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12. 如图5,矩形ABCD的顶点A,D在y轴上,顶点C在第一象限, x轴为该矩形的一条对称轴,且矩形ABCD的面积为6。若反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象经过点C,则k的值为。
$y=-\frac{2}{x}$
$y=\frac{4}{x}$
$y=-\frac{2}{x}$
$y=\frac{4}{x}$
答案
$\boldsymbol{3}$
解析
【分析】
解题时先结合矩形的性质与对称轴的特点设出点C的坐标，再利用矩形面积公式得到坐标乘积的关系，最后结合反比例函数上点的坐标特征即可求出k的值。首先，x轴是矩形的对称轴，且A、D在y轴上，可知矩形左侧边与y轴重合，上下部分关于x轴对称；设第一象限内点C的坐标为$(m,n)$（$m＞0,n＞0$），则矩形的水平边长为$m$，竖直总高度为$2n$，根据面积可先求出$mn$的值，再结合反比例函数$y=\frac{k}{x}$中$k=xy$的关系即可得到结果。
【解析】
设点C的坐标为$(m,n)$，其中$m＞0$，$n＞0$。
1. 因为矩形ABCD的顶点A、D在y轴上，所以矩形的水平边长等于点C的横坐标，即水平边长为$m$；
2. 因为x轴是矩形的对称轴，所以矩形上下部分关于x轴对称，点C纵坐标为$n$，则矩形的总竖直高度为$2n$；
3. 已知矩形面积为6，根据矩形面积公式可得：
$m×2n=6$
化简得：$mn=3$
4. 因为反比例函数$y=\frac{k}{x}$经过点$C(m,n)$，将点代入解析式得$n=\frac{k}{m}$，变形可得$k=mn=3$。
【答案】
$\boldsymbol{3}$
【知识点】
反比例函数的性质，矩形的性质，轴对称的性质
【点评】
本题属于反比例函数与几何图形结合的基础题型，解题关键是利用轴对称和矩形的特征，准确表示出矩形的边长，进而得到反比例函数上点的横纵坐标的乘积，求出k的值。
【难度系数】
0.7
解题时先结合矩形的性质与对称轴的特点设出点C的坐标，再利用矩形面积公式得到坐标乘积的关系，最后结合反比例函数上点的坐标特征即可求出k的值。首先，x轴是矩形的对称轴，且A、D在y轴上，可知矩形左侧边与y轴重合，上下部分关于x轴对称；设第一象限内点C的坐标为$(m,n)$（$m＞0,n＞0$），则矩形的水平边长为$m$，竖直总高度为$2n$，根据面积可先求出$mn$的值，再结合反比例函数$y=\frac{k}{x}$中$k=xy$的关系即可得到结果。
【解析】
设点C的坐标为$(m,n)$，其中$m＞0$，$n＞0$。
1. 因为矩形ABCD的顶点A、D在y轴上，所以矩形的水平边长等于点C的横坐标，即水平边长为$m$；
2. 因为x轴是矩形的对称轴，所以矩形上下部分关于x轴对称，点C纵坐标为$n$，则矩形的总竖直高度为$2n$；
3. 已知矩形面积为6，根据矩形面积公式可得：
$m×2n=6$
化简得：$mn=3$
4. 因为反比例函数$y=\frac{k}{x}$经过点$C(m,n)$，将点代入解析式得$n=\frac{k}{m}$，变形可得$k=mn=3$。
【答案】
$\boldsymbol{3}$
【知识点】
反比例函数的性质，矩形的性质，轴对称的性质
【点评】
本题属于反比例函数与几何图形结合的基础题型，解题关键是利用轴对称和矩形的特征，准确表示出矩形的边长，进而得到反比例函数上点的横纵坐标的乘积，求出k的值。
【难度系数】
0.7
13. (2024·广元)如图6,已知$y=\sqrt{3}x$与$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象交于点$A(2,m)$,$B$为$y$轴上一点,将$△ OAB$沿$OA$翻折,使点$B$恰好落在$y=\frac{k}{x}(x＞0)$上点$C$处,则点$B$的坐标为$\underline{\hspace{5cm}}$。
答案
解：
∵ 点$A(2,m)$在直线$y=\sqrt{3}x$上，
∴ $m=\sqrt{3}×2=2\sqrt{3}$，即$A(2,2\sqrt{3})$。
将$A(2,2\sqrt{3})$代入$y=\frac{k}{x}$，得$k=2×2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$，
∴ 反比例函数解析式为$y=\frac{4\sqrt{3}}{x}$。
计算$OA$的长度：$OA=\sqrt{2^2+(2\sqrt{3})^2}=4$，
由直线$y=\sqrt{3}x$的性质可知，$OA$与$x$轴正方向夹角为$60°$，
