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1. (2024·安徽)若扇形AOB的半径为6，∠AOB=120°，则$\overset{\frown}{AB}$的长为（）
A.$2π$
B.$3π$
C.$4π$
D.$6π$
A.$2π$
B.$3π$
C.$4π$
D.$6π$
答案
C
解析
【分析】
本题考查弧长的计算，解题思路是先回忆弧长计算公式，再从题干中提取圆心角度数和扇形半径两个关键条件，最后代入公式计算即可得到弧长。
【解析】
弧长计算公式为：$l=\frac{nπ r}{180}$（其中$n$为弧所对的圆心角度数，$r$为扇形半径，$l$为弧长）
由题可知，圆心角$∠ AOB=n=120°$，半径$r=6$，代入公式得：
$\overset{\frown}{AB}$的长$l=\frac{120×π×6}{180}=4π$
【答案】
C
【知识点】
弧长的计算
【点评】
本题属于基础题型，核心是对弧长公式的直接应用，解题时只需准确提取题干中的圆心角、半径数值，代入公式计算即可得分，是平面几何中常见的基础考点。
【难度系数】
0.9
本题考查弧长的计算，解题思路是先回忆弧长计算公式，再从题干中提取圆心角度数和扇形半径两个关键条件，最后代入公式计算即可得到弧长。
【解析】
弧长计算公式为：$l=\frac{nπ r}{180}$（其中$n$为弧所对的圆心角度数，$r$为扇形半径，$l$为弧长）
由题可知，圆心角$∠ AOB=n=120°$，半径$r=6$，代入公式得：
$\overset{\frown}{AB}$的长$l=\frac{120×π×6}{180}=4π$
【答案】
C
【知识点】
弧长的计算
【点评】
本题属于基础题型，核心是对弧长公式的直接应用，解题时只需准确提取题干中的圆心角、半径数值，代入公式计算即可得分，是平面几何中常见的基础考点。
【难度系数】
0.9
2. (2024·河南)如图20,$\odot O$是边长为$4\sqrt{3}$的等边三角形ABC的外接圆,D是$\overset{\frown}{BC}$的中点,连接BD,CD。以点D为圆心,BD的长为半径在$\odot O$内画弧,则阴影部分的面积为 ()
A.$\frac{8π}{3}$
B.$4π$
C.$\frac{16π}{3}$
D.$16π$
A.$\frac{8π}{3}$
B.$4π$
C.$\frac{16π}{3}$
D.$16π$
答案
C
解析
【分析】要计算阴影部分（扇形DBC）的面积，需先明确扇形面积公式为$S=\frac{nπ r^2}{360}$（$n$为圆心角度数，$r$为扇形半径），因此只需分别求出扇形的圆心角$∠ BDC$的度数和半径$BD$的长度即可：①先结合等边三角形外接圆的性质、圆内接四边形的性质推导圆心角$∠ BDC$的度数；②再根据等弧对等弦求出$BD$的长度，最后代入公式计算即可。
【解析】
解：$\because △ ABC$是等边三角形，边长为$4\sqrt{3}$，
$\therefore ∠ BAC=60°$，$BC=4\sqrt{3}$。
$\because$四边形$ABDC$是$\odot O$的内接四边形，
$\therefore ∠ BAC+∠ BDC=180°$，
$\therefore ∠ BDC=180°-60°=120°$，即扇形的圆心角为$120°$。
$\because D$是$\overset{\frown}{BC}$的中点，
$\therefore \overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$，
又$\because$等边三角形$ABC$的外接圆中$\overset{\frown}{BC}=120°$，
$\therefore \overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{BC}=120°$，
$\therefore$弦$BD=$弦$BC=4\sqrt{3}$，即扇形的半径为$4\sqrt{3}$。
代入扇形面积公式得：
$S_{阴影}=\frac{120π×(4\sqrt{3})^2}{360}=\frac{120π×48}{360}=\frac{16π}{3}$
【答案】C
【知识点】扇形面积计算、等边三角形的性质、圆内接四边形的性质
【点评】本题将等边三角形的性质与圆的相关性质结合考查扇形面积的计算，解题核心是准确推导扇形的圆心角和半径，是几何部分的常考综合题型。
【难度系数】0.6
【解析】
解：$\because △ ABC$是等边三角形，边长为$4\sqrt{3}$，
$\therefore ∠ BAC=60°$，$BC=4\sqrt{3}$。
$\because$四边形$ABDC$是$\odot O$的内接四边形，
$\therefore ∠ BAC+∠ BDC=180°$，
$\therefore ∠ BDC=180°-60°=120°$，即扇形的圆心角为$120°$。
