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1. 抛物线 $y = x^2 - 1$ 的顶点坐标为 (
A.(1,0)
B.(-1,0)
C.(0,1)
D.(0,-1)
D
)A.(1,0)
B.(-1,0)
C.(0,1)
D.(0,-1)
答案
1. D
解析
【分析】
要确定抛物线的顶点坐标，我们可以用两种符合学段要求的思路求解：一是利用二次函数一般式的顶点坐标公式直接计算；二是观察函数形式，本题是不含一次项的特殊二次函数，可结合图象平移的规律推导顶点坐标。首先明确二次函数一般式$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的顶点坐标公式为$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$，先确定解析式中a、b、c的取值，代入公式即可算出顶点坐标；也可以先回忆基础抛物线$y=x^2$的顶点，再根据平移规则得到目标抛物线的顶点。
【解析】
解法1：顶点坐标公式法
对于抛物线$y=x^2-1$，对应二次函数一般式$y=ax^2+bx+c$，可知$a=1$，$b=0$，$c=-1$。
第一步求顶点横坐标：$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{0}{2×1}=0$；
第二步将$x=0$代入解析式求纵坐标：$y=0^2-1=-1$；
因此抛物线的顶点坐标为$(0,-1)$。
解法2：图象平移法
基础抛物线$y=x^2$的顶点坐标为$(0,0)$，抛物线$y=x^2-1$是$y=x^2$向下平移1个单位得到的，顶点也随之向下平移1个单位，可得新的顶点坐标为$(0,-1)$。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点坐标计算、二次函数图象平移
【点评】
本题是二次函数的基础题型，主要考查对二次函数基本性质的掌握，解题方法灵活，牢记相关公式或平移规律都能快速作答。
【难度系数】
0.9
要确定抛物线的顶点坐标，我们可以用两种符合学段要求的思路求解：一是利用二次函数一般式的顶点坐标公式直接计算；二是观察函数形式，本题是不含一次项的特殊二次函数，可结合图象平移的规律推导顶点坐标。首先明确二次函数一般式$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的顶点坐标公式为$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$，先确定解析式中a、b、c的取值，代入公式即可算出顶点坐标；也可以先回忆基础抛物线$y=x^2$的顶点，再根据平移规则得到目标抛物线的顶点。
【解析】
解法1：顶点坐标公式法
对于抛物线$y=x^2-1$，对应二次函数一般式$y=ax^2+bx+c$，可知$a=1$，$b=0$，$c=-1$。
第一步求顶点横坐标：$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{0}{2×1}=0$；
第二步将$x=0$代入解析式求纵坐标：$y=0^2-1=-1$；
因此抛物线的顶点坐标为$(0,-1)$。
解法2：图象平移法
基础抛物线$y=x^2$的顶点坐标为$(0,0)$，抛物线$y=x^2-1$是$y=x^2$向下平移1个单位得到的，顶点也随之向下平移1个单位，可得新的顶点坐标为$(0,-1)$。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点坐标计算、二次函数图象平移
【点评】
本题是二次函数的基础题型，主要考查对二次函数基本性质的掌握，解题方法灵活，牢记相关公式或平移规律都能快速作答。
【难度系数】
0.9
2. 已知抛物线$y=a(x-2)^2 +k(a＞0,a,k为常数),A(-3,y_1),B(3,y_2),C(4,y_3)$是抛物线上三点，则$y_1,y_2,y_3$由小到大排列为(
A.$y_1 ＜ y_2 ＜ y_3$
B.$y_2 ＜ y_1 ＜ y_3$
C.$y_2 ＜ y_3 ＜ y_1$
D.$y_3 ＜ y_2 ＜ y_1$
C
)A.$y_1 ＜ y_2 ＜ y_3$
B.$y_2 ＜ y_1 ＜ y_3$
C.$y_2 ＜ y_3 ＜ y_1$
D.$y_3 ＜ y_2 ＜ y_1$
答案
2. C
解析
【分析】
