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一、二次函数的概念
已知函数$y=(m+3)x^{m^2 +4m -3} +5$是关于$x$的二次函数.
(1) 求$m$的值.
(2) 当$m$为何值时,该函数图象的开口向上?
(3) 当$m$为何值时,该函数有最大值?
已知函数$y=(m+3)x^{m^2 +4m -3} +5$是关于$x$的二次函数.
(1) 求$m$的值.
(2) 当$m$为何值时,该函数图象的开口向上?
(3) 当$m$为何值时,该函数有最大值?
答案
1. 由二次函数的定义可得：$m^2+4m-3=2$，且$m+3≠0$，解得$m=1$或$m=-5$。
2. 若函数图象开口向上，则$m+3＞0$，即$m＞-3$，因此$m=1$。
3. 若函数有最大值，则函数图象开口向下，$m+3＜0$，即$m＜-3$，因此$m=-5$。
2. 若函数图象开口向上，则$m+3＞0$，即$m＞-3$，因此$m=1$。
3. 若函数有最大值，则函数图象开口向下，$m+3＜0$，即$m＜-3$，因此$m=-5$。
解析
【分析】
(1) 求解m的值需依据二次函数的定义：二次函数要求自变量的最高次数为2，且二次项系数不为0，据此列方程与不等式联立求解即可。
(2) 二次函数的开口方向由二次项系数的符号决定，系数大于0时开口向上，结合第(1)问求得的m值筛选符合条件的结果即可。
(3) 二次函数有最大值说明图象开口向下，即二次项系数小于0，结合第(1)问的结果筛选即可得到对应m的值。
【解析】
(1) 由二次函数的定义可得：
$\begin{cases}m^2 +4m -3 =2 \\ m+3 ≠ 0\end{cases}$
解方程$m^2 +4m -3=2$，整理得$m^2 +4m -5=0$，因式分解得$(m+5)(m-1)=0$，解得$m=1$或$m=-5$。
验证不等式$m+3≠0$，即$m≠-3$，两个解均满足该条件，因此$m$的值为1或-5。
(2) 若函数图象开口向上，则二次项系数大于0，即$m+3＞0$，解得$m＞-3$。
结合(1)的结果，只有$m=1$满足$m＞-3$，因此此时$m=1$。
(3) 若函数有最大值，则函数图象开口向下，二次项系数小于0，即$m+3＜0$，解得$m＜-3$。
结合(1)的结果，只有$m=-5$满足$m＜-3$，因此此时$m=-5$。
【答案】
(1) $m=1$或$m=-5$；
(2) $m=1$；
(3) $m=-5$
【知识点】
二次函数的定义，二次函数图象性质，二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数基础概念的常考题型，重点考查对二次函数核心定义及性质的掌握，解题时要注意二次项系数不为0是容易忽略的隐含限制条件，避免因漏考虑该条件出现错误。
【难度系数】
0.75
(1) 求解m的值需依据二次函数的定义：二次函数要求自变量的最高次数为2，且二次项系数不为0，据此列方程与不等式联立求解即可。
(2) 二次函数的开口方向由二次项系数的符号决定，系数大于0时开口向上，结合第(1)问求得的m值筛选符合条件的结果即可。
(3) 二次函数有最大值说明图象开口向下，即二次项系数小于0，结合第(1)问的结果筛选即可得到对应m的值。
【解析】
(1) 由二次函数的定义可得：
$\begin{cases}m^2 +4m -3 =2 \\ m+3 ≠ 0\end{cases}$
解方程$m^2 +4m -3=2$，整理得$m^2 +4m -5=0$，因式分解得$(m+5)(m-1)=0$，解得$m=1$或$m=-5$。
验证不等式$m+3≠0$，即$m≠-3$，两个解均满足该条件，因此$m$的值为1或-5。
(2) 若函数图象开口向上，则二次项系数大于0，即$m+3＞0$，解得$m＞-3$。
结合(1)的结果，只有$m=1$满足$m＞-3$，因此此时$m=1$。
(3) 若函数有最大值，则函数图象开口向下，二次项系数小于0，即$m+3＜0$，解得$m＜-3$。
结合(1)的结果，只有$m=-5$满足$m＜-3$，因此此时$m=-5$。
【答案】
(1) $m=1$或$m=-5$；
(2) $m=1$；
(3) $m=-5$
【知识点】
二次函数的定义，二次函数图象性质，二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数基础概念的常考题型，重点考查对二次函数核心定义及性质的掌握，解题时要注意二次项系数不为0是容易忽略的隐含限制条件，避免因漏考虑该条件出现错误。
