1. (2024·湖南)如图8,AB,AC为$\odot O$的两条弦,连接OB,OC,若$∠ A=45°$,则$∠ BOC$的度数为 ()

A.$60°$
B.$75°$
C.$90°$
D.$135°$

C

【分析】
要解决这道题，首先回忆圆周角定理的内容：同弧或等弧所对的圆心角是圆周角的2倍。解题第一步先确定两个角对应的弧：∠A是圆周角，所对的弧是弧BC；∠BOC是圆心角，所对的弧也是弧BC，两个角是同弧所对的圆周角和圆心角，直接套用圆周角定理的数量关系计算即可。
【解析】
∵∠BAC是⊙O中弧BC所对的圆周角，∠BOC是⊙O中弧BC所对的圆心角
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角等于它所对圆周角的2倍
∴∠BOC=2∠BAC
又
∵∠BAC=45°
∴∠BOC=2×45°=90°
故选：C
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理
【点评】
本题属于基础题型，考查圆周角定理的直接应用，解题的核心是准确识别同弧所对的圆周角和圆心角，牢记定理即可快速求解。
【难度系数】
0.9

2. 如图9，AB为$\odot O$的直径，弦$CD ⊥ AB$于点E，$OF ⊥ BC$于点F，$∠ BOF=65°$，则$∠ AOD$的度数为（）



A.$70°$
B.$65°$
C.$50°$
D.$45°$

C

【分析】
解题可按三步推导：① 先观察△OBC是等腰三角形（OB、OC都是圆的半径），结合OF⊥BC的条件，利用等腰三角形三线合一的性质，可推出∠BOC是∠BOF的2倍，先算出∠BOC的度数；② 再根据AB是直径且CD⊥AB，由垂径定理可得弧BC与弧BD相等，根据等弧对应相等的圆心角，就能得到∠BOD和∠BOC相等；③ 最后∠AOD和∠BOD是邻补角，和为180°，代入计算即可求出∠AOD的度数。
【解析】
解：
∵ OB、OC均为⊙O的半径，
∴ OB=OC
又
∵ OF⊥BC，根据等腰三角形三线合一的性质，OF平分∠BOC
∴ ∠BOC=2∠BOF=2×65°=130°
∵ AB为⊙O的直径，且CD⊥AB于点E
根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧，可得$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$
∴ ∠BOD=∠BOC=130°（等弧所对的圆心角相等）
∵ 点A、O、B在同一直线上，∠AOD+∠BOD=180°
∴ ∠AOD=180°-130°=50°
【答案】
C
【知识点】
垂径定理；等腰三角形性质；圆心角与弧的关系
【点评】
本题是圆的基础性质的综合应用题，解题的核心是熟练掌握垂径定理和等腰三角形的性质，找到弧、圆心角之间的等量关系即可快速求解，是圆章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.7

3. (2024·常州)如图10,AB是$\odot O$的直径,CD是$\odot O$的弦,连接AD,BC,BD。若$∠ BCD=20°$,则$∠ ABD=$°。

$\boldsymbol{70}$

【分析】
解题时先结合已知条件回忆圆周角定理的相关推论：①直径所对的圆周角为直角；②同弧所对的圆周角相等。首先由AB是直径得到△ABD是直角三角形，∠ADB=90°，再通过同弧对应的圆周角相等求出∠BAD的度数，最后利用直角三角形两锐角互余即可求出∠ABD的度数。
【解析】
解：
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ ADB=90°$（直径所对的圆周角是直角），
∵$∠ BAD$和$∠ BCD$都是弧BD所对的圆周角，
∴$∠ BAD=∠ BCD=20°$（同弧所对的圆周角相等），
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ ABD+∠ BAD=90°$，
∴$∠ ABD=90° - 20°=70°$。
【答案】
$\boldsymbol{70}$
【知识点】
1. 圆周角定理及推论
2. 直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是熟练掌握圆周角的相关性质，结合直角三角形的角度关系计算即可，掌握对应定理就能快速求解。
【难度系数】
0.8

4. 如图11，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AB＝10，AC＝6。连接OC，弦AD分别交OC，BC于点E，F，其中E是AD的中点。
(1)求证：∠CAD＝∠CBA；
(2)求OE的长。