首先观察抛物线解析式为顶点式，由a＞0可知抛物线开口向上，对称轴为直线x=2。对于开口向上的抛物线，抛物线上的点到对称轴的水平距离越远，对应的函数值y越大。因此只需计算A、B、C三点到对称轴x=2的距离，比较距离大小即可判断y₁、y₂、y₃的大小关系。
【解析】
已知抛物线解析式为$y=a(x-2)^2 +k(a＞0)$，可得：
1. 抛物线开口向上，对称轴为直线$x=2$；
2. 开口向上的抛物线中，点到对称轴的水平距离越大，对应函数值越大。
分别计算三点到对称轴$x=2$的距离：
点$A(-3,y_1)$到$x=2$的距离：$\vert -3 - 2 \vert = 5$
点$B(3,y_2)$到$x=2$的距离：$\vert 3 - 2 \vert = 1$
点$C(4,y_3)$到$x=2$的距离：$\vert 4 - 2 \vert = 2$
距离大小关系为$1＜2＜5$，因此对应函数值大小为$y_2 ＜ y_3 ＜ y_1$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的图像性质；二次函数顶点式的应用
【点评】
本题是二次函数比较函数值的典型题型，无需代入计算具体函数值，利用开口方向和点到对称轴的距离判断大小，能大幅简化解题步骤，需熟练掌握该方法。
【难度系数】
0.8
首先观察抛物线解析式为顶点式，由a＞0可知抛物线开口向上，对称轴为直线x=2。对于开口向上的抛物线，抛物线上的点到对称轴的水平距离越远，对应的函数值y越大。因此只需计算A、B、C三点到对称轴x=2的距离，比较距离大小即可判断y₁、y₂、y₃的大小关系。
【解析】
已知抛物线解析式为$y=a(x-2)^2 +k(a＞0)$，可得：
1. 抛物线开口向上，对称轴为直线$x=2$；
2. 开口向上的抛物线中，点到对称轴的水平距离越大，对应函数值越大。
分别计算三点到对称轴$x=2$的距离：
点$A(-3,y_1)$到$x=2$的距离：$\vert -3 - 2 \vert = 5$
点$B(3,y_2)$到$x=2$的距离：$\vert 3 - 2 \vert = 1$
点$C(4,y_3)$到$x=2$的距离：$\vert 4 - 2 \vert = 2$
距离大小关系为$1＜2＜5$，因此对应函数值大小为$y_2 ＜ y_3 ＜ y_1$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的图像性质；二次函数顶点式的应用
【点评】
本题是二次函数比较函数值的典型题型，无需代入计算具体函数值，利用开口方向和点到对称轴的距离判断大小，能大幅简化解题步骤，需熟练掌握该方法。
【难度系数】
0.8
3. 已知抛物线$y=x^2 -8x +c$的顶点在x轴上，则c的值是(
A.16
B.-4
C.4
D.8
A
)A.16
B.-4
C.4
D.8
答案
3. A
解析
【分析】
解题的核心是明确抛物线顶点在x轴上的特征：顶点的纵坐标为0。我们可以用配方法将二次函数的一般式转化为顶点式，直接得到顶点纵坐标的表达式，再令其等于0就能求出c的值；也可以利用抛物线与x轴只有一个交点时判别式Δ=0的性质求解，两种方法都符合当前学段的知识要求，这里选择更直观的配方法讲解。
【解析】
首先用配方法将抛物线的一般式转化为顶点式：
$\begin{aligned}y&=x^2 -8x +c\\&=x^2 -8x +16 -16 +c\\&=(x-4)^2 + (c-16)\end{aligned}$
可得抛物线的顶点坐标为$(4, c-16)$。
因为顶点在x轴上，而x轴上所有点的纵坐标都是0，因此：
$c-16=0$
解得$c=16$。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的性质；配方法化顶点式；抛物线与x轴交点特征
【点评】
本题属于二次函数基础性质的应用题型，解题关键是抓住顶点在x轴上时纵坐标为0的特点，熟练掌握配方法或判别式的应用即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题的核心是明确抛物线顶点在x轴上的特征：顶点的纵坐标为0。我们可以用配方法将二次函数的一般式转化为顶点式，直接得到顶点纵坐标的表达式，再令其等于0就能求出c的值；也可以利用抛物线与x轴只有一个交点时判别式Δ=0的性质求解，两种方法都符合当前学段的知识要求，这里选择更直观的配方法讲解。
【解析】
首先用配方法将抛物线的一般式转化为顶点式：
