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3. 如图是一座抛物线形拱桥,已知水位在AB位置时,水面宽$4\sqrt{6}$ m,水位上升3 m就达到警戒线CD,这时水面宽$4\sqrt{3}$ m.若洪水到来时,水位以每小时0.25 m的速度上升,求水位超过警戒线后几小时能淹到拱桥顶.
答案
解：以抛物线形拱桥的拱顶为原点，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为$ y = ax^2 \ (a＜0) $。
由题意，水位在CD位置时水面宽$ 4\sqrt{3} \, \mathrm{m} $，可得点D的横坐标为$ 2\sqrt{3} $；水位在AB位置时水面宽$ 4\sqrt{6} \, \mathrm{m} $，可得点B的横坐标为$ 2\sqrt{6} $。
设点D的坐标为$ (2\sqrt{3}, y) $，因为水位上升3m从AB到达CD，所以点B的坐标为$ (2\sqrt{6}, y-3) $。
将两点代入抛物线解析式：
$\begin{cases}y = a · (2\sqrt{3})^2 \\y - 3 = a · (2\sqrt{6})^2\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}y = 12a \\y - 3 = 24a\end{cases}$
将第一个方程代入第二个方程，得$ 12a - 3 = 24a $，解得$ a = -\frac{1}{4} $。
将$ a = -\frac{1}{4} $代入$ y=12a $，得$ y = -3 $。
即警戒线CD处的水面距离拱顶的竖直高度为$ 0 - (-3) = 3 \, \mathrm{m} $。
水位上升速度为0.25 m/h，所需时间为$ 3 ÷ 0.25 = 12 \, \mathrm{小时} $。
答：水位超过警戒线后12小时能淹到拱桥顶。
由题意，水位在CD位置时水面宽$ 4\sqrt{3} \, \mathrm{m} $，可得点D的横坐标为$ 2\sqrt{3} $；水位在AB位置时水面宽$ 4\sqrt{6} \, \mathrm{m} $，可得点B的横坐标为$ 2\sqrt{6} $。
设点D的坐标为$ (2\sqrt{3}, y) $，因为水位上升3m从AB到达CD，所以点B的坐标为$ (2\sqrt{6}, y-3) $。
将两点代入抛物线解析式：
$\begin{cases}y = a · (2\sqrt{3})^2 \\y - 3 = a · (2\sqrt{6})^2\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}y = 12a \\y - 3 = 24a\end{cases}$
将第一个方程代入第二个方程，得$ 12a - 3 = 24a $，解得$ a = -\frac{1}{4} $。
将$ a = -\frac{1}{4} $代入$ y=12a $，得$ y = -3 $。
即警戒线CD处的水面距离拱顶的竖直高度为$ 0 - (-3) = 3 \, \mathrm{m} $。
水位上升速度为0.25 m/h，所需时间为$ 3 ÷ 0.25 = 12 \, \mathrm{小时} $。
答：水位超过警戒线后12小时能淹到拱桥顶。
解析
【分析】
解决抛物线形的实际应用问题，首先要建立合适的平面直角坐标系简化计算，本题选择拱顶为原点、抛物线对称轴为y轴建系，可设抛物线解析式为$y=ax^2(a＜0)$，形式最简洁。接下来将水面宽度转化为对应点的横坐标：AB宽$4\sqrt{6}\ \mathrm{m}$，故B点横坐标为宽度的一半$2\sqrt{6}$；CD宽$4\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，故D点横坐标为$2\sqrt{3}$。再结合CD比AB高3 m的条件，设出D、B两点的坐标，代入抛物线解析式列方程组，求解得到a和D点的纵坐标，即可得到CD到拱顶的竖直距离，最后用距离除以水位上升速度就能求出所需时间。
【解析】
以抛物线形拱桥的拱顶为原点，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为$ y = ax^2 \ (a＜0) $。
