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三、二次函数综合
如图，已知抛物线$y = ax^2 + bx + c$与x轴的一个交点为$A(3,0)$，与y轴的交点为$B(0,3)$，其顶点为C，对称轴为直线$x = 1$。
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点M为y轴上的一个动点，当$△ ABM$为等腰三角形时，求点M的坐标。
如图，已知抛物线$y = ax^2 + bx + c$与x轴的一个交点为$A(3,0)$，与y轴的交点为$B(0,3)$，其顶点为C，对称轴为直线$x = 1$。
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点M为y轴上的一个动点，当$△ ABM$为等腰三角形时，求点M的坐标。
答案
1. 抛物线的解析式为$y=-x^2+2x+3$。
2. 点M的坐标为$(0,3+3\sqrt{2})$、$(0,3-3\sqrt{2})$、$(0,-3)$、$(0,0)$。
2. 点M的坐标为$(0,3+3\sqrt{2})$、$(0,3-3\sqrt{2})$、$(0,-3)$、$(0,0)$。
解析
【分析】
（1）求抛物线解析式可采用待定系数法，已知抛物线过A(3,0)、B(0,3)，且对称轴为x=1，可结合对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，将三个条件代入解析式联立方程求解，也可先利用对称轴求出抛物线与x轴的另一个交点，用交点式求解。
（2）等腰三角形存在性问题需分类讨论：已知△ABM的两个顶点A、B固定，M在y轴上，分三种情况：①AB为腰，B为顶点（即AB=BM）；②AB为腰，A为顶点（即AB=AM）；③AB为底（即AM=BM），分别计算对应M的坐标，注意排除三点共线或重合的无效解。
【解析】
（1）解：由题意得，抛物线满足以下条件：
① 过点B(0,3)，代入$y=ax^2+bx+c$得$c=3$；
② 对称轴为直线$x=1$，由对称轴公式得$-\frac{b}{2a}=1$，即$b=-2a$；
③ 过点A(3,0)，代入解析式得$9a+3b+c=0$。
将$c=3$、$b=-2a$代入$9a+3b+c=0$，得：
$9a+3×(-2a)+3=0$，解得$a=-1$，则$b=-2×(-1)=2$。
因此抛物线的解析式为$y=-x^2+2x+3$。
（2）解：设y轴上点M的坐标为$(0,m)$，先计算AB的长度：
$AB=\sqrt{(3-0)^2+(0-3)^2}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$。
分三种情况讨论：
① 当$AB=BM$时：BM为y轴上两点的距离，即$BM=|m-3|$，
故$|m-3|=3\sqrt{2}$，解得$m=3+3\sqrt{2}$或$m=3-3\sqrt{2}$，
对应M坐标为$(0,3+3\sqrt{2})$、$(0,3-3\sqrt{2})$；
② 当$AB=AM$时：$AM=\sqrt{(3-0)^2+(0-m)^2}=\sqrt{9+m^2}$，
故$\sqrt{9+m^2}=3\sqrt{2}$，两边平方得$9+m^2=18$，解得$m=\pm3$，
当$m=3$时，M与B重合，无法构成三角形，舍去，故$m=-3$，对应M坐标为$(0,-3)$；
③ 当$AM=BM$时：$\sqrt{9+m^2}=|m-3|$，
两边平方得$9+m^2=m^2-6m+9$，化简得$6m=0$，解得$m=0$，对应M坐标为$(0,0)$。
综上，满足条件的M点坐标为$(0,3+3\sqrt{2})$、$(0,3-3\sqrt{2})$、$(0,-3)$、$(0,0)$。
【答案】
1. $y=-x^2+2x+3$
2. $(0,3+3\sqrt{2})$、$(0,3-3\sqrt{2})$、$(0,-3)$、$(0,0)$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，等腰三角形性质，分类讨论思想
【点评】