$\begin{aligned}y&=x^2 -8x +c\\&=x^2 -8x +16 -16 +c\\&=(x-4)^2 + (c-16)\end{aligned}$
可得抛物线的顶点坐标为$(4, c-16)$。
因为顶点在x轴上，而x轴上所有点的纵坐标都是0，因此：
$c-16=0$
解得$c=16$。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的性质；配方法化顶点式；抛物线与x轴交点特征
【点评】
本题属于二次函数基础性质的应用题型，解题关键是抓住顶点在x轴上时纵坐标为0的特点，熟练掌握配方法或判别式的应用即可快速求解。
【难度系数】
0.8
4. 抛物线$y=-3x^2 -x +4$与坐标轴的交点个数是(
A.3
B.2
C.1
D.0
A
)A.3
B.2
C.1
D.0
答案
4. A
解析
【分析】
要确定抛物线与坐标轴的交点个数，需分别计算抛物线与x轴、y轴的交点数量，再排除重合的交点即可得到总个数。第一步，求与y轴的交点：令x=0代入解析式，得到y的值即可确定交点；第二步，求与x轴的交点：令y=0得到一元二次方程，通过判别式判断方程实根的个数，即为x轴交点个数；第三步，判断y轴交点是否在x轴上（即y是否为0），若不在则直接将两类交点个数相加。
【解析】
1. 求抛物线与y轴的交点：
令x=0，代入$y=-3x^2 -x +4$，得$y=4$，因此抛物线与y轴的交点为$(0,4)$，共1个交点。
2. 求抛物线与x轴的交点：
令y=0，可得方程$-3x^2 -x +4=0$，整理得$3x^2 +x -4=0$。
其中$a=3$，$b=1$，$c=-4$，计算判别式：
$\Delta = b^2 -4ac = 1^2 - 4×3×(-4) = 1 + 48 = 49 ＞ 0$
因此该一元二次方程有2个不相等的实数根，即抛物线与x轴有2个交点。
3. 统计总交点个数：
由于y轴交点$(0,4)$的纵坐标不为0，不在x轴上，不存在交点重合的情况，因此总交点个数为$1+2=3$。
【答案】
A
【知识点】
抛物线与坐标轴的交点求解；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是二次函数的常见基础题型，解题时容易遗漏与y轴的交点导致出错，同时要注意如果抛物线过原点，会出现y轴交点与x轴的一个交点重合的情况，此时需要减去重复计数的1个交点。
【难度系数】
0.7
要确定抛物线与坐标轴的交点个数，需分别计算抛物线与x轴、y轴的交点数量，再排除重合的交点即可得到总个数。第一步，求与y轴的交点：令x=0代入解析式，得到y的值即可确定交点；第二步，求与x轴的交点：令y=0得到一元二次方程，通过判别式判断方程实根的个数，即为x轴交点个数；第三步，判断y轴交点是否在x轴上（即y是否为0），若不在则直接将两类交点个数相加。
【解析】
1. 求抛物线与y轴的交点：
令x=0，代入$y=-3x^2 -x +4$，得$y=4$，因此抛物线与y轴的交点为$(0,4)$，共1个交点。
2. 求抛物线与x轴的交点：
令y=0，可得方程$-3x^2 -x +4=0$，整理得$3x^2 +x -4=0$。
其中$a=3$，$b=1$，$c=-4$，计算判别式：
$\Delta = b^2 -4ac = 1^2 - 4×3×(-4) = 1 + 48 = 49 ＞ 0$
因此该一元二次方程有2个不相等的实数根，即抛物线与x轴有2个交点。
3. 统计总交点个数：
由于y轴交点$(0,4)$的纵坐标不为0，不在x轴上，不存在交点重合的情况，因此总交点个数为$1+2=3$。
【答案】
A
【知识点】
抛物线与坐标轴的交点求解；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是二次函数的常见基础题型，解题时容易遗漏与y轴的交点导致出错，同时要注意如果抛物线过原点，会出现y轴交点与x轴的一个交点重合的情况，此时需要减去重复计数的1个交点。
【难度系数】
0.7
5.已知二次函数$y = ax^2 + bx + c$经过第一、三、四象限(不经过原点和第二象限),则直线$y = ax + bc$不经过(
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
A
)A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
5. A
解析
【分析】
