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16. (12分)图8所示是某蓄水池的排水量$V(\mathrm{m}^3/\mathrm{h})$与排完水池中的水所用的时间$t(\mathrm{h})$之间的函数关系图象。
(1)求此函数的表达式。
(2)若要6 h排完水池中的水,则每小时的排水量应该是多少?
(3)如果每小时排水量不超过$5000\ \mathrm{m}^3$,那么水池中的水至少要多少小时才能排完?
(1)求此函数的表达式。
(2)若要6 h排完水池中的水,则每小时的排水量应该是多少?
(3)如果每小时排水量不超过$5000\ \mathrm{m}^3$,那么水池中的水至少要多少小时才能排完?
答案
解：
(1) 设该函数的表达式为$V=\frac{k}{t}(k≠0,t＞0)$，
将$t=12$，$V=4000$代入表达式得：
$4000=\frac{k}{12}$，
解得$k=48000$，
因此此函数的表达式为$V=\frac{48000}{t}(t＞0)$。
(2) 把$t=6$代入$V=\frac{48000}{t}$，得：
$V=\frac{48000}{6}=8000$
答：每小时的排水量应该是$8000\ \mathrm{m}^3$。
(3) 由题意可知$V≤5000$，即$\frac{48000}{t}≤5000$，
$\because t＞0$，不等式两边同乘$t$不等号方向不变，
$\therefore 48000≤5000t$，
解得$t≥9.6$
答：水池中的水至少要9.6小时才能排完。
(1) 设该函数的表达式为$V=\frac{k}{t}(k≠0,t＞0)$，
将$t=12$，$V=4000$代入表达式得：
$4000=\frac{k}{12}$，
解得$k=48000$，
因此此函数的表达式为$V=\frac{48000}{t}(t＞0)$。
(2) 把$t=6$代入$V=\frac{48000}{t}$，得：
$V=\frac{48000}{6}=8000$
答：每小时的排水量应该是$8000\ \mathrm{m}^3$。
(3) 由题意可知$V≤5000$，即$\frac{48000}{t}≤5000$，
$\because t＞0$，不等式两边同乘$t$不等号方向不变，
$\therefore 48000≤5000t$，
解得$t≥9.6$
答：水池中的水至少要9.6小时才能排完。
解析
【分析】
(1) 观察图象可知排水量V与排水时间t成反比例关系，蓄水池总水量固定，因此可设函数表达式为$V=\frac{k}{t}(k≠0,t＞0)$，再将图象上已知点$(12,4000)$代入即可求出k值，得到函数表达式；
(2) 第二问已知排水时间为6h，直接将t=6代入第一问求出的函数表达式，即可计算出对应每小时的排水量；
(3) 第三问已知每小时排水量不超过$5000\ \mathrm{m}^3$，即$V≤5000$，将函数表达式代入得到关于t的不等式，结合t＞0的取值范围解不等式，即可得到排水的最短时间。
【解析】
(1) 设该函数的表达式为$V=\frac{k}{t}(k≠0,t＞0)$，
将$t=12$，$V=4000$代入表达式得：
$4000=\frac{k}{12}$，
解得$k=48000$，
因此此函数的表达式为$V=\frac{48000}{t}(t＞0)$。
(2) 把$t=6$代入$V=\frac{48000}{t}$，得：
$V=\frac{48000}{6}=8000$
答：每小时的排水量应该是$8000\ \mathrm{m}^3$。
(3) 由题意可知$V≤5000$，即$\frac{48000}{t}≤5000$，
$\because t＞0$，不等式两边同乘t不等号方向不变，
$\therefore 48000≤5000t$，
解得$t≥9.6$
答：水池中的水至少要9.6小时才能排完。
【答案】
(1) $V=\frac{48000}{t}(t＞0)$
(2) $8000\ \mathrm{m}^3$
(3) 9.6小时
【知识点】
反比例函数的应用，待定系数法求解析式，不等式的应用
【点评】
本题结合蓄水池排水的实际场景考查反比例函数的相关知识，既需要掌握用待定系数法求反比例函数解析式的方法，也需要能结合实际条件列不等式求解最值问题，题目难度适中，侧重对基础知识的灵活运用。
【难度系数】
0.75
(1) 观察图象可知排水量V与排水时间t成反比例关系，蓄水池总水量固定，因此可设函数表达式为$V=\frac{k}{t}(k≠0,t＞0)$，再将图象上已知点$(12,4000)$代入即可求出k值，得到函数表达式；