由题意，水位在CD位置时水面宽$ 4\sqrt{3} \, \mathrm{m} $，可得点D的横坐标为$ 2\sqrt{3} $；水位在AB位置时水面宽$ 4\sqrt{6} \, \mathrm{m} $，可得点B的横坐标为$ 2\sqrt{6} $。
设点D的坐标为$ (2\sqrt{3}, y) $，因为水位上升3m从AB到达CD，所以点B的坐标为$ (2\sqrt{6}, y-3) $。
将两点代入抛物线解析式：
$\begin{cases}y = a · (2\sqrt{3})^2 \\y - 3 = a · (2\sqrt{6})^2\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}y = 12a \\y - 3 = 24a\end{cases}$
将第一个方程代入第二个方程，得$ 12a - 3 = 24a $，解得$ a = -\frac{1}{4} $。
将$ a = -\frac{1}{4} $代入$ y=12a $，得$ y = -3 $。
即警戒线CD处的水面距离拱顶的竖直高度为$ 0 - (-3) = 3 \, \mathrm{m} $。
水位上升速度为0.25 m/h，所需时间为$ 3 ÷ 0.25 = 12 \, \mathrm{小时} $。
【答案】
水位超过警戒线后12小时能淹到拱桥顶。
【知识点】
二次函数的实际应用；待定系数法求解析式；行程公式应用
【点评】
本题是二次函数解决实际问题的典型题型，核心要点是选择合适的位置建立平面直角坐标系，简化抛物线解析式的形式，再结合已知条件列方程求解，能有效考查学生将实际问题转化为数学模型的能力和运算能力。
【难度系数】
0.6
解决抛物线形的实际应用问题，首先要建立合适的平面直角坐标系简化计算，本题选择拱顶为原点、抛物线对称轴为y轴建系，可设抛物线解析式为$y=ax^2(a＜0)$，形式最简洁。接下来将水面宽度转化为对应点的横坐标：AB宽$4\sqrt{6}\ \mathrm{m}$，故B点横坐标为宽度的一半$2\sqrt{6}$；CD宽$4\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，故D点横坐标为$2\sqrt{3}$。再结合CD比AB高3 m的条件，设出D、B两点的坐标，代入抛物线解析式列方程组，求解得到a和D点的纵坐标，即可得到CD到拱顶的竖直距离，最后用距离除以水位上升速度就能求出所需时间。
【解析】
以抛物线形拱桥的拱顶为原点，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为$ y = ax^2 \ (a＜0) $。
由题意，水位在CD位置时水面宽$ 4\sqrt{3} \, \mathrm{m} $，可得点D的横坐标为$ 2\sqrt{3} $；水位在AB位置时水面宽$ 4\sqrt{6} \, \mathrm{m} $，可得点B的横坐标为$ 2\sqrt{6} $。
设点D的坐标为$ (2\sqrt{3}, y) $，因为水位上升3m从AB到达CD，所以点B的坐标为$ (2\sqrt{6}, y-3) $。
将两点代入抛物线解析式：
$\begin{cases}y = a · (2\sqrt{3})^2 \\y - 3 = a · (2\sqrt{6})^2\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}y = 12a \\y - 3 = 24a\end{cases}$
将第一个方程代入第二个方程，得$ 12a - 3 = 24a $，解得$ a = -\frac{1}{4} $。
将$ a = -\frac{1}{4} $代入$ y=12a $，得$ y = -3 $。
即警戒线CD处的水面距离拱顶的竖直高度为$ 0 - (-3) = 3 \, \mathrm{m} $。
水位上升速度为0.25 m/h，所需时间为$ 3 ÷ 0.25 = 12 \, \mathrm{小时} $。
【答案】
水位超过警戒线后12小时能淹到拱桥顶。
【知识点】
二次函数的实际应用；待定系数法求解析式；行程公式应用
【点评】
