2. (2025·福建)如图12，PA与⊙O相切于点A，PO的延长线交⊙O于点C，AB//PC，且交⊙O于点B。若∠P=30°，则∠BCP的大小为 ()


A.30°
B.45°
C.60°
D.75°

C

【分析】
解题时首先结合切线的条件，优先连接切点与圆心构造直角三角形：先利用切线垂直于过切点的半径得到Rt△PAO，结合已知∠P=30°算出圆心角∠AOC的度数；再根据AB与PC平行的性质，得到平行弦所夹的弧相等，进而推出弧BC对应的圆心角∠BOC与∠AOC相等；最后结合OB、OC都是半径，判定△OBC为等边三角形，即可求出∠BCP的度数。
【解析】
连接OA，
∵PA与⊙O相切于点A，
∴OA⊥PA，即∠PAO=90°，
在Rt△PAO中，∠P=30°，
∴∠AOP=90°-∠P=60°，即弧AC对应的圆心角∠AOC=60°，
∵AB//PC，
∴弧AC=弧BC（平行弦所夹的弧相等），
∴弧BC对应的圆心角∠BOC=∠AOC=60°，
又
∵OB=OC（均为⊙O的半径），
∴△OBC是等边三角形，
∴∠OCB=60°，即∠BCP=60°。
【答案】
C
【知识点】
切线的性质；平行线的性质；等边三角形的判定
【点评】
本题是圆的基础综合题，解题关键是正确作出连接圆心和切点的辅助线，结合切线性质转化角度，是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.7

3.(2025·自贡)PA,PB分别与$\odot O$相切于A,B两点,点C在$\odot O$上,不与点A,B重合。若$∠ P=80°$,则$∠ ACB$的度数为 ()

A.$50°$
B.$100°$
C.$130°$
D.$50°$或$130°$

D

【分析】
首先根据切线的性质，连接切点与圆心可得到垂直关系，结合四边形内角和求出圆心角∠AOB的度数；由于点C在圆上的位置不唯一，需分点C在优弧AB上、点C在劣弧AB上两种情况，再结合圆周角定理分别计算∠ACB的度数即可。
【解析】
连接OA、OB，
∵PA、PB分别与$\odot O$相切于A、B两点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，即$∠ OAP=∠ OBP=90°$，
四边形OAPB的内角和为$360°$，已知$∠ P=80°$，
∴$∠ AOB=360°-∠ OAP-∠ OBP-∠ P=360°-90°-90°-80°=100°$。
分两种情况讨论：
① 若点C在优弧AB上，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，
∴$∠ ACB=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×100°=50°$；
② 若点C在劣弧AB上，此时优弧AB的度数为$360°-100°=260°$，
同理可得$∠ ACB=\frac{1}{2}×260°=130°$。
综上，$∠ ACB$的度数为$50°$或$130°$。
【答案】
D
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；四边形内角和
【点评】
本题是圆的基础应用题型，解题关键是熟练掌握切线的性质与圆周角定理，易错点是忽略点C的位置有两种情况，导致漏解，做题时要注意考虑所有符合条件的位置，避免思维定势。
【难度系数】
0.7

4.如图13,AB是$\odot O$的直径,PA切$\odot O$于点A,线段PO交$\odot O$于点C,连接BC,若$∠ P=36°$,则$∠ B=$。

$\boldsymbol{27°}$

【分析】
解题时先利用切线的性质得到直角三角形，再根据直角三角形两锐角互余求出圆心角∠AOC的度数，最后根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可求出∠B的度数。首先回忆切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，因此PA⊥AB，得到∠PAO=90°；接着在Rt△PAO中，已知∠P=36°，可算出∠AOC的度数；最后根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可求出∠B的数值。
【解析】
解：
∵PA切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，
∴PA⊥AB，即∠PAO=90°，
在Rt△PAO中，∠P=36°，
∴∠AOC=90°-∠P=90°-36°=54°，
∵∠B是弧AC所对的圆周角，∠AOC是弧AC所对的圆心角，
∴∠B=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$×54°=27°。
【答案】
$\boldsymbol{27°}$
【知识点】
切线的性质；圆周角定理
【点评】
本题属于圆的基础计算题，解题核心是熟练掌握切线性质和圆周角定理，通过直角三角形的内角性质过渡求出圆心角，进而得到所求圆周角的度数，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.8

5. 如图14,四边形OABC是平行四边形,以点O为圆心,OC为半径的$\odot O$与AB相切于点B,与AO相交于点D,AO的延长线交$\odot O$于点E,连接EB交OC于点F。求$∠ C$和$∠ E$的度数。

解：
连接OB。
∵ AB是⊙O的切线，B为切点，
∴ OB⊥AB，即∠ABO=90°。
∵ 四边形OABC是平行四边形，
∴ AB//OC，AB=OC，∠C=∠A。
∴ OB⊥OC，即∠BOC=90°。
又∵ OB、OC都是⊙O的半径，
∴ OB=OC，
∴ OB=AB。
在Rt△ABO中，∠ABO=90°，OB=AB，
∴ ∠A=∠AOB=45°，
∴ ∠C=∠A=45°。
∵ ∠E是圆周角，它所对的弧对应的圆心角为∠AOB，
∴ ∠E = $\frac{1}{2}$∠AOB = $\frac{1}{2}×45°=22.5°$。
综上，∠C=45°，∠E=22.5°。