解题时需先根据二次函数经过的象限推导系数a、b、c的符号，再判断bc的符号，最后结合一次函数的斜率和截距判断直线经过的象限。第一步先判断a的符号：若二次函数开口向上（a＞0），x取足够小的负数时y值为正，必然经过第二象限，与题意矛盾，因此a＜0；第二步判断c的符号：x=0时y=c，函数不过原点且不经过第二象限，说明与y轴交于负半轴，因此c＜0；第三步判断b的符号：函数过第一象限，说明对称轴在x轴正半轴，即$-b/(2a)＞0$，结合a＜0可推出b＞0；最后根据a、bc的符号分析一次函数的图象即可得出结论。
【解析】
1. 推导二次函数系数的符号：
① 二次函数不经过第二象限，若$a＞0$（开口向上），当x趋向负无穷时，$y=ax^2+bx+c$趋向正无穷，必然经过第二象限，不符合题意，因此$a＜0$；
② 当$x=0$时，$y=c$，函数不经过原点和第二象限，说明与y轴交于负半轴，因此$c＜0$；
③ 函数经过第一象限，说明顶点在第一象限，对称轴$x=-\frac{b}{2a}＞0$，已知$a＜0$，不等式两边乘$2a$（负数，不等号方向改变），得$-b＜0$，即$b＞0$。
2. 判断$bc$的符号：
∵$b＞0$，$c＜0$，
∴$bc＜0$。
3. 分析直线$y=ax+bc$经过的象限：
一次函数$y=kx+m$中，斜率$k=a＜0$，说明直线从左上向右下倾斜；截距$m=bc＜0$，说明直线与y轴交于负半轴，因此直线经过第二、三、四象限，不经过第一象限。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象与系数的关系，一次函数图象与系数的关系，不等式的性质
【点评】
本题是二次函数与一次函数的综合基础题，核心考查函数图象与系数的对应关系，解题关键是准确根据二次函数经过的象限推导各系数符号，再结合一次函数性质判断象限，掌握数形结合思想能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.65
解题时需先根据二次函数经过的象限推导系数a、b、c的符号，再判断bc的符号，最后结合一次函数的斜率和截距判断直线经过的象限。第一步先判断a的符号：若二次函数开口向上（a＞0），x取足够小的负数时y值为正，必然经过第二象限，与题意矛盾，因此a＜0；第二步判断c的符号：x=0时y=c，函数不过原点且不经过第二象限，说明与y轴交于负半轴，因此c＜0；第三步判断b的符号：函数过第一象限，说明对称轴在x轴正半轴，即$-b/(2a)＞0$，结合a＜0可推出b＞0；最后根据a、bc的符号分析一次函数的图象即可得出结论。
【解析】
1. 推导二次函数系数的符号：
① 二次函数不经过第二象限，若$a＞0$（开口向上），当x趋向负无穷时，$y=ax^2+bx+c$趋向正无穷，必然经过第二象限，不符合题意，因此$a＜0$；
② 当$x=0$时，$y=c$，函数不经过原点和第二象限，说明与y轴交于负半轴，因此$c＜0$；
③ 函数经过第一象限，说明顶点在第一象限，对称轴$x=-\frac{b}{2a}＞0$，已知$a＜0$，不等式两边乘$2a$（负数，不等号方向改变），得$-b＜0$，即$b＞0$。
2. 判断$bc$的符号：
∵$b＞0$，$c＜0$，
∴$bc＜0$。
3. 分析直线$y=ax+bc$经过的象限：
一次函数$y=kx+m$中，斜率$k=a＜0$，说明直线从左上向右下倾斜；截距$m=bc＜0$，说明直线与y轴交于负半轴，因此直线经过第二、三、四象限，不经过第一象限。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象与系数的关系，一次函数图象与系数的关系，不等式的性质
【点评】
本题是二次函数与一次函数的综合基础题，核心考查函数图象与系数的对应关系，解题关键是准确根据二次函数经过的象限推导各系数符号，再结合一次函数性质判断象限，掌握数形结合思想能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.65
6. 二次函数 $ y = ax^2 + bx + c(a ≠ 0) $ 的图象如图所示，对称轴是直线 $ x = 1 $。现有下列结论：
① $ ab ＜ 0 $;② $ b^2 ＞ 4ac $;③ $ a + b + c ＜ 0 $;④ $ 3a + c ＜ 0 $。其中正确的结论是(
A.①④
B.②④
C.①②③
D.①②③④
