项A。
【答案】A
【知识点】长方体容积计算、体积单位换算
【点评】本题结合历史文物“商鞅方升”考查数学中的容积计算与单位换算，题目计算步骤简单，注重知识的实际应用，难度较低。
【难度系数】0.7
20. 端午节将至,张奶奶先用一张红纸的$\frac{1}{4}$剪了“龙舟”,又用这张红纸的$\frac{1}{6}$剪了“粽子”。如图,选择()作为测量单位,正好能测量出共用去几个这样的单位。
A.红纸的$\frac{1}{4}$
B.红纸的$\frac{1}{6}$
C.红纸的$\frac{1}{10}$
D.红纸的$\frac{1}{12}$
A.红纸的$\frac{1}{4}$
B.红纸的$\frac{1}{6}$
C.红纸的$\frac{1}{10}$
D.红纸的$\frac{1}{12}$
答案
D
解析
【分析】要找到能正好测量出共用去几个单位的测量单位，需使该单位能同时表示$\frac{1}{4}$和$\frac{1}{6}$，即该单位对应的分母是4和6的公倍数，因此先求4和6的最小公倍数，再将两个分数通分，转化为以该公倍数为分母的分数，即可确定测量单位。
【解析】1. 求4和6的最小公倍数：4的倍数有4、8、12、16…，6的倍数有6、12、18…，最小公倍数为12。2. 将$\frac{1}{4}$和$\frac{1}{6}$通分：$\frac{1}{4}=\frac{3}{12}$，$\frac{1}{6}=\frac{2}{12}$，此时两个分数的分数单位均为$\frac{1}{12}$，说明用$\frac{1}{12}$作为测量单位，正好能测量出共用去$3+2=5$个这样的单位。因此答案选D。
【答案】D
【知识点】分数通分、最小公倍数应用
【点评】本题结合实际场景考查分数通分与最小公倍数的应用，核心是理解测量单位需为两个分数的公共分数单位，属于基础应用题型。
【难度系数】0.5
【解析】1. 求4和6的最小公倍数：4的倍数有4、8、12、16…，6的倍数有6、12、18…，最小公倍数为12。2. 将$\frac{1}{4}$和$\frac{1}{6}$通分：$\frac{1}{4}=\frac{3}{12}$，$\frac{1}{6}=\frac{2}{12}$，此时两个分数的分数单位均为$\frac{1}{12}$，说明用$\frac{1}{12}$作为测量单位，正好能测量出共用去$3+2=5$个这样的单位。因此答案选D。
【答案】D
【知识点】分数通分、最小公倍数应用
【点评】本题结合实际场景考查分数通分与最小公倍数的应用，核心是理解测量单位需为两个分数的公共分数单位，属于基础应用题型。
【难度系数】0.5
