3.综合与实践。
主题:研究矩形背景下的一类折叠问题,且折痕过矩形的其中一个顶点。
已知在矩形ABCD中,AD=2AB,E是AD上一点(不与点D重合),△CDE沿CE折叠,点D的对应点G落在矩形内或矩形的边上。
【特殊位置研究】
(1)如图1,若点G恰好落在线段BE上,试求∠DCE的度数。
【一般路径探索】
(2)如图2,已知AB=2,联结AG,试求AG的最小值。
【图形拓展深化】
(3)在(2)的条件下,联结BG,若△ABG是等腰三角形,试求DE的长。

(1)解:因为四边形ABCD是矩形,所以$AD// BC,AD=BC$,$∠ A=∠ D=∠ BCD=90°$, 所以 $∠ AEB=∠ CBE,∠ DEC=∠ BCE$。由折叠的性质,得$∠ DEC=∠ GEC$,所以$∠ ECB=∠ CEB$,所以$BE=BC$。在$\mathrm{Rt}△ ABE$中,$∠ A=90°$,$AD=2AB=BC=BE$,所以$∠ AEB=30°$,所以$∠ DEC=∠ BEC=\frac{180°-30°}{2}=75°$,所以$∠ DCE=90°-75°=15°$。
(2)解:如图1,联结AC。由折叠的性质,得$CD=CG$。因为$AG≥ AC-CG$,所以当A,G,C三点共线时,AG最小(如图2)。因为$AD=2AB,AB=2$,所以$AD=BC=4,CD=CG=2$,所以由勾股定理,得$AC=\sqrt{CD^2+AD^2}=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$,所以$AG=AC-CG=2\sqrt{5}-2$,即AG的最小值为$2\sqrt{5}-2$。


(3)解:若$△ ABG$是等腰三角形,有三种情况:$AB=AG$或$AG=BG$或$AB=BG$。①若$AB=AG=2$,因为由(2)知AG的最小值为$2\sqrt{5}-2＞2$,所以该种情况不成立。②若$AG=BG$,如图3,MN垂直平分AB,CD,所以$CD=2CN$,所以$CG=2CN$,所以$∠ NGC=30°$,所以$∠ GCN=60°$,所以$∠ DCE=\frac{1}{2}∠ GCN=30°$,所以$CE=2DE$,而$CD=AB=2$,所以由勾股定理,得$DE^2+CD^2=CE^2$,即$DE^2+2^2=(2DE)^2$,解得$DE=\frac{2\sqrt{3}}{3}$。③若$AB=BG=2$,而$CD=CG=2$,所以$BG=CG$,$BG+CG=4$。因为$AD=2AB=4,BC=AD$,所以$BG+CG=BC$,所以点G落在BC上(如图4),所以$∠ DCG=90°$,所以$∠ DCE=45°$,且$∠ ADC=90°$,所以$△ DCE$是等腰直角三角形,故$DE=CD=2$。综上所述,当$△ ABG$是等腰三角形时,DE的长为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$或2。