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6. 某企业积极响应“创新发展”的号召，研发了一种新产品. 已知研发、生产这种产品的成本为30元/件，且年销售量$y$(单位:万件)关于售价$x$(单位:元/件)的函数解析式为$y=\begin{cases} -2x + 140 & (40 ≤ x ＜ 60), \\ -x + 80 & (60 ≤ x ≤ 70). \end{cases}$
（1）若企业销售该产品获得的年利润为$W$(单位:万元)，请直接写出年利润$W$关于售价$x$的函数解析式.
（2）当该产品的售价$x$为多少时，企业销售该产品获得的年利润最大？最大年利润是多少？
（3）若企业销售该产品的年利润不少于750万元，试确定该产品的售价$x$的取值范围.
（1）若企业销售该产品获得的年利润为$W$(单位:万元)，请直接写出年利润$W$关于售价$x$的函数解析式.
（2）当该产品的售价$x$为多少时，企业销售该产品获得的年利润最大？最大年利润是多少？
（3）若企业销售该产品的年利润不少于750万元，试确定该产品的售价$x$的取值范围.
答案
6. (1) $W=\begin{cases} - 2x^2 + 200x - 4200(40 ≤ x ＜ 60), \\ - x^2 + 110x - 2400(60 ≤ x ≤ 70); \end{cases}$
(2) 售价为50元/件时,企业销售该产品获得的年利润最大,最大年利润为800万元;
(3) $45 ≤ x ≤ 55$.
(2) 售价为50元/件时,企业销售该产品获得的年利润最大,最大年利润为800万元;
(3) $45 ≤ x ≤ 55$.
解析
【分析】
（1）年利润=单件利润×年销售量，单件利润为$(x-30)$元，结合给出的分段销售量函数$y$，分两种区间代入计算即可得到$W$关于$x$的分段解析式；
（2）分别对两段的二次函数求最大值：先根据二次函数开口方向和对称轴，判断在对应$x$的取值范围内的最大值点，计算两段的最大值后比较大小，即可得到全局最大利润及对应售价；
（3）令$W≥750$，分别在两个$x$的取值区间内解不等式，结合区间范围筛选出符合条件的解集，最终合并得到售价的取值范围。
【解析】
（1）由年利润公式$W=(售价-成本)×年销售量=(x-30)y$，分情况代入：
①当$40 ≤ x ＜ 60$时，$y=-2x+140$，
$W=(x-30)(-2x+140)=-2x^2+200x-4200$；
②当$60 ≤ x ≤70$时，$y=-x+80$，
$W=(x-30)(-x+80)=-x^2+110x-2400$；
综上可得$W$的分段解析式。
（2）分别求两段函数的最大值：
①当$40 ≤ x ＜ 60$时，$W=-2x^2+200x-4200$，$a=-2＜0$，抛物线开口向下，
对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{200}{2×(-2)}=50$，$50$在$[40,60)$区间内，
因此当$x=50$时，$W_{max1}=-2×50^2+200×50-4200=800$（万元）；
②当$60 ≤ x ≤70$时，$W=-x^2+110x-2400$，$a=-1＜0$，抛物线开口向下，
对称轴为$x=-\frac{110}{2×(-1)}=55$，$55＜60$，因此函数在$[60,70]$上随$x$增大而减小，
因此当$x=60$时，$W_{max2}=-60^2+110×60-2400=600$（万元）；
比较$800＞600$，故当售价为50元/件时，年利润最大，最大为800万元。
（3）令$W≥750$，分情况求解：
①当$40 ≤ x ＜ 60$时，$-2x^2+200x-4200≥750$，
整理得$x^2-100x+2475≤0$，解方程$x^2-100x+2475=0$得$x_1=45$，$x_2=55$，
结合抛物线开口向上，不等式解集为$45≤x≤55$，结合区间$40 ≤ x ＜ 60$，得该段符合条件的范围为$45≤x＜60$；
②当$60 ≤ x ≤70$时，由（2）知该段最大利润为600万元，$600＜750$，无符合条件的解；
综上，售价$x$的取值范围为$45 ≤ x ≤ 55$。
【答案】
(1) $W=\begin{cases} - 2x^2 + 200x - 4200(40 ≤ x ＜ 60), \\ - x^2 + 110x - 2400(60 ≤ x ≤ 70); \end{cases}$
(2) 售价为50元/件时，企业销售该产品获得的年利润最大，最大年利润为800万元；
(3) $45 ≤ x ≤ 55$
【知识点】
二次函数的应用；分段函数；一元二次不等式求解
【点评】
