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1. (2025·江阴期末)化简$a\sqrt{-2a}·\sqrt{-8a}$的结果是()
A.$-4a$
B.$4a$
C.$-4a^{2}$
D.$4a^{2}$
A.$-4a$
B.$4a$
C.$-4a^{2}$
D.$4a^{2}$
答案
1. 首先，根据二次根式有意义的条件：
对于$\sqrt{-2a}$和$\sqrt{-8a}$，有$-2a≥0$且$-8a≥0$，所以$a≤0$。
2. 然后，根据二次根式的乘法法则$\sqrt{m}·\sqrt{n}=\sqrt{mn}(m≥0,n≥0)$：
$a\sqrt{-2a}·\sqrt{-8a}=a\sqrt{(-2a)·(-8a)}$。
计算$(-2a)·(-8a)=16a^{2}$，则原式$=a\sqrt{16a^{2}}$。
因为$a≤0$，根据$\sqrt{x^{2}}=\vert x\vert=\begin{cases}x(x≥0)\\ -x(x＜0)\end{cases}$，所以$\sqrt{16a^{2}}=\vert4a\vert=-4a$（因为$a≤0$）。
那么$a\sqrt{16a^{2}}=a·(-4a)$。
根据单项式乘单项式法则$m· n = mn$（$m = a$，$n=-4a$），$a·(-4a)=-4a^{2}$。
所以$a\sqrt{-2a}·\sqrt{-8a}$化简的结果是$-4a^{2}$，答案是C。
对于$\sqrt{-2a}$和$\sqrt{-8a}$，有$-2a≥0$且$-8a≥0$，所以$a≤0$。
2. 然后，根据二次根式的乘法法则$\sqrt{m}·\sqrt{n}=\sqrt{mn}(m≥0,n≥0)$：
$a\sqrt{-2a}·\sqrt{-8a}=a\sqrt{(-2a)·(-8a)}$。
计算$(-2a)·(-8a)=16a^{2}$，则原式$=a\sqrt{16a^{2}}$。
因为$a≤0$，根据$\sqrt{x^{2}}=\vert x\vert=\begin{cases}x(x≥0)\\ -x(x＜0)\end{cases}$，所以$\sqrt{16a^{2}}=\vert4a\vert=-4a$（因为$a≤0$）。
那么$a\sqrt{16a^{2}}=a·(-4a)$。
根据单项式乘单项式法则$m· n = mn$（$m = a$，$n=-4a$），$a·(-4a)=-4a^{2}$。
所以$a\sqrt{-2a}·\sqrt{-8a}$化简的结果是$-4a^{2}$，答案是C。
2. (2025·天津)计算$(\sqrt{61}+1)(\sqrt{61}-1)$的结果为.
答案
60（这里题目没说是选择题，按照要求应直接填结果数值）
解析
本题可根据平方差公式$(a + b)(a - b)=a^2 - b^2$来计算$(\sqrt{61}+1)(\sqrt{61}-1)$的值，其中$a = \sqrt{61}$，$b = 1$。
将$a = \sqrt{61}$，$b = 1$代入平方差公式可得：
$(\sqrt{61}+1)(\sqrt{61}-1)=(\sqrt{61})^2 - 1^2$
根据二次根式的性质$(\sqrt{a})^2=a$（$a≥0$），可得$(\sqrt{61})^2 = 61$，$1^2 = 1$，则：
$(\sqrt{61})^2 - 1^2=61 - 1 = 60$
将$a = \sqrt{61}$，$b = 1$代入平方差公式可得：
$(\sqrt{61}+1)(\sqrt{61}-1)=(\sqrt{61})^2 - 1^2$
根据二次根式的性质$(\sqrt{a})^2=a$（$a≥0$），可得$(\sqrt{61})^2 = 61$，$1^2 = 1$，则：
$(\sqrt{61})^2 - 1^2=61 - 1 = 60$
3. 化简：
(1)$\sqrt{96}$；
(2)$\sqrt{x^{2}(b-c)^{4}}(x≥0)$；
(3)$\sqrt{25^{2}-25}$；
(4)$\sqrt{x^{4}+x^{2}}(x≥0)$；
(5)$\sqrt{16x^{3}+8x^{2}y}(x≥0,y＞0)$；
(6)$\sqrt{x^{3}-2x^{2}y+xy^{2}}(x≥0,x-y≥0)$.
(1)$\sqrt{96}$；
(2)$\sqrt{x^{2}(b-c)^{4}}(x≥0)$；
(3)$\sqrt{25^{2}-25}$；
(4)$\sqrt{x^{4}+x^{2}}(x≥0)$；
(5)$\sqrt{16x^{3}+8x^{2}y}(x≥0,y＞0)$；
(6)$\sqrt{x^{3}-2x^{2}y+xy^{2}}(x≥0,x-y≥0)$.
