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1. 已知等式$3a=2b+5$,则下列等式中不一定成立的是 ()
A.$3a-5=2b$
B.$3a+1=2b+6$
C.$a=\dfrac{2}{3}b+\dfrac{5}{3}$
D.$3ac=2bc+5$
A.$3a-5=2b$
B.$3a+1=2b+6$
C.$a=\dfrac{2}{3}b+\dfrac{5}{3}$
D.$3ac=2bc+5$
答案
D
解析
【分析】
本题考查等式的基本性质的应用，解题思路为：首先回忆等式的两条基本性质：性质1是等式两边同时加或减同一个数（或式子），等式仍然成立；性质2是等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。再将每个选项和原等式对比，判断变形是否符合等式的性质，即可选出不一定成立的选项。
【解析】
已知原等式为$3a=2b+5$，逐一分析选项：
A. 等式两边同时减去5，根据等式性质1，左边变为$3a-5$，右边变为$2b+5-5=2b$，可得$3a-5=2b$，该等式一定成立；
B. 等式两边同时加上1，根据等式性质1，左边变为$3a+1$，右边变为$2b+5+1=2b+6$，可得$3a+1=2b+6$，该等式一定成立；
C. 等式两边同时除以3（3≠0，符合等式性质2的要求），左边变为$a$，右边变为$\frac{2b+5}{3}=\frac{2}{3}b+\frac{5}{3}$，可得$a=\frac{2}{3}b+\frac{5}{3}$，该等式一定成立；
D. 等式两边同时乘$c$，根据等式性质2，右边应为$(2b+5)c=2bc+5c$，选项中右边为$2bc+5$，仅当$c=1$时等式成立，$c$取其他值时等式不成立，因此该等式不一定成立。
【答案】
D
【知识点】
等式的基本性质；等式变形规则
【点评】
本题核心考查等式性质的正确运用，易错点是在对等式两边同时乘一个数时，漏乘等式右侧的常数项，或忽略乘的数不是1时等式不成立的情况，解题时需逐一验证每个选项的变形是否符合规则，即可准确判断。
【难度系数】
0.8
本题考查等式的基本性质的应用，解题思路为：首先回忆等式的两条基本性质：性质1是等式两边同时加或减同一个数（或式子），等式仍然成立；性质2是等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。再将每个选项和原等式对比，判断变形是否符合等式的性质，即可选出不一定成立的选项。
【解析】
已知原等式为$3a=2b+5$，逐一分析选项：
A. 等式两边同时减去5，根据等式性质1，左边变为$3a-5$，右边变为$2b+5-5=2b$，可得$3a-5=2b$，该等式一定成立；
B. 等式两边同时加上1，根据等式性质1，左边变为$3a+1$，右边变为$2b+5+1=2b+6$，可得$3a+1=2b+6$，该等式一定成立；
C. 等式两边同时除以3（3≠0，符合等式性质2的要求），左边变为$a$，右边变为$\frac{2b+5}{3}=\frac{2}{3}b+\frac{5}{3}$，可得$a=\frac{2}{3}b+\frac{5}{3}$，该等式一定成立；
D. 等式两边同时乘$c$，根据等式性质2，右边应为$(2b+5)c=2bc+5c$，选项中右边为$2bc+5$，仅当$c=1$时等式成立，$c$取其他值时等式不成立，因此该等式不一定成立。
【答案】
D
【知识点】
等式的基本性质；等式变形规则
【点评】
本题核心考查等式性质的正确运用，易错点是在对等式两边同时乘一个数时，漏乘等式右侧的常数项，或忽略乘的数不是1时等式不成立的情况，解题时需逐一验证每个选项的变形是否符合规则，即可准确判断。
【难度系数】
0.8
2. 下列各式:①$3+7=10$;②$3x-5=x^2+3x$;③$2x+1=1$;④$\frac{2}{x}=1$;⑤$3x+2$. 其中是一元一次方程的有 ()
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
A
解析
【分析】
解题前需先明确一元一次方程的判断标准：首先必须是含有未知数的等式（即方程），其次只含有1个未知数，且未知数的最高次数为1，同时等号两边都为整式（未知数不能出现在分母位置）。接下来我们逐个判断每个式子是否满足上述条件，统计符合要求的数量即可得到答案。
【解析】
首先明确一元一次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程。我们逐个分析各式：
①$3+7=10$：是等式，但不含未知数，不属于方程，排除；
