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二、填空题(每小题4分,共16分)
11.若抛物线$y=-3(x + k)^2 - k$的顶点在直线$y = 3x - 4$上,则$k$的值为
11.若抛物线$y=-3(x + k)^2 - k$的顶点在直线$y = 3x - 4$上,则$k$的值为
-2
.答案
11. -2
解析
【分析】
解题思路分为三步：①首先回忆二次函数顶点式的性质，写出给定抛物线的顶点坐标；②根据“点在直线上，则点的坐标满足直线解析式”的性质，将顶点坐标代入直线方程，得到关于k的一元一次方程；③解一元一次方程即可求出k的值。需要注意抛物线顶点式中顶点横坐标的符号不要记错。
【解析】
对于抛物线的顶点式$y=a(x-h)^2+b$，其顶点坐标为$(h,b)$。
则抛物线$y=-3(x + k)^2 - k$可改写为$y=-3[x - (-k)]^2 + (-k)$，因此它的顶点坐标为$(-k, -k)$。
∵顶点在直线$y=3x-4$上，将顶点坐标代入直线解析式得：
$-k = 3×(-k) - 4$
移项整理得：
$-k + 3k = -4$
$2k = -4$
解得$k=-2$。
【答案】
-2
【知识点】
1. 二次函数顶点式性质
2. 一次函数图象上点的坐标特征
3. 解一元一次方程
【点评】
本题是基础题型，重点考查二次函数顶点式的顶点坐标识别，以及函数图象上的点与函数解析式的对应关系，熟练掌握相关基础概念就能快速解题。
【难度系数】
0.8
解题思路分为三步：①首先回忆二次函数顶点式的性质，写出给定抛物线的顶点坐标；②根据“点在直线上，则点的坐标满足直线解析式”的性质，将顶点坐标代入直线方程，得到关于k的一元一次方程；③解一元一次方程即可求出k的值。需要注意抛物线顶点式中顶点横坐标的符号不要记错。
【解析】
对于抛物线的顶点式$y=a(x-h)^2+b$，其顶点坐标为$(h,b)$。
则抛物线$y=-3(x + k)^2 - k$可改写为$y=-3[x - (-k)]^2 + (-k)$，因此它的顶点坐标为$(-k, -k)$。
∵顶点在直线$y=3x-4$上，将顶点坐标代入直线解析式得：
$-k = 3×(-k) - 4$
移项整理得：
$-k + 3k = -4$
$2k = -4$
解得$k=-2$。
【答案】
-2
【知识点】
1. 二次函数顶点式性质
2. 一次函数图象上点的坐标特征
3. 解一元一次方程
【点评】
本题是基础题型，重点考查二次函数顶点式的顶点坐标识别，以及函数图象上的点与函数解析式的对应关系，熟练掌握相关基础概念就能快速解题。
【难度系数】
0.8
12. 抛物线$y=x^2 -4$与$x$轴的两个交点和抛物线的顶点构成的三角形的面积为
8
.答案
12. 8
解析
【分析】
要计算三个点构成的三角形面积，需先确定三个点的坐标：①先求抛物线与x轴的交点坐标：x轴上点的纵坐标为0，因此令抛物线解析式中y=0，解方程即可得到两个交点的横坐标，进而得到交点坐标；②再求抛物线的顶点坐标：给定的抛物线为$y=x^2-4$，属于顶点式的特殊形式，可直接得到顶点坐标；③最后分析三个点的位置特征：两个交点在x轴上，两点间的距离为三角形的底，顶点到x轴的距离为三角形的高，代入三角形面积公式即可求出结果。
【解析】
步骤1：求抛物线与x轴的交点坐标
令$y=0$，代入抛物线解析式得：
$x^2 - 4 = 0$
解得$x_1=2$，$x_2=-2$
因此抛物线与x轴的两个交点坐标为$(2,0)$、$(-2,0)$，两点间的距离（即三角形的底）为$2 - (-2) = 4$。
步骤2：求抛物线的顶点坐标
抛物线$y=x^2-4$是形如$y=ax^2+k$的顶点式，其顶点坐标为$(0,k)$，因此该抛物线的顶点坐标为$(0,-4)$。
顶点到x轴的距离（即三角形的高）为纵坐标的绝对值：$|-4|=4$。
步骤3：计算三角形面积
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，代入得：