本题是二次函数与几何结合的基础综合题，第一问侧重对二次函数解析式求解方法的掌握，难度较低；第二问考察等腰三角形的分类讨论，解题时要注意按腰和底的不同情况分类，同时排除不能构成三角形的无效解，避免漏解。
【难度系数】
0.6
（1）求抛物线解析式可采用待定系数法，已知抛物线过A(3,0)、B(0,3)，且对称轴为x=1，可结合对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，将三个条件代入解析式联立方程求解，也可先利用对称轴求出抛物线与x轴的另一个交点，用交点式求解。
（2）等腰三角形存在性问题需分类讨论：已知△ABM的两个顶点A、B固定，M在y轴上，分三种情况：①AB为腰，B为顶点（即AB=BM）；②AB为腰，A为顶点（即AB=AM）；③AB为底（即AM=BM），分别计算对应M的坐标，注意排除三点共线或重合的无效解。
【解析】
（1）解：由题意得，抛物线满足以下条件：
① 过点B(0,3)，代入$y=ax^2+bx+c$得$c=3$；
② 对称轴为直线$x=1$，由对称轴公式得$-\frac{b}{2a}=1$，即$b=-2a$；
③ 过点A(3,0)，代入解析式得$9a+3b+c=0$。
将$c=3$、$b=-2a$代入$9a+3b+c=0$，得：
$9a+3×(-2a)+3=0$，解得$a=-1$，则$b=-2×(-1)=2$。
因此抛物线的解析式为$y=-x^2+2x+3$。
（2）解：设y轴上点M的坐标为$(0,m)$，先计算AB的长度：
$AB=\sqrt{(3-0)^2+(0-3)^2}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$。
分三种情况讨论：
① 当$AB=BM$时：BM为y轴上两点的距离，即$BM=|m-3|$，
故$|m-3|=3\sqrt{2}$，解得$m=3+3\sqrt{2}$或$m=3-3\sqrt{2}$，
对应M坐标为$(0,3+3\sqrt{2})$、$(0,3-3\sqrt{2})$；
② 当$AB=AM$时：$AM=\sqrt{(3-0)^2+(0-m)^2}=\sqrt{9+m^2}$，
故$\sqrt{9+m^2}=3\sqrt{2}$，两边平方得$9+m^2=18$，解得$m=\pm3$，
当$m=3$时，M与B重合，无法构成三角形，舍去，故$m=-3$，对应M坐标为$(0,-3)$；
③ 当$AM=BM$时：$\sqrt{9+m^2}=|m-3|$，
两边平方得$9+m^2=m^2-6m+9$，化简得$6m=0$，解得$m=0$，对应M坐标为$(0,0)$。
综上，满足条件的M点坐标为$(0,3+3\sqrt{2})$、$(0,3-3\sqrt{2})$、$(0,-3)$、$(0,0)$。
【答案】
1. $y=-x^2+2x+3$
2. $(0,3+3\sqrt{2})$、$(0,3-3\sqrt{2})$、$(0,-3)$、$(0,0)$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，等腰三角形性质，分类讨论思想
【点评】
本题是二次函数与几何结合的基础综合题，第一问侧重对二次函数解析式求解方法的掌握，难度较低；第二问考察等腰三角形的分类讨论，解题时要注意按腰和底的不同情况分类，同时排除不能构成三角形的无效解，避免漏解。
【难度系数】
0.6
四、二次函数的应用
某商店销售一种进价100元/件的商品，且规定售价不得超过进价的1.4倍，经市场调查发现：该商品的每天销售量y(件)是售价x(元/件)的一次函数，其售价、销售量的两组对应值如表：
（1）直接写出y关于售价x的函数解析式；
（2）设商店销售该商品每天获得的利润为W(元)，求W与x之间的函数解析式，并求出当销售单价定为多少时，该商店销售这种商品每天获得的利润最大？
某商店销售一种进价100元/件的商品，且规定售价不得超过进价的1.4倍，经市场调查发现：该商品的每天销售量y(件)是售价x(元/件)的一次函数，其售价、销售量的两组对应值如表：
（1）直接写出y关于售价x的函数解析式；
（2）设商店销售该商品每天获得的利润为W(元)，求W与x之间的函数解析式，并求出当销售单价定为多少时，该商店销售这种商品每天获得的利润最大？
