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6. 如图9,一次函数$y_1=kx+b(k≠0)$与反比例函数$y_2=\frac{m}{x}(m≠0)$的图象交于点$A(1,2)$和$B(-2,a)$,与y轴交于点M。
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)在y轴上取一点N,当$△ AMN$的面积为3时,求点N的坐标；
(3)将直线$y_1$向下平移2个单位长度后得到直线$y_3$,当函数值$y_1＞y_2＞y_3$时,求x的取值范围。
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)在y轴上取一点N,当$△ AMN$的面积为3时,求点N的坐标；
(3)将直线$y_1$向下平移2个单位长度后得到直线$y_3$,当函数值$y_1＞y_2＞y_3$时,求x的取值范围。
答案
解：
(1) 将点$A(1,2)$代入反比例函数$y_2=\frac{m}{x}$，得$2=\frac{m}{1}$，解得$m=2$，
∴反比例函数的表达式为$y_2=\frac{2}{x}$。
将点$B(-2,a)$代入$y_2=\frac{2}{x}$，得$a=\frac{2}{-2}=-1$，即$B(-2,-1)$。
将$A(1,2)$、$B(-2,-1)$代入$y_1=kx+b$，得：
$\begin{cases} k+b=2 \\ -2k+b=-1 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=1 \\ b=1 \end{cases}$
∴一次函数的表达式为$y_1=x+1$。
(2) 在$y_1=x+1$中，令$x=0$，得$y=1$，∴$M(0,1)$。
设点$N$的坐标为$(0,n)$，则$MN=|n-1|$。
点$A$到$y$轴的距离为1，即$△ AMN$中$MN$边上的高为1，
由$S_{△ AMN}=\frac{1}{2}· |MN|· 1=3$，得$\frac{1}{2}|n-1|=3$，
解得$n=7$或$n=-5$，
∴点$N$的坐标为$(0,7)$或$(0,-5)$。
(3) 直线$y_1$向下平移2个单位，得$y_3=x+1-2=x-1$。
联立$\begin{cases} y_2=\frac{2}{x} \\ y_3=x-1 \end{cases}$，得$\frac{2}{x}=x-1$，整理得$x^2-x-2=0$，
解得$x_1=2$，$x_2=-1$，即$y_2$与$y_3$的交点横坐标为$-1$和$2$。
又$y_1$与$y_2$的交点横坐标为$1$和$-2$，
结合函数图象可得，当$y_1＞y_2＞y_3$时，$x$的取值范围是$-2＜x＜-1$或$1＜x＜2$。
(1) 将点$A(1,2)$代入反比例函数$y_2=\frac{m}{x}$，得$2=\frac{m}{1}$，解得$m=2$，
∴反比例函数的表达式为$y_2=\frac{2}{x}$。
将点$B(-2,a)$代入$y_2=\frac{2}{x}$，得$a=\frac{2}{-2}=-1$，即$B(-2,-1)$。
将$A(1,2)$、$B(-2,-1)$代入$y_1=kx+b$，得：
$\begin{cases} k+b=2 \\ -2k+b=-1 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=1 \\ b=1 \end{cases}$
∴一次函数的表达式为$y_1=x+1$。
(2) 在$y_1=x+1$中，令$x=0$，得$y=1$，∴$M(0,1)$。
设点$N$的坐标为$(0,n)$，则$MN=|n-1|$。
点$A$到$y$轴的距离为1，即$△ AMN$中$MN$边上的高为1，
由$S_{△ AMN}=\frac{1}{2}· |MN|· 1=3$，得$\frac{1}{2}|n-1|=3$，
解得$n=7$或$n=-5$，
∴点$N$的坐标为$(0,7)$或$(0,-5)$。
(3) 直线$y_1$向下平移2个单位，得$y_3=x+1-2=x-1$。
联立$\begin{cases} y_2=\frac{2}{x} \\ y_3=x-1 \end{cases}$，得$\frac{2}{x}=x-1$，整理得$x^2-x-2=0$，
解得$x_1=2$，$x_2=-1$，即$y_2$与$y_3$的交点横坐标为$-1$和$2$。
又$y_1$与$y_2$的交点横坐标为$1$和$-2$，
结合函数图象可得，当$y_1＞y_2＞y_3$时，$x$的取值范围是$-2＜x＜-1$或$1＜x＜2$。
解析
【分析】
(1)求函数表达式采用待定系数法：先将已知点A代入反比例函数求出m，得到反比例函数表达式；再将点B代入反比例函数求出a，得到B点坐标，最后将A、B两点坐标代入一次函数，解二元一次方程组即可得到一次函数表达式。
(2)先求出一次函数与y轴交点M的坐标，设N点坐标为(0,n)，则MN的长度为两点纵坐标差的绝对值，△AMN中MN边上的高为点A到y轴的距离（即A点横坐标的绝对值1），结合三角形面积公式列方程求解即可，注意绝对值的解有两个。
(3)根据函数平移“上加下减”的规律求出平移后$y_3$的表达式，联立$y_3$与$y_2$的解析式求出两个交点的横坐标，再结合$y_1$与$y_2$的交点横坐标，通过观察函数图象，分区间判断$y_1＞y_2＞y_3$的x取值范围。
【解析】
(1) 将点$A(1,2)$代入反比例函数$y_2=\frac{m}{x}$，得$2=\frac{m}{1}$，解得$m=2$，
∴反比例函数的表达式为$y_2=\frac{2}{x}$。
将点$B(-2,a)$代入$y_2=\frac{2}{x}$，得$a=\frac{2}{-2}=-1$，即$B(-2,-1)$。
将$A(1,2)$、$B(-2,-1)$代入$y_1=kx+b$，得：
