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4. 某跳水运动员在进行 10 m 跳台跳水训练时,身体(看成一点)在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线. 在做某个规定动作时,正常情况下,该运动员在空中的最高处距水面$10\frac{2}{3}$ m,入水处距池边4 m,同时运动员在距水面高度5 m以前必须完成规定的翻腾动作,并调整好入水姿势,否则就会出现失误.
（1）求这条抛物线的函数解析式.
（2）在某次试跳中,测得运动员在空中的运动路线是(1)中的抛物线,且运动员在空中调整好入水姿势时,与池边的水平距离为$3\frac{3}{5}$ m. 问:此次跳水会不会失误?请说明理由.
理由.
（1）求这条抛物线的函数解析式.
（2）在某次试跳中,测得运动员在空中的运动路线是(1)中的抛物线,且运动员在空中调整好入水姿势时,与池边的水平距离为$3\frac{3}{5}$ m. 问:此次跳水会不会失误?请说明理由.
理由.
答案
4. (1)y = - 25/6 x² + 10/3 x;(2) 会失误,理由略.
解析
【分析】
（1）求抛物线解析式时，首先明确坐标系特征：起跳点为原点$O(0,0)$，水面对应纵坐标为$-10$（跳台高10m）。已知抛物线最高点距水面$10\frac{2}{3}\mathrm{m}$，可得顶点纵坐标为$\frac{2}{3}$；入水点坐标为$(2,-10)$，且抛物线过原点，因此设解析式为$y=ax^2+bx$，结合顶点纵坐标公式和入水点坐标列方程求解$a$、$b$即可。
（2）判断是否失误，先根据运动员距池边的水平距离求出对应横坐标，代入解析式得到纵坐标，再计算距水面高度，与5m比较，若小于5m则判定为失误。
【解析】
（1）设抛物线解析式为$y=ax^2+bx+c(a≠0)$。
$\because$ 抛物线过原点$O(0,0)$，代入得$c=0$，即解析式为$y=ax^2+bx$。
由题意得：抛物线顶点纵坐标为$10\frac{2}{3}-10=\frac{2}{3}$，根据顶点纵坐标公式得：
$\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{-b^2}{4a}=\frac{2}{3}$ ①
入水点纵坐标为$-10$，坐标为$(2,-10)$，代入解析式得：
$-10=4a+2b$，整理得$2a+b=-5$，即$b=-5-2a$ ②
将②代入①，解得$a=-\frac{25}{6}$，$b=\frac{10}{3}$，
因此抛物线解析式为$y=-\frac{25}{6}x^2+\frac{10}{3}x$。
（2）此次跳水会失误，理由如下：
运动员调整姿势时距池边水平距离为$3\frac{3}{5}\mathrm{m}$，对应横坐标$x=3\frac{3}{5}-2=\frac{8}{5}\mathrm{m}$，
将$x=\frac{8}{5}$代入解析式得：
$y=-\frac{25}{6}×(\frac{8}{5})^2+\frac{10}{3}×\frac{8}{5}=-\frac{16}{3}$，
此时距水面高度为$10+(-\frac{16}{3})=\frac{14}{3}\approx4.67\mathrm{m}＜5\mathrm{m}$，不符合要求，因此会失误。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=-\frac{25}{6}x^2+\frac{10}{3}x}$；(2) 会失误。
【知识点】
二次函数的应用，待定系数法求解析式，二次函数的性质
【点评】
本题结合实际场景考查二次函数的应用，核心是将实际问题转化为二次函数的代数计算，解题时要注意坐标和实际量的对应关系，避免出现单位或数值对应错误。
【难度系数】
0.65
