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5. 为了支持大学生创业,某市出台了一项优惠政策:提供10万元的无息创业贷款.小王利用这笔贷款,注册了一家网店,招收5名员工,销售一种电子产品,并约定用该网店经营的利润,逐月偿还这笔无息贷款.已知该产品的成本为每件4元,员工每人每月的工资为4000元,该网店还需每月支付其他费用1万元.该产品每月销售量$y$(单位:万件)与销售单价$x$(单位:元)之间的函数关系如图所示.
(1) 求该网店每月利润$W$(单位:万元)与销售单价$x$之间的函数解析式;
(2) 小王自网店开业起,最快在第几个月可还清10万元的无息贷款?
(1) 求该网店每月利润$W$(单位:万元)与销售单价$x$之间的函数解析式;
(2) 小王自网店开业起,最快在第几个月可还清10万元的无息贷款?
答案
1. 当$4≤ x≤6$时，$W=-0.5x^2+6x-17$；当$6＜x≤8$时，$W=-x^2+12x-23$。
2. 最快在第5个月可还清10万元的无息贷款。
2. 最快在第5个月可还清10万元的无息贷款。
1. 已知在二次函数$y=ax^2+bx+c$中，其
函数值$y$与自变量$x$之间的部分对应值如下表所示：
点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$在函数的图象上，则当$1 ＜ x_1 ＜ 2,3 ＜ x_2 ＜ 4$时，$y_1$与$y_2$的大小关系正确的是(
A.$y_1 ＞ y_2$
B.$y_1 ＜ y_2$
C.$y_1 ≥ y_2$
D.$y_1 ≤ y_2$
函数值$y$与自变量$x$之间的部分对应值如下表所示：
点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$在函数的图象上，则当$1 ＜ x_1 ＜ 2,3 ＜ x_2 ＜ 4$时，$y_1$与$y_2$的大小关系正确的是(
B
)A.$y_1 ＞ y_2$
B.$y_1 ＜ y_2$
C.$y_1 ≥ y_2$
D.$y_1 ≤ y_2$
答案
1. B
解析
【分析】
解题思路如下：首先观察表格中函数值相等的点，可推出二次函数的对称轴，再根据对称轴处为函数最小值判断抛物线开口方向；接着分别计算两个区间内的点到对称轴的距离范围，最后根据开口向上的二次函数“离对称轴越远，函数值越大”的性质，即可比较$y_1$和$y_2$的大小。
【解析】
第一步：求二次函数对称轴
由表格可知，当$x=1$和$x=3$时，函数值$y$均为1，因此二次函数图象的对称轴为直线$x=\frac{1+3}{2}=2$；
又$x=2$时$y=0$是表格中的最小值，说明抛物线开口向上。
第二步：比较两点到对称轴的距离
当$1＜x_1＜2$时，点$A$到对称轴$x=2$的距离$d_1=2-x_1$，可得$0＜d_1＜1$；
当$3＜x_2＜4$时，点$B$到对称轴$x=2$的距离$d_2=x_2-2$，可得$1＜d_2＜2$；
因此$d_1＜d_2$。
第三步：根据二次函数性质比较函数值
开口向上的二次函数，抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值越大，因此$y_1＜y_2$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数的增减性；二次函数图象特征
【点评】
本题是二次函数性质的典型应用，解题核心是先确定抛物线的对称轴和开口方向，无需求出函数解析式，通过比较点到对称轴的距离即可快速判断函数值的大小，能有效考查对二次函数性质的理解和灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先观察表格中函数值相等的点，可推出二次函数的对称轴，再根据对称轴处为函数最小值判断抛物线开口方向；接着分别计算两个区间内的点到对称轴的距离范围，最后根据开口向上的二次函数“离对称轴越远，函数值越大”的性质，即可比较$y_1$和$y_2$的大小。
【解析】
第一步：求二次函数对称轴
由表格可知，当$x=1$和$x=3$时，函数值$y$均为1，因此二次函数图象的对称轴为直线$x=\frac{1+3}{2}=2$；
又$x=2$时$y=0$是表格中的最小值，说明抛物线开口向上。
第二步：比较两点到对称轴的距离
当$1＜x_1＜2$时，点$A$到对称轴$x=2$的距离$d_1=2-x_1$，可得$0＜d_1＜1$；
