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6. 已知正比例函数$y_1$的图象与反比例函数$y_2$的图象相交于点$A(2,4)$,下列说法正确的是（）
A.反比例函数$y_2$的表达式是$y_2=-\dfrac{8}{x}$
B.两个函数图象的另一交点的坐标为$(2,-4)$
C.当$x＜-2$或$0＜x＜2$时,$y_1＜y_2$
D.正比例函数$y_1$与反比例函数$y_2$都随$x$的增大而增大
A.反比例函数$y_2$的表达式是$y_2=-\dfrac{8}{x}$
B.两个函数图象的另一交点的坐标为$(2,-4)$
C.当$x＜-2$或$0＜x＜2$时,$y_1＜y_2$
D.正比例函数$y_1$与反比例函数$y_2$都随$x$的增大而增大
答案
C
解析
【分析】
解题时先根据交点坐标分别求出正比例函数和反比例函数的解析式，再结合两个函数的性质、交点的对称性逐一判断每个选项：首先用待定系数法求两个函数的表达式，再利用原点对称性找另一交点，通过分类讨论解不等式或结合图象判断函数值大小关系，最后结合增减性的适用范围判断正误。
【解析】
设正比例函数解析式为$y_1=k_1x$，反比例函数解析式为$y_2=\frac{k_2}{x}$。
∵两个函数图象都过点$A(2,4)$，
∴将$A(2,4)$代入$y_1=k_1x$得：$4=2k_1$，解得$k_1=2$，即$y_1=2x$；
将$A(2,4)$代入$y_2=\frac{k_2}{x}$得：$4=\frac{k_2}{2}$，解得$k_2=8$，即$y_2=\frac{8}{x}$。
逐个判断选项：
A. 反比例函数解析式为$y_2=\frac{8}{x}$，不是$y_2=-\frac{8}{x}$，故A错误；
B. 正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称，点$A(2,4)$关于原点的对称点为$(-2,-4)$，即另一交点坐标为$(-2,-4)$，故B错误；
C. 解不等式$y_1＜y_2$即$2x＜\frac{8}{x}$：
①当$x＞0$时，两边同乘$x$不等号方向不变，得$2x^2＜8$，即$x^2＜4$，解得$0＜x＜2$；
②当$x＜0$时，两边同乘$x$不等号方向改变，得$2x^2＞8$，即$x^2＞4$，解得$x＜-2$；
因此当$x＜-2$或$0＜x＜2$时，$y_1＜y_2$，故C正确；
D. 正比例函数$y_1=2x$中$k=2＞0$，$y$随$x$的增大而增大；反比例函数$y_2=\frac{8}{x}$中$k=8＞0$，仅在每个象限内$y$随$x$的增大而减小，不是整体随$x$的增大而增大，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
正比例函数的性质，反比例函数的性质，函数交点问题
【点评】
本题综合考查正比例和反比例函数的核心知识点，解题关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式、函数交点的对称性，同时要注意反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，比较函数值大小时要分情况讨论。
【难度系数】
0.7
解题时先根据交点坐标分别求出正比例函数和反比例函数的解析式，再结合两个函数的性质、交点的对称性逐一判断每个选项：首先用待定系数法求两个函数的表达式，再利用原点对称性找另一交点，通过分类讨论解不等式或结合图象判断函数值大小关系，最后结合增减性的适用范围判断正误。
【解析】
设正比例函数解析式为$y_1=k_1x$，反比例函数解析式为$y_2=\frac{k_2}{x}$。
∵两个函数图象都过点$A(2,4)$，
∴将$A(2,4)$代入$y_1=k_1x$得：$4=2k_1$，解得$k_1=2$，即$y_1=2x$；
将$A(2,4)$代入$y_2=\frac{k_2}{x}$得：$4=\frac{k_2}{2}$，解得$k_2=8$，即$y_2=\frac{8}{x}$。
逐个判断选项：
A. 反比例函数解析式为$y_2=\frac{8}{x}$，不是$y_2=-\frac{8}{x}$，故A错误；