答案
1. $y=-x+160\quad(100≤ x≤140)$
2. $W=-x^2+260x-16000$，当销售单价定为130元时，该商店销售这种商品每天获得的利润最大。
2. $W=-x^2+260x-16000$，当销售单价定为130元时，该商店销售这种商品每天获得的利润最大。
解析
【分析】
1. 第一问求一次函数解析式，可先设一次函数的一般形式$y=kx+b(k≠0)$，将已知的两组售价、销售量对应值代入得到二元一次方程组，求解即可得到k、b的值；再结合题目中“售价不低于进价、不得超过进价1.4倍”的要求，确定自变量x的取值范围。
2. 第二问求利润相关的函数和最值，根据“总利润=单件利润×销售量”的等量关系，单件利润为$(x-100)$元，代入第一问求出的销售量y的解析式，即可得到W关于x的二次函数解析式；再结合二次函数的性质，开口向下的二次函数在对称轴处取得最大值，同时验证对称轴是否在自变量取值范围内，即可得到利润最大时的销售单价。
【解析】
（1）设$y$关于$x$的函数解析式为$y=kx+b(k≠0)$，
代入已知对应值，解得$k=-1$，$b=160$。
由题意可知，进价为100元/件，售价最高为$100×1.4=140$元，且售价不低于进价，因此x的取值范围为$100≤x≤140$，
故$y$关于售价$x$的函数解析式为$y=-x+160\quad(100≤ x≤140)$。
（2）根据总利润的计算公式：$W=$单件利润×销售量，可得：
$W=(x-100)y$
将$y=-x+160$代入上式：
$\begin{aligned}W&=(x-100)(-x+160)\\&=-x^2+160x+100x-16000\\&=-x^2+260x-16000\end{aligned}$
该二次函数中$a=-1＜0$，图象开口向下，对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=\frac{260}{2}=130$，
因为$130$在$100≤x≤140$的范围内，因此当$x=130$时，W取得最大值。
【答案】
1. $y=-x+160\quad(100≤ x≤140)$
2. $W=-x^2+260x-16000$，当销售单价定为130元时，该商店销售这种商品每天获得的利润最大。
【知识点】
一次函数解析式求解；二次函数利润应用；二次函数最值
【点评】
本题是二次函数实际应用的常规题型，解题的核心是理清销量、售价、利润之间的数量关系，得到二次函数解析式后，要注意结合自变量的实际取值范围判断最值的位置，不要直接取顶点忽略取值限制导致错误。
【难度系数】
0.7
1. 第一问求一次函数解析式，可先设一次函数的一般形式$y=kx+b(k≠0)$，将已知的两组售价、销售量对应值代入得到二元一次方程组，求解即可得到k、b的值；再结合题目中“售价不低于进价、不得超过进价1.4倍”的要求，确定自变量x的取值范围。
2. 第二问求利润相关的函数和最值，根据“总利润=单件利润×销售量”的等量关系，单件利润为$(x-100)$元，代入第一问求出的销售量y的解析式，即可得到W关于x的二次函数解析式；再结合二次函数的性质，开口向下的二次函数在对称轴处取得最大值，同时验证对称轴是否在自变量取值范围内，即可得到利润最大时的销售单价。
【解析】
（1）设$y$关于$x$的函数解析式为$y=kx+b(k≠0)$，
代入已知对应值，解得$k=-1$，$b=160$。
由题意可知，进价为100元/件，售价最高为$100×1.4=140$元，且售价不低于进价，因此x的取值范围为$100≤x≤140$，
故$y$关于售价$x$的函数解析式为$y=-x+160\quad(100≤ x≤140)$。
（2）根据总利润的计算公式：$W=$单件利润×销售量，可得：
$W=(x-100)y$
将$y=-x+160$代入上式：
$\begin{aligned}W&=(x-100)(-x+160)\\&=-x^2+160x+100x-16000\\&=-x^2+260x-16000\end{aligned}$