②$3x-5=x^2+3x$：整理后可得$x^2+5=0$，未知数$x$的最高次数为2，不符合一元一次方程要求，排除；
③$2x+1=1$：只含有1个未知数$x$，$x$的次数为1，等号两边都是整式，符合一元一次方程的定义；
④$\frac{2}{x}=1$：未知数$x$在分母位置，属于分式方程，不是整式方程，排除；
⑤$3x+2$：是代数式，不是等式，不属于方程，排除。
综上，只有1个式子是一元一次方程，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元一次方程的定义；方程的概念；整式的判断
【点评】
本题重点考查对一元一次方程核心概念的掌握，解题的关键是牢记一元一次方程的几个判定条件，做题时要注意区分代数式与等式、整式方程与分式方程的差异，避免概念混淆造成误判。
【难度系数】
0.8
解题前需先明确一元一次方程的判断标准：首先必须是含有未知数的等式（即方程），其次只含有1个未知数，且未知数的最高次数为1，同时等号两边都为整式（未知数不能出现在分母位置）。接下来我们逐个判断每个式子是否满足上述条件，统计符合要求的数量即可得到答案。
【解析】
首先明确一元一次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程。我们逐个分析各式：
①$3+7=10$：是等式，但不含未知数，不属于方程，排除；
②$3x-5=x^2+3x$：整理后可得$x^2+5=0$，未知数$x$的最高次数为2，不符合一元一次方程要求，排除；
③$2x+1=1$：只含有1个未知数$x$，$x$的次数为1，等号两边都是整式，符合一元一次方程的定义；
④$\frac{2}{x}=1$：未知数$x$在分母位置，属于分式方程，不是整式方程，排除；
⑤$3x+2$：是代数式，不是等式，不属于方程，排除。
综上，只有1个式子是一元一次方程，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元一次方程的定义；方程的概念；整式的判断
【点评】
本题重点考查对一元一次方程核心概念的掌握，解题的关键是牢记一元一次方程的几个判定条件，做题时要注意区分代数式与等式、整式方程与分式方程的差异，避免概念混淆造成误判。
【难度系数】
0.8
3.(2023·永州)关于x的一元一次方程$2x+m=5$的解为$x=1$，则m的值为（）
A.3
B.-3
C.7
D.-7
A.3
B.-3
C.7
D.-7
答案
A
解析
【分析】
解题的核心是利用一元一次方程解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。已知x=1是给定方程的解，我们只需把x=1代入原方程，就能得到一个仅含参数m的一元一次方程，解这个方程即可求出m的值，这是求解这类含参数一元一次方程问题的通用思路。
【解析】
∵ $x=1$是一元一次方程$2x+m=5$的解
∴ 将$x=1$代入方程，等式成立，可得：
$2×1 + m = 5$
化简得：$2 + m = 5$
移项计算得：$m = 5 - 2 = 3$
因此m的值为3，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元一次方程的解，解一元一次方程
【点评】
本题属于基础考查题，核心是方程解的概念应用，只要掌握方程解的定义，代入后进行简单的一元一次方程计算即可得分，计算量小。
【难度系数】
0.9
解题的核心是利用一元一次方程解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。已知x=1是给定方程的解，我们只需把x=1代入原方程，就能得到一个仅含参数m的一元一次方程，解这个方程即可求出m的值，这是求解这类含参数一元一次方程问题的通用思路。
【解析】
∵ $x=1$是一元一次方程$2x+m=5$的解
∴ 将$x=1$代入方程，等式成立，可得：
$2×1 + m = 5$
化简得：$2 + m = 5$
移项计算得：$m = 5 - 2 = 3$
因此m的值为3，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元一次方程的解，解一元一次方程
【点评】
本题属于基础考查题，核心是方程解的概念应用，只要掌握方程解的定义，代入后进行简单的一元一次方程计算即可得分，计算量小。
【难度系数】
0.9
4. 关于$x$的方程$\frac{1}{6}mx - \frac{4}{3} = \frac{1}{2}(x - 2)$的解为整数，则整数$m$的所有可能的取值之和为.