当$3＜x_2＜4$时，点$B$到对称轴$x=2$的距离$d_2=x_2-2$，可得$1＜d_2＜2$；
因此$d_1＜d_2$。
第三步：根据二次函数性质比较函数值
开口向上的二次函数，抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值越大，因此$y_1＜y_2$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数的增减性；二次函数图象特征
【点评】
本题是二次函数性质的典型应用，解题核心是先确定抛物线的对称轴和开口方向，无需求出函数解析式，通过比较点到对称轴的距离即可快速判断函数值的大小，能有效考查对二次函数性质的理解和灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
2. 二次函数$y = kx^2 - 6x + 3$的图象与x轴有交点,则k的取值范围是(
A.$k ＜ 3$
B.$k ＜ 3$且$k ≠ 0$
C.$k ≤ 3$
D.$k ≤ 3$且$k ≠ 0$
D
)A.$k ＜ 3$
B.$k ＜ 3$且$k ≠ 0$
C.$k ≤ 3$
D.$k ≤ 3$且$k ≠ 0$
答案
2. D
解析
【分析】
解题时首先抓住题干给出的“二次函数”这个前提条件，二次函数的二次项系数不能为0，因此首先可得k≠0；其次二次函数图象与x轴有交点，说明对应的一元二次方程有实数根，根据一元二次方程根的判别式的性质，判别式Δ≥0，代入系数计算出k的取值范围，最后结合k≠0的限制条件，就能得到最终的k的取值范围。
【解析】
解：
∵ 该函数是二次函数
∴ 二次项系数$k ≠ 0$
∵ 二次函数$y = kx^2 - 6x + 3$的图象与x轴有交点
∴ 对应的一元二次方程$kx^2 - 6x + 3 = 0$有实数根，即判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$
其中$a = k$，$b = -6$，$c = 3$，代入得：
$\Delta = (-6)^2 - 4 × k × 3 = 36 - 12k ≥ 0$
解不等式：
$36 ≥ 12k$
$k ≤ 3$
结合$k ≠ 0$的条件，可得k的取值范围是$k ≤ 3$且$k ≠ 0$
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数定义，根的判别式应用，二次函数与x轴交点
【点评】
本题是易错题，很容易忽略题干中“二次函数”的限制，漏掉k≠0的条件误选C，解题时要先抓住二次函数的基本定义确定隐含限制条件，再结合图象与x轴交点的性质用判别式计算，侧重考察基础概念的掌握和审题的细致度。
【难度系数】
0.7
解题时首先抓住题干给出的“二次函数”这个前提条件，二次函数的二次项系数不能为0，因此首先可得k≠0；其次二次函数图象与x轴有交点，说明对应的一元二次方程有实数根，根据一元二次方程根的判别式的性质，判别式Δ≥0，代入系数计算出k的取值范围，最后结合k≠0的限制条件，就能得到最终的k的取值范围。
【解析】
解：
∵ 该函数是二次函数
∴ 二次项系数$k ≠ 0$
∵ 二次函数$y = kx^2 - 6x + 3$的图象与x轴有交点
∴ 对应的一元二次方程$kx^2 - 6x + 3 = 0$有实数根，即判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$
其中$a = k$，$b = -6$，$c = 3$，代入得：
$\Delta = (-6)^2 - 4 × k × 3 = 36 - 12k ≥ 0$
解不等式：
$36 ≥ 12k$
$k ≤ 3$
结合$k ≠ 0$的条件，可得k的取值范围是$k ≤ 3$且$k ≠ 0$
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数定义，根的判别式应用，二次函数与x轴交点
【点评】
本题是易错题，很容易忽略题干中“二次函数”的限制，漏掉k≠0的条件误选C，解题时要先抓住二次函数的基本定义确定隐含限制条件，再结合图象与x轴交点的性质用判别式计算，侧重考察基础概念的掌握和审题的细致度。
【难度系数】
0.7
3. 二次函数$y=ax^2 + bx + c(a≠0)$的图象
，给出下列四个结论：
