登录
1. 下列各变量之间的关系属于反比例函数关系的有 ()
①当路程s一定时,汽车行驶的平均速度v与行驶时间t之间的关系；
②当电压U一定时,电路中的电阻R与通过的电流强度I之间的函数关系；
③当矩形面积S一定时,矩形的两边a与b之间的函数关系；
④当受力F一定时,物体所受到的压强p与受力面积S之间的函数关系。
A.①②③
B.②③④
C.①③④
D.①②③④
①当路程s一定时,汽车行驶的平均速度v与行驶时间t之间的关系；
②当电压U一定时,电路中的电阻R与通过的电流强度I之间的函数关系；
③当矩形面积S一定时,矩形的两边a与b之间的函数关系；
④当受力F一定时,物体所受到的压强p与受力面积S之间的函数关系。
A.①②③
B.②③④
C.①③④
D.①②③④
答案
D
解析
【分析】
解题前首先明确反比例函数的定义：若两个变量x、y满足$y=\frac{k}{x}$（k为常数，且$k≠0$）的形式，则称y是x的反比例函数。解题时先对每个情境，根据对应的数量关系写出变量间的等式，再变形判断是否符合反比例函数的形式，其中题目中“一定的量”就是定值k，且该定值不为0，最后统计符合要求的结论，选择对应选项即可。
【解析】
我们逐个分析4个说法：
①根据行程公式$s=vt$，路程s一定且$s＞0$，变形可得$v=\frac{s}{t}$，符合反比例函数形式，平均速度v与行驶时间t是反比例函数关系；
②根据欧姆定律$U=IR$，电压U一定且$U≠0$，变形可得$R=\frac{U}{I}$，符合反比例函数形式，电阻R与电流强度I是反比例函数关系；
③根据矩形面积公式$S=ab$，面积S一定且$S＞0$，变形可得$a=\frac{S}{b}$，符合反比例函数形式，矩形的两边a与b是反比例函数关系；
④根据压强公式$p=\frac{F}{S}$，受力F一定且$F＞0$，符合反比例函数形式，压强p与受力面积S是反比例函数关系。
综上，①②③④都属于反比例函数关系。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的定义；实际问题的函数关系判定
【点评】
本题结合行程、电路、几何、力学等常见的数量关系考查反比例函数的判定，只要熟练掌握反比例函数的定义，能正确写出各情境下的变量表达式即可快速解题，属于基础类考题。
【难度系数】
0.85
解题前首先明确反比例函数的定义：若两个变量x、y满足$y=\frac{k}{x}$（k为常数，且$k≠0$）的形式，则称y是x的反比例函数。解题时先对每个情境，根据对应的数量关系写出变量间的等式，再变形判断是否符合反比例函数的形式，其中题目中“一定的量”就是定值k，且该定值不为0，最后统计符合要求的结论，选择对应选项即可。
【解析】
我们逐个分析4个说法：
①根据行程公式$s=vt$，路程s一定且$s＞0$，变形可得$v=\frac{s}{t}$，符合反比例函数形式，平均速度v与行驶时间t是反比例函数关系；
②根据欧姆定律$U=IR$，电压U一定且$U≠0$，变形可得$R=\frac{U}{I}$，符合反比例函数形式，电阻R与电流强度I是反比例函数关系；
③根据矩形面积公式$S=ab$，面积S一定且$S＞0$，变形可得$a=\frac{S}{b}$，符合反比例函数形式，矩形的两边a与b是反比例函数关系；
④根据压强公式$p=\frac{F}{S}$，受力F一定且$F＞0$，符合反比例函数形式，压强p与受力面积S是反比例函数关系。
综上，①②③④都属于反比例函数关系。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的定义；实际问题的函数关系判定
【点评】
本题结合行程、电路、几何、力学等常见的数量关系考查反比例函数的判定，只要熟练掌握反比例函数的定义，能正确写出各情境下的变量表达式即可快速解题，属于基础类考题。
【难度系数】
0.85
2. (2025·重庆)反比例函数$y=-\dfrac{12}{x}$的图象一定经过的点是（）
A.$(2,6)$
B.$(-4,-3)$
C.$(-3,-4)$
D.$(6,-2)$
A.$(2,6)$
B.$(-4,-3)$
C.$(-3,-4)$
D.$(6,-2)$
答案
D
解析