$S=\frac{1}{2}×4×4=8$
【答案】
8
【知识点】
1. 二次函数与坐标轴交点求解
2. 二次函数的顶点坐标
3. 三角形面积计算
【点评】
本题属于基础题型，核心是结合二次函数的性质求出对应点的坐标，再结合几何图形的面积公式计算，解题时注意坐标距离的计算要准确，避免因坐标符号出错导致结果错误。
【难度系数】
0.8
要计算三个点构成的三角形面积，需先确定三个点的坐标：①先求抛物线与x轴的交点坐标：x轴上点的纵坐标为0，因此令抛物线解析式中y=0，解方程即可得到两个交点的横坐标，进而得到交点坐标；②再求抛物线的顶点坐标：给定的抛物线为$y=x^2-4$，属于顶点式的特殊形式，可直接得到顶点坐标；③最后分析三个点的位置特征：两个交点在x轴上，两点间的距离为三角形的底，顶点到x轴的距离为三角形的高，代入三角形面积公式即可求出结果。
【解析】
步骤1：求抛物线与x轴的交点坐标
令$y=0$，代入抛物线解析式得：
$x^2 - 4 = 0$
解得$x_1=2$，$x_2=-2$
因此抛物线与x轴的两个交点坐标为$(2,0)$、$(-2,0)$，两点间的距离（即三角形的底）为$2 - (-2) = 4$。
步骤2：求抛物线的顶点坐标
抛物线$y=x^2-4$是形如$y=ax^2+k$的顶点式，其顶点坐标为$(0,k)$，因此该抛物线的顶点坐标为$(0,-4)$。
顶点到x轴的距离（即三角形的高）为纵坐标的绝对值：$|-4|=4$。
步骤3：计算三角形面积
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，代入得：
$S=\frac{1}{2}×4×4=8$
【答案】
8
【知识点】
1. 二次函数与坐标轴交点求解
2. 二次函数的顶点坐标
3. 三角形面积计算
【点评】
本题属于基础题型，核心是结合二次函数的性质求出对应点的坐标，再结合几何图形的面积公式计算，解题时注意坐标距离的计算要准确，避免因坐标符号出错导致结果错误。
【难度系数】
0.8
13. 如图，直线 $ y = mx + n $ 与抛物线 $ y = ax^2 + bx + c $ 交于 $ A(-1,p) $，$ B(4,q) $ 两点，则关于 $ x $ 的不等式 $ mx + n ＞ ax^2 + bx + c $ 的解集是 
x ＜ -1 或 x ＞ 4
。答案
13. x ＜ -1 或 x ＞ 4
解析
【分析】
要解不等式$mx + n ＞ ax^2 + bx + c$，可利用数形结合思想：该不等式的含义是一次函数$y=mx+n$的函数值大于二次函数$y=ax^2+bx+c$的函数值，对应到图象上就是直线位于抛物线上方的区域，我们只需要找到交点的横坐标，再观察图象确定对应x的取值范围即可。两函数交点A、B的横坐标分别为-1和4，以此为分界点观察图象上下位置就能得到解集。
【解析】
不等式$mx + n ＞ ax^2 + bx + c$的几何意义为：直线$y=mx+n$的图象在抛物线$y=ax^2+bx+c$图象上方时，对应的x的取值范围。
已知直线与抛物线交于$A(-1,p)$、$B(4,q)$两点，观察图象可得：
当$x ＜ -1$时，直线在抛物线上方，满足$mx + n ＞ ax^2 + bx + c$；
当$x ＞ 4$时，直线也在抛物线上方，满足$mx + n ＞ ax^2 + bx + c$；
当$-1 ＜ x ＜ 4$时，抛物线在直线上方，不满足不等式。
因此不等式的解集为$x ＜ -1$或$x ＞ 4$。
【答案】
$x ＜ -1$或$x ＞ 4$
【知识点】
函数与不等式的关系；一次函数的图象；二次函数的图象
【点评】
本题考查数形结合思想在函数不等式中的应用，无需复杂计算，核心是理解函数值大小关系与图象上下位置的对应关系，是函数部分的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