①$4ac - b^2 ＜ 0$；②$4a + c ＜ 2b$；③$3b + 2c ＜ 0$；④$m(am + b) + b ＜ a(m≠-1)$。其中正确的个数是(
A.4
B.3
C.2
D.1
，给出下列四个结论：①$4ac - b^2 ＜ 0$；②$4a + c ＜ 2b$；③$3b + 2c ＜ 0$；④$m(am + b) + b ＜ a(m≠-1)$。其中正确的个数是(
B
)A.4
B.3
C.2
D.1
答案
3. B
解析
【分析】
首先从二次函数图像提取核心信息：抛物线开口向下（$a＜0$），对称轴为直线$x=-1$，因此可得$b=2a$；抛物线与$x$轴有2个交点，故判别式$\Delta=b^2-4ac＞0$；抛物线与$y$轴交于正半轴，$x=1$时函数值小于0，$x=-1$时函数取得最大值。结合上述信息，逐个代入验证4个结论是否成立即可。
【解析】
我们先整理图像给出的已知条件，逐一判断结论：
① 抛物线与$x$轴有两个不同交点，
∴判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，移项得$4ac - b^2 ＜ 0$，故①正确；
② 结论$4a + c ＜ 2b$可变形为$4a - 2b + c ＜ 0$，该式是$x=-2$时的函数值。由于对称轴为$x=-1$，$x=-2$和$x=0$关于对称轴对称，函数值相等，而$x=0$时$y=c＞0$，即$x=-2$时$y=4a-2b+c＞0$，因此$4a + c ＞ 2b$，故②错误；
③ 由对称轴$x=-\frac{b}{2a}=-1$，得$b=2a$。当$x=1$时，函数值$y=a + b + c ＜ 0$，将$a=\frac{b}{2}$代入得：$\frac{b}{2} + b + c ＜ 0$，两边同乘2得$3b + 2c ＜ 0$，故③正确；
④ 结论$m(am + b) + b ＜ a$可变形为$am^2 + bm + c ＜ a - b + c$。右侧$a - b + c$是$x=-1$时的函数值，而$x=-1$是抛物线的顶点，函数取得最大值，因此对任意$m≠-1$，都有$am^2 + bm + c ＜ a - b + c$，化简后即得$m(am + b) + b ＜ a$，故④正确。
综上，①③④共3个结论正确。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图像与性质，二次函数与不等式，二次函数的最值
【点评】
本题综合考查二次函数图像和系数的关系，解题的关键是熟练运用对称轴、特殊点函数值、最值等性质，将代数结论转化为函数值问题逐一判断，需要具备一定的数形结合能力。
【难度系数】
0.6
首先从二次函数图像提取核心信息：抛物线开口向下（$a＜0$），对称轴为直线$x=-1$，因此可得$b=2a$；抛物线与$x$轴有2个交点，故判别式$\Delta=b^2-4ac＞0$；抛物线与$y$轴交于正半轴，$x=1$时函数值小于0，$x=-1$时函数取得最大值。结合上述信息，逐个代入验证4个结论是否成立即可。
【解析】
我们先整理图像给出的已知条件，逐一判断结论：
① 抛物线与$x$轴有两个不同交点，
∴判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，移项得$4ac - b^2 ＜ 0$，故①正确；
② 结论$4a + c ＜ 2b$可变形为$4a - 2b + c ＜ 0$，该式是$x=-2$时的函数值。由于对称轴为$x=-1$，$x=-2$和$x=0$关于对称轴对称，函数值相等，而$x=0$时$y=c＞0$，即$x=-2$时$y=4a-2b+c＞0$，因此$4a + c ＞ 2b$，故②错误；
③ 由对称轴$x=-\frac{b}{2a}=-1$，得$b=2a$。当$x=1$时，函数值$y=a + b + c ＜ 0$，将$a=\frac{b}{2}$代入得：$\frac{b}{2} + b + c ＜ 0$，两边同乘2得$3b + 2c ＜ 0$，故③正确；
④ 结论$m(am + b) + b ＜ a$可变形为$am^2 + bm + c ＜ a - b + c$。右侧$a - b + c$是$x=-1$时的函数值，而$x=-1$是抛物线的顶点，函数取得最大值，因此对任意$m≠-1$，都有$am^2 + bm + c ＜ a - b + c$，化简后即得$m(am + b) + b ＜ a$，故④正确。