答案
(1)
$\begin{aligned}&\sqrt{96}\\=&\sqrt{16×6}\\=&4\sqrt{6}\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}&\sqrt{x^{2}(b - c)^{4}}\\=&x(b - c)^{2}\end{aligned}$
(3)
$\begin{aligned}&\sqrt{25^{2}-25}\\=&\sqrt{25×(25 - 1)}\\=&\sqrt{25×24}\\=&\sqrt{25×4×6}\\=&5×2\sqrt{6}\\=&10\sqrt{6}\end{aligned}$
(4)
$\begin{aligned}&\sqrt{x^{4}+x^{2}}\\=&\sqrt{x^{2}(x^{2}+1)}\\=&x\sqrt{x^{2}+1}\end{aligned}$
(5)
$\begin{aligned}&\sqrt{16x^{3}+8x^{2}y}\\=&\sqrt{4x^{2}(4x + 2y)}\\=&2x\sqrt{4x + 2y}\\=&2x\sqrt{2(2x + y)}\\=&2\sqrt{2}x\sqrt{2x + y}\end{aligned}$
(6)
$\begin{aligned}&\sqrt{x^{3}-2x^{2}y+xy^{2}}\\=&\sqrt{x(x^{2}-2xy + y^{2})}\\=&\sqrt{x(x - y)^{2}}\\=&(x - y)\sqrt{x}\end{aligned}$
$\begin{aligned}&\sqrt{96}\\=&\sqrt{16×6}\\=&4\sqrt{6}\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}&\sqrt{x^{2}(b - c)^{4}}\\=&x(b - c)^{2}\end{aligned}$
(3)
$\begin{aligned}&\sqrt{25^{2}-25}\\=&\sqrt{25×(25 - 1)}\\=&\sqrt{25×24}\\=&\sqrt{25×4×6}\\=&5×2\sqrt{6}\\=&10\sqrt{6}\end{aligned}$
(4)
$\begin{aligned}&\sqrt{x^{4}+x^{2}}\\=&\sqrt{x^{2}(x^{2}+1)}\\=&x\sqrt{x^{2}+1}\end{aligned}$
(5)
$\begin{aligned}&\sqrt{16x^{3}+8x^{2}y}\\=&\sqrt{4x^{2}(4x + 2y)}\\=&2x\sqrt{4x + 2y}\\=&2x\sqrt{2(2x + y)}\\=&2\sqrt{2}x\sqrt{2x + y}\end{aligned}$
(6)
$\begin{aligned}&\sqrt{x^{3}-2x^{2}y+xy^{2}}\\=&\sqrt{x(x^{2}-2xy + y^{2})}\\=&\sqrt{x(x - y)^{2}}\\=&(x - y)\sqrt{x}\end{aligned}$
4. 计算：
(1)$\sqrt{8}×\sqrt{24}$；
(2)$2\sqrt{\frac{3}{4}}×(-\sqrt{12})$；
(3)$\sqrt{27xy}·\sqrt{y}$；
(4)$\sqrt{18m^{3}n}×\sqrt{12n^{3}}$.
(1)$\sqrt{8}×\sqrt{24}$；
(2)$2\sqrt{\frac{3}{4}}×(-\sqrt{12})$；
(3)$\sqrt{27xy}·\sqrt{y}$；
(4)$\sqrt{18m^{3}n}×\sqrt{12n^{3}}$.