$\because D$是$\overset{\frown}{BC}$的中点，
$\therefore \overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$，
又$\because$等边三角形$ABC$的外接圆中$\overset{\frown}{BC}=120°$，
$\therefore \overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{BC}=120°$，
$\therefore$弦$BD=$弦$BC=4\sqrt{3}$，即扇形的半径为$4\sqrt{3}$。
代入扇形面积公式得：
$S_{阴影}=\frac{120π×(4\sqrt{3})^2}{360}=\frac{120π×48}{360}=\frac{16π}{3}$
【答案】C
【知识点】扇形面积计算、等边三角形的性质、圆内接四边形的性质
【点评】本题将等边三角形的性质与圆的相关性质结合考查扇形面积的计算，解题核心是准确推导扇形的圆心角和半径，是几何部分的常考综合题型。
【难度系数】0.6
3. (2025·河南)我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时,创立了“割圆术”。图21是研究“割圆术”时的一个图形，$\overset{\frown}{AB}$所在圆的圆心为点$O$,四边形$ABCD$为矩形,边$CD$与$\odot O$相切于点$E$,连接$BE$,$∠ ABE=15°$,连接$OE$交$AB$于点$F$。若$AB=4$,则图中阴影部分的面积为$\underline{\hspace{5cm}}$。
答案
解：
∵ 边CD与⊙O相切于点E，
∴ OE⊥CD，
∵ 四边形ABCD为矩形，
∴ AB//CD，∠C=90°，
∴ OE⊥AB，即OF⊥AB，
∴ AF=BF=$\frac{1}{2}$AB=2。
∵ 点E在⊙O上，A、B也在⊙O上，由圆周角定理得：
∠AOE=2∠ABE=2×15°=30°，
∵ OA=OB，OF⊥AB，
∴ ∠BOE=∠AOE=30°，
∴ ∠AOB=60°。
在Rt△OBF中，BF=2，∠BOF=30°，
∴ OB=$\frac{BF}{\sin30°}$=4，即⊙O半径r=4。
阴影部分为劣弧$\overset{\frown}{AB}$与弦AB围成的弓形，其面积为：
$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{扇形}OAB}-S_{△ OAB}$
$=\frac{60π × 4^2}{360}-\frac{1}{2}× AB × OF$
$=\frac{8π}{3}-\frac{1}{2}×4× 4× \cos30°$
$=\frac{8π}{3}-4\sqrt{3}$
$\frac{8π}{3}-4\sqrt{3}$
∵ 边CD与⊙O相切于点E，
∴ OE⊥CD，
∵ 四边形ABCD为矩形，
∴ AB//CD，∠C=90°，
∴ OE⊥AB，即OF⊥AB，
∴ AF=BF=$\frac{1}{2}$AB=2。
∵ 点E在⊙O上，A、B也在⊙O上，由圆周角定理得：
∠AOE=2∠ABE=2×15°=30°，
∵ OA=OB，OF⊥AB，
∴ ∠BOE=∠AOE=30°，
∴ ∠AOB=60°。
在Rt△OBF中，BF=2，∠BOF=30°，
∴ OB=$\frac{BF}{\sin30°}$=4，即⊙O半径r=4。
阴影部分为劣弧$\overset{\frown}{AB}$与弦AB围成的弓形，其面积为：
$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{扇形}OAB}-S_{△ OAB}$
$=\frac{60π × 4^2}{360}-\frac{1}{2}× AB × OF$
$=\frac{8π}{3}-\frac{1}{2}×4× 4× \cos30°$
$=\frac{8π}{3}-4\sqrt{3}$
$\frac{8π}{3}-4\sqrt{3}$
解析
【分析】
解题时先从已知的切线条件入手，利用切线性质得到OE⊥CD，再结合矩形对边平行的性质推出OE垂直AB，由垂径定理可得F是AB的中点；接下来根据圆周角定理，由∠ABE的度数求出对应的圆心角∠AOE的度数，再结合等腰三角形三线合一的性质得到∠AOB的度数；然后在Rt△OBF中利用三角函数求出圆的半径；最后明确阴影部分是弓形，其面积等于对应扇形面积减去△OAB的面积，代入数据计算即可。
【解析】
∵ 边CD与⊙O相切于点E，
∴ OE⊥CD，
∵ 四边形ABCD为矩形，
∴ AB//CD，∠C=90°，
∴ OE⊥AB，即OF⊥AB，
∴ AF=BF=$\frac{1}{2}$AB=2。
由圆周角定理可得：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∴ ∠AOE=2∠ABE=2×15°=30°，
∵ OA=OB，OF⊥AB，