综上，①③④共3个结论正确。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图像与性质，二次函数与不等式，二次函数的最值
【点评】
本题综合考查二次函数图像和系数的关系，解题的关键是熟练运用对称轴、特殊点函数值、最值等性质，将代数结论转化为函数值问题逐一判断，需要具备一定的数形结合能力。
【难度系数】
0.6
4. 已知二次函数$y = x^2 - 3x + m$（$m$为常数）的图象与$x$轴的一个交点坐标为$(1,0)$，则关于$x$的一元二次方程$x^2 - 3x + m = 0$的两实数根是(
A.$x_1 = 1, x_2 = -1$
B.$x_1 = 1, x_2 = 2$
C.$x_1 = 1, x_2 = 0$
D.$x_1 = 1, x_2 = 3$
B
)A.$x_1 = 1, x_2 = -1$
B.$x_1 = 1, x_2 = 2$
C.$x_1 = 1, x_2 = 0$
D.$x_1 = 1, x_2 = 3$
答案
4. B
解析
【分析】
解题可从两个常规思路切入：① 利用二次函数图象上的点满足函数解析式，代入已知交点坐标求出参数m的值，再代入一元二次方程求解两个根；② 利用二次函数与x轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的根，结合一元二次方程根与系数的关系，已知一个根直接求另一个根，计算更简便。
【解析】
方法1：代入求参法
∵ 二次函数$y = x^2 - 3x + m$的图象过点$(1,0)$
∴ 将$x=1,y=0$代入解析式得：
$0 = 1^2 - 3×1 + m$
解得$m=2$
∴ 一元二次方程为$x^2 - 3x + 2 = 0$
因式分解得$(x-1)(x-2)=0$
解得$x_1=1, x_2=2$
方法2：根与系数关系法
二次函数图象与x轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的实数根，已知一个根为$x_1=1$，设另一个根为$x_2$
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，两根之和为$-\frac{b}{a}$
本题中$a=1,b=-3$，因此$x_1+x_2 = 3$
代入$x_1=1$得$x_2=3-1=2$
因此两实数根为$x_1=1, x_2=2$
综上答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数与x轴交点的意义；一元二次方程根与系数的关系；解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考察二次函数和对应一元二次方程的关联，两种解题方法均是常规考点，熟练掌握基础知识点即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
解题可从两个常规思路切入：① 利用二次函数图象上的点满足函数解析式，代入已知交点坐标求出参数m的值，再代入一元二次方程求解两个根；② 利用二次函数与x轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的根，结合一元二次方程根与系数的关系，已知一个根直接求另一个根，计算更简便。
【解析】
方法1：代入求参法
∵ 二次函数$y = x^2 - 3x + m$的图象过点$(1,0)$
∴ 将$x=1,y=0$代入解析式得：
$0 = 1^2 - 3×1 + m$
解得$m=2$
∴ 一元二次方程为$x^2 - 3x + 2 = 0$
因式分解得$(x-1)(x-2)=0$
解得$x_1=1, x_2=2$
方法2：根与系数关系法
二次函数图象与x轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的实数根，已知一个根为$x_1=1$，设另一个根为$x_2$
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，两根之和为$-\frac{b}{a}$
本题中$a=1,b=-3$，因此$x_1+x_2 = 3$
代入$x_1=1$得$x_2=3-1=2$
因此两实数根为$x_1=1, x_2=2$