【分析】要判断点是否在反比例函数图象上，可利用反比例函数的核心性质：对于反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$），图象上任意一点的横、纵坐标的乘积都等于比例系数$k$，即$xy=k$。本题中比例系数$k=-12$，我们只需计算每个选项中点的横纵坐标乘积，判断是否等于$-12$即可。
【解析】已知反比例函数为$y=-\frac{12}{x}$，变形可得$xy=-12$，逐一验证各选项：
A选项：$2×6=12≠-12$，该点不在函数图象上；
B选项：$(-4)×(-3)=12≠-12$，该点不在函数图象上；
C选项：$(-3)×(-4)=12≠-12$，该点不在函数图象上；
D选项：$6×(-2)=-12$，符合$xy=-12$，该点在函数图象上。
【答案】D
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】本题是基础题型，解题关键是掌握反比例函数图象上点的坐标满足的规律，计算时注意正负号的判断即可快速得出结果。
【难度系数】0.9
【解析】已知反比例函数为$y=-\frac{12}{x}$，变形可得$xy=-12$，逐一验证各选项：
A选项：$2×6=12≠-12$，该点不在函数图象上；
B选项：$(-4)×(-3)=12≠-12$，该点不在函数图象上；
C选项：$(-3)×(-4)=12≠-12$，该点不在函数图象上；
D选项：$6×(-2)=-12$，符合$xy=-12$，该点在函数图象上。
【答案】D
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】本题是基础题型，解题关键是掌握反比例函数图象上点的坐标满足的规律，计算时注意正负号的判断即可快速得出结果。
【难度系数】0.9
3. 函数$y=\frac{2}{x+1}$的图象可能是（）
答案
$\boldsymbol{A}$
解析
【分析】
首先回忆反比例函数的图象性质与平移规律，函数$y=\frac{2}{x+1}$是由反比例函数$y=\frac{2}{x}$向左平移1个单位得到的，先确定它的渐近线和不同区间内函数值的正负，也可以代入特殊点验证，逐步排除错误选项。首先明确$k=2＞0$，平移后垂直渐近线为$x=-1$：当$x＞-1$时$x+1＞0$，对应$y＞0$；当$x＜-1$时$x+1＜0$，对应$y＜0$，再结合特殊点的坐标即可判断正确选项。
【解析】
步骤1：分析函数性质
函数$y=\frac{2}{x+1}$由$y=\frac{2}{x}$向左平移1个单位得到，$k=2＞0$，垂直渐近线为$x=-1$，水平渐近线为$y=0$。
步骤2：判断不同区间的函数值符号
当$x＞-1$时，$x+1＞0$，因此$y=\frac{2}{x+1}＞0$，图象在$x=-1$右侧的$x$轴上方；
当$x＜-1$时，$x+1＜0$，因此$y=\frac{2}{x+1}＜0$，图象在$x=-1$左侧的$x$轴下方。
步骤3：代入特殊点排除错误选项
取$x=0$，代入得$y=\frac{2}{0+1}=2$，即图象与$y$轴正半轴交于$(0,2)$：
选项B的图象关于$y$轴对称，不是该函数的图象，排除；
选项C的渐近线为$x=0$，是$y=\frac{2}{x}$的图象，与$y$轴无交点，排除；
选项D在$x＜-1$的区域没有$y＜0$的图象，不符合性质，排除；
只有选项A符合所有特征。
【答案】
$\boldsymbol{A}$
【知识点】
反比例函数的图象、反比例函数的平移
【点评】
本题考查反比例函数的图象与平移规律，既可以通过平移性质直接判断图象分布，也可以通过特殊点代入法快速排除错误选项，属于反比例函数的基础题型。
【难度系数】
0.7
首先回忆反比例函数的图象性质与平移规律，函数$y=\frac{2}{x+1}$是由反比例函数$y=\frac{2}{x}$向左平移1个单位得到的，先确定它的渐近线和不同区间内函数值的正负，也可以代入特殊点验证，逐步排除错误选项。首先明确$k=2＞0$，平移后垂直渐近线为$x=-1$：当$x＞-1$时$x+1＞0$，对应$y＞0$；当$x＜-1$时$x+1＜0$，对应$y＜0$，再结合特殊点的坐标即可判断正确选项。
【解析】
步骤1：分析函数性质