该二次函数中$a=-1＜0$，图象开口向下，对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=\frac{260}{2}=130$，
因为$130$在$100≤x≤140$的范围内，因此当$x=130$时，W取得最大值。
【答案】
1. $y=-x+160\quad(100≤ x≤140)$
2. $W=-x^2+260x-16000$，当销售单价定为130元时，该商店销售这种商品每天获得的利润最大。
【知识点】
一次函数解析式求解；二次函数利润应用；二次函数最值
【点评】
本题是二次函数实际应用的常规题型，解题的核心是理清销量、售价、利润之间的数量关系，得到二次函数解析式后，要注意结合自变量的实际取值范围判断最值的位置，不要直接取顶点忽略取值限制导致错误。
【难度系数】
0.7
1. 关于二次函数$y=2(x-4)^2 +6$的最大值或最小值，下列说法正确的是（
A.有最大值4
B.有最小值4
C.有最大值6
D.有最小值6
D
）A.有最大值4
B.有最小值4
C.有最大值6
D.有最小值6
答案
1. D
解析
【分析】
解决本题首先要回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的最值相关性质：第一步先判断二次项系数$a$的符号，若$a＞0$，抛物线开口向上，函数有最小值，最小值为$k$；若$a＜0$，抛物线开口向下，函数有最大值，最大值为$k$。本题给出的函数已经是顶点式，只需对应找到$a$和$k$的值，结合上述性质判断即可。
【解析】
已知二次函数$y=2(x-4)^2 +6$是顶点式，其中二次项系数$a=2＞0$，因此抛物线开口向上，函数存在最小值；
顶点式中常数项$k=6$，即该二次函数的最小值为6，因此选项D符合结论。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式的性质，二次函数的最值
【点评】
本题是基础类题型，核心考查二次函数顶点式参数与最值的对应关系，只要牢记顶点式中$a$的符号决定最值类型、$k$为最值数值，就能快速解题。
【难度系数】
0.9
解决本题首先要回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的最值相关性质：第一步先判断二次项系数$a$的符号，若$a＞0$，抛物线开口向上，函数有最小值，最小值为$k$；若$a＜0$，抛物线开口向下，函数有最大值，最大值为$k$。本题给出的函数已经是顶点式，只需对应找到$a$和$k$的值，结合上述性质判断即可。
【解析】
已知二次函数$y=2(x-4)^2 +6$是顶点式，其中二次项系数$a=2＞0$，因此抛物线开口向上，函数存在最小值；
顶点式中常数项$k=6$，即该二次函数的最小值为6，因此选项D符合结论。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式的性质，二次函数的最值
【点评】
本题是基础类题型，核心考查二次函数顶点式参数与最值的对应关系，只要牢记顶点式中$a$的符号决定最值类型、$k$为最值数值，就能快速解题。
【难度系数】
0.9
2. 已知二次函数 $ y = mx^2 - 4m^2x - 3 $（m为常数，$ m ≠ 0 $），点 $ P(x_P, y_P) $ 是该函数图象上一点，当 $ 0 ≤ x_P ≤ 4 $ 时，$ y_P ≤ -3 $，则m的取值范围是（
A.$ m ≥ 1 $ 或 $ m ＜ 0 $
B.$ m ≥ 1 $
C.$ m ≤ -1 $ 或 $ m ＞ 0 $
D.$ m ≤ -1 $
A
）A.$ m ≥ 1 $ 或 $ m ＜ 0 $
B.$ m ≥ 1 $
C.$ m ≤ -1 $ 或 $ m ＞ 0 $
D.$ m ≤ -1 $
答案
2. A
解析
【分析】解题思路如下：第一步先求出二次函数的对称轴，再根据二次项系数m的正负分情况讨论开口方向，结合对称轴与给定区间[0,4]的位置关系，判断区间内函数的最大值是否满足≤-3的条件，分别求解两种情况下m的取值范围后合并即可。已知x=0时函数值刚好为-3，因此只需保证区间内最大值不超过-3即可，其中开口向上时二次函数闭区间最大值在离对称轴远的端点取到，开口向下时在离对称轴近的端点取到。
