登录
变式 如图,隧道的截面由抛物线和长方形构成,长方形的长是12 m,宽是4 m. 按照图中所示的直角坐标系,抛物线可以用$y = -\dfrac{1}{6}x^2 + bx + c$表示,且抛物线上的点C到OB的水平距离为3 m,到地面OA的距离为$\dfrac{17}{2}$ m.
(1) 求抛物线的函数解析式,并求出拱顶D到地面OA的距离.
(2) 一辆货运汽车载一长方体集装箱后的高为6 m,宽为4 m. 如果隧道内设双向车道,那么这辆货车能否安全通过?
(3) 在抛物线形拱壁上需要安装两排灯,使它们离地面的高度相等. 如果灯离地面的高度不超过8 m,那么两排灯的水平距离最小是多少?
(1) 求抛物线的函数解析式,并求出拱顶D到地面OA的距离.
(2) 一辆货运汽车载一长方体集装箱后的高为6 m,宽为4 m. 如果隧道内设双向车道,那么这辆货车能否安全通过?
(3) 在抛物线形拱壁上需要安装两排灯,使它们离地面的高度相等. 如果灯离地面的高度不超过8 m,那么两排灯的水平距离最小是多少?
答案
解：
(1) 由题意得，点B的坐标为$(0,4)$，点C的坐标为$(3,\dfrac{17}{2})$。
将$B(0,4)$代入$y = -\dfrac{1}{6}x^2 + bx + c$，得$c=4$。
将$C(3,\dfrac{17}{2})$和$c=4$代入解析式：
$\dfrac{17}{2}=-\dfrac{1}{6}×3^2 + 3b + 4$
解得$b=2$。
因此抛物线的函数解析式为$y=-\dfrac{1}{6}x^2 + 2x + 4$。
将解析式配方得：
$y=-\dfrac{1}{6}(x-6)^2 + 10$
可得拱顶D的坐标为$(6,10)$，即拱顶D到地面OA的距离为$10\ \mathrm{m}$。
(2) 已知货车高为$6\ \mathrm{m}$，令$y=6$，代入解析式：
$6=-\dfrac{1}{6}x^2 + 2x + 4$
整理得$x^2 -12x +12=0$，解得$x_1=6-2\sqrt{6}$，$x_2=6+2\sqrt{6}$。
双向车道下，单侧车道最大可用宽度为$6 - (6-2\sqrt{6})=2\sqrt{6}\approx4.90\ \mathrm{m}$，
因为$4.90＞4$，所以这辆货车能安全通过。
(3) 要使两排灯水平距离最小，需灯的高度取允许的最大值$8\ \mathrm{m}$，令$y=8$，代入解析式：
$8=-\dfrac{1}{6}x^2 + 2x + 4$
整理得$x^2 -12x +24=0$，解得$x_1=6+2\sqrt{3}$，$x_2=6-2\sqrt{3}$。
两排灯的水平距离为$x_1 - x_2=(6+2\sqrt{3})-(6-2\sqrt{3})=4\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
答：(1) 抛物线解析式为$y=-\dfrac{1}{6}x^2+2x+4$，拱顶D到地面OA的距离为$10\ \mathrm{m}$；(2) 货车能安全通过；(3) 两排灯的水平距离最小是$4\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
(1) 由题意得，点B的坐标为$(0,4)$，点C的坐标为$(3,\dfrac{17}{2})$。
将$B(0,4)$代入$y = -\dfrac{1}{6}x^2 + bx + c$，得$c=4$。
将$C(3,\dfrac{17}{2})$和$c=4$代入解析式：
$\dfrac{17}{2}=-\dfrac{1}{6}×3^2 + 3b + 4$
解得$b=2$。
因此抛物线的函数解析式为$y=-\dfrac{1}{6}x^2 + 2x + 4$。
将解析式配方得：
$y=-\dfrac{1}{6}(x-6)^2 + 10$
可得拱顶D的坐标为$(6,10)$，即拱顶D到地面OA的距离为$10\ \mathrm{m}$。