函数$y=\frac{2}{x+1}$由$y=\frac{2}{x}$向左平移1个单位得到，$k=2＞0$，垂直渐近线为$x=-1$，水平渐近线为$y=0$。
步骤2：判断不同区间的函数值符号
当$x＞-1$时，$x+1＞0$，因此$y=\frac{2}{x+1}＞0$，图象在$x=-1$右侧的$x$轴上方；
当$x＜-1$时，$x+1＜0$，因此$y=\frac{2}{x+1}＜0$，图象在$x=-1$左侧的$x$轴下方。
步骤3：代入特殊点排除错误选项
取$x=0$，代入得$y=\frac{2}{0+1}=2$，即图象与$y$轴正半轴交于$(0,2)$：
选项B的图象关于$y$轴对称，不是该函数的图象，排除；
选项C的渐近线为$x=0$，是$y=\frac{2}{x}$的图象，与$y$轴无交点，排除；
选项D在$x＜-1$的区域没有$y＜0$的图象，不符合性质，排除；
只有选项A符合所有特征。
【答案】
$\boldsymbol{A}$
【知识点】
反比例函数的图象、反比例函数的平移
【点评】
本题考查反比例函数的图象与平移规律，既可以通过平移性质直接判断图象分布，也可以通过特殊点代入法快速排除错误选项，属于反比例函数的基础题型。
【难度系数】
0.7
4. (2024·广西)已知点$ M(x_1,y_1) $，$ N(x_2,y_2) $在反比例函数$ y=\dfrac{2}{x} $的图象上，若$ x_1＜0＜x_2 $，则有（）
A.$ y_1＜0＜y_2 $
B.$ y_2＜0＜y_1 $
C.$ y_1＜y_2＜0 $
D.$ 0＜y_1＜y_2 $
A.$ y_1＜0＜y_2 $
B.$ y_2＜0＜y_1 $
C.$ y_1＜y_2＜0 $
D.$ 0＜y_1＜y_2 $
答案
A
解析
【分析】
解题时首先回忆反比例函数的图象性质：反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$中，$k$的正负决定图象所在的象限，不同象限内点的横纵坐标符号有固定特征。我们先根据题中给出的反比例函数解析式确定$k$的正负，判断图象所在象限；再结合$x_1＜0＜x_2$的条件，分别判断点$M$、$N$所在的象限，最后根据各象限内点的纵坐标符号即可比较$y_1$、$y_2$和0的大小关系。
【解析】
对于反比例函数$y=\dfrac{2}{x}$，比例系数$k=2＞0$，因此该函数的图象分布在第一、第三象限：
1. 已知点$M$的横坐标$x_1＜0$，因此点$M$位于第三象限，第三象限内所有点的纵坐标均为负数，可得$y_1＜0$；
2. 已知点$N$的横坐标$x_2＞0$，因此点$N$位于第一象限，第一象限内所有点的纵坐标均为正数，可得$y_2＞0$。
综上可推出大小关系为$y_1＜0＜y_2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的图象与性质、象限内点的坐标特征
【点评】
本题是基础类考题，核心考查反比例函数的基本性质，熟练掌握$k$的正负与反比例函数图象所在象限的对应关系、各象限内点的坐标符号规律是解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆反比例函数的图象性质：反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$中，$k$的正负决定图象所在的象限，不同象限内点的横纵坐标符号有固定特征。我们先根据题中给出的反比例函数解析式确定$k$的正负，判断图象所在象限；再结合$x_1＜0＜x_2$的条件，分别判断点$M$、$N$所在的象限，最后根据各象限内点的纵坐标符号即可比较$y_1$、$y_2$和0的大小关系。
【解析】
对于反比例函数$y=\dfrac{2}{x}$，比例系数$k=2＞0$，因此该函数的图象分布在第一、第三象限：
1. 已知点$M$的横坐标$x_1＜0$，因此点$M$位于第三象限，第三象限内所有点的纵坐标均为负数，可得$y_1＜0$；
2. 已知点$N$的横坐标$x_2＞0$，因此点$N$位于第一象限，第一象限内所有点的纵坐标均为正数，可得$y_2＞0$。
综上可推出大小关系为$y_1＜0＜y_2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的图象与性质、象限内点的坐标特征