要解不等式$mx + n ＞ ax^2 + bx + c$，可利用数形结合思想：该不等式的含义是一次函数$y=mx+n$的函数值大于二次函数$y=ax^2+bx+c$的函数值，对应到图象上就是直线位于抛物线上方的区域，我们只需要找到交点的横坐标，再观察图象确定对应x的取值范围即可。两函数交点A、B的横坐标分别为-1和4，以此为分界点观察图象上下位置就能得到解集。
【解析】
不等式$mx + n ＞ ax^2 + bx + c$的几何意义为：直线$y=mx+n$的图象在抛物线$y=ax^2+bx+c$图象上方时，对应的x的取值范围。
已知直线与抛物线交于$A(-1,p)$、$B(4,q)$两点，观察图象可得：
当$x ＜ -1$时，直线在抛物线上方，满足$mx + n ＞ ax^2 + bx + c$；
当$x ＞ 4$时，直线也在抛物线上方，满足$mx + n ＞ ax^2 + bx + c$；
当$-1 ＜ x ＜ 4$时，抛物线在直线上方，不满足不等式。
因此不等式的解集为$x ＜ -1$或$x ＞ 4$。
【答案】
$x ＜ -1$或$x ＞ 4$
【知识点】
函数与不等式的关系；一次函数的图象；二次函数的图象
【点评】
本题考查数形结合思想在函数不等式中的应用，无需复杂计算，核心是理解函数值大小关系与图象上下位置的对应关系，是函数部分的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
14. 设抛物线$y=ax^2 + bx + c(a≠0)$过点$A(0,2),B(4,3),C$,其中点$C$在直线$x=2$上,且点$C$到抛物线的对称轴的距离为$1$,则抛物线的函数解析式为________.
答案
$y = \frac{1}{8}x^2 - \frac{1}{4}x + 2$ 或 $y = -\frac{1}{8}x^2 + \frac{3}{4}x + 2$
解析
【分析】
解题时首先利用过点A的条件先求出解析式中的常数项c，再根据点C的位置及其到对称轴的距离，分对称轴在x=2左侧、右侧两种情况得到a和b的数量关系，最后将点B坐标代入解析式，联立a、b的关系求解参数，即可得到抛物线解析式，注意不要漏了对称轴的两种可能情况。
【解析】
1. 求常数项c：
将点$A(0,2)$代入$y=ax^2 + bx + c$，得$c=2$，因此抛物线解析式可写为$y=ax^2+bx+2$。
2. 确定对称轴的两种情况：
抛物线对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$，已知点C在直线$x=2$上，到对称轴距离为1，分两种情况：
① 对称轴在$x=2$左侧：$-\frac{b}{2a}=2-1=1$，化简得$b=-2a$；
② 对称轴在$x=2$右侧：$-\frac{b}{2a}=2+1=3$，化简得$b=-6a$。
3. 代入点B求解参数：
将$B(4,3)$代入$y=ax^2+bx+2$，得$16a+4b+2=3$，即$16a+4b=1$。
把$b=-2a$代入上式：$16a-8a=1$，解得$a=\frac{1}{8}$，则$b=-\frac{1}{4}$，对应解析式为$y=\frac{1}{8}x^2 - \frac{1}{4}x + 2$；
把$b=-6a$代入上式：$16a-24a=1$，解得$a=-\frac{1}{8}$，则$b=\frac{3}{4}$，对应解析式为$y=-\frac{1}{8}x^2 + \frac{3}{4}x + 2$。
【答案】
$y = \frac{1}{8}x^2 - \frac{1}{4}x + 2$ 或 $y = -\frac{1}{8}x^2 + \frac{3}{4}x + 2$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数对称轴性质；分类讨论思想
【点评】
本题属于二次函数的基础常考题，核心考查待定系数法的应用，易错点是忽略距离对应的两种对称轴位置导致漏解，能有效检验思维的严谨性。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用过点A的条件先求出解析式中的常数项c，再根据点C的位置及其到对称轴的距离，分对称轴在x=2左侧、右侧两种情况得到a和b的数量关系，最后将点B坐标代入解析式，联立a、b的关系求解参数，即可得到抛物线解析式，注意不要漏了对称轴的两种可能情况。
