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8. 已知矩形的一边长为$3\sqrt{2}$，其对角线长为$4\sqrt{3}$，则该矩形的面积为.
答案
$6\sqrt{15}$
解析
设矩形的一边长为$a = 3\sqrt{2}$，对角线长为$c = 4\sqrt{3}$，另一边长为$b$。
根据勾股定理，$a^{2} + b^{2} = c^{2}$，则$b^{2} = c^{2} - a^{2}$，把$a = 3\sqrt{2}$，$c = 4\sqrt{3}$代入可得：
$b^{2}=(4\sqrt{3})^{2}-(3\sqrt{2})^{2}=48 - 18 = 30$，所以$b=\sqrt{30}$。
矩形面积$S = a× b=3\sqrt{2}×\sqrt{30}=3\sqrt{60}=6\sqrt{15}$（或根据$S = a×\sqrt{c^{2}-a^{2}} = 3\sqrt{2}×\sqrt{48 - 18}=3\sqrt{2×30}=6\sqrt{15}$）。
根据勾股定理，$a^{2} + b^{2} = c^{2}$，则$b^{2} = c^{2} - a^{2}$，把$a = 3\sqrt{2}$，$c = 4\sqrt{3}$代入可得：
$b^{2}=(4\sqrt{3})^{2}-(3\sqrt{2})^{2}=48 - 18 = 30$，所以$b=\sqrt{30}$。
矩形面积$S = a× b=3\sqrt{2}×\sqrt{30}=3\sqrt{60}=6\sqrt{15}$（或根据$S = a×\sqrt{c^{2}-a^{2}} = 3\sqrt{2}×\sqrt{48 - 18}=3\sqrt{2×30}=6\sqrt{15}$）。
9. 计算：
(1)$-2\sqrt{15}×4\sqrt{6}$；
(2)$-8\sqrt{35}×(-\frac{1}{4}\sqrt{1\frac{3}{7}})$；
(3)$\sqrt{1\frac{3}{5}}×2\sqrt{3}×(-\frac{1}{2}\sqrt{10})$；
(4)$\sqrt{18mn}·\sqrt{2m^{2}n^{4}}(m≥0,n≥0)$；
(5)$\sqrt{\frac{3}{4}}×\sqrt{56}×(-3\sqrt{2\frac{2}{3}})$；
(6)$\sqrt{16ab}·\sqrt{a^{3}-2a^{2}b+ab^{2}}(a＞b＞0)$.
(1)$-2\sqrt{15}×4\sqrt{6}$；
(2)$-8\sqrt{35}×(-\frac{1}{4}\sqrt{1\frac{3}{7}})$；
(3)$\sqrt{1\frac{3}{5}}×2\sqrt{3}×(-\frac{1}{2}\sqrt{10})$；
(4)$\sqrt{18mn}·\sqrt{2m^{2}n^{4}}(m≥0,n≥0)$；
(5)$\sqrt{\frac{3}{4}}×\sqrt{56}×(-3\sqrt{2\frac{2}{3}})$；
(6)$\sqrt{16ab}·\sqrt{a^{3}-2a^{2}b+ab^{2}}(a＞b＞0)$.
答案
(2)
$-8\sqrt{35} × ( -\frac{1}{4} \sqrt{1\frac{3}{7}} )$
$=-8\sqrt{35} × ( -\frac{1}{4} \sqrt{\frac{10}{7}} )$
$= 2 \sqrt{35 × \frac{10}{7}}$
$=2 \sqrt{50} $
$= 2 × 5\sqrt{2} $
$= 10\sqrt{2}$
(1)$-32\sqrt{10}$；
(3)$-3\sqrt{100} = -30$；
(4)$6m^{2}n^{2}\sqrt{n}$；
(5)$-12\sqrt{3} $；
(6)$4b(a - b) \sqrt{a}$；
$-8\sqrt{35} × ( -\frac{1}{4} \sqrt{1\frac{3}{7}} )$
$=-8\sqrt{35} × ( -\frac{1}{4} \sqrt{\frac{10}{7}} )$
$= 2 \sqrt{35 × \frac{10}{7}}$
$=2 \sqrt{50} $
$= 2 × 5\sqrt{2} $
$= 10\sqrt{2}$
(1)$-32\sqrt{10}$；
(3)$-3\sqrt{100} = -30$；
(4)$6m^{2}n^{2}\sqrt{n}$；
(5)$-12\sqrt{3} $；
(6)$4b(a - b) \sqrt{a}$；
10. (2025·宿豫期末)在$△ ABC$中，$∠ C=90^{\circ}$，$AC=\sqrt{10}\,\mathrm{cm}$，$AB=\sqrt{42}\,\mathrm{cm}$.求$△ ABC$的面积.