（1）求抛物线解析式时，首先明确坐标系特征：起跳点为原点$O(0,0)$，水面对应纵坐标为$-10$（跳台高10m）。已知抛物线最高点距水面$10\frac{2}{3}\mathrm{m}$，可得顶点纵坐标为$\frac{2}{3}$；入水点坐标为$(2,-10)$，且抛物线过原点，因此设解析式为$y=ax^2+bx$，结合顶点纵坐标公式和入水点坐标列方程求解$a$、$b$即可。
（2）判断是否失误，先根据运动员距池边的水平距离求出对应横坐标，代入解析式得到纵坐标，再计算距水面高度，与5m比较，若小于5m则判定为失误。
【解析】
（1）设抛物线解析式为$y=ax^2+bx+c(a≠0)$。
$\because$ 抛物线过原点$O(0,0)$，代入得$c=0$，即解析式为$y=ax^2+bx$。
由题意得：抛物线顶点纵坐标为$10\frac{2}{3}-10=\frac{2}{3}$，根据顶点纵坐标公式得：
$\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{-b^2}{4a}=\frac{2}{3}$ ①
入水点纵坐标为$-10$，坐标为$(2,-10)$，代入解析式得：
$-10=4a+2b$，整理得$2a+b=-5$，即$b=-5-2a$ ②
将②代入①，解得$a=-\frac{25}{6}$，$b=\frac{10}{3}$，
因此抛物线解析式为$y=-\frac{25}{6}x^2+\frac{10}{3}x$。
（2）此次跳水会失误，理由如下：
运动员调整姿势时距池边水平距离为$3\frac{3}{5}\mathrm{m}$，对应横坐标$x=3\frac{3}{5}-2=\frac{8}{5}\mathrm{m}$，
将$x=\frac{8}{5}$代入解析式得：
$y=-\frac{25}{6}×(\frac{8}{5})^2+\frac{10}{3}×\frac{8}{5}=-\frac{16}{3}$，
此时距水面高度为$10+(-\frac{16}{3})=\frac{14}{3}\approx4.67\mathrm{m}＜5\mathrm{m}$，不符合要求，因此会失误。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=-\frac{25}{6}x^2+\frac{10}{3}x}$；(2) 会失误。
【知识点】
二次函数的应用，待定系数法求解析式，二次函数的性质
【点评】
本题结合实际场景考查二次函数的应用，核心是将实际问题转化为二次函数的代数计算，解题时要注意坐标和实际量的对应关系，避免出现单位或数值对应错误。
【难度系数】
0.65
5.（2025·新疆中考）天山胜利隧道预计于2025年建成通车，它将成为世界上最长的高速公路隧道，能大大提升区域交通效率，促进经济发展. 如图是隧道截面图，其轮廓可近似看作是抛物线的一部分. 若隧道底部宽12 m，高8 m，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系.
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5 m，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2 m（中心线宽度不计）. 若宽3 m，高3.5 m的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由.
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5 m，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2 m（中心线宽度不计）. 若宽3 m，高3.5 m的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由.
答案
5. (1)y = - 2/9(x - 6)² + 8(0 ≤ x ≤ 12);(2) 能安全通过,理由略.