【解析】
1. 求常数项c：
将点$A(0,2)$代入$y=ax^2 + bx + c$，得$c=2$，因此抛物线解析式可写为$y=ax^2+bx+2$。
2. 确定对称轴的两种情况：
抛物线对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$，已知点C在直线$x=2$上，到对称轴距离为1，分两种情况：
① 对称轴在$x=2$左侧：$-\frac{b}{2a}=2-1=1$，化简得$b=-2a$；
② 对称轴在$x=2$右侧：$-\frac{b}{2a}=2+1=3$，化简得$b=-6a$。
3. 代入点B求解参数：
将$B(4,3)$代入$y=ax^2+bx+2$，得$16a+4b+2=3$，即$16a+4b=1$。
把$b=-2a$代入上式：$16a-8a=1$，解得$a=\frac{1}{8}$，则$b=-\frac{1}{4}$，对应解析式为$y=\frac{1}{8}x^2 - \frac{1}{4}x + 2$；
把$b=-6a$代入上式：$16a-24a=1$，解得$a=-\frac{1}{8}$，则$b=\frac{3}{4}$，对应解析式为$y=-\frac{1}{8}x^2 + \frac{3}{4}x + 2$。
【答案】
$y = \frac{1}{8}x^2 - \frac{1}{4}x + 2$ 或 $y = -\frac{1}{8}x^2 + \frac{3}{4}x + 2$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数对称轴性质；分类讨论思想
【点评】
本题属于二次函数的基础常考题，核心考查待定系数法的应用，易错点是忽略距离对应的两种对称轴位置导致漏解，能有效检验思维的严谨性。
【难度系数】
0.7
三、解答题(共44分)
15.(10分)定义:在平面直角坐标系中,函数图象上到两个坐标轴的距离相等的点叫作这个函数图象的完美点.
【定义解析】
例如:函数$y = \frac{1}{2}x + 1$上的点$(2,2)$,$(-\frac{2}{3},\frac{2}{3})$到两个坐标轴的距离相等,我们就称点$(2,2),(-\frac{2}{3},\frac{2}{3})$是函数$y = \frac{1}{2}x + 1$图象的完美点.
(1)若点$(a + 1, -2a)$是一次函数$y = kx + 4$第四象限图象的完美点,求$k$的值;
(2)求二次函数$y = x^2 + x - 4$图象的完美点;
【定义应用】
(3)若二次函数$y = ax^2 - 2x + c(a ＞ 0)$的图象上有且只有一个完美点$(3,3)$,求二次函数的解析式.
15.(10分)定义:在平面直角坐标系中,函数图象上到两个坐标轴的距离相等的点叫作这个函数图象的完美点.
【定义解析】
例如:函数$y = \frac{1}{2}x + 1$上的点$(2,2)$,$(-\frac{2}{3},\frac{2}{3})$到两个坐标轴的距离相等,我们就称点$(2,2),(-\frac{2}{3},\frac{2}{3})$是函数$y = \frac{1}{2}x + 1$图象的完美点.
(1)若点$(a + 1, -2a)$是一次函数$y = kx + 4$第四象限图象的完美点,求$k$的值;
(2)求二次函数$y = x^2 + x - 4$图象的完美点;
【定义应用】
(3)若二次函数$y = ax^2 - 2x + c(a ＞ 0)$的图象上有且只有一个完美点$(3,3)$,求二次函数的解析式.
答案
15. (1) $k = -3$. (2) $(2,2)(-2, -2)(-1+\sqrt{5},1-\sqrt{5}),(-1-\sqrt{5},1+\sqrt{5})$. (3) $y = \frac{1}{2}x^2 - 2x + \frac{9}{2}$.
