4. 一个不透明的袋中装有若干个材质、大小完全相同的红球，小明在袋中放入3个黑球（每个黑球除颜色外其余都与红球相同），摇匀后每次随机从袋中摸出1个球，记录颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.85左右，则估计袋中红球有个。

4. 7

5. 下表记录了某种苹果树苗在一定条件下移植成活的情况：
移植的棵数n | 200 | 500 | 800 | 2 000 | 12 000
成活的棵数m | 187 | | 730 | 1 790 | 10 836
成活的频率 | 0.935 | 0.892 | 0.913 | 0.895 | 0.903
由此估计这种苹果树苗移植成活的概率约为 （精确到0.1）。

5. 0.9

【分析】
本题考查利用频率估计概率的知识，解题思路如下：首先明确在大量重复试验中，事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就是该事件发生的概率。观察表格可知，随着移植苹果树苗的棵数不断增加，成活的频率逐渐趋于稳定，我们只需找到大样本下频率的稳定值，再按要求精确到0.1，即可得到概率的估计值。
【解析】
根据频率估计概率的原理：当试验次数足够大时，事件发生的频率会趋近于其发生的概率。
观察表格中的成活频率：当移植棵数从200增加到12000时，成活频率依次为0.935、0.892、0.913、0.895、0.903，随着试验次数增大，频率逐渐稳定在0.9附近，精确到0.1可得这种苹果树苗移植成活的概率约为0.9。
【答案】
0.9
【知识点】
用频率估计概率；频率与概率的关系
【点评】
本题属于基础题，解题核心是理解大量重复试验下频率与概率的关系，解题时要重点关注试验次数较大时的频率稳定值，同时注意符合题目要求的精确度。
【难度系数】
0.9

6. 如图,为测量平地上一块不规则区域(图中的阴影部分)的面积,画一个边长为2 m的正方形,使不规则区域落在正方形内,现向正方形内随机投掷小石子(假设小石子落在正方形内每一点都是等可能的),经过大量重复投掷试验发现,小石子落在不规则区域的频率稳定在常数0.25附近,由此可估计不规则区域的面积是 m².

6. 1

【分析】
本题可利用频率估计概率的思想结合几何概率的计算方法求解。首先，大量重复投掷试验下，小石子落在不规则区域的频率稳定在0.25，说明该事件发生的概率近似为0.25；其次，几何概率中，随机事件发生的概率等于对应区域面积与总区域面积的比值，因此我们先计算出正方形的总面积，再用概率乘以总面积就能得到不规则区域的面积。
【解析】
第一步：计算正方形的面积
已知正方形边长为2 m，根据正方形面积公式可得：
$S_{\mathrm{正方形}} = 2 × 2 = 4 \ (\mathrm{m}^2)$
第二步：根据频率估计概率
经过大量重复试验，小石子落在不规则区域的频率稳定在0.25附近，因此可估计小石子落在不规则区域的概率$P \approx 0.25$。
第三步：结合几何概率公式计算不规则区域面积
几何概率满足$P = \frac{S_{\mathrm{不规则}}}{S_{\mathrm{正方形}}}$，变形可得：
$S_{\mathrm{不规则}} = P × S_{\mathrm{正方形}} = 0.25 × 4 = 1 \ (\mathrm{m}^2)$
【答案】
1
【知识点】
1. 频率估计概率
2. 几何概率计算
3. 正方形面积计算
【点评】
本题考查概率在实际测量中的应用，解题的核心是明确大量重复试验中频率可近似代替概率，结合几何概率的面积占比关系即可快速求解，贴近生活实际，难度较低。
【难度系数】
0.8

7.(2023·泰州)在相同条件下的多次重复试验中,一个随机事件发生的频率为f,该事件的概率为P.下列说法正确的是()

A.试验次数越多,f越大
B.f与P都可能发生变化
C.试验次数越多,f越接近于P
D.当试验次数很大时,f在P附近摆动,并趋于稳定

7. D

【分析】
解决本题首先要明确频率和概率的核心概念：概率是随机事件的固有属性，是固定不变的数值；频率是多次试验中事件发生的频数与试验总次数的比值，会随试验发生波动。再结合频率的稳定性规律逐一判断选项：①先判断明显错误的选项：概率固定不变，可直接排除B；频率的变化趋势是趋近概率，和“变大”无必然联系，排除A；②再辨析易混淆的C、D选项：试验次数增多时，频率存在偶然波动，不是必然越来越接近概率，只是整体会在概率附近摆动、趋于稳定，因此C错误，D正确。
【解析】
首先明确基本概念：
1. 概率$ P $是随机事件本身固有的性质，是固定不变的定值，不随试验次数改变；
2. 频率$ f $是某组试验中，事件发生的频数与试验总次数的比值，会随试验发生波动。
逐一分析选项：
A选项：试验次数越多，频率越趋近于概率，并非越大，该选项错误；
B选项：概率$ P $是固定值，不会发生变化，只有频率$ f $可能变化，该选项错误；
C选项：试验次数增多时，频率可能存在偶然波动，并非一定越接近概率，该选项错误；
D选项：根据频率的稳定性规律，当试验次数足够大时，频率会在概率附近摆动，并逐渐趋于稳定，该选项正确。
【答案】
D
【知识点】
频率的稳定性；频率与概率的关系
【点评】
本题是概率部分的基础概念题，核心考查对频率、概率两个易混淆概念的辨析，以及对频率稳定性规律的理解，只要准确掌握概念的本质区别即可正确作答。
【难度系数】
0.7

8.（2023·东城区期末）为了解某品种小麦的发芽率，某农业合作小组在相同条件下对该小麦做发芽试验，试验数据如表所示：

（1）估计该品种小麦在相同条件下发芽的概率为；（结果保留两位小数）
（2）若在相同条件下播种该品种小麦10 000个，则约有个能发芽。

8. (1) 0.95；(2) 9500

【分析】
本题考查用频率估计概率的相关知识。（1）首先明确核心原理：大量重复试验时，事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就可以作为该事件发生概率的估计值。观察表格数据，随着试验种子数量不断增加，发芽频率逐渐趋近于0.95，因此可以用这个稳定值估计发芽概率。（2）第二问利用概率的意义，发芽总数量等于播种总数量乘以发芽的概率，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
（1）观察表格中的发芽频率可知，当试验的种子个数$n$逐渐增大时，发芽种子的频率$\frac{m}{n}$逐渐稳定在0.95附近，根据大量重复试验中频率与概率的关系，估计该品种小麦发芽的概率为0.95。
（2）已知播种该品种小麦总数量为10000个，发芽概率为0.95，因此能发芽的数量约为：$10000×0.95=9500$（个）。
【答案】
（1）$\boxed{0.95}$；（2）$\boxed{9500}$
【知识点】
1. 用频率估计概率；2. 概率的实际应用
【点评】
本题是概率基础应用类题目，核心是理解大量重复试验下频率和概率的关系，掌握用稳定频率估计概率的方法，再结合概率的含义即可快速解决实际问题。
【难度系数】
0.85