∵ 点$B$在$y$轴上，∴ $∠ AOB=90°-60°=30°$。
由翻折性质得：$OC=OB$，$∠ AOC=∠ AOB=30°$，
∴ $OC$与$x$轴正方向的夹角为$60°-30°=30°$。
设点$C$坐标为$(a,b)$，则$\frac{b}{a}=\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，即$a=\sqrt{3}b$，
将$a=\sqrt{3}b$代入$ab=4\sqrt{3}$，得$\sqrt{3}b^2=4\sqrt{3}$，
解得$b=2$（$b＞0$），则$a=2\sqrt{3}$，即$C(2\sqrt{3},2)$。
∴ $OC=\sqrt{(2\sqrt{3})^2+2^2}=4$，
由翻折得$OB=OC=4$，又$B$在$y$轴上，
∴ 点$B$的坐标为$(0,4)$。
∵ 点$A(2,m)$在直线$y=\sqrt{3}x$上，
∴ $m=\sqrt{3}×2=2\sqrt{3}$，即$A(2,2\sqrt{3})$。
将$A(2,2\sqrt{3})$代入$y=\frac{k}{x}$，得$k=2×2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$，
∴ 反比例函数解析式为$y=\frac{4\sqrt{3}}{x}$。
计算$OA$的长度：$OA=\sqrt{2^2+(2\sqrt{3})^2}=4$，
由直线$y=\sqrt{3}x$的性质可知，$OA$与$x$轴正方向夹角为$60°$，
∵ 点$B$在$y$轴上，∴ $∠ AOB=90°-60°=30°$。
由翻折性质得：$OC=OB$，$∠ AOC=∠ AOB=30°$，
∴ $OC$与$x$轴正方向的夹角为$60°-30°=30°$。
设点$C$坐标为$(a,b)$，则$\frac{b}{a}=\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，即$a=\sqrt{3}b$，
将$a=\sqrt{3}b$代入$ab=4\sqrt{3}$，得$\sqrt{3}b^2=4\sqrt{3}$，
解得$b=2$（$b＞0$），则$a=2\sqrt{3}$，即$C(2\sqrt{3},2)$。
∴ $OC=\sqrt{(2\sqrt{3})^2+2^2}=4$，
由翻折得$OB=OC=4$，又$B$在$y$轴上，
∴ 点$B$的坐标为$(0,4)$。
解析
【分析】
解题时首先利用点A在一次函数图象上的条件，求出点A的坐标，再代入反比例函数解析式求出k值，确定反比例函数的表达式；接下来根据一次函数的斜率求出OA与x轴正方向的夹角，结合点B在y轴上得到∠AOB的度数；再根据翻折的性质，得到OC=OB、∠AOC=∠AOB，进而推出OC与x轴正方向的夹角，据此设出点C的坐标，代入反比例函数解析式求出点C的坐标，计算OC的长度即可得到OB的长度，最终确定点B的坐标。
【解析】
∵ 点$A(2,m)$在直线$y=\sqrt{3}x$上，
∴ $m=\sqrt{3}×2=2\sqrt{3}$，即$A(2,2\sqrt{3})$。
将$A(2,2\sqrt{3})$代入$y=\frac{k}{x}$，得$k=2×2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$，
∴ 反比例函数解析式为$y=\frac{4\sqrt{3}}{x}$。
计算$OA$的长度：$OA=\sqrt{2^2+(2\sqrt{3})^2}=4$，
由直线$y=\sqrt{3}x$的性质可知，$OA$与$x$轴正方向夹角为$60°$，
∵ 点$B$在$y$轴上，
∴ $∠ AOB=90°-60°=30°$。
由翻折性质得：$OC=OB$，$∠ AOC=∠ AOB=30°$，
∴ $OC$与$x$轴正方向的夹角为$60°-30°=30°$。
设点$C$坐标为$(a,b)$，则$\frac{b}{a}=\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，即$a=\sqrt{3}b$，
将$a=\sqrt{3}b$代入$ab=4\sqrt{3}$，得$\sqrt{3}b^2=4\sqrt{3}$，
解得$b=2$（$b＞0$），则$a=2\sqrt{3}$，即$C(2\sqrt{3},2)$。
∴ $OC=\sqrt{(2\sqrt{3})^2+2^2}=4$，
由翻折得$OB=OC=4$，又$B$在$y$轴上，
∴ 点$B$的坐标为$(0,4)$。
【答案】
$\boldsymbol{(0,4)}$
【知识点】
1. 一次函数与反比例函数交点 2. 折叠的性质 3. 锐角三角函数应用
【点评】