① $ ab ＜ 0 $;② $ b^2 ＞ 4ac $;③ $ a + b + c ＜ 0 $;④ $ 3a + c ＜ 0 $。其中正确的结论是(
C
)A.①④
B.②④
C.①②③
D.①②③④
答案
6. C
解析
【分析】
解题时先从二次函数图象提取关键信息：开口方向、对称轴位置、与坐标轴交点情况、特殊点的函数值符号，再结合二次函数的性质逐个判断4个结论：
1. 由开口方向得a的符号，结合对称轴公式得b的符号，即可判断①；
2. 由抛物线与x轴交点个数结合判别式的意义判断②；
3. 取x=1代入解析式，结合x=1处的函数值符号判断③；
4. 利用对称轴得到b=-2a，再取x=-1代入解析式，结合x=-1处的函数值符号判断④。
【解析】
解：由图象可得：
1. 抛物线开口向上，
∴$a＞0$，
对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=1$，
∴$b=-2a＜0$，
∴$ab＜0$，结论①正确；
2. 抛物线与x轴有2个交点，
∴判别式$\Delta=b^2-4ac＞0$，即$b^2＞4ac$，结论②正确；
3. 当$x=1$时，$y=a+b+c$，由图象可知x=1对应的函数值在x轴下方，
∴$a+b+c＜0$，结论③正确；
4. 由$b=-2a$，当$x=-1$时，$y=a-b+c=a-(-2a)+c=3a+c$，由图象可知x=-1对应的函数值在x轴上方，
∴$3a+c＞0$，结论④错误。
综上，正确的结论是①②③，故选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象与系数的关系；二次函数的性质；根的判别式
【点评】
本题是二次函数图象综合题，解题关键是结合图象提取有效信息，利用特殊点的函数值、对称轴、判别式等性质推导系数关系和结论，属于二次函数的基础常考题型。
【难度系数】
0.7
解题时先从二次函数图象提取关键信息：开口方向、对称轴位置、与坐标轴交点情况、特殊点的函数值符号，再结合二次函数的性质逐个判断4个结论：
1. 由开口方向得a的符号，结合对称轴公式得b的符号，即可判断①；
2. 由抛物线与x轴交点个数结合判别式的意义判断②；
3. 取x=1代入解析式，结合x=1处的函数值符号判断③；
4. 利用对称轴得到b=-2a，再取x=-1代入解析式，结合x=-1处的函数值符号判断④。
【解析】
解：由图象可得：
1. 抛物线开口向上，
∴$a＞0$，
对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=1$，
∴$b=-2a＜0$，
∴$ab＜0$，结论①正确；
2. 抛物线与x轴有2个交点，
∴判别式$\Delta=b^2-4ac＞0$，即$b^2＞4ac$，结论②正确；
3. 当$x=1$时，$y=a+b+c$，由图象可知x=1对应的函数值在x轴下方，
∴$a+b+c＜0$，结论③正确；
4. 由$b=-2a$，当$x=-1$时，$y=a-b+c=a-(-2a)+c=3a+c$，由图象可知x=-1对应的函数值在x轴上方，
∴$3a+c＞0$，结论④错误。
综上，正确的结论是①②③，故选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象与系数的关系；二次函数的性质；根的判别式
【点评】
本题是二次函数图象综合题，解题关键是结合图象提取有效信息，利用特殊点的函数值、对称轴、判别式等性质推导系数关系和结论，属于二次函数的基础常考题型。
【难度系数】
0.7
7. 把抛物线 $ y = 2x^2 $ 先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数解析式为(
A.$ y = 2(x + 3)^2 + 4 $
B.$ y = 2(x + 3)^2 - 4 $
C.$ y = 2(x - 3)^2 - 4 $
D.$ y = 2(x - 3)^2 + 4 $
A
)A.$ y = 2(x + 3)^2 + 4 $
B.$ y = 2(x + 3)^2 - 4 $
C.$ y = 2(x - 3)^2 - 4 $
D.$ y = 2(x - 3)^2 + 4 $
答案
7. A
解析
【分析】
本题考查二次函数图象的平移变换，解题思路如下：首先回忆函数平移的核心规则“左加右减，上加下减”，需明确：①左右平移是针对自变量x本身进行加减操作，不涉及x前的系数；②上下平移是对整个函数值进行加减，直接在表达式末尾操作。之后按照题目给出的平移顺序分步计算即可。
【解析】