(2) 第二问已知排水时间为6h，直接将t=6代入第一问求出的函数表达式，即可计算出对应每小时的排水量；
(3) 第三问已知每小时排水量不超过$5000\ \mathrm{m}^3$，即$V≤5000$，将函数表达式代入得到关于t的不等式，结合t＞0的取值范围解不等式，即可得到排水的最短时间。
【解析】
(1) 设该函数的表达式为$V=\frac{k}{t}(k≠0,t＞0)$，
将$t=12$，$V=4000$代入表达式得：
$4000=\frac{k}{12}$，
解得$k=48000$，
因此此函数的表达式为$V=\frac{48000}{t}(t＞0)$。
(2) 把$t=6$代入$V=\frac{48000}{t}$，得：
$V=\frac{48000}{6}=8000$
答：每小时的排水量应该是$8000\ \mathrm{m}^3$。
(3) 由题意可知$V≤5000$，即$\frac{48000}{t}≤5000$，
$\because t＞0$，不等式两边同乘t不等号方向不变，
$\therefore 48000≤5000t$，
解得$t≥9.6$
答：水池中的水至少要9.6小时才能排完。
【答案】
(1) $V=\frac{48000}{t}(t＞0)$
(2) $8000\ \mathrm{m}^3$
(3) 9.6小时
【知识点】
反比例函数的应用，待定系数法求解析式，不等式的应用
【点评】
本题结合蓄水池排水的实际场景考查反比例函数的相关知识，既需要掌握用待定系数法求反比例函数解析式的方法，也需要能结合实际条件列不等式求解最值问题，题目难度适中，侧重对基础知识的灵活运用。
【难度系数】
0.75
17. (12分)(2025·东营改编)如图9,在平面直角坐标系中,一次函数$y_1 = kx + b$的图象与反比例函数$y_2 = \frac{m}{x}$的图象相交于点A和$B(-4,-3)$,点A的横坐标为2。
(1)求反比例函数和一次函数的表达式;
(2)观察图象,直接写出当$y_1 ≤ y_2$时$x$的取值范围;
(3)点C为$x$轴上一动点,连接AC,BC,若$△ ABC$的面积为18,求点C的坐标。
(1)求反比例函数和一次函数的表达式;
(2)观察图象,直接写出当$y_1 ≤ y_2$时$x$的取值范围;
(3)点C为$x$轴上一动点,连接AC,BC,若$△ ABC$的面积为18,求点C的坐标。
答案
解：
(1) 将点$B(-4,-3)$代入反比例函数$y_2=\frac{m}{x}$，得
$-3=\frac{m}{-4}$，解得$m=12$，
因此反比例函数的表达式为$\boldsymbol{y_2=\frac{12}{x}}$。
将$x=2$代入$y_2=\frac{12}{x}$，得$y=\frac{12}{2}=6$，即点$A$的坐标为$(2,6)$。
将$A(2,6)$、$B(-4,-3)$代入一次函数$y_1=kx+b$，得
$\begin{cases}2k + b = 6 \\-4k + b = -3 \end{cases}$
解得$\begin{cases}k=\frac{3}{2} \\b=3 \end{cases}$，
因此一次函数的表达式为$\boldsymbol{y_1=\frac{3}{2}x + 3}$。
(2) 当$y_1 ≤ y_2$时，$x$的取值范围是$\boldsymbol{x ≤ -4}$或$\boldsymbol{0 ＜ x ≤ 2}$。
(3) 设一次函数$y_1=\frac{3}{2}x+3$与$x$轴交于点$D$，令$y_1=0$，则$\frac{3}{2}x+3=0$，解得$x=-2$，即$D(-2,0)$。
设点$C$的坐标为$(t,0)$，则$CD=|t - (-2)|=|t+2|$。
$\begin{aligned}S_{△ ABC}&=S_{△ ACD}+S_{△ BCD}\\&=\frac{1}{2} · CD · |y_A| + \frac{1}{2} · CD · |y_B|\\&=\frac{1}{2} · |t+2| · 6 + \frac{1}{2} · |t+2| · 3\\&=\frac{9}{2}|t+2|\end{aligned}$
由$S_{△ ABC}=18$，得$\frac{9}{2}|t+2|=18$，即$|t+2|=4$，
解得$t=2$或$t=-6$。
因此点$C$的坐标为$\boldsymbol{(2,0)}$或$\boldsymbol{(-6,0)}$。