本题是一次函数、反比例函数与几何折叠的综合题，解题的核心是利用折叠的性质得到角度与线段的等量关系，进而求出未知点的坐标，对学生的知识综合运用能力和运算能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题时首先利用点A在一次函数图象上的条件，求出点A的坐标，再代入反比例函数解析式求出k值，确定反比例函数的表达式；接下来根据一次函数的斜率求出OA与x轴正方向的夹角，结合点B在y轴上得到∠AOB的度数；再根据翻折的性质，得到OC=OB、∠AOC=∠AOB，进而推出OC与x轴正方向的夹角，据此设出点C的坐标，代入反比例函数解析式求出点C的坐标，计算OC的长度即可得到OB的长度，最终确定点B的坐标。
【解析】
∵ 点$A(2,m)$在直线$y=\sqrt{3}x$上，
∴ $m=\sqrt{3}×2=2\sqrt{3}$，即$A(2,2\sqrt{3})$。
将$A(2,2\sqrt{3})$代入$y=\frac{k}{x}$，得$k=2×2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$，
∴ 反比例函数解析式为$y=\frac{4\sqrt{3}}{x}$。
计算$OA$的长度：$OA=\sqrt{2^2+(2\sqrt{3})^2}=4$，
由直线$y=\sqrt{3}x$的性质可知，$OA$与$x$轴正方向夹角为$60°$，
∵ 点$B$在$y$轴上，
∴ $∠ AOB=90°-60°=30°$。
由翻折性质得：$OC=OB$，$∠ AOC=∠ AOB=30°$，
∴ $OC$与$x$轴正方向的夹角为$60°-30°=30°$。
设点$C$坐标为$(a,b)$，则$\frac{b}{a}=\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，即$a=\sqrt{3}b$，
将$a=\sqrt{3}b$代入$ab=4\sqrt{3}$，得$\sqrt{3}b^2=4\sqrt{3}$，
解得$b=2$（$b＞0$），则$a=2\sqrt{3}$，即$C(2\sqrt{3},2)$。
∴ $OC=\sqrt{(2\sqrt{3})^2+2^2}=4$，
由翻折得$OB=OC=4$，又$B$在$y$轴上，
∴ 点$B$的坐标为$(0,4)$。
【答案】
$\boldsymbol{(0,4)}$
【知识点】
1. 一次函数与反比例函数交点 2. 折叠的性质 3. 锐角三角函数应用
【点评】
本题是一次函数、反比例函数与几何折叠的综合题，解题的核心是利用折叠的性质得到角度与线段的等量关系，进而求出未知点的坐标，对学生的知识综合运用能力和运算能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
14. (2025·威海)如图7,点A在反比例函数$y=\frac{4}{x}$的图象上,点B在反比例函数$y=-\frac{2}{x}$的图象上,连接OA,OB,AB。若$AO ⊥ BO$,则$\tan∠BAO=$。
答案
$\boldsymbol{\frac{\sqrt{2}}{2}}$
解析
【分析】
遇到反比例函数图象上的点与原点连线垂直的问题，可通过向坐标轴作垂线构造“一线三垂直”模型，证明两个直角三角形相似：①先过A、B分别作x轴的垂线，得到两个直角三角形，利用同角的余角相等证明两角对应相等，得到三角形相似；②再利用反比例函数k的几何意义求出两个三角形的面积比，结合相似三角形面积比等于相似比的平方，得到OA与OB的边长比；③最后在Rt△AOB中，根据正切的定义即可求出tan∠BAO的值。
【解析】
过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，
∴∠ACO=∠ODB=90°，
∴∠OAC+∠AOC=90°，
∵AO⊥BO，
∴∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°，
∴∠OAC=∠BOD，
∴△AOC∽△OBD。
由反比例函数k的几何意义可得：
$S_{△ AOC}=\frac{1}{2}×|4|=2$，$S_{△ OBD}=\frac{1}{2}×|-2|=1$，
∴$\frac{S_{△ AOC}}{S_{△ OBD}}=\frac{2}{1}$。
∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，
∴$(\frac{OA}{OB})^2=\frac{2}{1}$，
∴$\frac{OA}{OB}=\sqrt{2}$，即$\frac{OB}{OA}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