本题是二次函数解决实际问题的典型题型，核心要点是选择合适的位置建立平面直角坐标系，简化抛物线解析式的形式，再结合已知条件列方程求解，能有效考查学生将实际问题转化为数学模型的能力和运算能力。
【难度系数】
0.6
1. 有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下的水面宽度为20 m，拱顶距离水平面4 m，可建立平面直角坐标系如图所示. 若正常水位时，桥下水深6 m，为保证过往船只
顺利航行，桥下水面宽度不得小于18 m，则当水深超过(
A.2.76 m
B.6.76 m
C.6 m
D.7 m
顺利航行，桥下水面宽度不得小于18 m，则当水深超过(B
)时，就会影响过往船只的顺利航行.A.2.76 m
B.6.76 m
C.6 m
D.7 m
答案
1. B
解析
【分析】
本题是二次函数的实际应用问题，解题思路如下：①首先根据平面直角坐标系的特征，拱顶为坐标原点，抛物线开口向下，因此设抛物线解析式为$y=ax^2(a≠0)$；②利用正常水位时水面宽度20m、拱顶距水面4m的条件，得到抛物线上的点坐标，代入解析式求出$a$，确定抛物线的完整解析式；③当水面宽度为18m时，横坐标为$\pm9$，代入解析式求出对应的纵坐标，计算此时水面相比正常水位上升的高度，结合原有水深求出临界水深，即可得到答案。
【解析】
设该抛物线的解析式为$ y=ax^2(a≠0) $。
由题意得，正常水位时桥下水面宽度为20m，拱顶距离水面4m，因此点$(10,-4)$在抛物线上，将其代入解析式：
$ -4=a×10^2 $
解得$ a=-\frac{1}{25} $，即抛物线解析式为$ y=-\frac{1}{25}x^2 $。
当桥下水面宽度为18m时，此时水面的横坐标为$ x=\pm9 $，将$x=9$代入解析式：
$ y=-\frac{1}{25}×9^2=-\frac{81}{25}=-3.24 $
即此时水面在拱顶下方3.24m处，相比正常水位（拱顶下方4m处）上升了$ 4-3.24=0.76\mathrm{m} $。
已知正常水位时水深6m，因此临界水深为$ 6+0.76=6.76\mathrm{m} $，即水深超过6.76m时会影响船只航行。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的实际应用；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的图像性质
【点评】
本题结合生活实际考查二次函数的应用，解题关键是根据坐标系建立正确的二次函数模型，利用已知条件求出解析式后，结合实际问题的要求代入计算即可，属于常见的基础应用题型。
【难度系数】
0.7
本题是二次函数的实际应用问题，解题思路如下：①首先根据平面直角坐标系的特征，拱顶为坐标原点，抛物线开口向下，因此设抛物线解析式为$y=ax^2(a≠0)$；②利用正常水位时水面宽度20m、拱顶距水面4m的条件，得到抛物线上的点坐标，代入解析式求出$a$，确定抛物线的完整解析式；③当水面宽度为18m时，横坐标为$\pm9$，代入解析式求出对应的纵坐标，计算此时水面相比正常水位上升的高度，结合原有水深求出临界水深，即可得到答案。
【解析】
设该抛物线的解析式为$ y=ax^2(a≠0) $。
由题意得，正常水位时桥下水面宽度为20m，拱顶距离水面4m，因此点$(10,-4)$在抛物线上，将其代入解析式：
$ -4=a×10^2 $
解得$ a=-\frac{1}{25} $，即抛物线解析式为$ y=-\frac{1}{25}x^2 $。
当桥下水面宽度为18m时，此时水面的横坐标为$ x=\pm9 $，将$x=9$代入解析式：
$ y=-\frac{1}{25}×9^2=-\frac{81}{25}=-3.24 $
即此时水面在拱顶下方3.24m处，相比正常水位（拱顶下方4m处）上升了$ 4-3.24=0.76\mathrm{m} $。
已知正常水位时水深6m，因此临界水深为$ 6+0.76=6.76\mathrm{m} $，即水深超过6.76m时会影响船只航行。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的实际应用；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的图像性质
【点评】