解析
【分析】
解题核心是先理解“完美点”的定义：函数图象上点的横、纵坐标的绝对值相等，即满足$|x|=|y|$。
(1) 先结合第四象限点的坐标特征（横坐标为正，纵坐标为负），得到完美点满足$x=-y$，代入点的坐标列方程求出$a$的值，得到点的坐标后再代入一次函数解析式即可求出$k$；
(2) 分两种情况讨论：$y=x$和$y=-x$，分别与二次函数解析式联立，解一元二次方程即可得到所有完美点的坐标；
(3) 已知二次函数只有一个完美点$(3,3)$，说明联立$y=x$与二次函数得到的一元二次方程有且只有一个解（判别式$\Delta=0$），再将$(3,3)$代入二次函数得到关于$a$、$c$的方程，联立两个方程求解$a$、$c$即可得到解析式。
【解析】
(1) $\because$点$(a + 1, -2a)$是第四象限的完美点
$\therefore$第四象限内点横坐标为正、纵坐标为负，且到两坐标轴距离相等，即$a+1 = 2a$，且$a+1＞0$，$-2a＜0$
解得$a=1$，代入得该点坐标为$(2,-2)$
将$(2,-2)$代入$y=kx+4$，得$-2=2k+4$
解得$k=-3$
(2) 二次函数的完美点满足$|x|=|y|$，分两种情况：
①当$y=x$时，代入$y = x^2 + x - 4$得：
$x = x^2 + x - 4$
整理得$x^2=4$，解得$x_1=2$，$x_2=-2$
对应完美点为$(2,2)$，$(-2,-2)$
②当$y=-x$时，代入$y = x^2 + x - 4$得：
$-x = x^2 + x - 4$
整理得$x^2+2x-4=0$
由求根公式得$x=\frac{-2±\sqrt{4+16}}{2}=-1±\sqrt{5}$
对应$y=1∓\sqrt{5}$，即完美点为$(-1+\sqrt{5},1-\sqrt{5})$，$(-1-\sqrt{5},1+\sqrt{5})$
综上，二次函数的完美点为$(2,2),(-2,-2),(-1+\sqrt{5},1-\sqrt{5}),(-1-\sqrt{5},1+\sqrt{5})$
(3) $\because$二次函数$y = ax^2 - 2x + c(a ＞ 0)$只有一个完美点$(3,3)$，且该点满足$y=x$
$\therefore$联立$y=x$与$y = ax^2 - 2x + c$得：$ax^2 -3x + c=0$
$\because$只有一个完美点，$\therefore$该一元二次方程有两个相等的实数根，即$\Delta=(-3)^2-4ac=0$，即$4ac=9$①
将$(3,3)$代入二次函数解析式得：$3=9a - 6 + c$，整理得$9a + c=9$②
联立①②，将$c=9-9a$代入①得：$4a(9-9a)=9$
整理得$4a^2-4a+1=0$，即$(2a-1)^2=0$，解得$a=\frac{1}{2}$
代入②得$c=9-9×\frac{1}{2}=\frac{9}{2}$
$\therefore$二次函数解析式为$y=\frac{1}{2}x^2 - 2x + \frac{9}{2}$
【答案】
(1) $k = -3$；(2) $(2,2),(-2, -2),(-1+\sqrt{5},1-\sqrt{5}),(-1-\sqrt{5},1+\sqrt{5})$；(3) $y = \frac{1}{2}x^2 - 2x + \frac{9}{2}$
【知识点】
新定义阅读理解，一次函数性质，二次函数与方程
【点评】
本题以新定义“完美点”为载体，考查一次函数、二次函数的基本性质，以及函数与一元二次方程的关系，解题的关键是将完美点的特征转化为$|x|=|y|$的等量关系，分情况联立方程求解，第三小问需要结合判别式判断方程根的情况，考查了分类讨论思想和方程思想的应用。
【难度系数】
0.6
解题核心是先理解“完美点”的定义：函数图象上点的横、纵坐标的绝对值相等，即满足$|x|=|y|$。
(1) 先结合第四象限点的坐标特征（横坐标为正，纵坐标为负），得到完美点满足$x=-y$，代入点的坐标列方程求出$a$的值，得到点的坐标后再代入一次函数解析式即可求出$k$；
(2) 分两种情况讨论：$y=x$和$y=-x$，分别与二次函数解析式联立，解一元二次方程即可得到所有完美点的坐标；
(3) 已知二次函数只有一个完美点$(3,3)$，说明联立$y=x$与二次函数得到的一元二次方程有且只有一个解（判别式$\Delta=0$），再将$(3,3)$代入二次函数得到关于$a$、$c$的方程，联立两个方程求解$a$、$c$即可得到解析式。
【解析】
(1) $\because$点$(a + 1, -2a)$是第四象限的完美点
$\therefore$第四象限内点横坐标为正、纵坐标为负，且到两坐标轴距离相等，即$a+1 = 2a$，且$a+1＞0$，$-2a＜0$
解得$a=1$，代入得该点坐标为$(2,-2)$
将$(2,-2)$代入$y=kx+4$，得$-2=2k+4$
解得$k=-3$
(2) 二次函数的完美点满足$|x|=|y|$，分两种情况：