∴ ∠BOE=∠AOE=30°，
∴ ∠AOB=∠AOE+∠BOE=60°。
在Rt△OBF中，BF=2，∠BOF=30°，
∴ OB=$\frac{BF}{\sin30°}=\frac{2}{\frac{1}{2}}=4$，即⊙O的半径为4。
阴影部分为劣弧$\overset{\frown}{AB}$与弦AB围成的弓形，面积为：
$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{扇形}OAB}-S_{△ OAB}$
$=\frac{60π × 4^2}{360}-\frac{1}{2}× AB × OF$
$=\frac{8π}{3}-\frac{1}{2}×4× 4× \cos30°$
$=\frac{8π}{3}-4\sqrt{3}$
【答案】
$\frac{8π}{3}-4\sqrt{3}$
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；扇形面积计算
【点评】
本题以我国古代“割圆术”为背景，综合考查了圆的相关性质与不规则图形面积的计算，解题的核心是将弓形面积转化为扇形与三角形的面积差，同时需要熟练掌握圆的性质及三角函数、扇形面积公式的应用。
【难度系数】
0.6
解题时先从已知的切线条件入手，利用切线性质得到OE⊥CD，再结合矩形对边平行的性质推出OE垂直AB，由垂径定理可得F是AB的中点；接下来根据圆周角定理，由∠ABE的度数求出对应的圆心角∠AOE的度数，再结合等腰三角形三线合一的性质得到∠AOB的度数；然后在Rt△OBF中利用三角函数求出圆的半径；最后明确阴影部分是弓形，其面积等于对应扇形面积减去△OAB的面积，代入数据计算即可。
【解析】
∵ 边CD与⊙O相切于点E，
∴ OE⊥CD，
∵ 四边形ABCD为矩形，
∴ AB//CD，∠C=90°，
∴ OE⊥AB，即OF⊥AB，
∴ AF=BF=$\frac{1}{2}$AB=2。
由圆周角定理可得：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∴ ∠AOE=2∠ABE=2×15°=30°，
∵ OA=OB，OF⊥AB，
∴ ∠BOE=∠AOE=30°，
∴ ∠AOB=∠AOE+∠BOE=60°。
在Rt△OBF中，BF=2，∠BOF=30°，
∴ OB=$\frac{BF}{\sin30°}=\frac{2}{\frac{1}{2}}=4$，即⊙O的半径为4。
阴影部分为劣弧$\overset{\frown}{AB}$与弦AB围成的弓形，面积为：
$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{扇形}OAB}-S_{△ OAB}$
$=\frac{60π × 4^2}{360}-\frac{1}{2}× AB × OF$
$=\frac{8π}{3}-\frac{1}{2}×4× 4× \cos30°$
$=\frac{8π}{3}-4\sqrt{3}$
【答案】
$\frac{8π}{3}-4\sqrt{3}$
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；扇形面积计算
【点评】
本题以我国古代“割圆术”为背景，综合考查了圆的相关性质与不规则图形面积的计算，解题的核心是将弓形面积转化为扇形与三角形的面积差，同时需要熟练掌握圆的性质及三角函数、扇形面积公式的应用。
【难度系数】
0.6
4. 如图22,从一个边长是a的正五边形纸片上剪出一个扇形,这个扇形的面积为(用含π的代数式表示);如果将剪下来的扇形围成一个圆锥,圆锥的底面圆直径为。
答案
$\boldsymbol{\frac{3}{10}π a^2}$；$\boldsymbol{\frac{3a}{5}}$
解析
【分析】
解题首先需要明确两个核心对应关系：1. 正五边形的内角就是剪出扇形的圆心角，扇形的半径等于正五边形的边长a；2. 扇形围成圆锥时，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长。第一步先利用正多边形内角公式求出圆心角度数，代入扇形面积公式计算面积；第二步先计算扇形弧长，再结合圆的周长公式推导底面圆直径。
【解析】
1. 计算扇形面积：
正五边形每个内角的度数为：$\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$，即扇形的圆心角$n=108°$，扇形半径$r=a$。
根据扇形面积公式$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{nπ r^2}{360}$，代入得：
$S=\frac{108π a^2}{360}=\frac{3}{10}π a^2$。
2. 计算圆锥底面圆直径：
先求扇形的弧长，根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，代入得：