根据二次函数平移的“左加右减，上加下减”规则分步计算：
1. 第一步，将抛物线$ y=2x^2 $向左平移3个单位，给自变量x加3，得到解析式：$ y=2(x+3)^2 $；
2. 第二步，将上述抛物线向上平移4个单位，在表达式末尾加4，得到最终解析式：$ y=2(x+3)^2 + 4 $。
对应选项为A。
【答案】
A
【知识点】
1. 二次函数图象平移
2. 函数平移规则
【点评】
本题是二次函数平移的基础题型，核心考查对平移规则的理解与应用，易错点是部分同学会混淆左右平移的加减方向，或错误地给带系数的x整体加减，只要牢记规则的适用条件就能快速得分。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数图象的平移变换，解题思路如下：首先回忆函数平移的核心规则“左加右减，上加下减”，需明确：①左右平移是针对自变量x本身进行加减操作，不涉及x前的系数；②上下平移是对整个函数值进行加减，直接在表达式末尾操作。之后按照题目给出的平移顺序分步计算即可。
【解析】
根据二次函数平移的“左加右减，上加下减”规则分步计算：
1. 第一步，将抛物线$ y=2x^2 $向左平移3个单位，给自变量x加3，得到解析式：$ y=2(x+3)^2 $；
2. 第二步，将上述抛物线向上平移4个单位，在表达式末尾加4，得到最终解析式：$ y=2(x+3)^2 + 4 $。
对应选项为A。
【答案】
A
【知识点】
1. 二次函数图象平移
2. 函数平移规则
【点评】
本题是二次函数平移的基础题型，核心考查对平移规则的理解与应用，易错点是部分同学会混淆左右平移的加减方向，或错误地给带系数的x整体加减，只要牢记规则的适用条件就能快速得分。
【难度系数】
0.8
8. 某大学的校门是一抛物线状水泥建筑物，如图所示，大门的地面宽度为8 m，两侧距地面4 m高处各有一个挂匾文用的铁环，两铁环的水平距离为6 m，则校门的高为（精确到0.1 m，水泥建筑物的厚度忽略不计）（
A.5.1 m
B.9 m
C.9.1 m
D.9.2 m
C
）A.5.1 m
B.9 m
C.9.1 m
D.9.2 m
答案
8. C
解析
【分析】
要解决抛物线形建筑物的高度问题，可将实际问题转化为二次函数问题求解：①首先建立合适的平面直角坐标系简化计算，选抛物线的对称轴为y轴、地面所在直线为x轴，此时抛物线顶点在y轴上，解析式可设为$y=ax^2+c$；②将已知条件转化为点的坐标：地面宽度8m，可得抛物线与x轴交点为$(\pm4,0)$；距地面4m高的铁环水平距离6m，可得抛物线上的点为$(\pm3,4)$；③将两组点的坐标代入解析式，联立方程组求出a和c的值，其中c就是抛物线顶点的纵坐标，即校门的高度。
【解析】
以地面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系。
由题意可知：抛物线与x轴的交点为$(4,0)$、$(-4,0)$，铁环所在的点为$(3,4)$、$(-3,4)$。
设抛物线的解析式为$ y=ax^2+c $（$a\ne0$），将$(4,0)$和$(3,4)$代入解析式得：
$\begin{cases}16a + c = 0 \\9a + c = 4\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程，得：$ 7a = -4 $，解得$ a=-\frac{4}{7} $。
将$ a=-\frac{4}{7} $代入$ 16a + c = 0 $，得：$ c = -16a = -16×(-\frac{4}{7})=\frac{64}{7}\approx9.1 \, \mathrm{m} $。
即校门的高约为9.1m。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的实际应用，待定系数法求二次函数解析式
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的典型应用题型，解题的关键是合理建立平面直角坐标系，将实际长度转化为抛物线上点的坐标，再通过待定系数法求解函数解析式，最终得到所求的抛物线顶点高度。
【难度系数】
0.7
要解决抛物线形建筑物的高度问题，可将实际问题转化为二次函数问题求解：①首先建立合适的平面直角坐标系简化计算，选抛物线的对称轴为y轴、地面所在直线为x轴，此时抛物线顶点在y轴上，解析式可设为$y=ax^2+c$；②将已知条件转化为点的坐标：地面宽度8m，可得抛物线与x轴交点为$(\pm4,0)$；距地面4m高的铁环水平距离6m，可得抛物线上的点为$(\pm3,4)$；③将两组点的坐标代入解析式，联立方程组求出a和c的值，其中c就是抛物线顶点的纵坐标，即校门的高度。