B. 正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称，点$A(2,4)$关于原点的对称点为$(-2,-4)$，即另一交点坐标为$(-2,-4)$，故B错误；
C. 解不等式$y_1＜y_2$即$2x＜\frac{8}{x}$：
①当$x＞0$时，两边同乘$x$不等号方向不变，得$2x^2＜8$，即$x^2＜4$，解得$0＜x＜2$；
②当$x＜0$时，两边同乘$x$不等号方向改变，得$2x^2＞8$，即$x^2＞4$，解得$x＜-2$；
因此当$x＜-2$或$0＜x＜2$时，$y_1＜y_2$，故C正确；
D. 正比例函数$y_1=2x$中$k=2＞0$，$y$随$x$的增大而增大；反比例函数$y_2=\frac{8}{x}$中$k=8＞0$，仅在每个象限内$y$随$x$的增大而减小，不是整体随$x$的增大而增大，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
正比例函数的性质，反比例函数的性质，函数交点问题
【点评】
本题综合考查正比例和反比例函数的核心知识点，解题关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式、函数交点的对称性，同时要注意反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，比较函数值大小时要分情况讨论。
【难度系数】
0.7
7.某市举行中学生党史知识竞赛。如图2，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）y与该校参加竞赛人数x的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四所学校在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是 （）
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
答案
C
解析
【分析】
要判断哪所学校优秀人数最多，首先明确优秀人数=参赛人数x×优秀率y，即每个点的横、纵坐标的乘积就是对应学校的优秀人数。已知乙、丁在同一反比例函数图象上，反比例函数满足xy=k（定值），因此乙、丁的优秀人数相等，等于k。接下来只需比较甲、丙两点的xy与k的大小即可：若点在反比例函数图象上方，则xy＞k；若点在图象下方，则xy＜k，据此即可得出结论。
【解析】
设每所学校的优秀人数为S，根据优秀率的定义可知：
$ y = \frac{S}{x} $，变形得 $ S = x · y $，即各点横、纵坐标的乘积就是对应学校的优秀人数。
∵ 乙、丁两点在同一个反比例函数图象上，设该反比例函数为$ y = \frac{k}{x}（k＞0）$
∴ 对乙、丁两点均满足$ x · y = k $，即乙、丁两校优秀人数均为k。
观察图象：
① 甲点在反比例函数图象下方，对甲点有$ y_甲 ＜ \frac{k}{x_甲} $，两边同乘正数$ x_甲 $得$ x_甲 · y_甲 ＜ k $，即甲校优秀人数小于k；
② 丙点在反比例函数图象上方，对丙点有$ y_丙 ＞ \frac{k}{x_丙} $，两边同乘正数$ x_丙 $得$ x_丙 · y_丙 ＞ k $，即丙校优秀人数大于k。
综上，四所学校中丙校优秀人数最多。
【答案】
C
【知识点】
1. 反比例函数的意义
2. 反比例函数的图象性质
【点评】
本题结合实际生活场景考查反比例函数的应用，解题的核心是将“优秀人数”转化为反比例函数中xy的乘积，再结合点与反比例函数图象的位置关系判断乘积大小，很好地体现了数学的实用性。
【难度系数】
0.7
要判断哪所学校优秀人数最多，首先明确优秀人数=参赛人数x×优秀率y，即每个点的横、纵坐标的乘积就是对应学校的优秀人数。已知乙、丁在同一反比例函数图象上，反比例函数满足xy=k（定值），因此乙、丁的优秀人数相等，等于k。接下来只需比较甲、丙两点的xy与k的大小即可：若点在反比例函数图象上方，则xy＞k；若点在图象下方，则xy＜k，据此即可得出结论。
【解析】
设每所学校的优秀人数为S，根据优秀率的定义可知：
$ y = \frac{S}{x} $，变形得 $ S = x · y $，即各点横、纵坐标的乘积就是对应学校的优秀人数。
∵ 乙、丁两点在同一个反比例函数图象上，设该反比例函数为$ y = \frac{k}{x}（k＞0）$