【点评】
本题是基础类考题，核心考查反比例函数的基本性质，熟练掌握$k$的正负与反比例函数图象所在象限的对应关系、各象限内点的坐标符号规律是解题的关键。
【难度系数】
0.8
5. (2024·西宁)如图1,在平面直角坐标系$xOy$中,菱形$ABCO$的顶点$O$是坐标原点,顶点$A$在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0,x＜0)$的图象上,对角线$OB$在$x$轴上。若菱形$ABCO$的面积是$8\sqrt{2}$,则$k$的值为 ()
A.$4\sqrt{2}$
B.$-4\sqrt{2}$
C.$2\sqrt{2}$
D.$-2\sqrt{2}$
A.$4\sqrt{2}$
B.$-4\sqrt{2}$
C.$2\sqrt{2}$
D.$-2\sqrt{2}$
答案
B
解析
【分析】
解题时先结合菱形的性质分析对角线的关系：菱形对角线互相垂直且平分，因此可连接AC与OB交于点D，得到AC⊥OB，OB=2OD、AC=2AD。再设点A的坐标为(x,y)（x＜0，y＞0），用x、y表示出两条对角线的长度，代入菱形面积公式即可求出x与y的乘积，最后结合反比例函数解析式中k=xy的关系，就能求出k的值，注意要根据点A所在象限判断k的符号。
【解析】
连接AC，交OB于点D。
∵四边形ABCO是菱形，
∴AC⊥OB，OD=BD=$\frac{1}{2}$OB，AD=CD=$\frac{1}{2}$AC。
设点A的坐标为$(x,y)$，由题图可知$x＜0,y＞0$，
∴$OD=|x|=-x$，$AD=y$，即$OB=-2x$，$AC=2y$。
根据菱形面积公式：菱形面积等于对角线乘积的一半，可得：
$S_{\mathrm{菱形}ABCO}=\frac{1}{2} × OB × AC$
代入已知面积$8\sqrt{2}$，得：
$\frac{1}{2} × (-2x) × 2y = 8\sqrt{2}$
化简得：$-2xy=8\sqrt{2}$，解得$xy=-4\sqrt{2}$。
∵点A在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
∴$k=xy=-4\sqrt{2}$。
【答案】
B
【知识点】
菱形的性质，反比例函数的性质，菱形面积计算
【点评】
本题属于反比例函数与几何图形的综合基础题，解题核心是利用菱形对角线的性质，搭建起菱形面积和反比例函数系数k之间的联系，解题时需注意反比例函数图象所在象限对k的符号的影响，避免漏看符号出错。
【难度系数】
0.7
解题时先结合菱形的性质分析对角线的关系：菱形对角线互相垂直且平分，因此可连接AC与OB交于点D，得到AC⊥OB，OB=2OD、AC=2AD。再设点A的坐标为(x,y)（x＜0，y＞0），用x、y表示出两条对角线的长度，代入菱形面积公式即可求出x与y的乘积，最后结合反比例函数解析式中k=xy的关系，就能求出k的值，注意要根据点A所在象限判断k的符号。
【解析】
连接AC，交OB于点D。
∵四边形ABCO是菱形，
∴AC⊥OB，OD=BD=$\frac{1}{2}$OB，AD=CD=$\frac{1}{2}$AC。
设点A的坐标为$(x,y)$，由题图可知$x＜0,y＞0$，
∴$OD=|x|=-x$，$AD=y$，即$OB=-2x$，$AC=2y$。
根据菱形面积公式：菱形面积等于对角线乘积的一半，可得：
$S_{\mathrm{菱形}ABCO}=\frac{1}{2} × OB × AC$
代入已知面积$8\sqrt{2}$，得：
$\frac{1}{2} × (-2x) × 2y = 8\sqrt{2}$
化简得：$-2xy=8\sqrt{2}$，解得$xy=-4\sqrt{2}$。
∵点A在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
∴$k=xy=-4\sqrt{2}$。
【答案】
B
【知识点】
菱形的性质，反比例函数的性质，菱形面积计算
【点评】
本题属于反比例函数与几何图形的综合基础题，解题核心是利用菱形对角线的性质，搭建起菱形面积和反比例函数系数k之间的联系，解题时需注意反比例函数图象所在象限对k的符号的影响，避免漏看符号出错。
【难度系数】
0.7