【难度系数】
0.75
二、二次函数的图象与性质
抛物线$y = ax^2 + bx + c$上部分点的横坐标$x$、纵坐标$y$的对应值如下表：
从上表可知，下列说法中正确的是
①抛物线与$x$轴的一个交点为$(3,0)$；
②函数$y = ax^2 + bx + c$的最大值为$6$；
③抛物线的对称轴是$x = \dfrac{1}{2}$；
④在对称轴左侧，$y$随$x$的增大而增大。
抛物线$y = ax^2 + bx + c$上部分点的横坐标$x$、纵坐标$y$的对应值如下表：
从上表可知，下列说法中正确的是
①③④
.(填序号)①抛物线与$x$轴的一个交点为$(3,0)$；
②函数$y = ax^2 + bx + c$的最大值为$6$；
③抛物线的对称轴是$x = \dfrac{1}{2}$；
④在对称轴左侧，$y$随$x$的增大而增大。
答案
①③④
解析
【分析】
首先观察表格中x和y的对应值，发现x=0和x=1时y值相等，根据二次函数的对称性可知这两点关于抛物线的对称轴对称，可先求出对称轴；再利用对称轴的性质找对称点判断交点位置，结合x增大时y的变化判断开口方向、最值和增减性，逐一验证4个说法即可。
【解析】
1. 求对称轴：
∵当x=0和x=1时，y的值均为6，
∴这两个点关于抛物线的对称轴对称，对称轴为直线$x=\frac{0+1}{2}=\frac{1}{2}$，故③正确。
2. 判断①：
根据二次函数的对称性，点$(x,y)$关于对称轴$x=\frac{1}{2}$的对称点坐标为$(1-x,y)$。
已知x=-2时y=0，其对称点的横坐标为$1-(-2)=3$，即x=3时y=0，
∴抛物线与x轴的一个交点为$(3,0)$，故①正确。
3. 判断②和④：
观察表格数据：x＜$\frac{1}{2}$时，x从-2到-1到0，y从0到4到6，y随x增大而增大；x＞$\frac{1}{2}$时，x从1到2，y从6到4，y随x增大而减小，说明抛物线开口向下。
开口向下的抛物线顶点为最高点，顶点在对称轴$x=\frac{1}{2}$处，此时的y值大于6，故函数的最大值大于6，②错误；
开口向下的抛物线，对称轴左侧y随x的增大而增大，故④正确。
综上，正确的是①③④。
【答案】
①③④
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数的增减性；二次函数的最值
【点评】
本题考查二次函数的图象与性质，解题的核心是利用函数的对称性快速确定对称轴，再结合表格数据判断开口方向、增减性等性质，是二次函数部分的典型基础题。
【难度系数】
0.7
首先观察表格中x和y的对应值，发现x=0和x=1时y值相等，根据二次函数的对称性可知这两点关于抛物线的对称轴对称，可先求出对称轴；再利用对称轴的性质找对称点判断交点位置，结合x增大时y的变化判断开口方向、最值和增减性，逐一验证4个说法即可。
【解析】
1. 求对称轴：
∵当x=0和x=1时，y的值均为6，
∴这两个点关于抛物线的对称轴对称，对称轴为直线$x=\frac{0+1}{2}=\frac{1}{2}$，故③正确。
2. 判断①：
根据二次函数的对称性，点$(x,y)$关于对称轴$x=\frac{1}{2}$的对称点坐标为$(1-x,y)$。
已知x=-2时y=0，其对称点的横坐标为$1-(-2)=3$，即x=3时y=0，
∴抛物线与x轴的一个交点为$(3,0)$，故①正确。
3. 判断②和④：
观察表格数据：x＜$\frac{1}{2}$时，x从-2到-1到0，y从0到4到6，y随x增大而增大；x＞$\frac{1}{2}$时，x从1到2，y从6到4，y随x增大而减小，说明抛物线开口向下。
开口向下的抛物线顶点为最高点，顶点在对称轴$x=\frac{1}{2}$处，此时的y值大于6，故函数的最大值大于6，②错误；
开口向下的抛物线，对称轴左侧y随x的增大而增大，故④正确。
综上，正确的是①③④。
【答案】
①③④
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数的增减性；二次函数的最值
【点评】
本题考查二次函数的图象与性质，解题的核心是利用函数的对称性快速确定对称轴，再结合表格数据判断开口方向、增减性等性质，是二次函数部分的典型基础题。
【难度系数】
0.7