∴ 对乙、丁两点均满足$ x · y = k $，即乙、丁两校优秀人数均为k。
观察图象：
① 甲点在反比例函数图象下方，对甲点有$ y_甲 ＜ \frac{k}{x_甲} $，两边同乘正数$ x_甲 $得$ x_甲 · y_甲 ＜ k $，即甲校优秀人数小于k；
② 丙点在反比例函数图象上方，对丙点有$ y_丙 ＞ \frac{k}{x_丙} $，两边同乘正数$ x_丙 $得$ x_丙 · y_丙 ＞ k $，即丙校优秀人数大于k。
综上，四所学校中丙校优秀人数最多。
【答案】
C
【知识点】
1. 反比例函数的意义
2. 反比例函数的图象性质
【点评】
本题结合实际生活场景考查反比例函数的应用，解题的核心是将“优秀人数”转化为反比例函数中xy的乘积，再结合点与反比例函数图象的位置关系判断乘积大小，很好地体现了数学的实用性。
【难度系数】
0.7
8. (2024·黑龙江龙东地区)如图3,双曲线$y=\frac{12}{x}(x＞0)$经过A,B两点,连接OA,AB,过点B作$BD⊥y$轴,垂足为D,BD交OA于点E,且E为AO的中点,则$△ AEB$的面积是 ()
A.4.5
B.3.5
C.3
D.2.5
A.4.5
B.3.5
C.3
D.2.5
答案
A
解析
【分析】
解题可按以下思路展开：1. 利用中点坐标性质，结合反比例函数特征用参数表示点坐标：E是OA中点，且BD垂直y轴，因此B、E两点纵坐标相等，均为A点纵坐标的一半；2. 结合反比例函数$y=\frac{12}{x}$，分别推导A、E、B三点的坐标表达式；3. 确定$△ AEB$的底和高：底为EB的长度（B、E横坐标之差），高为A、B两点的纵坐标之差，代入三角形面积公式计算，参数会自动消去得到最终结果。
【解析】
解：设点A的坐标为$(a,\frac{12}{a})$（$a＞0$），
∵E为OA的中点，
∴点E的坐标为$(\frac{a}{2},\frac{6}{a})$，
∵$BD⊥ y$轴，
∴点B的纵坐标与点E相等，为$\frac{6}{a}$，
将$y=\frac{6}{a}$代入$y=\frac{12}{x}$，解得$x=2a$，即点B的坐标为$(2a,\frac{6}{a})$，
∴$EB=2a-\frac{a}{2}=\frac{3a}{2}$，$△ AEB$中EB边上的高为$\frac{12}{a}-\frac{6}{a}=\frac{6}{a}$，
则$S_{△ AEB}=\frac{1}{2}× EB× 高=\frac{1}{2}× \frac{3a}{2}× \frac{6}{a}=4.5$。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的性质，中点坐标公式，三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数与几何结合的常规题型，采用设参数表示点坐标的方法解题，参数在计算过程中会自动消去，不需要求出参数的具体值，主要考察坐标法的运用和反比例函数点坐标特征的掌握。
【难度系数】
0.6
解题可按以下思路展开：1. 利用中点坐标性质，结合反比例函数特征用参数表示点坐标：E是OA中点，且BD垂直y轴，因此B、E两点纵坐标相等，均为A点纵坐标的一半；2. 结合反比例函数$y=\frac{12}{x}$，分别推导A、E、B三点的坐标表达式；3. 确定$△ AEB$的底和高：底为EB的长度（B、E横坐标之差），高为A、B两点的纵坐标之差，代入三角形面积公式计算，参数会自动消去得到最终结果。
【解析】
解：设点A的坐标为$(a,\frac{12}{a})$（$a＞0$），
∵E为OA的中点，
∴点E的坐标为$(\frac{a}{2},\frac{6}{a})$，
∵$BD⊥ y$轴，
∴点B的纵坐标与点E相等，为$\frac{6}{a}$，
将$y=\frac{6}{a}$代入$y=\frac{12}{x}$，解得$x=2a$，即点B的坐标为$(2a,\frac{6}{a})$，
∴$EB=2a-\frac{a}{2}=\frac{3a}{2}$，$△ AEB$中EB边上的高为$\frac{12}{a}-\frac{6}{a}=\frac{6}{a}$，