(2) 已知货车高为$6\ \mathrm{m}$，令$y=6$，代入解析式：
$6=-\dfrac{1}{6}x^2 + 2x + 4$
整理得$x^2 -12x +12=0$，解得$x_1=6-2\sqrt{6}$，$x_2=6+2\sqrt{6}$。
双向车道下，单侧车道最大可用宽度为$6 - (6-2\sqrt{6})=2\sqrt{6}\approx4.90\ \mathrm{m}$，
因为$4.90＞4$，所以这辆货车能安全通过。
(3) 要使两排灯水平距离最小，需灯的高度取允许的最大值$8\ \mathrm{m}$，令$y=8$，代入解析式：
$8=-\dfrac{1}{6}x^2 + 2x + 4$
整理得$x^2 -12x +24=0$，解得$x_1=6+2\sqrt{3}$，$x_2=6-2\sqrt{3}$。
两排灯的水平距离为$x_1 - x_2=(6+2\sqrt{3})-(6-2\sqrt{3})=4\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
答：(1) 抛物线解析式为$y=-\dfrac{1}{6}x^2+2x+4$，拱顶D到地面OA的距离为$10\ \mathrm{m}$；(2) 货车能安全通过；(3) 两排灯的水平距离最小是$4\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
解析
【分析】
(1) 求解抛物线解析式首先需要确定抛物线上已知点的坐标：由题意得B点坐标为$(0,4)$，C点坐标为$(3,\dfrac{17}{2})$，将两点坐标代入抛物线一般式，先求出系数$c$，再求出$b$，即可得到解析式；再将解析式配方为顶点式，顶点的纵坐标就是拱顶D到地面OA的距离。
(2) 判断货车能否安全通过，只需令函数值$y$等于货车高度6m，解对应一元二次方程得到两个自变量$x$的值，由于隧道是双向车道，单侧可通行的最大宽度为对称轴$x=6$到左侧解的距离，将其与货车宽度4m比较，若大于4则可安全通过。
(3) 根据抛物线开口向下的性质，同一高度对应的两个横坐标的差值随高度的升高而减小，因此要使两排灯水平距离最小，需取灯的最大允许高度8m，令$y=8$，解对应一元二次方程得到两个$x$值，两值的差即为最小水平距离。
【解析】
(1) 由题意可知点B坐标为$(0,4)$，点C坐标为$(3,\dfrac{17}{2})$。
将$B(0,4)$代入$y = -\dfrac{1}{6}x^2 + bx + c$，得$c=4$。
将$C(3,\dfrac{17}{2})$、$c=4$代入解析式：
$\dfrac{17}{2}=-\dfrac{1}{6}×3^2 + 3b + 4$
解得$b=2$。
因此抛物线的函数解析式为$y=-\dfrac{1}{6}x^2 + 2x + 4$。
将解析式配方得：
$y=-\dfrac{1}{6}(x-6)^2 + 10$
可得拱顶D的坐标为$(6,10)$，即拱顶D到地面OA的距离为$10\ \mathrm{m}$。
(2) 已知货车高为$6\ \mathrm{m}$，令$y=6$，代入解析式：
$6=-\dfrac{1}{6}x^2 + 2x + 4$
整理得$x^2 -12x +12=0$，解得$x_1=6-2\sqrt{6}$，$x_2=6+2\sqrt{6}$。
双向车道下，单侧车道最大可用宽度为$6 - (6-2\sqrt{6})=2\sqrt{6}\approx4.90\ \mathrm{m}$，
因为$4.90＞4$，所以这辆货车能安全通过。
(3) 要使两排灯水平距离最小，需灯的高度取允许的最大值$8\ \mathrm{m}$，令$y=8$，代入解析式：
$8=-\dfrac{1}{6}x^2 + 2x + 4$
整理得$x^2 -12x +24=0$，解得$x_1=6+2\sqrt{3}$，$x_2=6-2\sqrt{3}$。