在Rt△AOB中，$\tan∠ BAO=\frac{OB}{OA}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
反比例函数k的几何意义；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【点评】
本题是反比例函数与几何的综合常考题，核心解题思路是构造“一线三垂直”相似模型，将反比例函数的系数性质和相似三角形的性质结合，转化得到线段比例关系进而求解三角函数值，熟练掌握构造相似的常用方法是解题的关键。
【难度系数】
0.6
遇到反比例函数图象上的点与原点连线垂直的问题，可通过向坐标轴作垂线构造“一线三垂直”模型，证明两个直角三角形相似：①先过A、B分别作x轴的垂线，得到两个直角三角形，利用同角的余角相等证明两角对应相等，得到三角形相似；②再利用反比例函数k的几何意义求出两个三角形的面积比，结合相似三角形面积比等于相似比的平方，得到OA与OB的边长比；③最后在Rt△AOB中，根据正切的定义即可求出tan∠BAO的值。
【解析】
过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，
∴∠ACO=∠ODB=90°，
∴∠OAC+∠AOC=90°，
∵AO⊥BO，
∴∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°，
∴∠OAC=∠BOD，
∴△AOC∽△OBD。
由反比例函数k的几何意义可得：
$S_{△ AOC}=\frac{1}{2}×|4|=2$，$S_{△ OBD}=\frac{1}{2}×|-2|=1$，
∴$\frac{S_{△ AOC}}{S_{△ OBD}}=\frac{2}{1}$。
∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，
∴$(\frac{OA}{OB})^2=\frac{2}{1}$，
∴$\frac{OA}{OB}=\sqrt{2}$，即$\frac{OB}{OA}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
在Rt△AOB中，$\tan∠ BAO=\frac{OB}{OA}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
反比例函数k的几何意义；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【点评】
本题是反比例函数与几何的综合常考题，核心解题思路是构造“一线三垂直”相似模型，将反比例函数的系数性质和相似三角形的性质结合，转化得到线段比例关系进而求解三角函数值，熟练掌握构造相似的常用方法是解题的关键。
【难度系数】
0.6
三、解答题(共58分)
15. (10分)已知反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象经过点$A(2,-4)$。
(1)求$k$的值。
(2)函数的图象在哪几个象限？$y$随$x$的增大怎样变化？
(3)点$B(-\frac{1}{2},16)$，$C(-3,5)$在这个函数的图象上吗？
15. (10分)已知反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象经过点$A(2,-4)$。
(1)求$k$的值。
(2)函数的图象在哪几个象限？$y$随$x$的增大怎样变化？
(3)点$B(-\frac{1}{2},16)$，$C(-3,5)$在这个函数的图象上吗？
答案
解：
(1) 将点$A(2,-4)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得：
$-4=\frac{k}{2}$
解得$k=-8$。
(2) 由$k=-8＜0$可知：
该函数的图象位于第二、四象限；
在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。
(3) 由(1)得该反比例函数的解析式为$y=-\frac{8}{x}$。
将$x=-\frac{1}{2}$代入解析式，得$y=-\frac{8}{-\frac{1}{2}}=16$，与点$B$的纵坐标相等，因此点$B$在这个函数的图象上。
将$x=-3$代入解析式，得$y=-\frac{8}{-3}=\frac{8}{3}≠5$，因此点$C$不在这个函数的图象上。
(1) 将点$A(2,-4)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得：