答案
(1)
$\sqrt{8} × \sqrt{24}$
$=\sqrt{8 × 24}$
$=\sqrt{192}$
$=\sqrt{64 × 3}$
$=8\sqrt{3}$
(2)
$2\sqrt{\frac{3}{4}} × (-\sqrt{12})$
$=2 × (-\sqrt{\frac{3}{4} × 12})$
$=-2\sqrt{9}$
$=-2 × 3$
$=-6$
(3)
$\sqrt{27xy} · \sqrt{y}$
$=\sqrt{27xy · y}$
$=\sqrt{27y^{2}x}$
$=\sqrt{9y^{2} · 3x}$
$=3y\sqrt{3x}$
(4)
$\sqrt{18m^{3}n} × \sqrt{12n^{3}}$
$=\sqrt{18m^{3}n × 12n^{3}}$
$=\sqrt{216m^{3}n^{4}}$
$=\sqrt{36 × 6m^{2}n^{4} · m}$
$=6mn^{2}\sqrt{6m}$
$\sqrt{8} × \sqrt{24}$
$=\sqrt{8 × 24}$
$=\sqrt{192}$
$=\sqrt{64 × 3}$
$=8\sqrt{3}$
(2)
$2\sqrt{\frac{3}{4}} × (-\sqrt{12})$
$=2 × (-\sqrt{\frac{3}{4} × 12})$
$=-2\sqrt{9}$
$=-2 × 3$
$=-6$
(3)
$\sqrt{27xy} · \sqrt{y}$
$=\sqrt{27xy · y}$
$=\sqrt{27y^{2}x}$
$=\sqrt{9y^{2} · 3x}$
$=3y\sqrt{3x}$
(4)
$\sqrt{18m^{3}n} × \sqrt{12n^{3}}$
$=\sqrt{18m^{3}n × 12n^{3}}$
$=\sqrt{216m^{3}n^{4}}$
$=\sqrt{36 × 6m^{2}n^{4} · m}$
$=6mn^{2}\sqrt{6m}$
5. 已知$m=(-\frac{\sqrt{3}}{3})×(-2\sqrt{21})$，则有()
A.$5＜m＜6$
B.$4＜m＜5$
C.$-5＜m＜-4$
D.$-6＜m＜-5$
A.$5＜m＜6$
B.$4＜m＜5$
C.$-5＜m＜-4$
D.$-6＜m＜-5$
答案
A
解析
首先计算$m$的值。
$m = ( - \frac{\sqrt{3}}{3} ) × ( - 2\sqrt{21} )$
$= \frac{\sqrt{3}}{3} × 2\sqrt{21}$
$= \frac{2\sqrt{3 × 21}}{3}$
$= \frac{2\sqrt{63}}{3}$
由于$63 = 9 × 7$，所以：
$= \frac{2 × 3\sqrt{7}}{3}$
$= 2\sqrt{7}$
因为$ \sqrt{7}\approx 2.6458$，所以：
$2\sqrt{7} \approx 2 × 2.6458 = 5.2916$，
由此可得，$5 ＜ m ＜ 6$。
$m = ( - \frac{\sqrt{3}}{3} ) × ( - 2\sqrt{21} )$
$= \frac{\sqrt{3}}{3} × 2\sqrt{21}$
$= \frac{2\sqrt{3 × 21}}{3}$
$= \frac{2\sqrt{63}}{3}$
由于$63 = 9 × 7$，所以：
$= \frac{2 × 3\sqrt{7}}{3}$
$= 2\sqrt{7}$
因为$ \sqrt{7}\approx 2.6458$，所以：
$2\sqrt{7} \approx 2 × 2.6458 = 5.2916$，
由此可得，$5 ＜ m ＜ 6$。
6. 将一组数$\sqrt{2},2,\sqrt{6},2\sqrt{2},\sqrt{10},2\sqrt{3},···,\sqrt{2n},···$，按如图方式进行排列，则第8行左起第1个数是()
A.$7\sqrt{2}$
B.$8\sqrt{2}$
C.$\sqrt{58}$
D.$4\sqrt{7}$
A.$7\sqrt{2}$
B.$8\sqrt{2}$
C.$\sqrt{58}$
D.$4\sqrt{7}$
答案
C
解析
该组数的第k个数为√(2k)。观察排列规律，第m行有m个数。前7行共有1+2+3+4+5+6+7=28个数，故第8行左起第1个数是第29个数。当k=29时，√(2×29)=√58。
7. 计算$(\sqrt{5}-2)(2+\sqrt{5})^{2}$的结果是.
答案
$\sqrt{5}+2$（由于题目要求填特定格式，这里如果是填空题横线处应填$\sqrt{5}+2$）
解析
本题可先根据平方差公式$(a - b)(a + b)=a^2 - b^2$的变形对$(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)$进行计算，再将$(\sqrt{5} + 2)^2$展开与前面计算结果相乘。
步骤一：计算$(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)$的值
根据平方差公式$(a - b)(a + b)=a^2 - b^2$，在$(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)$中$a = \sqrt{5}$，$b = 2$，则：
$(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)=(\sqrt{5})^2 - 2^2=5 - 4 = 1$
步骤二：将原式变形并计算结果
原式$(\sqrt{5}-2)(2+\sqrt{5})^{2}=(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}+2)$
把$(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)=1$代入上式可得：
$1×(\sqrt{5}+2)=\sqrt{5}+2$
步骤一：计算$(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)$的值
根据平方差公式$(a - b)(a + b)=a^2 - b^2$，在$(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)$中$a = \sqrt{5}$，$b = 2$，则：
$(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)=(\sqrt{5})^2 - 2^2=5 - 4 = 1$
步骤二：将原式变形并计算结果
原式$(\sqrt{5}-2)(2+\sqrt{5})^{2}=(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}+2)$
把$(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)=1$代入上式可得：
$1×(\sqrt{5}+2)=\sqrt{5}+2$