两排灯的水平距离为$x_1 - x_2=(6+2\sqrt{3})-(6-2\sqrt{3})=4\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) 抛物线解析式为$y=-\dfrac{1}{6}x^2+2x+4$，拱顶D到地面OA的距离为$10\ \mathrm{m}$；
(2) 货车能安全通过；
(3) 两排灯的水平距离最小是$4\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
【知识点】
1. 二次函数解析式的确定
2. 二次函数的实际应用
3. 二次函数的图像与性质
【点评】
本题以隧道的实际应用场景为载体，考查二次函数相关知识的应用能力，解题时需要将实际问题转化为二次函数的数值计算问题，熟练掌握二次函数的性质、一元二次方程的解法是解题的核心。
【难度系数】
0.65
(1) 求解抛物线解析式首先需要确定抛物线上已知点的坐标：由题意得B点坐标为$(0,4)$，C点坐标为$(3,\dfrac{17}{2})$，将两点坐标代入抛物线一般式，先求出系数$c$，再求出$b$，即可得到解析式；再将解析式配方为顶点式，顶点的纵坐标就是拱顶D到地面OA的距离。
(2) 判断货车能否安全通过，只需令函数值$y$等于货车高度6m，解对应一元二次方程得到两个自变量$x$的值，由于隧道是双向车道，单侧可通行的最大宽度为对称轴$x=6$到左侧解的距离，将其与货车宽度4m比较，若大于4则可安全通过。
(3) 根据抛物线开口向下的性质，同一高度对应的两个横坐标的差值随高度的升高而减小，因此要使两排灯水平距离最小，需取灯的最大允许高度8m，令$y=8$，解对应一元二次方程得到两个$x$值，两值的差即为最小水平距离。
【解析】
(1) 由题意可知点B坐标为$(0,4)$，点C坐标为$(3,\dfrac{17}{2})$。
将$B(0,4)$代入$y = -\dfrac{1}{6}x^2 + bx + c$，得$c=4$。
将$C(3,\dfrac{17}{2})$、$c=4$代入解析式：
$\dfrac{17}{2}=-\dfrac{1}{6}×3^2 + 3b + 4$
解得$b=2$。
因此抛物线的函数解析式为$y=-\dfrac{1}{6}x^2 + 2x + 4$。
将解析式配方得：
$y=-\dfrac{1}{6}(x-6)^2 + 10$
可得拱顶D的坐标为$(6,10)$，即拱顶D到地面OA的距离为$10\ \mathrm{m}$。
(2) 已知货车高为$6\ \mathrm{m}$，令$y=6$，代入解析式：
$6=-\dfrac{1}{6}x^2 + 2x + 4$
整理得$x^2 -12x +12=0$，解得$x_1=6-2\sqrt{6}$，$x_2=6+2\sqrt{6}$。
双向车道下，单侧车道最大可用宽度为$6 - (6-2\sqrt{6})=2\sqrt{6}\approx4.90\ \mathrm{m}$，
因为$4.90＞4$，所以这辆货车能安全通过。
(3) 要使两排灯水平距离最小，需灯的高度取允许的最大值$8\ \mathrm{m}$，令$y=8$，代入解析式：
$8=-\dfrac{1}{6}x^2 + 2x + 4$
整理得$x^2 -12x +24=0$，解得$x_1=6+2\sqrt{3}$，$x_2=6-2\sqrt{3}$。
两排灯的水平距离为$x_1 - x_2=(6+2\sqrt{3})-(6-2\sqrt{3})=4\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) 抛物线解析式为$y=-\dfrac{1}{6}x^2+2x+4$，拱顶D到地面OA的距离为$10\ \mathrm{m}$；
(2) 货车能安全通过；
(3) 两排灯的水平距离最小是$4\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
【知识点】
1. 二次函数解析式的确定
2. 二次函数的实际应用
3. 二次函数的图像与性质
【点评】