【解析】
以地面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系。
由题意可知：抛物线与x轴的交点为$(4,0)$、$(-4,0)$，铁环所在的点为$(3,4)$、$(-3,4)$。
设抛物线的解析式为$ y=ax^2+c $（$a\ne0$），将$(4,0)$和$(3,4)$代入解析式得：
$\begin{cases}16a + c = 0 \\9a + c = 4\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程，得：$ 7a = -4 $，解得$ a=-\frac{4}{7} $。
将$ a=-\frac{4}{7} $代入$ 16a + c = 0 $，得：$ c = -16a = -16×(-\frac{4}{7})=\frac{64}{7}\approx9.1 \, \mathrm{m} $。
即校门的高约为9.1m。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的实际应用，待定系数法求二次函数解析式
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的典型应用题型，解题的关键是合理建立平面直角坐标系，将实际长度转化为抛物线上点的坐标，再通过待定系数法求解函数解析式，最终得到所求的抛物线顶点高度。
【难度系数】
0.7
9.若函数$y=mx^2+(m+2)x+m+1$的图象与$x$轴只有一个交点，则$m$的值为（
A.$0$
B.$0,\frac{2\sqrt{3}}{3}$或$-\frac{2\sqrt{3}}{3}$
C.$2$或$-2$
D.$0,2$或$-2$
B
）A.$0$
B.$0,\frac{2\sqrt{3}}{3}$或$-\frac{2\sqrt{3}}{3}$
C.$2$或$-2$
D.$0,2$或$-2$
答案
9. B
解析
【分析】
题干未明确说明函数是二次函数，因此需分两种情况讨论：①当二次项系数m=0时，函数为一次函数，判断其与x轴的交点个数即可；②当m≠0时，函数为二次函数，图象与x轴只有一个交点等价于对应一元二次方程的判别式Δ=0，代入系数求解即可，最后综合两种情况的结果得到m的所有取值。
【解析】
解：分两种情况讨论：
1. 当$m=0$时，函数解析式为$y=2x+1$，属于一次函数，其图象是直线，与$x$轴只有1个交点，符合题意。
2. 当$m≠0$时，函数为二次函数，若图象与$x$轴只有一个交点，则判别式$\Delta=b^2-4ac=0$。
其中$a=m$，$b=m+2$，$c=m+1$，代入得：
$\begin{aligned}(m+2)^2 - 4m(m+1)&=0\\m^2+4m+4 -4m^2-4m&=0\\-3m^2+4&=0\\m^2&=\frac{4}{3}\\m&=\pm\frac{2\sqrt{3}}{3}\end{aligned}$
综上，$m$的值为$0$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$或$-\frac{2\sqrt{3}}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
一次函数图象性质，二次函数与x轴交点，根的判别式应用
【点评】
本题的易错点是默认函数为二次函数，遗漏m=0的一次函数情况，解题时需先根据二次项系数是否为0分类讨论，再结合对应函数的性质求解，计算判别式时要注意运算的准确性。
【难度系数】
0.6
题干未明确说明函数是二次函数，因此需分两种情况讨论：①当二次项系数m=0时，函数为一次函数，判断其与x轴的交点个数即可；②当m≠0时，函数为二次函数，图象与x轴只有一个交点等价于对应一元二次方程的判别式Δ=0，代入系数求解即可，最后综合两种情况的结果得到m的所有取值。
【解析】
解：分两种情况讨论：
1. 当$m=0$时，函数解析式为$y=2x+1$，属于一次函数，其图象是直线，与$x$轴只有1个交点，符合题意。
2. 当$m≠0$时，函数为二次函数，若图象与$x$轴只有一个交点，则判别式$\Delta=b^2-4ac=0$。