答案
$\boldsymbol{12}$
解析
【分析】
解题时首先将参数m看作常数，按照一元一次方程的常规解法求解x，用含m的代数式表示x；再结合“解为整数、m为整数”的条件，可知m-3是2的整数因数，由此列出所有可能的因数，求出对应的m值，最后将符合条件的m相加即可得到结果，注意要排除使方程无解的m值。
【解析】
解：先对原方程去分母，两边同时乘6得：
$mx - 8 = 3(x - 2)$
去括号得：
$mx - 8 = 3x - 6$
移项、合并同类项得：
$(m - 3)x = 2$
当$m=3$时，左边为0，右边为2，等式不成立，方程无解，故$m≠3$，系数化为1得：
$x = \frac{2}{m - 3}$
∵方程的解x为整数，且m为整数
∴$m - 3$是2的整数因数，即$m - 3$的取值为$\pm1,\pm2$
分别计算对应的m值：
当$m - 3 = 1$时，$m=4$；
当$m - 3 = -1$时，$m=2$；
当$m - 3 = 2$时，$m=5$；
当$m - 3 = -2$时，$m=1$；
所有符合条件的m的取值之和为$1+2+4+5=12$
【答案】
$\boldsymbol{12}$
【知识点】
一元一次方程的解法；含参方程整数解；整数的性质
【点评】
本题解题核心是先将参数视为常数求解方程的解，再根据整数解的约束确定参数的可能取值，解题时需注意先判断一次项系数不为0的情况，避免出现无解的错误，同时找因数时不要遗漏负因数，防止漏解。
【难度系数】
0.6
解题时首先将参数m看作常数，按照一元一次方程的常规解法求解x，用含m的代数式表示x；再结合“解为整数、m为整数”的条件，可知m-3是2的整数因数，由此列出所有可能的因数，求出对应的m值，最后将符合条件的m相加即可得到结果，注意要排除使方程无解的m值。
【解析】
解：先对原方程去分母，两边同时乘6得：
$mx - 8 = 3(x - 2)$
去括号得：
$mx - 8 = 3x - 6$
移项、合并同类项得：
$(m - 3)x = 2$
当$m=3$时，左边为0，右边为2，等式不成立，方程无解，故$m≠3$，系数化为1得：
$x = \frac{2}{m - 3}$
∵方程的解x为整数，且m为整数
∴$m - 3$是2的整数因数，即$m - 3$的取值为$\pm1,\pm2$
分别计算对应的m值：
当$m - 3 = 1$时，$m=4$；
当$m - 3 = -1$时，$m=2$；
当$m - 3 = 2$时，$m=5$；
当$m - 3 = -2$时，$m=1$；
所有符合条件的m的取值之和为$1+2+4+5=12$
【答案】
$\boldsymbol{12}$
【知识点】
一元一次方程的解法；含参方程整数解；整数的性质
【点评】
本题解题核心是先将参数视为常数求解方程的解，再根据整数解的约束确定参数的可能取值，解题时需注意先判断一次项系数不为0的情况，避免出现无解的错误，同时找因数时不要遗漏负因数，防止漏解。
【难度系数】
0.6
5. 已知关于$x$的方程$3a - x = \frac{x}{2} + 3$的解为2，求代数式$(-a)^2 - 2a + 1$的值.
答案
解：
因为$x=2$是方程$3a - x = \frac{x}{2} + 3$的解，
将$x=2$代入方程，得：
$3a - 2 = \frac{2}{2} + 3$
化简得：$3a - 2 = 4$
移项得：$3a = 6$
系数化为1，得：$a = 2$
把$a=2$代入代数式$(-a)^2 - 2a + 1$：
$(-a)^2 - 2a + 1 = (-2)^2 - 2×2 + 1 = 4 - 4 + 1 = 1$
最终代数式的值为1。
因为$x=2$是方程$3a - x = \frac{x}{2} + 3$的解，
将$x=2$代入方程，得：
$3a - 2 = \frac{2}{2} + 3$
化简得：$3a - 2 = 4$
移项得：$3a = 6$
系数化为1，得：$a = 2$
把$a=2$代入代数式$(-a)^2 - 2a + 1$：
$(-a)^2 - 2a + 1 = (-2)^2 - 2×2 + 1 = 4 - 4 + 1 = 1$
最终代数式的值为1。
解析
【分析】
解题时首先利用方程解的定义：方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值。已知x=2是题给方程的解，可先将x=2代入原方程，得到只含有未知数a的一元一次方程，解出a的取值后，再把a的值代入待求代数式，按照有理数运算规则计算出最终结果即可。
【解析】
因为$x=2$是方程$3a - x = \frac{x}{2} + 3$的解，
将$x=2$代入方程，得：
$3a - 2 = \frac{2}{2} + 3$
化简得：$3a - 2 = 4$
移项得：$3a = 6$
系数化为1，得：$a = 2$
把$a=2$代入代数式$(-a)^2 - 2a + 1$：
$(-a)^2 - 2a + 1 = (-2)^2 - 2×2 + 1 = 4 - 4 + 1 = 1$
【答案】
1
【知识点】
一元一次方程的解；解一元一次方程；代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是理解方程解的含义，先通过代入方程的解求出未知参数的值，再代入代数式计算，掌握基本的一元一次方程解法和有理数运算规则即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
解题时首先利用方程解的定义：方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值。已知x=2是题给方程的解，可先将x=2代入原方程，得到只含有未知数a的一元一次方程，解出a的取值后，再把a的值代入待求代数式，按照有理数运算规则计算出最终结果即可。
【解析】
因为$x=2$是方程$3a - x = \frac{x}{2} + 3$的解，
将$x=2$代入方程，得：
$3a - 2 = \frac{2}{2} + 3$
化简得：$3a - 2 = 4$
移项得：$3a = 6$
系数化为1，得：$a = 2$
把$a=2$代入代数式$(-a)^2 - 2a + 1$：
$(-a)^2 - 2a + 1 = (-2)^2 - 2×2 + 1 = 4 - 4 + 1 = 1$
【答案】
1
【知识点】
一元一次方程的解；解一元一次方程；代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是理解方程解的含义，先通过代入方程的解求出未知参数的值，再代入代数式计算，掌握基本的一元一次方程解法和有理数运算规则即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