(1) 证明：
连接OD。
∵ E是AD的中点，O为⊙O的圆心，
根据垂径定理可得：OC垂直平分弦AD，且$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}$。
∵ ∠CAD是$\overset{\frown}{CD}$所对的圆周角，∠CBA是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角，
等弧所对的圆周角相等，
∴ $∠ CAD = ∠ CBA$。
---
(2) 解：
∵ AB为⊙O的直径，
∴ $∠ ACB = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AB=10$，$AC=6$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$
由(1)知$OC⊥ AD$，即$∠ AEC=90°$，
∴ $∠ AEC = ∠ BCA = 90°$，
又∵ $∠ CAD = ∠ CBA$，
∴ $△ AEC ∽ △ BCA$，
对应边成比例得：$\frac{CE}{AC}=\frac{AC}{AB}$，代入数值：
$\frac{CE}{6}=\frac{6}{10}$
解得$CE=\frac{18}{5}$。
∵ OC是⊙O半径，$OC=\frac{1}{2}AB=5$，
∴ $OE=OC-CE=5-\frac{18}{5}=\frac{7}{5}$。
最终结论：$OE$的长为$\boldsymbol{\frac{7}{5}}$。

【分析】
(1) 要证明∠CAD=∠CBA，可利用“等弧所对的圆周角相等”的性质求证。已知E是AD中点，O是圆心，根据垂径定理可推出OC平分AD所对的弧，得到$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}$，两个角分别对应这两段等弧，即可证得角相等。
(2) 求OE的长度，先明确OC是圆的半径，长度为AB的一半即5，只需算出CE的长度即可。首先AB是直径，可得∠ACB=90°，先用勾股定理求出BC的长度；再结合(1)得到的等角关系，证明△AEC和△BCA相似，利用相似三角形对应边成比例求出CE，最后用OC减去CE即可得到OE的长。
【解析】
(1) 证明：
连接OD。
∵ E是AD的中点，O为⊙O的圆心，
根据垂径定理可得：OC垂直平分弦AD，且$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}$。
∵ ∠CAD是$\overset{\frown}{CD}$所对的圆周角，∠CBA是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角，
根据等弧所对的圆周角相等，
∴ $∠ CAD = ∠ CBA$。
(2) 解：
∵ AB为⊙O的直径，
∴ $∠ ACB = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AB=10$，$AC=6$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$
由(1)知$OC⊥ AD$，即$∠ AEC=90°$，
∴ $∠ AEC = ∠ BCA = 90°$，
又
∵ $∠ CAD = ∠ CBA$，
∴ $△ AEC ∽ △ BCA$，
根据相似三角形对应边成比例得：$\frac{CE}{AC}=\frac{AC}{AB}$，代入数值：
$\frac{CE}{6}=\frac{6}{10}$
解得$CE=\frac{18}{5}$。
∵ OC是⊙O半径，$OC=\frac{1}{2}AB=5$，
∴ $OE=OC-CE=5-\frac{18}{5}=\frac{7}{5}$。
【答案】
(1) ∠CAD＝∠CBA得证；
(2) $\frac{7}{5}$
【知识点】
垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题属于圆的基础综合题，将圆的基本性质和相似三角形的应用结合考查，解题核心是通过垂径定理得到等弧关系，再推导角的相等关系，进而构造相似三角形求解线段长度，是圆章节的典型题型，需熟练掌握圆的性质与相似三角形的结合运用方法。
【难度系数】
0.7

1. 在平面直角坐标系$xOy$中,以点$(3,4)$为圆心,4为半径的圆
()

A.与$x$轴相交,与$y$轴相切
B.与$x$轴相离,与$y$轴相交
C.与$x$轴相切,与$y$轴相交
D.与$x$轴相切,与$y$轴相离

C

【分析】
要判断圆与x轴、y轴的位置关系，需用到直线与圆位置关系的判定方法：先求出圆心到直线的距离d，再将d与圆的半径r比较，若d=r则直线与圆相切，若d＜r则相交，若d＞r则相离。对于x轴、y轴这两条特殊直线，圆心到x轴的距离等于圆心纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于圆心横坐标的绝对值，分别计算两个距离后和半径4对比即可得出结果。
【解析】
已知圆的圆心为$(3,4)$，半径$r=4$。
1. 计算圆心到x轴的距离：点到x轴的距离为纵坐标的绝对值，即$d_x=|4|=4$，可得$d_x=r$，因此该圆与x轴相切；
2. 计算圆心到y轴的距离：点到y轴的距离为横坐标的绝对值，即$d_y=|3|=3$，可得$d_y＜r$，因此该圆与y轴相交。
综上，圆与x轴相切，与y轴相交，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
直线与圆的位置关系判定；点到坐标轴的距离计算
【点评】
本题是直线与圆位置关系的基础应用题，结合平面直角坐标系的坐标特征设题，解题关键是牢记位置关系的判定规则，掌握点到坐标轴距离的计算方法，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.8