本题结合生活实际考查二次函数的应用，解题关键是根据坐标系建立正确的二次函数模型，利用已知条件求出解析式后，结合实际问题的要求代入计算即可，属于常见的基础应用题型。
【难度系数】
0.7
2. 飞机着陆后滑行的距离$s$(单位:$\mathrm{m}$)关于滑行的时间$t$(单位:$\mathrm{s}$)的函数解析式是$s=60t - \dfrac{3}{2}t^2$,则飞机着陆后滑行的最长时间为________ $\mathrm{s}.$
答案
2. 20
解析
【分析】
本题是二次函数在实际行程问题中的应用，要求飞机着陆后滑行的最长时间，本质是求滑行距离最大时对应的时间：飞机着陆后滑行速度逐渐减小，直到速度为0时滑行距离达到最大，之后不再滑行，因此对应二次函数的最大值点的横坐标即为所求。我们可以利用二次函数的顶点坐标公式，或配方法将函数化为顶点式求解。
【解析】
已知滑行距离的函数解析式为$s=60t-\dfrac{3}{2}t^2$，整理为二次函数一般形式：
$s = -\dfrac{3}{2}t^2 + 60t$
其中二次项系数$a=-\dfrac{3}{2}＜0$，函数图象开口向下，当$t=-\dfrac{b}{2a}$时，$s$取得最大值，对应飞机停止滑行，此时的$t$就是最长滑行时间。
代入$a=-\dfrac{3}{2}$，$b=60$计算：
$t=-\dfrac{60}{2×(-\dfrac{3}{2})}=\dfrac{60}{3}=20\ \mathrm{s}$
也可通过配方法验证：
$s=-\dfrac{3}{2}(t^2-40t)=-\dfrac{3}{2}(t-20)^2+600$
当$t=20$时，$s$取最大值600，符合实际意义。
【答案】
20
【知识点】
二次函数的最值；二次函数的实际应用
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的应用，解题的关键是明确“最长滑行时间”的实际意义对应二次函数取最大值时的自变量取值，熟练掌握二次函数顶点坐标的求解方法即可轻松解决。
【难度系数】
0.7
本题是二次函数在实际行程问题中的应用，要求飞机着陆后滑行的最长时间，本质是求滑行距离最大时对应的时间：飞机着陆后滑行速度逐渐减小，直到速度为0时滑行距离达到最大，之后不再滑行，因此对应二次函数的最大值点的横坐标即为所求。我们可以利用二次函数的顶点坐标公式，或配方法将函数化为顶点式求解。
【解析】
已知滑行距离的函数解析式为$s=60t-\dfrac{3}{2}t^2$，整理为二次函数一般形式：
$s = -\dfrac{3}{2}t^2 + 60t$
其中二次项系数$a=-\dfrac{3}{2}＜0$，函数图象开口向下，当$t=-\dfrac{b}{2a}$时，$s$取得最大值，对应飞机停止滑行，此时的$t$就是最长滑行时间。
代入$a=-\dfrac{3}{2}$，$b=60$计算：
$t=-\dfrac{60}{2×(-\dfrac{3}{2})}=\dfrac{60}{3}=20\ \mathrm{s}$
也可通过配方法验证：
$s=-\dfrac{3}{2}(t^2-40t)=-\dfrac{3}{2}(t-20)^2+600$
当$t=20$时，$s$取最大值600，符合实际意义。
【答案】
20
【知识点】
二次函数的最值；二次函数的实际应用
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的应用，解题的关键是明确“最长滑行时间”的实际意义对应二次函数取最大值时的自变量取值，熟练掌握二次函数顶点坐标的求解方法即可轻松解决。
【难度系数】
0.7
3. 某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚.
（1）现建立如图所示的平面直角坐标系，试求抛物线的解析式.
（2）若菜农身高1.60 m，则他在不弯腰的情况下，横向活动范围有多宽？（$\sqrt{5} \approx 2.236$，结果精确到0.01 m）
（1）现建立如图所示的平面直角坐标系，试求抛物线的解析式.
（2）若菜农身高1.60 m，则他在不弯腰的情况下，横向活动范围有多宽？（$\sqrt{5} \approx 2.236$，结果精确到0.01 m）
答案
3. (1)y = - 1/2 x² + 2(- 2 ≤ x ≤ 2);(2)1.79 m.