$\begin{cases} k+b=2 \\ -2k+b=-1 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=1 \\ b=1 \end{cases}$
∴一次函数的表达式为$y_1=x+1$。
(2) 在$y_1=x+1$中，令$x=0$，得$y=1$，
∴$M(0,1)$。
设点$N$的坐标为$(0,n)$，则$MN=|n-1|$。
点$A$到$y$轴的距离为1，即$△ AMN$中$MN$边上的高为1，
由$S_{△ AMN}=\frac{1}{2}· |MN|· 1=3$，得$\frac{1}{2}|n-1|=3$，
解得$n=7$或$n=-5$，
∴点$N$的坐标为$(0,7)$或$(0,-5)$。
(3) 直线$y_1$向下平移2个单位，得$y_3=x+1-2=x-1$。
联立$\begin{cases} y_2=\frac{2}{x} \\ y_3=x-1 \end{cases}$，得$\frac{2}{x}=x-1$，整理得$x^2-x-2=0$，
解得$x_1=2$，$x_2=-1$，即$y_2$与$y_3$的交点横坐标为$-1$和$2$。
又$y_1$与$y_2$的交点横坐标为$1$和$-2$，
结合函数图象可得，当$y_1＞y_2＞y_3$时，$x$的取值范围是$-2＜x＜-1$或$1＜x＜2$。
【答案】
(1) 反比例函数表达式为$\boldsymbol{y_2=\frac{2}{x}}$，一次函数表达式为$\boldsymbol{y_1=x+1}$；
(2) 点N的坐标为$\boldsymbol{(0,7)}$或$\boldsymbol{(0,-5)}$；
(3) x的取值范围是$\boldsymbol{-2＜x＜-1}$或$\boldsymbol{1＜x＜2}$。
【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 函数图象平移
3. 数形结合解不等式
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合常见题型，覆盖了函数解析式求解、三角形面积计算、函数平移及图象法解不等式等核心考点，解题时要注意绝对值运算的多解性，解决函数不等式相关问题要熟练运用数形结合思想，避免漏解错解。
【难度系数】
0.6
(1)求函数表达式采用待定系数法：先将已知点A代入反比例函数求出m，得到反比例函数表达式；再将点B代入反比例函数求出a，得到B点坐标，最后将A、B两点坐标代入一次函数，解二元一次方程组即可得到一次函数表达式。
(2)先求出一次函数与y轴交点M的坐标，设N点坐标为(0,n)，则MN的长度为两点纵坐标差的绝对值，△AMN中MN边上的高为点A到y轴的距离（即A点横坐标的绝对值1），结合三角形面积公式列方程求解即可，注意绝对值的解有两个。
(3)根据函数平移“上加下减”的规律求出平移后$y_3$的表达式，联立$y_3$与$y_2$的解析式求出两个交点的横坐标，再结合$y_1$与$y_2$的交点横坐标，通过观察函数图象，分区间判断$y_1＞y_2＞y_3$的x取值范围。
【解析】
(1) 将点$A(1,2)$代入反比例函数$y_2=\frac{m}{x}$，得$2=\frac{m}{1}$，解得$m=2$，
∴反比例函数的表达式为$y_2=\frac{2}{x}$。
将点$B(-2,a)$代入$y_2=\frac{2}{x}$，得$a=\frac{2}{-2}=-1$，即$B(-2,-1)$。
将$A(1,2)$、$B(-2,-1)$代入$y_1=kx+b$，得：
$\begin{cases} k+b=2 \\ -2k+b=-1 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=1 \\ b=1 \end{cases}$
∴一次函数的表达式为$y_1=x+1$。
(2) 在$y_1=x+1$中，令$x=0$，得$y=1$，
∴$M(0,1)$。
设点$N$的坐标为$(0,n)$，则$MN=|n-1|$。
点$A$到$y$轴的距离为1，即$△ AMN$中$MN$边上的高为1，
由$S_{△ AMN}=\frac{1}{2}· |MN|· 1=3$，得$\frac{1}{2}|n-1|=3$，
解得$n=7$或$n=-5$，
∴点$N$的坐标为$(0,7)$或$(0,-5)$。
(3) 直线$y_1$向下平移2个单位，得$y_3=x+1-2=x-1$。
联立$\begin{cases} y_2=\frac{2}{x} \\ y_3=x-1 \end{cases}$，得$\frac{2}{x}=x-1$，整理得$x^2-x-2=0$，
解得$x_1=2$，$x_2=-1$，即$y_2$与$y_3$的交点横坐标为$-1$和$2$。
又$y_1$与$y_2$的交点横坐标为$1$和$-2$，
结合函数图象可得，当$y_1＞y_2＞y_3$时，$x$的取值范围是$-2＜x＜-1$或$1＜x＜2$。
【答案】
(1) 反比例函数表达式为$\boldsymbol{y_2=\frac{2}{x}}$，一次函数表达式为$\boldsymbol{y_1=x+1}$；
(2) 点N的坐标为$\boldsymbol{(0,7)}$或$\boldsymbol{(0,-5)}$；
(3) x的取值范围是$\boldsymbol{-2＜x＜-1}$或$\boldsymbol{1＜x＜2}$。
【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 函数图象平移
3. 数形结合解不等式
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合常见题型，覆盖了函数解析式求解、三角形面积计算、函数平移及图象法解不等式等核心考点，解题时要注意绝对值运算的多解性，解决函数不等式相关问题要熟练运用数形结合思想，避免漏解错解。
【难度系数】
0.6