【解析】首先计算二次函数$y = mx^2 - 4m^2x - 3$的对称轴：
由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=m$，$b=-4m^2$，得对称轴$x=\frac{4m^2}{2m}=2m$，且当$x=0$时，$y=-3$。
分两种情况讨论：
1. 当$m＜0$时，二次函数开口向下，对称轴$x=2m＜0$，此时区间$[0,4]$在对称轴右侧，函数在$[0,4]$上单调递减，因此区间内最大值为$x=0$处的函数值$-3$，满足$y_P≤-3$，故$m＜0$符合要求。
2. 当$m＞0$时，二次函数开口向上，对称轴$x=2m＞0$，开口向上的二次函数在闭区间上的最大值在端点处取到，已知$x=0$时$y=-3$，因此只需保证$x=4$处的函数值$≤-3$即可：
将$x=4$代入函数得：
$y= m×4^2 -4m^2×4 -3 = 16m -16m^2 -3$
令$16m -16m^2 -3 ≤ -3$，
移项化简得：$16m -16m^2 ≤ 0$，
两边同除以16得：$m - m^2 ≤ 0$，即$m(1-m)≤0$，
因为$m＞0$，所以$1-m≤0$，解得$m≥1$。
综上，m的取值范围是$m≥1$或$m＜0$。
【答案】A
【知识点】二次函数的性质；二次函数区间最值；分类讨论思想
【点评】本题核心考查二次函数在闭区间上的最值判断，需要结合开口方向、对称轴与区间的位置关系分类分析，易错点是容易遗漏m＜0的情况，或错误判断开口方向对应的函数单调性。
【难度系数】0.6
【解析】首先计算二次函数$y = mx^2 - 4m^2x - 3$的对称轴：
由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=m$，$b=-4m^2$，得对称轴$x=\frac{4m^2}{2m}=2m$，且当$x=0$时，$y=-3$。
分两种情况讨论：
1. 当$m＜0$时，二次函数开口向下，对称轴$x=2m＜0$，此时区间$[0,4]$在对称轴右侧，函数在$[0,4]$上单调递减，因此区间内最大值为$x=0$处的函数值$-3$，满足$y_P≤-3$，故$m＜0$符合要求。
2. 当$m＞0$时，二次函数开口向上，对称轴$x=2m＞0$，开口向上的二次函数在闭区间上的最大值在端点处取到，已知$x=0$时$y=-3$，因此只需保证$x=4$处的函数值$≤-3$即可：
将$x=4$代入函数得：
$y= m×4^2 -4m^2×4 -3 = 16m -16m^2 -3$
令$16m -16m^2 -3 ≤ -3$，
移项化简得：$16m -16m^2 ≤ 0$，
两边同除以16得：$m - m^2 ≤ 0$，即$m(1-m)≤0$，
因为$m＞0$，所以$1-m≤0$，解得$m≥1$。
综上，m的取值范围是$m≥1$或$m＜0$。
【答案】A
【知识点】二次函数的性质；二次函数区间最值；分类讨论思想
【点评】本题核心考查二次函数在闭区间上的最值判断，需要结合开口方向、对称轴与区间的位置关系分类分析，易错点是容易遗漏m＜0的情况，或错误判断开口方向对应的函数单调性。
【难度系数】0.6
3. 如图，二次函数$y = ax^2 + bx + c$的图象经过点$A(-1,0),B(3,0)$，与$y$轴交于点$C$. 下列结论:①$ac ＞ 0$;②当$x ＞ 0$时，$y$随$x$的增大而增大;③$3a + c = 0$;④$a + b ≥ am^2 + bm$. 其中正确的有(
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
B
)A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
3. B
解析
【分析】
解题时首先根据二次函数图象的开口方向确定a的符号，由与y轴交点确定c的符号，再结合已知的两个与x轴交点求出对称轴，之后逐一分析四个结论：①直接判断ac的符号；②根据对称轴判断函数的增减性；③将点A代入解析式，结合对称轴推导的b与a的关系，验证3a+c是否为0；④根据开口向下时顶点为最大值点，判断不等式是否成立。
