1.综合与实践。
【问题情境】
第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1 700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”。如图1,在综合实践课上,同学们绘制了“弦图”并进行探究,获得了以下结论:该图是由四个全等的直角三角形($△ DAE,△ ABF,△ BCG,△ CDH$)和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD,且$∠ ABF＞∠ BAF$。
【特殊化探究】
联结BH。设$BF=a,AF=b$。
“运河小组”从线段长度的特殊化提出问题:
(1)若$AB=5,FG=1$,求$△ ABF$的面积。
“武林小组”从$a$与$b$关系的特殊化提出问题:
(2)若$b=2a$,求证:$∠ BAE=∠ BHE$。
【深入探究】
老师进一步提出问题:
(3)如图2,联结$BE$,延长$FA$到点$I$,使$AI=AB$,作矩形$BFIJ$。设矩形$BFIJ$的面积为$S_1$,正方形$ABCD$的面积为$S_2$。若$BE$平分$∠ ABF$,求证:$S_1=S_2$。
请你解答这三个问题。

1.(1)解:因为BF=a,则BG=a+1。因为△ABF≌△BCG,所以AF=BG=a+1。因为AB=5,所以在Rt△ABF中,BF²+AF²=AB²,即a²+(a+1)²=25,解得a=3,或a=-4(舍去),所以BF=3,AF=4,所以$S_{△ABF}=\frac{1}{2}BF·AF=6$。
(2)证明:因为b=2a,所以AF=2BF=2AE,所以AE=EF。因为四边形EFGH是正方形,所以HG=HE=EF=GF=BF。因为AF=BG,∠AFB=∠HGB=90°,所以△HGB≌△BFA(SAS),所以∠GBH=∠FAB。因为DE//BG,所以∠BHE=∠GBH,所以∠BAE=∠BHE。
(3)证明:设DH=CG=BF=AE=a,正方形EFGH的边长为b,AI=AB=AD=c。如图,过点E分别作AB,AD的垂线,垂足分别为M,N,则S₁=a(a+b+c)=a(a+b)+ac=AD·EN+ac。因为BE平分∠ABF,所以∠FBE=∠MBE。因为∠BME=∠BFE=90°,BE=BE,所以△BEF≌△BEM(AAS),所以BM=BF=a,所以EN=AM=c-a,所以S₁=AD·EN+ac=c(c-a)+ac=c²=S₂,所以S₁=S₂。