答案
$4\sqrt{5}\,\mathrm{cm}^2$
解析
在$△ABC$中，$∠C=90^{\circ}$，根据勾股定理$AC^2 + BC^2 = AB^2$。
已知$AC=\sqrt{10}\,\mathrm{cm}$，$AB=\sqrt{42}\,\mathrm{cm}$，则：
$BC^2 = AB^2 - AC^2 = (\sqrt{42})^2 - (\sqrt{10})^2 = 42 - 10 = 32$，所以$BC = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\,\mathrm{cm}$。
$△ABC$的面积为$\frac{1}{2} × AC × BC = \frac{1}{2} × \sqrt{10} × 4\sqrt{2} = 2\sqrt{20} = 2 × 2\sqrt{5} = 4\sqrt{5}\,\mathrm{cm}^2$。
已知$AC=\sqrt{10}\,\mathrm{cm}$，$AB=\sqrt{42}\,\mathrm{cm}$，则：
$BC^2 = AB^2 - AC^2 = (\sqrt{42})^2 - (\sqrt{10})^2 = 42 - 10 = 32$，所以$BC = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\,\mathrm{cm}$。
$△ABC$的面积为$\frac{1}{2} × AC × BC = \frac{1}{2} × \sqrt{10} × 4\sqrt{2} = 2\sqrt{20} = 2 × 2\sqrt{5} = 4\sqrt{5}\,\mathrm{cm}^2$。
11. (2025·宿城期末)【再读教材】教材中介绍了“海伦－秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为$a,b,c$，记$p=\frac{a+b+c}{2}$，那么三角形的面积为$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$.
【解决问题】如图，在$△ ABC$中，$AC=4$，$BC=5$，$AB=7$.
(1)请你用“海伦－秦九韶公式”求$△ ABC$的面积.
(2)除了利用“海伦－秦九韶公式”求$△ ABC$的面积外，你还有其他的解法吗？请写出你的解法.
【解决问题】如图，在$△ ABC$中，$AC=4$，$BC=5$，$AB=7$.
(1)请你用“海伦－秦九韶公式”求$△ ABC$的面积.
(2)除了利用“海伦－秦九韶公式”求$△ ABC$的面积外，你还有其他的解法吗？请写出你的解法.
答案
(1)
已知$a = 5$，$b = 4$，$c = 7$，则$p=\frac{5 + 4+7}{2}=\frac{16}{2}=8$。
$S=\sqrt{8×(8 - 5)×(8 - 4)×(8 - 7)}=\sqrt{8×3×4×1}=\sqrt{96}=4\sqrt{6}$。
(2)
过$C$作$CD⊥ AB$于$D$，设$AD = x$，则$BD = 7 - x$。
在$Rt△ ACD$中，$CD^{2}=AC^{2}-AD^{2}=16 - x^{2}$；在$Rt△ BCD$中，$CD^{2}=BC^{2}-BD^{2}=25-(7 - x)^{2}$。
所以$16 - x^{2}=25-(7 - x)^{2}$，
$16 - x^{2}=25-(49 - 14x+x^{2})$，
$16 - x^{2}=25 - 49 + 14x - x^{2}$，
$14x = 40$，
$x=\frac{20}{7}$。
则$CD=\sqrt{16 - (\frac{20}{7})^{2}}=\sqrt{\frac{784 - 400}{49}}=\sqrt{\frac{384}{49}}=\frac{8\sqrt{6}}{7}$。
$S=\frac{1}{2}× AB× CD=\frac{1}{2}×7×\frac{8\sqrt{6}}{7}=4\sqrt{6}$。
综上，(1)中$△ ABC$面积为$4\sqrt{6}$；(2)有其他解法，面积为$4\sqrt{6}$。
已知$a = 5$，$b = 4$，$c = 7$，则$p=\frac{5 + 4+7}{2}=\frac{16}{2}=8$。
$S=\sqrt{8×(8 - 5)×(8 - 4)×(8 - 7)}=\sqrt{8×3×4×1}=\sqrt{96}=4\sqrt{6}$。
(2)
过$C$作$CD⊥ AB$于$D$，设$AD = x$，则$BD = 7 - x$。
在$Rt△ ACD$中，$CD^{2}=AC^{2}-AD^{2}=16 - x^{2}$；在$Rt△ BCD$中，$CD^{2}=BC^{2}-BD^{2}=25-(7 - x)^{2}$。
所以$16 - x^{2}=25-(7 - x)^{2}$，
$16 - x^{2}=25-(49 - 14x+x^{2})$，
$16 - x^{2}=25 - 49 + 14x - x^{2}$，
$14x = 40$，
$x=\frac{20}{7}$。
则$CD=\sqrt{16 - (\frac{20}{7})^{2}}=\sqrt{\frac{784 - 400}{49}}=\sqrt{\frac{384}{49}}=\frac{8\sqrt{6}}{7}$。
$S=\frac{1}{2}× AB× CD=\frac{1}{2}×7×\frac{8\sqrt{6}}{7}=4\sqrt{6}$。
综上，(1)中$△ ABC$面积为$4\sqrt{6}$；(2)有其他解法，面积为$4\sqrt{6}$。