本题结合实际经营场景考查二次函数的相关应用，解题时需注意分段函数每一段的自变量取值范围，求最值和解不等式时都要结合定义域筛选结果，是二次函数实际应用的常见题型。
【难度系数】
0.7
（1）年利润=单件利润×年销售量，单件利润为$(x-30)$元，结合给出的分段销售量函数$y$，分两种区间代入计算即可得到$W$关于$x$的分段解析式；
（2）分别对两段的二次函数求最大值：先根据二次函数开口方向和对称轴，判断在对应$x$的取值范围内的最大值点，计算两段的最大值后比较大小，即可得到全局最大利润及对应售价；
（3）令$W≥750$，分别在两个$x$的取值区间内解不等式，结合区间范围筛选出符合条件的解集，最终合并得到售价的取值范围。
【解析】
（1）由年利润公式$W=(售价-成本)×年销售量=(x-30)y$，分情况代入：
①当$40 ≤ x ＜ 60$时，$y=-2x+140$，
$W=(x-30)(-2x+140)=-2x^2+200x-4200$；
②当$60 ≤ x ≤70$时，$y=-x+80$，
$W=(x-30)(-x+80)=-x^2+110x-2400$；
综上可得$W$的分段解析式。
（2）分别求两段函数的最大值：
①当$40 ≤ x ＜ 60$时，$W=-2x^2+200x-4200$，$a=-2＜0$，抛物线开口向下，
对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{200}{2×(-2)}=50$，$50$在$[40,60)$区间内，
因此当$x=50$时，$W_{max1}=-2×50^2+200×50-4200=800$（万元）；
②当$60 ≤ x ≤70$时，$W=-x^2+110x-2400$，$a=-1＜0$，抛物线开口向下，
对称轴为$x=-\frac{110}{2×(-1)}=55$，$55＜60$，因此函数在$[60,70]$上随$x$增大而减小，
因此当$x=60$时，$W_{max2}=-60^2+110×60-2400=600$（万元）；
比较$800＞600$，故当售价为50元/件时，年利润最大，最大为800万元。
（3）令$W≥750$，分情况求解：
①当$40 ≤ x ＜ 60$时，$-2x^2+200x-4200≥750$，
整理得$x^2-100x+2475≤0$，解方程$x^2-100x+2475=0$得$x_1=45$，$x_2=55$，
结合抛物线开口向上，不等式解集为$45≤x≤55$，结合区间$40 ≤ x ＜ 60$，得该段符合条件的范围为$45≤x＜60$；
②当$60 ≤ x ≤70$时，由（2）知该段最大利润为600万元，$600＜750$，无符合条件的解；
综上，售价$x$的取值范围为$45 ≤ x ≤ 55$。
【答案】
(1) $W=\begin{cases} - 2x^2 + 200x - 4200(40 ≤ x ＜ 60), \\ - x^2 + 110x - 2400(60 ≤ x ≤ 70); \end{cases}$
(2) 售价为50元/件时，企业销售该产品获得的年利润最大，最大年利润为800万元；
(3) $45 ≤ x ≤ 55$
【知识点】
二次函数的应用；分段函数；一元二次不等式求解
【点评】
本题结合实际经营场景考查二次函数的相关应用，解题时需注意分段函数每一段的自变量取值范围，求最值和解不等式时都要结合定义域筛选结果，是二次函数实际应用的常见题型。
【难度系数】
0.7
7. 在平面直角坐标系中，抛物线 $ y = ax^2 + bx + 1 $ 交y轴于点A，交x轴正半轴于点B(4,0)，与过A点的直线相交于另一点 $ D(3,\frac{5}{2}) $，过点D作DC⊥x轴，垂足为点C.
（1）求抛物线的解析式.
（2）点P在线段OC上（不与点O，C重合），过P作PN⊥x轴，交直线AD于M，交抛物线于点N，连接CM，求 $ △ PCM $ 面积的最大值.
（3）若P是x轴正半轴上的一动点，设OP的长为t，是否存在以点M，C，D，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.
（1）求抛物线的解析式.
（2）点P在线段OC上（不与点O，C重合），过P作PN⊥x轴，交直线AD于M，交抛物线于点N，连接CM，求 $ △ PCM $ 面积的最大值.
（3）若P是x轴正半轴上的一动点，设OP的长为t，是否存在以点M，C，D，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.
答案
7. (1) $y=-\frac{3}{4}x^2 + \frac{11}{4}x + 1$;
(2) $\frac{25}{16}$;
(3) 存在,$t=\frac{9 + \sqrt{201}}{6}$.