本题以隧道的实际应用场景为载体，考查二次函数相关知识的应用能力，解题时需要将实际问题转化为二次函数的数值计算问题，熟练掌握二次函数的性质、一元二次方程的解法是解题的核心。
【难度系数】
0.65
1. 如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2 m时，水面宽4 m.若水面下降2.5 m，则水面宽度为()
A.3 m
B.6 m
C.8 m
D.9 m
A.3 m
B.6 m
C.8 m
D.9 m
答案
B
解析
【分析】
这是二次函数解决实际问题的题型，解题思路如下：第一步，合理建立平面直角坐标系，为了简化计算，我们以拱桥拱顶为坐标原点，过原点的水平线为x轴，竖直方向为y轴建立坐标系，此时抛物线顶点在原点，解析式可设为最简形式$y=ax^2$；第二步，利用已知条件“拱顶离水面2m时水面宽4m”得到抛物线上的点坐标，代入解析式求出待定系数$a$，确定抛物线的解析式；第三步，水面下降2.5m，即此时对应的$y$值为$-2-2.5=-4.5$，将$y$值代入解析式求出对应的$x$值，两个$x$值的差就是此时的水面宽度。
【解析】
解：以拱顶为原点，对称轴为y轴建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为$ y=ax^2 (a≠0) $。
由题意可知，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，此时水面上的点$(2, -2)$在抛物线上，将点代入解析式：
$ -2 = a×2^2 $
解得$ a=-\frac{1}{2} $
因此抛物线解析式为$ y=-\frac{1}{2}x^2 $
当水面下降2.5m时，此时对应点的纵坐标为$ y=-2 - 2.5 = -4.5 $，代入解析式：
$ -4.5 = -\frac{1}{2}x^2 $
解得$ x^2=9 $，即$ x=±3 $
此时水面宽度为$ 3 - (-3) = 6(m) $
【答案】
B
【知识点】
二次函数实际应用；待定系数法求解析式；二次函数求值
【点评】
本题是二次函数与实际生活结合的典型题型，解题核心是选择合适的位置建立平面直角坐标系，简化解析式的形式，再结合已知条件逐步求解即可，坐标系建立的合理性直接影响计算的复杂程度。
【难度系数】
0.7
这是二次函数解决实际问题的题型，解题思路如下：第一步，合理建立平面直角坐标系，为了简化计算，我们以拱桥拱顶为坐标原点，过原点的水平线为x轴，竖直方向为y轴建立坐标系，此时抛物线顶点在原点，解析式可设为最简形式$y=ax^2$；第二步，利用已知条件“拱顶离水面2m时水面宽4m”得到抛物线上的点坐标，代入解析式求出待定系数$a$，确定抛物线的解析式；第三步，水面下降2.5m，即此时对应的$y$值为$-2-2.5=-4.5$，将$y$值代入解析式求出对应的$x$值，两个$x$值的差就是此时的水面宽度。
【解析】
解：以拱顶为原点，对称轴为y轴建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为$ y=ax^2 (a≠0) $。
由题意可知，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，此时水面上的点$(2, -2)$在抛物线上，将点代入解析式：
$ -2 = a×2^2 $
解得$ a=-\frac{1}{2} $
因此抛物线解析式为$ y=-\frac{1}{2}x^2 $
当水面下降2.5m时，此时对应点的纵坐标为$ y=-2 - 2.5 = -4.5 $，代入解析式：
$ -4.5 = -\frac{1}{2}x^2 $
解得$ x^2=9 $，即$ x=±3 $
此时水面宽度为$ 3 - (-3) = 6(m) $
【答案】
B
【知识点】
二次函数实际应用；待定系数法求解析式；二次函数求值
【点评】
本题是二次函数与实际生活结合的典型题型，解题核心是选择合适的位置建立平面直角坐标系，简化解析式的形式，再结合已知条件逐步求解即可，坐标系建立的合理性直接影响计算的复杂程度。
