1. 如图16,在5×5的正方形网格中,一条圆弧经过A,B,C三点,那么这条圆弧所在圆的圆心是 （）

A.点P
B.点Q
C.点R
D.点M

B

【分析】
要确定圆弧所在圆的圆心，需依据圆的性质：圆心到圆上任意一点的距离都相等，且圆心在任意一条弦的垂直平分线上。首先找到弦AB的垂直平分线，缩小候选圆心的范围，再验证范围内的点到C点的距离是否与到A、B的距离相等，即可确定圆心。
【解析】
设每个小方格的边长为1，根据圆心到圆上各点距离相等的性质，解题步骤如下：
1. 确定弦AB的垂直平分线：A、B两点纵坐标相同，AB为水平线段，其中点横坐标为$\frac{1+3}{2}=2$，因此AB的垂直平分线为直线$x=2$，观察选项只有点Q、点M在这条直线上，可排除点P、点R；
2. 验证点Q到三点的距离：
$QA=\sqrt{(1-2)^2+(3-1)^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$，
$QB=\sqrt{(3-2)^2+(3-1)^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$，
$QC=\sqrt{(4-2)^2+(2-1)^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$，
可得$QA=QB=QC$，符合圆心的性质；
3. 排除点M：计算得$MA=\sqrt{(1-2)^2+(3-0)^2}=\sqrt{10}≠ QA$，不符合要求。
因此这条圆弧所在圆的圆心是点Q。
【答案】
B
【知识点】
圆的基本性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理
【点评】
本题考查网格中圆心的确定，解题核心是掌握圆心到圆上所有点距离相等的性质，结合网格特征用勾股定理计算线段长度即可快速解题，属于基础性质的应用类题目。
【难度系数】
0.7

2. 下列关于圆的叙述正确的有
（）
①圆内接正多边形的每个内角都相等；②圆内接正多边形都是中心对称图形；③正多边形中心角的度数等于这个正多边形一个外角的度数；④圆内接正多边形的中心到各边的距离都相等。

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

C

【分析】
解题时需结合正多边形及圆内接正多边形的相关性质，对4个叙述逐一判断正误即可得出正确选项：首先回忆正多边形的内角特点、中心对称图形的定义、正多边形中心角与外角的计算、正多边形边心距的性质，逐个验证每个说法的对错。
【解析】
我们对每个叙述逐一分析：
1. 分析①：正多边形的基本性质是各边相等、各内角相等，圆内接正多边形属于正多边形，因此每个内角都相等，故①正确；
2. 分析②：中心对称图形的定义是绕对称中心旋转180°后能与自身重合的图形，例如圆内接正三角形是圆内接正多边形，但正三角形绕中心旋转180°后无法与自身重合，不是中心对称图形，故②错误；
3. 分析③：设正多边形的边数为n，则其中心角的度数为$\frac{360°}{n}$；任意正多边形的外角和为360°，因此每个外角的度数也为$\frac{360°}{n}$，二者相等，故③正确；
4. 分析④：圆内接正多边形的中心到各边的距离是正多边形的边心距，所有正多边形的边心距都相等，故④正确。
综上，正确的叙述有①③④，共3个。
【答案】
C
【知识点】
正多边形的性质；正多边形与圆；中心对称图形判定
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是熟练掌握正多边形的相关性质，边数为奇数的正多边形不具备中心对称性是容易出错的点，解题时逐个排查即可避免失误。
【难度系数】
0.7