则$S_{△ AEB}=\frac{1}{2}× EB× 高=\frac{1}{2}× \frac{3a}{2}× \frac{6}{a}=4.5$。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的性质，中点坐标公式，三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数与几何结合的常规题型，采用设参数表示点坐标的方法解题，参数在计算过程中会自动消去，不需要求出参数的具体值，主要考察坐标法的运用和反比例函数点坐标特征的掌握。
【难度系数】
0.6
二、填空题(每小题3分,共18分)
9. (2024·云南)已知点$P(2,n)$在反比例函数$y=\frac{10}{x}$的图象上,则
$n=$。
9. (2024·云南)已知点$P(2,n)$在反比例函数$y=\frac{10}{x}$的图象上,则
$n=$。
答案
$\boldsymbol{5}$
解析
【分析】
解题思路：若点在函数图象上，则点的横、纵坐标满足该函数的解析式。本题已知点P在反比例函数图象上，只需将点P的横坐标x=2、纵坐标y=n代入反比例函数解析式，即可计算得到n的值。
【解析】
∵ 点$P(2,n)$在反比例函数$y=\frac{10}{x}$的图象上，
∴ 将$x=2$，$y=n$代入$y=\frac{10}{x}$，可得：
$n=\frac{10}{2}=5$
【答案】
$\boldsymbol{5}$
【知识点】
1. 反比例函数图象上点的坐标特征
2. 代入法求函数值
【点评】
本题属于基础题型，核心考查函数图象与点坐标的对应关系，只要掌握“图象上的点的坐标满足函数解析式”的规律，代入简单计算即可得到结果。
【难度系数】
0.9
解题思路：若点在函数图象上，则点的横、纵坐标满足该函数的解析式。本题已知点P在反比例函数图象上，只需将点P的横坐标x=2、纵坐标y=n代入反比例函数解析式，即可计算得到n的值。
【解析】
∵ 点$P(2,n)$在反比例函数$y=\frac{10}{x}$的图象上，
∴ 将$x=2$，$y=n$代入$y=\frac{10}{x}$，可得：
$n=\frac{10}{2}=5$
【答案】
$\boldsymbol{5}$
【知识点】
1. 反比例函数图象上点的坐标特征
2. 代入法求函数值
【点评】
本题属于基础题型，核心考查函数图象与点坐标的对应关系，只要掌握“图象上的点的坐标满足函数解析式”的规律，代入简单计算即可得到结果。
【难度系数】
0.9
10. (2025·陕西)如图4,过原点的直线与反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$的图象交于$A(m,n)$,$B(m-6,n-6)$两点,则$k$的值为。
答案
$\boldsymbol{9}$
解析
【分析】
本题可结合反比例函数和正比例函数的性质解题，有两种常见思路：
思路1：① 点A、B都在过原点的正比例函数上，因此两点横纵坐标的比值相等，据此列等式可推出$m=n$；② 两点都在反比例函数上，横纵坐标的乘积都等于$k$，据此列等式可推出$m+n=6$，联立即可求出$m、n$的值，代入$k=mn$计算即可。
思路2：根据反比例函数的中心对称性，过原点的直线与反比例函数的两个交点关于原点对称，因此点$A(m,n)$的对称点$B$的坐标应为$(-m,-n)$，结合题目给出的$B$点坐标$(m-6,n-6)$，直接列方程$m-6=-m$、$n-6=-n$，求出$m、n$后代入即可得$k$的值。
【解析】
解：
∵ 点$A(m,n)$和$B(m-6,n-6)$都在过原点的直线上，
∴ 两点均在正比例函数图象上，横纵坐标的比值为定值，即$\frac{n}{m}=\frac{n-6}{m-6}$，
交叉相乘得：$n(m-6)=m(n-6)$，
展开得：$mn-6n=mn-6m$，
消去$mn$，整理得：$m=n$。
又
∵ $A、B$两点都在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$的图象上，
∴ $mn=k$，且$(m-6)(n-6)=k$，
因此$mn=(m-6)(n-6)$，
展开右边得：$mn=mn-6m-6n+36$，
消去$mn$，整理得：$6m+6n=36$，即$m+n=6$。
结合前面得到的$m=n$，代入得$m+m=6$，解得$m=3$，则$n=3$，
∴ $k=mn=3×3=9$。
【答案】
$\boldsymbol{9}$
【知识点】
反比例函数性质、正比例函数性质、中心对称性质