【难度系数】
0.7
2. 某幢建筑物,从 10 m高的窗口 A 用水管向外喷水,喷出的水呈抛物线状(如图,抛物线所在平面与墙面垂直).如果抛物线的最高点 M 离墙1 m,离地面$\frac{40}{3}$ m,那么水流落地点 B 离墙（）
A.2 m
B.3 m
C.4 m
D.5 m
A.2 m
B.3 m
C.4 m
D.5 m
答案
B
解析
【分析】
解决此类抛物线实际应用题，首先要建立合适的平面直角坐标系，将实际长度转化为点的坐标。本题已知抛物线的最高点（即顶点）坐标，因此优先选择顶点式设二次函数解析式，再代入已知点A的坐标求出解析式，最后令y=0（落地时高度为0）求解一元二次方程，舍去不符合实际的负根，得到的正根就是水流落地点B离墙的距离。
【解析】
以O为原点，墙面所在直线为y轴，地面所在直线为x轴建立平面直角坐标系。
由题意可知：抛物线顶点M的坐标为$(1,\frac{40}{3})$，点A的坐标为$(0,10)$。
设抛物线的解析式为$y=a(x-1)^2+\frac{40}{3}$，将$A(0,10)$代入解析式得：
$10=a×(0-1)^2+\frac{40}{3}$
解得$a=10-\frac{40}{3}=-\frac{10}{3}$
因此抛物线解析式为$y=-\frac{10}{3}(x-1)^2+\frac{40}{3}$
水流落地时高度为0，令$y=0$，代入得：
$0=-\frac{10}{3}(x-1)^2+\frac{40}{3}$
两边同乘3得：$0=-10(x-1)^2+40$
整理得：$(x-1)^2=4$
解得$x_1=3$，$x_2=-1$（不符合实际，舍去）
即水流落地点B的横坐标为3，所以B离墙3m。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的实际应用；待定系数法求解析式；二次函数与方程的关系
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的典型应用，解题核心是合理建立平面直角坐标系，结合顶点式简化解析式的求解过程，最后要注意根据实际意义对解方程得到的根进行取舍。
【难度系数】
0.7
解决此类抛物线实际应用题，首先要建立合适的平面直角坐标系，将实际长度转化为点的坐标。本题已知抛物线的最高点（即顶点）坐标，因此优先选择顶点式设二次函数解析式，再代入已知点A的坐标求出解析式，最后令y=0（落地时高度为0）求解一元二次方程，舍去不符合实际的负根，得到的正根就是水流落地点B离墙的距离。
【解析】
以O为原点，墙面所在直线为y轴，地面所在直线为x轴建立平面直角坐标系。
由题意可知：抛物线顶点M的坐标为$(1,\frac{40}{3})$，点A的坐标为$(0,10)$。
设抛物线的解析式为$y=a(x-1)^2+\frac{40}{3}$，将$A(0,10)$代入解析式得：
$10=a×(0-1)^2+\frac{40}{3}$
解得$a=10-\frac{40}{3}=-\frac{10}{3}$
因此抛物线解析式为$y=-\frac{10}{3}(x-1)^2+\frac{40}{3}$
水流落地时高度为0，令$y=0$，代入得：
$0=-\frac{10}{3}(x-1)^2+\frac{40}{3}$
两边同乘3得：$0=-10(x-1)^2+40$
整理得：$(x-1)^2=4$
解得$x_1=3$，$x_2=-1$（不符合实际，舍去）
即水流落地点B的横坐标为3，所以B离墙3m。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的实际应用；待定系数法求解析式；二次函数与方程的关系
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的典型应用，解题核心是合理建立平面直角坐标系，结合顶点式简化解析式的求解过程，最后要注意根据实际意义对解方程得到的根进行取舍。
【难度系数】
0.7