①当$y=x$时，代入$y = x^2 + x - 4$得：
$x = x^2 + x - 4$
整理得$x^2=4$，解得$x_1=2$，$x_2=-2$
对应完美点为$(2,2)$，$(-2,-2)$
②当$y=-x$时，代入$y = x^2 + x - 4$得：
$-x = x^2 + x - 4$
整理得$x^2+2x-4=0$
由求根公式得$x=\frac{-2±\sqrt{4+16}}{2}=-1±\sqrt{5}$
对应$y=1∓\sqrt{5}$，即完美点为$(-1+\sqrt{5},1-\sqrt{5})$，$(-1-\sqrt{5},1+\sqrt{5})$
综上，二次函数的完美点为$(2,2),(-2,-2),(-1+\sqrt{5},1-\sqrt{5}),(-1-\sqrt{5},1+\sqrt{5})$
(3) $\because$二次函数$y = ax^2 - 2x + c(a ＞ 0)$只有一个完美点$(3,3)$，且该点满足$y=x$
$\therefore$联立$y=x$与$y = ax^2 - 2x + c$得：$ax^2 -3x + c=0$
$\because$只有一个完美点，$\therefore$该一元二次方程有两个相等的实数根，即$\Delta=(-3)^2-4ac=0$，即$4ac=9$①
将$(3,3)$代入二次函数解析式得：$3=9a - 6 + c$，整理得$9a + c=9$②
联立①②，将$c=9-9a$代入①得：$4a(9-9a)=9$
整理得$4a^2-4a+1=0$，即$(2a-1)^2=0$，解得$a=\frac{1}{2}$
代入②得$c=9-9×\frac{1}{2}=\frac{9}{2}$
$\therefore$二次函数解析式为$y=\frac{1}{2}x^2 - 2x + \frac{9}{2}$
【答案】
(1) $k = -3$；(2) $(2,2),(-2, -2),(-1+\sqrt{5},1-\sqrt{5}),(-1-\sqrt{5},1+\sqrt{5})$；(3) $y = \frac{1}{2}x^2 - 2x + \frac{9}{2}$
【知识点】
新定义阅读理解，一次函数性质，二次函数与方程
【点评】
本题以新定义“完美点”为载体，考查一次函数、二次函数的基本性质，以及函数与一元二次方程的关系，解题的关键是将完美点的特征转化为$|x|=|y|$的等量关系，分情况联立方程求解，第三小问需要结合判别式判断方程根的情况，考查了分类讨论思想和方程思想的应用。
【难度系数】
0.6
16.（10分）某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销.据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本.
（1）求每天的销售利润y（单位：元）与销售单价x（单位：元）之间的函数解析式.
（2）当销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
（3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元，
那么销售单价应控制在什么范围内？（每天的总成本 = 每件的成本 × 每天的销售量）
（1）求每天的销售利润y（单位：元）与销售单价x（单位：元）之间的函数解析式.
（2）当销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
（3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元，
那么销售单价应控制在什么范围内？（每天的总成本 = 每件的成本 × 每天的销售量）
答案
16. (1) $y = -5x^2 + 800x - 27\ 500(50 ≤ x ≤ 100)$;(2) 当$x = 80$时,$y_{最大} = 4\ 500$;(3) 销售单价应控制在82元至90元之间.
解析
【分析】
（1）构建利润函数的核心逻辑是“总利润=单件利润×销售量”：单件利润为销售单价x减去成本50元；销售量随单价降低而增加，单价从100元降到x元时共降价$(100-x)$元，对应多售出$5(100-x)$件，总销售量为基础销量50件加多售的数量，将两个量相乘即可得到函数关系，同时结合销售单价不低于成本、不高于初始定价的要求，确定自变量取值范围。
（2）求利润最大值属于二次函数最值问题：该二次函数二次项系数为负，抛物线开口向下，在自变量取值范围内，顶点处的函数值就是最大值，可通过顶点坐标公式$x=-\frac{b}{2a}$求出对应单价，再代入解析式得到最大利润。
（3）需同时满足两个限制条件：①利润不低于4000元，令$y≥4000$解一元二次不等式得到x的初步范围；②总成本不超过7000元，根据“总成本=每件成本×销售量”列不等式求解得到x的另一范围；最后结合x本身的取值范围，取所有范围的公共部分即为最终单价控制范围。
【解析】
（1）由题意得，每件工艺品的利润为$(x-50)$元，