【解析】
1. 分析结论①：
∵抛物线开口向下，
∴$a＜0$，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴$c＞0$，
∴$ac＜0$，故①错误。
2. 分析结论②：
∵抛物线过$A(-1,0)$、$B(3,0)$，
∴对称轴为直线$x=\frac{-1+3}{2}=1$，
∴当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而增大，当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而减小，
因此$x＞0$时，$y$不是一直随$x$增大而增大，故②错误。
3. 分析结论③：
将$x=-1$代入$y=ax^2+bx+c$得：$a-b+c=0$，
由对称轴$x=-\frac{b}{2a}=1$，得$b=-2a$，
将$b=-2a$代入$a-b+c=0$，得$a-(-2a)+c=3a+c=0$，故③正确。
4. 分析结论④：
∵抛物线开口向下，对称轴为$x=1$，
∴$x=1$时函数取得最大值，即对任意实数$m$，都有$a·1^2 + b·1 + c ≥ am^2 + bm + c$，
两边同时减去$c$得：$a+b ≥ am^2 + bm$，故④正确。
综上，正确的结论有③④，共2个。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数图象与系数关系的典型考题，需要结合图象特征、对称轴、增减性、最值等多个知识点综合判断，解题的核心是利用已知交点快速求出对称轴，再结合代入法推导系数间的关系。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据二次函数图象的开口方向确定a的符号，由与y轴交点确定c的符号，再结合已知的两个与x轴交点求出对称轴，之后逐一分析四个结论：①直接判断ac的符号；②根据对称轴判断函数的增减性；③将点A代入解析式，结合对称轴推导的b与a的关系，验证3a+c是否为0；④根据开口向下时顶点为最大值点，判断不等式是否成立。
【解析】
1. 分析结论①：
∵抛物线开口向下，
∴$a＜0$，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴$c＞0$，
∴$ac＜0$，故①错误。
2. 分析结论②：
∵抛物线过$A(-1,0)$、$B(3,0)$，
∴对称轴为直线$x=\frac{-1+3}{2}=1$，
∴当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而增大，当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而减小，
因此$x＞0$时，$y$不是一直随$x$增大而增大，故②错误。
3. 分析结论③：
将$x=-1$代入$y=ax^2+bx+c$得：$a-b+c=0$，
由对称轴$x=-\frac{b}{2a}=1$，得$b=-2a$，
将$b=-2a$代入$a-b+c=0$，得$a-(-2a)+c=3a+c=0$，故③正确。
4. 分析结论④：
∵抛物线开口向下，对称轴为$x=1$，
∴$x=1$时函数取得最大值，即对任意实数$m$，都有$a·1^2 + b·1 + c ≥ am^2 + bm + c$，
两边同时减去$c$得：$a+b ≥ am^2 + bm$，故④正确。
综上，正确的结论有③④，共2个。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数图象与系数关系的典型考题，需要结合图象特征、对称轴、增减性、最值等多个知识点综合判断，解题的核心是利用已知交点快速求出对称轴，再结合代入法推导系数间的关系。
【难度系数】
0.7
4. 已知抛物线 $ y = ax^2 + bx + c $ 经过点(1,0)和点(0, -3),且对称轴在y轴的左侧,则下列结论错误的是(
A.$ a ＞ 0 $
B.$ a + b = 3 $
C.抛物线经过点(-1,0)