【分析】
解题时首先看到AB是⊙O的切线，根据切线相关问题的常规思路，连接圆心O和切点B，可得到垂直关系；再结合平行四边形对边平行且相等、对角相等的性质，推导边和角的关系，可得出△ABO是等腰直角三角形，进而求出∠C的度数；最后利用圆周角定理，即同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可求出∠E的度数。
【解析】
连接OB。
∵ AB是⊙O的切线，B为切点，
∴ OB⊥AB，即∠ABO=90°。
∵ 四边形OABC是平行四边形，
∴ AB//OC，AB=OC，∠C=∠A。
∴ OB⊥OC，即∠BOC=90°。
又
∵ OB、OC都是⊙O的半径，
∴ OB=OC，
∴ OB=AB。
在Rt△ABO中，∠ABO=90°，OB=AB，
∴ ∠A=∠AOB=45°，
∴ ∠C=∠A=45°。
∵ ∠E是圆周角，它所对的弧对应的圆心角为∠AOB，
∴ ∠E = $\frac{1}{2}$∠AOB = $\frac{1}{2}×45°=22.5°$。
【答案】
∠C=45°，∠E=22.5°
【知识点】
切线的性质；平行四边形的性质；圆周角定理
【点评】
本题是基础综合题，将圆的相关性质与平行四边形的性质结合考查，解题的关键是掌握切线问题中“连接圆心与切点”的常用辅助线作法，能熟练运用各基础定理推导边角关系。
【难度系数】
0.7

6. 如图15，AB为$\odot O$的直径，C，D为$\odot O$上的两个点，$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DB}$，连接AD，过点D作$DE ⊥ AC$交AC的延长线于点E。
(1)求证：DE是$\odot O$的切线；
(2)若直径$AB=6$，求AD的长。

(1) 证明：连接OD。
∵ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DB}$，AB为$\odot O$的直径，
∴ $\overset{\frown}{AC}+\overset{\frown}{CD}+\overset{\frown}{DB}=180°$，
∴ $∠ DOB = \frac{1}{3} × 180° = 60°$。
∵ $∠ DAB$ 是 $\overset{\frown}{DB}$ 对应的圆周角，
∴ $∠ DAB = \frac{1}{2}∠ DOB = 30°$。
又∵ OA=OD，
∴ $∠ ODA = ∠ DAB = 30°$。
∵ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}$，
∴ $∠ EAD = ∠ DAB = 30°$，
∴ $∠ EAD = ∠ ODA$，
∴ $OD // AE$。
∵ $DE ⊥ AE$，
∴ $DE ⊥ OD$，
又∵ OD是$\odot O$的半径，
∴ DE是$\odot O$的切线。
(2) 解：∵ AB是$\odot O$的直径，
∴ $∠ ADB = 90°$。
由(1)得 $∠ DAB = 30°$，AB=6，
∴ $BD = \frac{1}{2}AB = 3$。
在$Rt△ ADB$中，由勾股定理得：
$AD = \sqrt{AB^2 - BD^2} = \sqrt{6^2 - 3^2} = 3\sqrt{3}$。
综上，AD的长为$3\sqrt{3}$。

【分析】
(1) 要证明DE是$\odot O$的切线，根据切线判定定理，需证明DE垂直于过切点的半径，因此先连接辅助线OD。首先利用三段弧相等、AB是直径的条件，推导对应圆心角、圆周角的度数，再通过等角关系证明OD与AE平行，结合$DE⊥AE$的已知条件，即可得到$DE⊥OD$，完成切线的证明。
(2) 求AD的长度时，先根据“直径所对的圆周角是直角”得到$Rt△ ADB$，结合(1)中推出的$∠DAB=30°$，先求出BD的长度，再利用勾股定理计算AD的长度即可。
【解析】
(1) 证明：连接OD。
∵ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DB}$，AB为$\odot O$的直径，
∴ $\overset{\frown}{AC}+\overset{\frown}{CD}+\overset{\frown}{DB}=180°$，
∴ $∠ DOB = \frac{1}{3} × 180° = 60°$。
∵ $∠ DAB$ 是 $\overset{\frown}{DB}$ 对应的圆周角，
∴ $∠ DAB = \frac{1}{2}∠ DOB = 30°$。
又
∵ OA=OD，
∴ $∠ ODA = ∠ DAB = 30°$。
∵ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}$，
∴ $∠ EAD = ∠ DAB = 30°$，
∴ $∠ EAD = ∠ ODA$，
∴ $OD // AE$。
∵ $DE ⊥ AE$，
∴ $DE ⊥ OD$，
又
∵ OD是$\odot O$的半径，
∴ DE是$\odot O$的切线。
(2) 解：
∵ AB是$\odot O$的直径，
∴ $∠ ADB = 90°$。
由(1)得 $∠ DAB = 30°$，AB=6，
∴ $BD = \frac{1}{2}AB = 3$。
在$Rt△ ADB$中，由勾股定理得：
$AD = \sqrt{AB^2 - BD^2} = \sqrt{6^2 - 3^2} = 3\sqrt{3}$。
【答案】
(1) 已证DE是$\odot O$的切线；
(2) AD的长为$3\sqrt{3}$。
【知识点】
切线的判定；圆周角定理；勾股定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，为圆章节的典型常考题，解题关键是正确添加辅助线OD，熟练运用弧、圆心角、圆周角的对应关系推导角度，结合直角三角形性质求解即可。
【难度系数】
0.7