【点评】
本题是反比例函数与正比例函数交点的常考题型，解题核心是抓住两类函数的图象性质建立坐标之间的等量关系，两种解题思路都较为常规，掌握函数基本性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
本题可结合反比例函数和正比例函数的性质解题，有两种常见思路：
思路1：① 点A、B都在过原点的正比例函数上，因此两点横纵坐标的比值相等，据此列等式可推出$m=n$；② 两点都在反比例函数上，横纵坐标的乘积都等于$k$，据此列等式可推出$m+n=6$，联立即可求出$m、n$的值，代入$k=mn$计算即可。
思路2：根据反比例函数的中心对称性，过原点的直线与反比例函数的两个交点关于原点对称，因此点$A(m,n)$的对称点$B$的坐标应为$(-m,-n)$，结合题目给出的$B$点坐标$(m-6,n-6)$，直接列方程$m-6=-m$、$n-6=-n$，求出$m、n$后代入即可得$k$的值。
【解析】
解：
∵ 点$A(m,n)$和$B(m-6,n-6)$都在过原点的直线上，
∴ 两点均在正比例函数图象上，横纵坐标的比值为定值，即$\frac{n}{m}=\frac{n-6}{m-6}$，
交叉相乘得：$n(m-6)=m(n-6)$，
展开得：$mn-6n=mn-6m$，
消去$mn$，整理得：$m=n$。
又
∵ $A、B$两点都在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$的图象上，
∴ $mn=k$，且$(m-6)(n-6)=k$，
因此$mn=(m-6)(n-6)$，
展开右边得：$mn=mn-6m-6n+36$，
消去$mn$，整理得：$6m+6n=36$，即$m+n=6$。
结合前面得到的$m=n$，代入得$m+m=6$，解得$m=3$，则$n=3$，
∴ $k=mn=3×3=9$。
【答案】
$\boldsymbol{9}$
【知识点】
反比例函数性质、正比例函数性质、中心对称性质
【点评】
本题是反比例函数与正比例函数交点的常考题型，解题核心是抓住两类函数的图象性质建立坐标之间的等量关系，两种解题思路都较为常规，掌握函数基本性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
11. (2025·德阳)公元前3世纪,古希腊科学家阿基米德发现:若杠杆上的两物体与支点的距离与其重量成反比,则杠杆平衡。后来人们把它归纳为“杠杆原理”:阻力×阻力臂=动力×动力臂。已知阻力和阻力臂分别为600 N和1 m,当动力为1 200 N时,动力臂是 m。
答案
$\boldsymbol{0.5}$
解析
【分析】
解题时首先提取题干给出的核心等量关系：阻力×阻力臂=动力×动力臂，已知阻力、阻力臂、动力三个量，目标是求动力臂，因此可以将动力臂设为未知数，代入等量关系列一元一次方程，求解方程就能得到结果。
【解析】
解：设动力臂为$ x \, \mathrm{m} $，根据杠杆原理的等量关系代入已知数值：
$ 600 × 1 = 1200x $
化简得：$ 1200x = 600 $
解得：$ x = 600 ÷ 1200 = 0.5 $
【答案】
$\boldsymbol{0.5}$
【知识点】
1. 实际问题列方程
2. 一元一次方程求解
3. 反比例关系应用
【点评】
本题是跨学科的基础应用题，结合物理常识考查数学计算能力，解题关键是准确提取题干给出的公式和已知量，代入后正确计算即可得分，属于基础题型。
【难度系数】
0.9
解题时首先提取题干给出的核心等量关系：阻力×阻力臂=动力×动力臂，已知阻力、阻力臂、动力三个量，目标是求动力臂，因此可以将动力臂设为未知数，代入等量关系列一元一次方程，求解方程就能得到结果。
【解析】
解：设动力臂为$ x \, \mathrm{m} $，根据杠杆原理的等量关系代入已知数值：
$ 600 × 1 = 1200x $
化简得：$ 1200x = 600 $
解得：$ x = 600 ÷ 1200 = 0.5 $
【答案】
$\boldsymbol{0.5}$
【知识点】
1. 实际问题列方程
2. 一元一次方程求解
3. 反比例关系应用
【点评】
本题是跨学科的基础应用题，结合物理常识考查数学计算能力，解题关键是准确提取题干给出的公式和已知量，代入后正确计算即可得分，属于基础题型。
【难度系数】
0.9