$l=\frac{108π a}{180}=\frac{3}{5}π a$。
扇形围成圆锥时，弧长等于圆锥底面圆的周长，设底面圆直径为$d$，则底面周长$C=π d=l$，即：
$π d=\frac{3}{5}π a$，约去$π$得$d=\frac{3a}{5}$。
【答案】
$\frac{3}{10}π a^2$；$\frac{3a}{5}$
【知识点】
正多边形内角计算、扇形弧长与面积计算、圆锥展开图性质
【点评】
本题是几何公式应用类基础题，解题的关键是找准扇形和正五边形、扇形和圆锥之间的对应量，牢记相关公式即可顺利求解，是扇形和圆锥章节的典型考法。
【难度系数】
0.7
解题首先需要明确两个核心对应关系：1. 正五边形的内角就是剪出扇形的圆心角，扇形的半径等于正五边形的边长a；2. 扇形围成圆锥时，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长。第一步先利用正多边形内角公式求出圆心角度数，代入扇形面积公式计算面积；第二步先计算扇形弧长，再结合圆的周长公式推导底面圆直径。
【解析】
1. 计算扇形面积：
正五边形每个内角的度数为：$\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$，即扇形的圆心角$n=108°$，扇形半径$r=a$。
根据扇形面积公式$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{nπ r^2}{360}$，代入得：
$S=\frac{108π a^2}{360}=\frac{3}{10}π a^2$。
2. 计算圆锥底面圆直径：
先求扇形的弧长，根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，代入得：
$l=\frac{108π a}{180}=\frac{3}{5}π a$。
扇形围成圆锥时，弧长等于圆锥底面圆的周长，设底面圆直径为$d$，则底面周长$C=π d=l$，即：
$π d=\frac{3}{5}π a$，约去$π$得$d=\frac{3a}{5}$。
【答案】
$\frac{3}{10}π a^2$；$\frac{3a}{5}$
【知识点】
正多边形内角计算、扇形弧长与面积计算、圆锥展开图性质
【点评】
本题是几何公式应用类基础题，解题的关键是找准扇形和正五边形、扇形和圆锥之间的对应量，牢记相关公式即可顺利求解，是扇形和圆锥章节的典型考法。
【难度系数】
0.7
5. 两个圆心角都是$90°$的扇形$AOB$与扇形$COD$如图23所示叠放在一起，连接$AC$，$BD$。
(1)求证:$△ AOC ≌ △ BOD$；
(2)若$AO=3\ \mathrm{cm}$，$OC=1\ \mathrm{cm}$，求阴影部分的面积。
(1)求证:$△ AOC ≌ △ BOD$；
(2)若$AO=3\ \mathrm{cm}$，$OC=1\ \mathrm{cm}$，求阴影部分的面积。
答案
证明：(1)
∵ 扇形AOB与扇形COD的圆心角都为90°，
∴ OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=90°，
∴ ∠AOB - ∠AOD = ∠COD - ∠AOD，
即 ∠BOD = ∠AOC。
在△AOC和△BOD中，
$\{\begin{array}{l}OA=OB \\∠AOC=∠BOD \\OC=OD\end{array} $
∴ △AOC ≌ △BOD（SAS）。
(2)解：
由(1)得△AOC≌△BOD，因此$S_{△ AOC}=S_{△ BOD}$。
阴影部分面积可转化为：
$S_{阴影}=S_{扇形AOB} - S_{扇形COD}$
由扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{nπ R^2}{360}$，代入n=90，AO=3cm，OC=1cm：
$S_{阴影}=\frac{90π × 3^2}{360} - \frac{90π × 1^2}{360}$
$=\frac{9π}{4} - \frac{π}{4}$
$=2π\ (\mathrm{cm}^2)$
答：阴影部分的面积为$2π\ \mathrm{cm}^2$。
∵ 扇形AOB与扇形COD的圆心角都为90°，
∴ OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=90°，
∴ ∠AOB - ∠AOD = ∠COD - ∠AOD，
即 ∠BOD = ∠AOC。
在△AOC和△BOD中，
$\{\begin{array}{l}OA=OB \\∠AOC=∠BOD \\OC=OD\end{array} $
∴ △AOC ≌ △BOD（SAS）。
(2)解：
由(1)得△AOC≌△BOD，因此$S_{△ AOC}=S_{△ BOD}$。
阴影部分面积可转化为：
$S_{阴影}=S_{扇形AOB} - S_{扇形COD}$
由扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{nπ R^2}{360}$，代入n=90，AO=3cm，OC=1cm：
$S_{阴影}=\frac{90π × 3^2}{360} - \frac{90π × 1^2}{360}$
$=\frac{9π}{4} - \frac{π}{4}$
$=2π\ (\mathrm{cm}^2)$
答：阴影部分的面积为$2π\ \mathrm{cm}^2$。
解析
【分析】
(1) 要证明△AOC≌△BOD，先利用扇形的性质可得同扇形半径相等，即OA=OB、OC=OD；再结合两个扇形圆心角均为90°，通过角的和差关系推出两个三角形的夹角∠AOC=∠BOD，即可用SAS判定全等。
(2) 阴影为不规则图形，结合(1)的全等结论可知△AOC和△BOD面积相等，因此可通过割补法，将阴影面积转化为大扇形AOB与小扇形COD的面积差，代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 证明：
∵ 扇形AOB与扇形COD的圆心角都为90°，
∴ OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=90°，
∴ ∠AOB - ∠AOD = ∠COD - ∠AOD，
即 ∠BOD = ∠AOC。
在△AOC和△BOD中，
$\{\begin{array}{l}OA=OB \\∠AOC=∠BOD \\OC=OD\end{array} $
∴ △AOC ≌ △BOD（SAS）。
(2) 解：
由(1)得△AOC≌△BOD，因此$S_{△ AOC}=S_{△ BOD}$。
阴影部分面积可转化为：
$S_{阴影}=S_{扇形AOB} - S_{扇形COD}$
由扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{nπ R^2}{360}$，代入圆心角n=90°，大扇形半径AO=3cm，小扇形半径OC=1cm：
$S_{阴影}=\frac{90π × 3^2}{360} - \frac{90π × 1^2}{360}$
$=\frac{9π}{4} - \frac{π}{4}$
$=2π\ (\mathrm{cm}^2)$
【答案】
(1) △AOC≌△BOD得证；
(2) 阴影部分的面积为$2π\ \mathrm{cm}^2$。
【知识点】
全等三角形的判定与性质、扇形面积计算、割补法求面积
【点评】
本题是几何基础综合题，同时考查了全等三角形证明和不规则图形面积计算，解题核心是利用全等性质实现面积转化，将不规则图形面积转化为规则扇形的面积差，这种转化思想是解决几何面积类问题的常用思路。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明△AOC≌△BOD，先利用扇形的性质可得同扇形半径相等，即OA=OB、OC=OD；再结合两个扇形圆心角均为90°，通过角的和差关系推出两个三角形的夹角∠AOC=∠BOD，即可用SAS判定全等。
(2) 阴影为不规则图形，结合(1)的全等结论可知△AOC和△BOD面积相等，因此可通过割补法，将阴影面积转化为大扇形AOB与小扇形COD的面积差，代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 证明：
∵ 扇形AOB与扇形COD的圆心角都为90°，
∴ OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=90°，
∴ ∠AOB - ∠AOD = ∠COD - ∠AOD，
即 ∠BOD = ∠AOC。
在△AOC和△BOD中，
$\{\begin{array}{l}OA=OB \\∠AOC=∠BOD \\OC=OD\end{array} $
∴ △AOC ≌ △BOD（SAS）。
(2) 解：
由(1)得△AOC≌△BOD，因此$S_{△ AOC}=S_{△ BOD}$。
阴影部分面积可转化为：
$S_{阴影}=S_{扇形AOB} - S_{扇形COD}$
由扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{nπ R^2}{360}$，代入圆心角n=90°，大扇形半径AO=3cm，小扇形半径OC=1cm：
$S_{阴影}=\frac{90π × 3^2}{360} - \frac{90π × 1^2}{360}$
$=\frac{9π}{4} - \frac{π}{4}$
$=2π\ (\mathrm{cm}^2)$
【答案】
(1) △AOC≌△BOD得证；
(2) 阴影部分的面积为$2π\ \mathrm{cm}^2$。
【知识点】
全等三角形的判定与性质、扇形面积计算、割补法求面积
【点评】
本题是几何基础综合题，同时考查了全等三角形证明和不规则图形面积计算，解题核心是利用全等性质实现面积转化，将不规则图形面积转化为规则扇形的面积差，这种转化思想是解决几何面积类问题的常用思路。
【难度系数】
0.7