解析
【分析】
（1）求抛物线解析式：观察图像可知抛物线顶点坐标为(6,8)，且过原点(0,0)，因此选用顶点式设解析式，代入已知点即可求出未知系数，同时标注自变量的取值范围即可。
（2）判断车辆能否安全通过：首先明确安全通过的条件是对应位置的隧道高度≥车辆高度+0.5m空隙。先根据车辆宽度、两车间隔计算出车辆最外侧对应的x坐标，代入解析式求出对应位置的隧道高度，和要求的最小高度比较即可得出结论。
【解析】
（1）由题意得，抛物线的顶点坐标为$(6,8)$，且过点$(0,0)$，
设抛物线的解析式为$y=a(x-6)^2+8$（$a≠0$），
将$(0,0)$代入解析式得：
$0=a(0-6)^2+8$，
即$36a+8=0$，解得$a=-\frac{2}{9}$，
结合隧道截面的范围，自变量$x$的取值范围是$0≤ x≤12$，
因此抛物线的函数解析式为$y=-\frac{2}{9}(x-6)^2+8(0≤ x≤12)$。
（2）能安全通过，理由如下：
车辆安全通过时，对应位置的隧道最小高度为$3.5+0.5=4\ \mathrm{m}$。
两辆车宽各3m，间隔2m，总占用宽度为$3+2+3=8\ \mathrm{m}$，
沿中心线（对称轴$x=6$）两侧行驶，因此车辆最左侧的横坐标为$6-\frac{8}{2}=2$，最右侧的横坐标为$6+\frac{8}{2}=10$。
将$x=2$代入解析式得：
$y=-\frac{2}{9}×(2-6)^2+8=-\frac{32}{9}+8=\frac{40}{9}\approx4.44\ \mathrm{m}$，
由抛物线对称性可知$x=10$时，$y=\frac{40}{9}\approx4.44\ \mathrm{m}$，
因为$4.44＞4$，即车辆最外侧位置的隧道高度大于要求的最小高度，空隙满足不少于0.5m的要求，因此两辆车能安全通过。
【答案】
(1)$y = - \frac{2}{9}(x - 6)^2 + 8(0 ≤ x ≤ 12)$；(2) 能安全通过，理由见解析。
【知识点】
1. 二次函数解析式求解
2. 二次函数的对称性
3. 二次函数实际应用
【点评】
本题结合隧道通行的实际场景考查二次函数的应用，解题核心是准确建立二次函数模型，再结合题意找到对应自变量的取值，通过计算函数值完成判断，既考查基础知识点，又锻炼将数学知识应用于实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
（1）求抛物线解析式：观察图像可知抛物线顶点坐标为(6,8)，且过原点(0,0)，因此选用顶点式设解析式，代入已知点即可求出未知系数，同时标注自变量的取值范围即可。
（2）判断车辆能否安全通过：首先明确安全通过的条件是对应位置的隧道高度≥车辆高度+0.5m空隙。先根据车辆宽度、两车间隔计算出车辆最外侧对应的x坐标，代入解析式求出对应位置的隧道高度，和要求的最小高度比较即可得出结论。
【解析】
（1）由题意得，抛物线的顶点坐标为$(6,8)$，且过点$(0,0)$，
设抛物线的解析式为$y=a(x-6)^2+8$（$a≠0$），
将$(0,0)$代入解析式得：
$0=a(0-6)^2+8$，
即$36a+8=0$，解得$a=-\frac{2}{9}$，
结合隧道截面的范围，自变量$x$的取值范围是$0≤ x≤12$，
因此抛物线的函数解析式为$y=-\frac{2}{9}(x-6)^2+8(0≤ x≤12)$。
（2）能安全通过，理由如下：
车辆安全通过时，对应位置的隧道最小高度为$3.5+0.5=4\ \mathrm{m}$。
两辆车宽各3m，间隔2m，总占用宽度为$3+2+3=8\ \mathrm{m}$，
沿中心线（对称轴$x=6$）两侧行驶，因此车辆最左侧的横坐标为$6-\frac{8}{2}=2$，最右侧的横坐标为$6+\frac{8}{2}=10$。
将$x=2$代入解析式得：
$y=-\frac{2}{9}×(2-6)^2+8=-\frac{32}{9}+8=\frac{40}{9}\approx4.44\ \mathrm{m}$，
由抛物线对称性可知$x=10$时，$y=\frac{40}{9}\approx4.44\ \mathrm{m}$，
因为$4.44＞4$，即车辆最外侧位置的隧道高度大于要求的最小高度，空隙满足不少于0.5m的要求，因此两辆车能安全通过。
【答案】
(1)$y = - \frac{2}{9}(x - 6)^2 + 8(0 ≤ x ≤ 12)$；(2) 能安全通过，理由见解析。
【知识点】
1. 二次函数解析式求解
2. 二次函数的对称性
3. 二次函数实际应用
【点评】
本题结合隧道通行的实际场景考查二次函数的应用，解题核心是准确建立二次函数模型，再结合题意找到对应自变量的取值，通过计算函数值完成判断，既考查基础知识点，又锻炼将数学知识应用于实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