(2) $\frac{25}{16}$;
(3) 存在,$t=\frac{9 + \sqrt{201}}{6}$.
解析
【分析】
（1）求抛物线解析式需代入已知点坐标列方程组求解，题中已知抛物线过B(4,0)和D(3,$\frac{5}{2}$)，代入$y=ax^2+bx+1$即可得到关于a、b的二元一次方程组，解出a、b即可。
（2）先求直线AD的解析式，设出点P的横坐标为m，用含m的式子表示出M点的纵坐标和PC的长度，再根据三角形面积公式得到面积关于m的二次函数，利用二次函数的性质求最大值即可。
（3）已知OP=t，可表示出M、N两点的坐标，进而得到MN的长度；由CD⊥x轴、PN⊥x轴可知MN//CD，根据平行四边形“一组对边平行且相等”的判定条件，令MN=CD列方程求解，结合t＞0的范围取舍解即可。
【解析】
（1）将B(4,0)、D(3, $\frac{5}{2}$)代入抛物线解析式$y=ax^2+bx+1$，得：
$\begin{cases}16a+4b+1=0 \\9a+3b+1=\frac{5}{2} \end{cases}$
化简第二个方程得$3a+b=\frac{1}{2}$，即$b=\frac{1}{2}-3a$，代入第一个方程：
$16a+4×(\frac{1}{2}-3a)=-1$
解得$a=-\frac{3}{4}$，代入得$b=\frac{11}{4}$
∴抛物线的解析式为$y=-\frac{3}{4}x^2+\frac{11}{4}x+1$。
（2）抛物线交y轴于A，当x=0时y=1，故A(0,1)。
设直线AD的解析式为$y=kx+c$，代入A(0,1)得$c=1$，再代入D(3,$\frac{5}{2}$)：
$3k+1=\frac{5}{2}$，解得$k=\frac{1}{2}$
∴直线AD的解析式为$y=\frac{1}{2}x+1$。
设点P的坐标为$(m,0)$（$0＜m＜3$），则M点横坐标为m，代入直线AD得M的纵坐标为$\frac{1}{2}m+1$，$PC=3-m$。
△PCM的面积$S=\frac{1}{2}× PC× y_M=\frac{1}{2}(3-m)(\frac{1}{2}m+1)$
展开得$S=-\frac{1}{4}m^2+\frac{1}{4}m+\frac{3}{2}$
该二次函数开口向下，对称轴为$m=\frac{-\frac{1}{4}}{2×(-\frac{1}{4})}=\frac{1}{2}$，在$0＜m＜3$范围内。
将$m=\frac{1}{2}$代入得$S_{max}=-\frac{1}{4}×(\frac{1}{2})^2+\frac{1}{4}×\frac{1}{2}+\frac{3}{2}=\frac{25}{16}$。
（3）存在，理由如下：
设$OP=t$（$t＞0$），则P(t,0)，则$M(t,\frac{1}{2}t+1)$，$N(t,-\frac{3}{4}t^2+\frac{11}{4}t+1)$。
∴$MN=|y_N-y_M|=|-\frac{3}{4}t^2+\frac{11}{4}t+1-(\frac{1}{2}t+1)|=|-\frac{3}{4}t^2+\frac{9}{4}t|$
由DC⊥x轴得$CD=\frac{5}{2}$，且MN//CD，若四边形MCDN为平行四边形，则需$MN=CD=\frac{5}{2}$，即：
$|-\frac{3}{4}t^2+\frac{9}{4}t|=\frac{5}{2}$
两边乘4得$|-3t^2+9t|=10$，分两种情况：
①$-3t^2+9t=10$，即$3t^2-9t+10=0$，$\Delta=81-120=-39＜0$，无实根；
②$-3t^2+9t=-10$，即$3t^2-9t-10=0$，解得$t=\frac{9\pm\sqrt{81+120}}{6}=\frac{9\pm\sqrt{201}}{6}$。
∵t＞0，故舍去负根，得$t=\frac{9+\sqrt{201}}{6}$。
【答案】
（1）$y=-\frac{3}{4}x^2 + \frac{11}{4}x + 1$；
（2）$\frac{25}{16}$；
（3）存在，$t=\frac{9 + \sqrt{201}}{6}$。
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数的最值；平行四边形的判定
【点评】
本题是二次函数综合题型，融合了一次函数解析式求解、三角形面积最值、平行四边形判定等考点，考查了方程思想和分类讨论思想，需要熟练掌握二次函数的性质和平行四边形的判定定理，是中考的高频考查题型。