$-4=\frac{k}{2}$
解得$k=-8$。
(2) 由$k=-8＜0$可知：
该函数的图象位于第二、四象限；
在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。
(3) 由(1)得该反比例函数的解析式为$y=-\frac{8}{x}$。
将$x=-\frac{1}{2}$代入解析式，得$y=-\frac{8}{-\frac{1}{2}}=16$，与点$B$的纵坐标相等，因此点$B$在这个函数的图象上。
将$x=-3$代入解析式，得$y=-\frac{8}{-3}=\frac{8}{3}≠5$，因此点$C$不在这个函数的图象上。
解析
【分析】
本题围绕反比例函数基础知识点展开，解题思路清晰：(1)求k值时，利用函数图象上的点坐标满足函数解析式的特点，将点A坐标代入表达式即可求解；(2)判断图象象限和增减性时，根据反比例函数性质，由k的正负直接判断即可，注意增减性的前提是“在每个象限内”，不能忽略该限定条件；(3)判断点是否在函数图象上，只需将点的横坐标代入解析式，将计算得到的纵坐标与给定点的纵坐标对比，相等则点在图象上，反之不在。
【解析】
(1) 将点$A(2,-4)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得：
$-4=\frac{k}{2}$
解得$k=-8$。
(2) 由$k=-8＜0$可知：
该函数的图象位于第二、四象限；
在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。
(3) 由(1)得该反比例函数的解析式为$y=-\frac{8}{x}$。
将$x=-\frac{1}{2}$代入解析式，得$y=-\frac{8}{-\frac{1}{2}}=16$，与点$B$的纵坐标相等，因此点$B$在这个函数的图象上。
将$x=-3$代入解析式，得$y=-\frac{8}{-3}=\frac{8}{3}≠5$，因此点$C$不在这个函数的图象上。
【答案】
(1)$k=-8$；(2)图象位于第二、四象限，在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大；(3)点$B$在这个函数的图象上，点$C$不在这个函数的图象上。
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的图象与性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于反比例函数的基础题型，考察的均为该章节核心基础知识点，熟练掌握反比例函数的相关性质即可快速准确解答。
【难度系数】
0.85
本题围绕反比例函数基础知识点展开，解题思路清晰：(1)求k值时，利用函数图象上的点坐标满足函数解析式的特点，将点A坐标代入表达式即可求解；(2)判断图象象限和增减性时，根据反比例函数性质，由k的正负直接判断即可，注意增减性的前提是“在每个象限内”，不能忽略该限定条件；(3)判断点是否在函数图象上，只需将点的横坐标代入解析式，将计算得到的纵坐标与给定点的纵坐标对比，相等则点在图象上，反之不在。
【解析】
(1) 将点$A(2,-4)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得：
$-4=\frac{k}{2}$
解得$k=-8$。
(2) 由$k=-8＜0$可知：
该函数的图象位于第二、四象限；
在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。
(3) 由(1)得该反比例函数的解析式为$y=-\frac{8}{x}$。
将$x=-\frac{1}{2}$代入解析式，得$y=-\frac{8}{-\frac{1}{2}}=16$，与点$B$的纵坐标相等，因此点$B$在这个函数的图象上。
将$x=-3$代入解析式，得$y=-\frac{8}{-3}=\frac{8}{3}≠5$，因此点$C$不在这个函数的图象上。
【答案】
(1)$k=-8$；(2)图象位于第二、四象限，在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大；(3)点$B$在这个函数的图象上，点$C$不在这个函数的图象上。
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的图象与性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于反比例函数的基础题型，考察的均为该章节核心基础知识点，熟练掌握反比例函数的相关性质即可快速准确解答。
【难度系数】
0.85