销售单价降低了$(100-x)$元，因此每天的销售量为$50 + 5(100-x) = 550 - 5x$件，
则总利润$y=(x-50)(550-5x)$，
展开整理得：$y=-5x^2 + 800x - 27500$，
结合销售单价要求，自变量取值范围为$50 ≤ x ≤ 100$。
（2）对于二次函数$y=-5x^2 + 800x - 27500$，$a=-5＜0$，抛物线开口向下，
对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{800}{2×(-5)}=80$，且$80$在$50 ≤ x ≤ 100$范围内，
将$x=80$代入解析式得：
$y_{最大}=-5×80^2 + 800×80 -27500=-32000+64000-27500=4500$。
（3）①令$y≥4000$，则$-5x^2 + 800x -27500≥4000$，
整理得$x^2 -160x +6300 ≤0$，
因式分解得$(x-70)(x-90)≤0$，
解得$70 ≤ x ≤ 90$；
②由每天总成本不超过7000元，得$50(550-5x) ≤7000$，
化简得$550-5x ≤140$，
解得$x≥82$；
结合自变量原有取值范围$50 ≤x ≤100$，取公共部分得$82 ≤x ≤90$。
【答案】
(1) $y = -5x^2 + 800x - 27500(50 ≤ x ≤ 100)$；
(2) 当销售单价为80元时，每天的销售利润最大，最大利润是4500元；
(3) 销售单价应控制在82元至90元之间。
【知识点】
二次函数实际应用；二次函数最值计算；不等式求解
【点评】
本题是销售利润类综合题，围绕二次函数应用展开，结合了函数建模、最值求解和不等式计算三类考点，解题时需注意自变量取值要符合实际场景，多个限制条件同时成立时需取解集的交集，能有效考查学生综合运用知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
（1）构建利润函数的核心逻辑是“总利润=单件利润×销售量”：单件利润为销售单价x减去成本50元；销售量随单价降低而增加，单价从100元降到x元时共降价$(100-x)$元，对应多售出$5(100-x)$件，总销售量为基础销量50件加多售的数量，将两个量相乘即可得到函数关系，同时结合销售单价不低于成本、不高于初始定价的要求，确定自变量取值范围。
（2）求利润最大值属于二次函数最值问题：该二次函数二次项系数为负，抛物线开口向下，在自变量取值范围内，顶点处的函数值就是最大值，可通过顶点坐标公式$x=-\frac{b}{2a}$求出对应单价，再代入解析式得到最大利润。
（3）需同时满足两个限制条件：①利润不低于4000元，令$y≥4000$解一元二次不等式得到x的初步范围；②总成本不超过7000元，根据“总成本=每件成本×销售量”列不等式求解得到x的另一范围；最后结合x本身的取值范围，取所有范围的公共部分即为最终单价控制范围。
【解析】
（1）由题意得，每件工艺品的利润为$(x-50)$元，
销售单价降低了$(100-x)$元，因此每天的销售量为$50 + 5(100-x) = 550 - 5x$件，
则总利润$y=(x-50)(550-5x)$，
展开整理得：$y=-5x^2 + 800x - 27500$，
结合销售单价要求，自变量取值范围为$50 ≤ x ≤ 100$。
（2）对于二次函数$y=-5x^2 + 800x - 27500$，$a=-5＜0$，抛物线开口向下，
对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{800}{2×(-5)}=80$，且$80$在$50 ≤ x ≤ 100$范围内，
将$x=80$代入解析式得：
$y_{最大}=-5×80^2 + 800×80 -27500=-32000+64000-27500=4500$。
（3）①令$y≥4000$，则$-5x^2 + 800x -27500≥4000$，
整理得$x^2 -160x +6300 ≤0$，
因式分解得$(x-70)(x-90)≤0$，
解得$70 ≤ x ≤ 90$；
②由每天总成本不超过7000元，得$50(550-5x) ≤7000$，
化简得$550-5x ≤140$，
解得$x≥82$；
结合自变量原有取值范围$50 ≤x ≤100$，取公共部分得$82 ≤x ≤90$。
【答案】
(1) $y = -5x^2 + 800x - 27500(50 ≤ x ≤ 100)$；
(2) 当销售单价为80元时，每天的销售利润最大，最大利润是4500元；
(3) 销售单价应控制在82元至90元之间。
【知识点】
二次函数实际应用；二次函数最值计算；不等式求解
【点评】
本题是销售利润类综合题，围绕二次函数应用展开，结合了函数建模、最值求解和不等式计算三类考点，解题时需注意自变量取值要符合实际场景，多个限制条件同时成立时需取解集的交集，能有效考查学生综合运用知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