其中$a=m$，$b=m+2$，$c=m+1$，代入得：
$\begin{aligned}(m+2)^2 - 4m(m+1)&=0\\m^2+4m+4 -4m^2-4m&=0\\-3m^2+4&=0\\m^2&=\frac{4}{3}\\m&=\pm\frac{2\sqrt{3}}{3}\end{aligned}$
综上，$m$的值为$0$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$或$-\frac{2\sqrt{3}}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
一次函数图象性质，二次函数与x轴交点，根的判别式应用
【点评】
本题的易错点是默认函数为二次函数，遗漏m=0的一次函数情况，解题时需先根据二次项系数是否为0分类讨论，再结合对应函数的性质求解，计算判别式时要注意运算的准确性。
【难度系数】
0.6
10. 如图，一次函数 $ y_1 = kx + n(k ≠ 0) $ 与二次函数 $ y_2 = ax^2 + bx + c(a ≠ 0) $ 的图
象相交于 $ A(-1,5), B(9,2) $ 两点，则关于x的不等式 $ kx + n ≥ ax^2 + bx + c $ 的解集为（
A.$ -1 ≤ x ≤ 9 $
B.$ -1 ≤ x ＜ 9 $
C.$ -1 ＜ x ≤ 9 $
D.$ x ≤ -1 $ 或 $ x ≥ 9 $
象相交于 $ A(-1,5), B(9,2) $ 两点，则关于x的不等式 $ kx + n ≥ ax^2 + bx + c $ 的解集为（A
）A.$ -1 ≤ x ≤ 9 $
B.$ -1 ≤ x ＜ 9 $
C.$ -1 ＜ x ≤ 9 $
D.$ x ≤ -1 $ 或 $ x ≥ 9 $
答案
10. A
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要明确不等式$kx + n ≥ ax^2 + bx + c$的几何意义：它表示一次函数$y_1$的函数值不小于二次函数$y_2$的函数值，对应到图像中就是一次函数的图像位于二次函数图像上方（含交点重合的位置）的部分，这部分图像对应的x的取值范围就是不等式的解集。接下来我们只需找到两个函数交点的横坐标，再结合图像的上下位置关系就能确定解集。
【解析】
不等式$kx + n ≥ ax^2 + bx + c$的解，对应一次函数$y_1=kx+n$的图像在二次函数$y_2=ax^2+bx+c$图像上方（包括交点）时x的取值范围。
已知两函数图像交于$A(-1,5)$、$B(9,2)$两点，观察图像可得：当$-1 ≤ x ≤ 9$时，直线$y_1$在抛物线$y_2$的上方，且两个交点处两函数值相等，满足$≥$的条件，因此不等式的解集为$-1 ≤ x ≤ 9$。
【答案】
A
【知识点】
函数与不等式的转化；一次函数的图象；二次函数的图象
【点评】
本题是数形结合思想在函数不等式中的典型应用，解题核心是将抽象的不等式问题转化为直观的函数图像位置关系问题，结合交点坐标即可快速得到结果，属于函数模块的基础常考题。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先需要明确不等式$kx + n ≥ ax^2 + bx + c$的几何意义：它表示一次函数$y_1$的函数值不小于二次函数$y_2$的函数值，对应到图像中就是一次函数的图像位于二次函数图像上方（含交点重合的位置）的部分，这部分图像对应的x的取值范围就是不等式的解集。接下来我们只需找到两个函数交点的横坐标，再结合图像的上下位置关系就能确定解集。
【解析】
不等式$kx + n ≥ ax^2 + bx + c$的解，对应一次函数$y_1=kx+n$的图像在二次函数$y_2=ax^2+bx+c$图像上方（包括交点）时x的取值范围。
已知两函数图像交于$A(-1,5)$、$B(9,2)$两点，观察图像可得：当$-1 ≤ x ≤ 9$时，直线$y_1$在抛物线$y_2$的上方，且两个交点处两函数值相等，满足$≥$的条件，因此不等式的解集为$-1 ≤ x ≤ 9$。
【答案】
A
【知识点】
函数与不等式的转化；一次函数的图象；二次函数的图象
【点评】
本题是数形结合思想在函数不等式中的典型应用，解题核心是将抽象的不等式问题转化为直观的函数图像位置关系问题，结合交点坐标即可快速得到结果，属于函数模块的基础常考题。
【难度系数】
0.7