【难度系数】
0.4
（1）求抛物线解析式需代入已知点坐标列方程组求解，题中已知抛物线过B(4,0)和D(3,$\frac{5}{2}$)，代入$y=ax^2+bx+1$即可得到关于a、b的二元一次方程组，解出a、b即可。
（2）先求直线AD的解析式，设出点P的横坐标为m，用含m的式子表示出M点的纵坐标和PC的长度，再根据三角形面积公式得到面积关于m的二次函数，利用二次函数的性质求最大值即可。
（3）已知OP=t，可表示出M、N两点的坐标，进而得到MN的长度；由CD⊥x轴、PN⊥x轴可知MN//CD，根据平行四边形“一组对边平行且相等”的判定条件，令MN=CD列方程求解，结合t＞0的范围取舍解即可。
【解析】
（1）将B(4,0)、D(3, $\frac{5}{2}$)代入抛物线解析式$y=ax^2+bx+1$，得：
$\begin{cases}16a+4b+1=0 \\9a+3b+1=\frac{5}{2} \end{cases}$
化简第二个方程得$3a+b=\frac{1}{2}$，即$b=\frac{1}{2}-3a$，代入第一个方程：
$16a+4×(\frac{1}{2}-3a)=-1$
解得$a=-\frac{3}{4}$，代入得$b=\frac{11}{4}$
∴抛物线的解析式为$y=-\frac{3}{4}x^2+\frac{11}{4}x+1$。
（2）抛物线交y轴于A，当x=0时y=1，故A(0,1)。
设直线AD的解析式为$y=kx+c$，代入A(0,1)得$c=1$，再代入D(3,$\frac{5}{2}$)：
$3k+1=\frac{5}{2}$，解得$k=\frac{1}{2}$
∴直线AD的解析式为$y=\frac{1}{2}x+1$。
设点P的坐标为$(m,0)$（$0＜m＜3$），则M点横坐标为m，代入直线AD得M的纵坐标为$\frac{1}{2}m+1$，$PC=3-m$。
△PCM的面积$S=\frac{1}{2}× PC× y_M=\frac{1}{2}(3-m)(\frac{1}{2}m+1)$
展开得$S=-\frac{1}{4}m^2+\frac{1}{4}m+\frac{3}{2}$
该二次函数开口向下，对称轴为$m=\frac{-\frac{1}{4}}{2×(-\frac{1}{4})}=\frac{1}{2}$，在$0＜m＜3$范围内。
将$m=\frac{1}{2}$代入得$S_{max}=-\frac{1}{4}×(\frac{1}{2})^2+\frac{1}{4}×\frac{1}{2}+\frac{3}{2}=\frac{25}{16}$。
（3）存在，理由如下：
设$OP=t$（$t＞0$），则P(t,0)，则$M(t,\frac{1}{2}t+1)$，$N(t,-\frac{3}{4}t^2+\frac{11}{4}t+1)$。
∴$MN=|y_N-y_M|=|-\frac{3}{4}t^2+\frac{11}{4}t+1-(\frac{1}{2}t+1)|=|-\frac{3}{4}t^2+\frac{9}{4}t|$
由DC⊥x轴得$CD=\frac{5}{2}$，且MN//CD，若四边形MCDN为平行四边形，则需$MN=CD=\frac{5}{2}$，即：
$|-\frac{3}{4}t^2+\frac{9}{4}t|=\frac{5}{2}$
两边乘4得$|-3t^2+9t|=10$，分两种情况：
①$-3t^2+9t=10$，即$3t^2-9t+10=0$，$\Delta=81-120=-39＜0$，无实根；
②$-3t^2+9t=-10$，即$3t^2-9t-10=0$，解得$t=\frac{9\pm\sqrt{81+120}}{6}=\frac{9\pm\sqrt{201}}{6}$。
∵t＞0，故舍去负根，得$t=\frac{9+\sqrt{201}}{6}$。
【答案】
（1）$y=-\frac{3}{4}x^2 + \frac{11}{4}x + 1$；
（2）$\frac{25}{16}$；
（3）存在，$t=\frac{9 + \sqrt{201}}{6}$。
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数的最值；平行四边形的判定
【点评】
本题是二次函数综合题型，融合了一次函数解析式求解、三角形面积最值、平行四边形判定等考点，考查了方程思想和分类讨论思想，需要熟练掌握二次函数的性质和平行四边形的判定定理，是中考的高频考查题型。
【难度系数】
0.4