D.关于x的一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = -1 $ 有两个不相等的实数根
C
)A.$ a ＞ 0 $
B.$ a + b = 3 $
C.抛物线经过点(-1,0)
D.关于x的一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = -1 $ 有两个不相等的实数根
答案
4. C
解析
【分析】
解题时先将已知的两个点坐标代入抛物线解析式，求出c的值和a与b的数量关系，再结合对称轴在y轴左侧的条件判断a、b的符号，最后逐一分析每个选项是否符合要求即可。
【解析】
1. 代入点坐标求参数关系：
把点(0, -3)代入$y=ax^2+bx+c$，得$c=-3$；
把点(1, 0)代入$y=ax^2+bx-3$，得$a+b-3=0$，即$a+b=3$，故B选项结论正确，不符合题意。
2. 结合对称轴位置判断a的符号：
抛物线对称轴为$x=-\frac{b}{2a}$，由对称轴在y轴左侧得$-\frac{b}{2a}＜0$，即$a$与$b$同号；
又$a+b=3＞0$，因此$a＞0$，$b＞0$，故A选项结论正确，不符合题意。
3. 分析C选项：
若抛物线经过点(-1, 0)，代入解析式得$a-b+c=0$，结合$c=-3$、$a+b=3$，联立方程：
$\begin{cases}a+b=3\\a-b=3\end{cases}$，解得$a=3$，$b=0$，此时对称轴为$x=0$，与“对称轴在y轴左侧”矛盾，故C选项结论错误，符合题意。
4. 分析D选项：
方程$ax^2+bx+c=-1$可整理为$ax^2+bx-2=0$，其判别式$\Delta=b^2-4a×(-2)=b^2+8a$；
由$a＞0$、$b^2≥0$得$\Delta=b^2+8a＞0$，因此方程有两个不相等的实数根，故D选项结论正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程，二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题综合考查二次函数的相关性质，需要结合已知条件推导参数的关系和符号，同时运用判别式判断一元二次方程根的情况，解题时要注意题干中对称轴位置的限制条件，避免忽略隐含条件出错。
【难度系数】
0.7
解题时先将已知的两个点坐标代入抛物线解析式，求出c的值和a与b的数量关系，再结合对称轴在y轴左侧的条件判断a、b的符号，最后逐一分析每个选项是否符合要求即可。
【解析】
1. 代入点坐标求参数关系：
把点(0, -3)代入$y=ax^2+bx+c$，得$c=-3$；
把点(1, 0)代入$y=ax^2+bx-3$，得$a+b-3=0$，即$a+b=3$，故B选项结论正确，不符合题意。
2. 结合对称轴位置判断a的符号：
抛物线对称轴为$x=-\frac{b}{2a}$，由对称轴在y轴左侧得$-\frac{b}{2a}＜0$，即$a$与$b$同号；
又$a+b=3＞0$，因此$a＞0$，$b＞0$，故A选项结论正确，不符合题意。
3. 分析C选项：
若抛物线经过点(-1, 0)，代入解析式得$a-b+c=0$，结合$c=-3$、$a+b=3$，联立方程：
$\begin{cases}a+b=3\\a-b=3\end{cases}$，解得$a=3$，$b=0$，此时对称轴为$x=0$，与“对称轴在y轴左侧”矛盾，故C选项结论错误，符合题意。
4. 分析D选项：
方程$ax^2+bx+c=-1$可整理为$ax^2+bx-2=0$，其判别式$\Delta=b^2-4a×(-2)=b^2+8a$；
由$a＞0$、$b^2≥0$得$\Delta=b^2+8a＞0$，因此方程有两个不相等的实数根，故D选项结论正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程，二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题综合考查二次函数的相关性质，需要结合已知条件推导参数的关系和符号，同时运用判别式判断一元二次方程根的情况，解题时要注意题干中对称轴位置的限制条件，避免忽略隐含条件出错。
【难度系数】
0.7