3. 张同学在学习圆内接正多边形时,作了一个如图17所示的圆内接正八边形。若$\odot O$的半径为$\sqrt{2}$,则这个圆内接正八边形的面积为（）

A.$π$
B.$2π$
C.$4\sqrt{2}$
D.$8\sqrt{2}$

C

【分析】
要计算圆内接正八边形的面积，可利用正多边形的对称性，将正八边形拆分为8个全等的等腰三角形：首先求出每个等腰三角形的中心角，再结合已知的圆半径计算单个三角形的面积，最后乘8即可得到正八边形的总面积。
【解析】
1. 计算正八边形的中心角：正八边形的中心角为 $ 360° ÷ 8 = 45° $，因此正八边形可划分为8个全等的等腰三角形，每个三角形的两条腰长均为$\odot O$的半径$\sqrt{2}$，顶角为$45°$。
2. 计算单个等腰三角形的面积：利用两边及夹角求三角形面积的公式 $ S=\frac{1}{2}ab\sinθ $（其中$a、b$为两边长，$θ$为两边夹角），代入$a=b=\sqrt{2}$，$θ=45°$，可得：
$ S_1=\frac{1}{2} × \sqrt{2} × \sqrt{2} × \sin45° = \frac{1}{2} × 2 × \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} $
3. 计算正八边形总面积：总面积为8个三角形面积之和，即$ S=8 × S_1 = 8 × \frac{\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2} $
【答案】
C
【知识点】
圆内接正多边形性质，三角形面积计算，特殊角三角函数值
【点评】
本题核心是将正八边形面积转化为多个规则三角形面积之和求解，掌握正多边形与圆的对应关系是解题的关键，计算时注意特殊角三角函数值的正确应用。
【难度系数】
0.7

4. (2024·苏州)如图18,△ABC是⊙O的内接三角形,若∠OBC=28°,则∠A=°。

$\boldsymbol{62}$

【分析】
解题时首先观察已知条件：∠OBC是圆心与弦端点构成的角，OB和OC都是⊙O的半径，根据半径相等可推出△OBC是等腰三角形，先求出圆心角∠BOC的度数；再根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可求出圆周角∠A的度数。
【解析】
连接OC，
∵OB、OC均为⊙O的半径，
∴OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=28°，
在△OBC中，由三角形内角和为180°可得：
∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-28°-28°=124°，
∵∠A是弧BC所对的圆周角，∠BOC是弧BC所对的圆心角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴∠A=½∠BOC=½×124°=62°。
【答案】
62
【知识点】
圆周角定理；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是圆性质的基础应用题，解题的突破口是利用圆的半径相等构造等腰三角形，再结合圆周角定理求解，熟练掌握基础定理即可快速解答。
【难度系数】
0.8

5. 如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成，点A,B,C在平面直角坐标系中的坐标分别为(3,6),(-3,3),(7,-2)，则△ABC的内心的坐标为。

解：
由点A(3,6)，B(-3,3)，C(7,-2)，计算三边长度：
$AB=\sqrt{(3+3)^2+(6-3)^2}=3\sqrt{5}$，
$AC=\sqrt{(3-7)^2+(6+2)^2}=4\sqrt{5}$，
$BC=\sqrt{(-3-7)^2+(3+2)^2}=5\sqrt{5}$。
$\because AB^2+AC^2=45+80=125=BC^2$，
$\therefore △ ABC$是直角三角形，$∠ BAC=90°$。
直角三角形内切圆半径$r=\frac{AB+AC-BC}{2}=\frac{3\sqrt{5}+4\sqrt{5}-5\sqrt{5}}{2}=\sqrt{5}$。
分别求三边所在直线方程：
直线$AB$：$x-2y+9=0$，
直线$AC$：$2x+y-12=0$，
直线$BC$：$x+2y-3=0$。
设内心坐标为$(x,y)$，根据点到直线的距离公式，该点到三条直线的距离均等于$r=\sqrt{5}$，代入验证得$x=2,y=3$满足所有条件。
$\therefore △ ABC$的内心的坐标为$\boldsymbol{(2,3)}$。