解析
【分析】
（1）求抛物线解析式时，观察图像可知抛物线顶点为$(0,2)$，且过点$(2,0)$，已知顶点坐标可设顶点式$y=ax^2+c$，代入已知点坐标即可求出未知系数，同时要结合实际情况确定自变量$x$的取值范围。
（2）菜农不弯腰的高度为1.60m，即令函数值$y=1.60$，代入解析式求出对应的$x$的两个解，两个解的差就是横向活动的宽度，最后按要求取近似值即可。
【解析】
（1）由图像可得，抛物线的顶点坐标为$(0,2)$，且经过点$(2,0)$，设抛物线的解析式为$y=ax^2+c(a≠0)$。
将顶点$(0,2)$代入解析式，得$c=2$，即解析式可写为$y=ax^2+2$。
将点$(2,0)$代入$y=ax^2+2$，可得：
$0=a×2^2+2$
$4a=-2$
解得$a=-\frac{1}{2}$
结合大棚的实际宽度，自变量$x$的取值范围为$-2≤ x≤2$，
因此抛物线的解析式为$y=-\frac{1}{2}x^2+2(-2≤ x≤2)$。
（2）当菜农身高为1.60m，即$y=1.60$时，代入解析式得：
$1.60=-\frac{1}{2}x^2+2$
移项整理得：$\frac{1}{2}x^2=2-1.60=0.4$
两边同乘2得：$x^2=0.8$
解得$x=\pm\sqrt{0.8}=\pm\frac{2\sqrt{5}}{5}$
则横向活动范围的宽度为：
$\frac{2\sqrt{5}}{5}-(-\frac{2\sqrt{5}}{5})=\frac{4\sqrt{5}}{5}$
将$\sqrt{5}\approx2.236$代入计算，得$\frac{4×2.236}{5}\approx1.79(\mathrm{m})$
【答案】
（1）$y = -\frac{1}{2}x^2 + 2(-2≤ x≤ 2)$；（2）$1.79\ \mathrm{m}$
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 二次函数的实际应用
【点评】
本题考查二次函数在实际生活中的应用，解题核心是准确求出抛物线解析式，再结合实际问题的数量关系代入求值，计算时需注意结果的精确度要求。
【难度系数】
0.75
（1）求抛物线解析式时，观察图像可知抛物线顶点为$(0,2)$，且过点$(2,0)$，已知顶点坐标可设顶点式$y=ax^2+c$，代入已知点坐标即可求出未知系数，同时要结合实际情况确定自变量$x$的取值范围。
（2）菜农不弯腰的高度为1.60m，即令函数值$y=1.60$，代入解析式求出对应的$x$的两个解，两个解的差就是横向活动的宽度，最后按要求取近似值即可。
【解析】
（1）由图像可得，抛物线的顶点坐标为$(0,2)$，且经过点$(2,0)$，设抛物线的解析式为$y=ax^2+c(a≠0)$。
将顶点$(0,2)$代入解析式，得$c=2$，即解析式可写为$y=ax^2+2$。
将点$(2,0)$代入$y=ax^2+2$，可得：
$0=a×2^2+2$
$4a=-2$
解得$a=-\frac{1}{2}$
结合大棚的实际宽度，自变量$x$的取值范围为$-2≤ x≤2$，
因此抛物线的解析式为$y=-\frac{1}{2}x^2+2(-2≤ x≤2)$。
（2）当菜农身高为1.60m，即$y=1.60$时，代入解析式得：
$1.60=-\frac{1}{2}x^2+2$
移项整理得：$\frac{1}{2}x^2=2-1.60=0.4$
两边同乘2得：$x^2=0.8$
解得$x=\pm\sqrt{0.8}=\pm\frac{2\sqrt{5}}{5}$
则横向活动范围的宽度为：
$\frac{2\sqrt{5}}{5}-(-\frac{2\sqrt{5}}{5})=\frac{4\sqrt{5}}{5}$
将$\sqrt{5}\approx2.236$代入计算，得$\frac{4×2.236}{5}\approx1.79(\mathrm{m})$
【答案】
（1）$y = -\frac{1}{2}x^2 + 2(-2≤ x≤ 2)$；（2）$1.79\ \mathrm{m}$
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 二次函数的实际应用
【点评】
本题考查二次函数在实际生活中的应用，解题核心是准确求出抛物线解析式，再结合实际问题的数量关系代入求值，计算时需注意结果的精确度要求。
【难度系数】
0.75