综上答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数与x轴交点的意义；一元二次方程根与系数的关系；解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考察二次函数和对应一元二次方程的关联，两种解题方法均是常规考点，熟练掌握基础知识点即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
5. 如图,已知抛物线$y=ax^2 + c$与直线$y=kx + m$交于$A(-3,y_1),B(1,y_2)$两点,则关于$x$的不等式$ax^2 + c ≥ -kx + m$的解集是(
A.$x ≤ -3$或$x ≥ 1$
B.$x ≤ -1$或$x ≥ 3$
C.$-3 ≤ x ≤ 1$
D.$-1 ≤ x ≤ 3$
D
)A.$x ≤ -3$或$x ≥ 1$
B.$x ≤ -1$或$x ≥ 3$
C.$-3 ≤ x ≤ 1$
D.$-1 ≤ x ≤ 3$
答案
5. D
解析
【分析】
解本题的核心是将不等式问题转化为两个函数图像的高低位置关系求解。首先观察不等式：左边是已知抛物线$y=ax^2+c$，右边对应函数$y=-kx+m$，它和题干给出的直线$y=kx+m$关于y轴对称（将x替换为-x，$y=kx+m$就变为$y=-kx+m$）；同时抛物线$y=ax^2+c$本身是关于y轴对称的，因此原直线与抛物线的交点A、B关于y轴的对称点，就是抛物线与$y=-kx+m$的交点。得到交点横坐标后，结合抛物线开口方向，找到抛物线在直线上方（含交点）对应的x范围，就是不等式的解集。
【解析】
1. 分析对称性：
① 抛物线$y=ax^2+c$的对称轴为y轴，图像关于y轴对称；
② 直线$y=-kx+m$与直线$y=kx+m$关于y轴对称。
2. 求抛物线与$y=-kx+m$的交点横坐标：
已知抛物线与$y=kx+m$交于$A(-3,y_1)$、$B(1,y_2)$，根据对称性，A、B关于y轴的对称点为$(3,y_1)$、$(-1,y_2)$，这两个点就是抛物线与$y=-kx+m$的交点，即两函数交点的横坐标为$x=-1$和$x=3$。
3. 确定不等式解集：
不等式$ax^2 + c ≥ -kx + m$的几何意义是：抛物线$y=ax^2+c$的图像在直线$y=-kx+m$图像上方（含交点）时x的取值范围。
由图可知抛物线开口向下，在两个交点之间的区间内抛物线位于直线上方，因此解集为$-1 ≤ x ≤ 3$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的对称性；函数与不等式；轴对称的性质
【点评】
本题考查数形结合思想在函数不等式求解中的应用，无需计算参数具体数值，通过函数对称性转化问题即可快速得到结果，是函数部分的典型题型。
【难度系数】
0.6
解本题的核心是将不等式问题转化为两个函数图像的高低位置关系求解。首先观察不等式：左边是已知抛物线$y=ax^2+c$，右边对应函数$y=-kx+m$，它和题干给出的直线$y=kx+m$关于y轴对称（将x替换为-x，$y=kx+m$就变为$y=-kx+m$）；同时抛物线$y=ax^2+c$本身是关于y轴对称的，因此原直线与抛物线的交点A、B关于y轴的对称点，就是抛物线与$y=-kx+m$的交点。得到交点横坐标后，结合抛物线开口方向，找到抛物线在直线上方（含交点）对应的x范围，就是不等式的解集。
【解析】
1. 分析对称性：
① 抛物线$y=ax^2+c$的对称轴为y轴，图像关于y轴对称；
② 直线$y=-kx+m$与直线$y=kx+m$关于y轴对称。
2. 求抛物线与$y=-kx+m$的交点横坐标：
已知抛物线与$y=kx+m$交于$A(-3,y_1)$、$B(1,y_2)$，根据对称性，A、B关于y轴的对称点为$(3,y_1)$、$(-1,y_2)$，这两个点就是抛物线与$y=-kx+m$的交点，即两函数交点的横坐标为$x=-1$和$x=3$。
3. 确定不等式解集：
不等式$ax^2 + c ≥ -kx + m$的几何意义是：抛物线$y=ax^2+c$的图像在直线$y=-kx+m$图像上方（含交点）时x的取值范围。
由图可知抛物线开口向下，在两个交点之间的区间内抛物线位于直线上方，因此解集为$-1 ≤ x ≤ 3$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的对称性；函数与不等式；轴对称的性质
【点评】
本题考查数形结合思想在函数不等式求解中的应用，无需计算参数具体数值，通过函数对称性转化问题即可快速得到结果，是函数部分的典型题型。
【难度系数】
0.6