【分析】
要求三角形内心的坐标，首先回忆内心的性质：内心是三角形内切圆的圆心，是三条角平分线的交点，到三角形三边的距离相等，该距离等于内切圆半径。解题时首先通过坐标计算三边长度，利用勾股定理逆定理判断三角形是否为特殊三角形，简化计算；再求出三边所在的直线方程，设内心坐标为$(x,y)$，结合点到直线的距离等于内切圆半径列方程，求解即可得到内心坐标，也可通过代入验证避免计算错误。
【解析】
1. 计算三边长度，判断三角形形状：
已知$A(3,6)$，$B(-3,3)$，$C(7,-2)$，由两点间距离公式：
$AB=\sqrt{(3+3)^2+(6-3)^2}=\sqrt{36+9}=3\sqrt{5}$，
$AC=\sqrt{(3-7)^2+(6+2)^2}=\sqrt{16+64}=4\sqrt{5}$，
$BC=\sqrt{(-3-7)^2+(3+2)^2}=\sqrt{100+25}=5\sqrt{5}$。
$\because AB^2+AC^2=(3\sqrt{5})^2+(4\sqrt{5})^2=45+80=125=(5\sqrt{5})^2=BC^2$，
$\therefore △ ABC$是直角三角形，且$∠ BAC=90°$。
2. 求内切圆半径：
直角三角形内切圆半径$r=\frac{AB+AC-BC}{2}=\frac{3\sqrt{5}+4\sqrt{5}-5\sqrt{5}}{2}=\sqrt{5}$。
3. 求三边所在直线方程：
直线$AB$：斜率$k_{AB}=\frac{6-3}{3+3}=\frac{1}{2}$，代入点$A(3,6)$得方程$y-6=\frac{1}{2}(x-3)$，整理得$x-2y+9=0$；
直线$AC$：斜率$k_{AC}=\frac{6+2}{3-7}=-2$，代入点$A(3,6)$得方程$y-6=-2(x-3)$，整理得$2x+y-12=0$；
直线$BC$：斜率$k_{BC}=\frac{3+2}{-3-7}=-\frac{1}{2}$，代入点$B(-3,3)$得方程$y-3=-\frac{1}{2}(x+3)$，整理得$x+2y-3=0$。
4. 利用内心性质列方程求解：
设内心坐标为$(x,y)$，内心在三角形内部，到三边距离均为$r=\sqrt{5}$，根据点到直线距离公式，结合三角形内部点的符号特征去绝对值得：
$\begin{cases}\frac{x-2y+9}{\sqrt{1^2+(-2)^2}}=\sqrt{5}\\\frac{12-2x-y}{\sqrt{2^2+1^2}}=\sqrt{5}\end{cases}$，化简得$\begin{cases}x-2y=-4\\2x+y=7\end{cases}$，
解得$x=2,y=3$，代入到$BC$的距离公式验证，符合条件。
【答案】
$(2,3)$
【知识点】
三角形内心的性质；勾股定理逆定理；点到直线的距离公式
【点评】
本题综合考查了坐标与几何性质的结合应用，解题关键是熟练掌握内心的性质，能通过坐标计算线段长度、推导直线方程，先判断三角形为直角三角形可有效简化计算，也可通过代入验证提升解题准确率。
【难度系数】
0.6

6. 已知$\mathrm{Rt}△ ABC$的两直角边的长分别为$a$和$b$，且$a,b$是方程$x^2 -3x+1=0$的两根，求$\mathrm{Rt}△ ABC$的外接圆的面积。

解：
∵ $a,b$是方程$x^2 - 3x + 1 = 0$的两根，
∴ 由一元二次方程根与系数的关系，得 $a + b = 3$，$ab = 1$。
设$\mathrm{Rt}△ ABC$的斜边长为$c$，由勾股定理得：
$c^2 = a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = 3^2 - 2×1 = 7$，
即 $c = \sqrt{7}$。
∵ 直角三角形的外接圆直径等于其斜边长，
∴ $\mathrm{Rt}△ ABC$的外接圆半径 $r = \frac{c}{2} = \frac{\sqrt{7}}{2}$，
∴ 外接圆的面积 $S = π r^2 = π × (\frac{\sqrt{7}}{2})^2 = \frac{7}{4}π$。

【分析】
要求Rt△ABC的外接圆面积，首先要明确直角三角形的外接圆直径等于斜边长度，因此解题核心是求出斜边的长。已知两条直角边a、b是一元二次方程的两根，无需直接解方程求a、b的具体值，可先利用一元二次方程根与系数的关系得到a+b和ab的值，再结合勾股定理，通过完全平方公式的变形将a²+b²转化为(a+b)²-2ab，即可求出斜边的平方，进而得到斜边长度，最后计算外接圆半径和面积即可。
【解析】
解：
∵a，b是方程$x^2 - 3x + 1 = 0$的两根，
∴由一元二次方程根与系数的关系，得 $a + b = 3$，$ab = 1$。
设$\mathrm{Rt}△ ABC$的斜边长为$c$，由勾股定理得：
$c^2 = a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = 3^2 - 2×1 = 7$，
即 $c = \sqrt{7}$。
∵ 直角三角形的外接圆直径等于其斜边长，
∴ $\mathrm{Rt}△ ABC$的外接圆半径 $r = \frac{c}{2} = \frac{\sqrt{7}}{2}$，
∴ 外接圆的面积 $S = π r^2 = π × (\frac{\sqrt{7}}{2})^2 = \frac{7}{4}π$。
【答案】
$\frac{7}{4}π$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系 2. 勾股定理 3. 直角三角形外接圆性质
【点评】
本题是代数与几何的综合基础题，解题的关键是灵活运用根与系数的关系，结合完全平方公式变形求解斜边长度，避免了直接求解方程根的繁琐计算，考查了学生对基础知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6