(1) 将点$B(-4,-3)$代入反比例函数$y_2=\frac{m}{x}$，得
$-3=\frac{m}{-4}$，解得$m=12$，
因此反比例函数的表达式为$\boldsymbol{y_2=\frac{12}{x}}$。
将$x=2$代入$y_2=\frac{12}{x}$，得$y=\frac{12}{2}=6$，即点$A$的坐标为$(2,6)$。
将$A(2,6)$、$B(-4,-3)$代入一次函数$y_1=kx+b$，得
$\begin{cases}2k + b = 6 \\-4k + b = -3 \end{cases}$
解得$\begin{cases}k=\frac{3}{2} \\b=3 \end{cases}$，
因此一次函数的表达式为$\boldsymbol{y_1=\frac{3}{2}x + 3}$。
(2) 当$y_1 ≤ y_2$时，$x$的取值范围是$\boldsymbol{x ≤ -4}$或$\boldsymbol{0 ＜ x ≤ 2}$。
(3) 设一次函数$y_1=\frac{3}{2}x+3$与$x$轴交于点$D$，令$y_1=0$，则$\frac{3}{2}x+3=0$，解得$x=-2$，即$D(-2,0)$。
设点$C$的坐标为$(t,0)$，则$CD=|t - (-2)|=|t+2|$。
$\begin{aligned}S_{△ ABC}&=S_{△ ACD}+S_{△ BCD}\\&=\frac{1}{2} · CD · |y_A| + \frac{1}{2} · CD · |y_B|\\&=\frac{1}{2} · |t+2| · 6 + \frac{1}{2} · |t+2| · 3\\&=\frac{9}{2}|t+2|\end{aligned}$
由$S_{△ ABC}=18$，得$\frac{9}{2}|t+2|=18$，即$|t+2|=4$，
解得$t=2$或$t=-6$。
因此点$C$的坐标为$\boldsymbol{(2,0)}$或$\boldsymbol{(-6,0)}$。
解析
【分析】
(1) 求函数表达式采用待定系数法：先将已知点B坐标代入反比例函数解析式求出m，得到反比例函数表达式；再将A点横坐标代入反比例函数求出A点坐标，最后将A、B两点坐标代入一次函数，联立方程组求解k和b即可得到一次函数表达式。
(2) 找$y_1 ≤ y_2$时x的取值范围，即找一次函数图象位于反比例函数图象下方（含交点）对应的x范围，结合图象两个分支（x＜0和x＞0）以交点横坐标为分界点分析即可，注意反比例函数x≠0的限制。
(3) 计算x轴上动点C与A、B构成的三角形面积，先找到一次函数与x轴的交点D，将△ABC拆分为共底CD的△ACD和△BCD，高分别为A、B纵坐标的绝对值，据此列面积方程求解即可，注意绝对值方程有两个解，不要漏解。
【解析】
(1) 将点$B(-4,-3)$代入反比例函数$y_2=\frac{m}{x}$，得
$-3=\frac{m}{-4}$，解得$m=12$，
因此反比例函数的表达式为$y_2=\frac{12}{x}$。
将$x=2$代入$y_2=\frac{12}{x}$，得$y=\frac{12}{2}=6$，即点$A$的坐标为$(2,6)$。
将$A(2,6)$、$B(-4,-3)$代入一次函数$y_1=kx+b$，得
$\begin{cases}2k + b = 6 \\-4k + b = -3 \end{cases}$
解得$\begin{cases}k=\frac{3}{2} \\b=3 \end{cases}$，
因此一次函数的表达式为$y_1=\frac{3}{2}x + 3$。
(2) 观察图象，一次函数图象在反比例函数图象下方（含交点）的区域对应的x范围为：$x ≤ -4$或$0 ＜ x ≤ 2$。
(3) 设一次函数$y_1=\frac{3}{2}x+3$与x轴交于点$D$，令$y_1=0$，则$\frac{3}{2}x+3=0$，解得$x=-2$，即$D(-2,0)$。
设点$C$的坐标为$(t,0)$，则$CD=|t - (-2)|=|t+2|$。
$\begin{aligned}S_{△ ABC}&=S_{△ ACD}+S_{△ BCD}\\&=\frac{1}{2} · CD · |y_A| + \frac{1}{2} · CD · |y_B|\\&=\frac{1}{2} · |t+2| · 6 + \frac{1}{2} · |t+2| · 3\\&=\frac{9}{2}|t+2|\end{aligned}$
由$S_{△ ABC}=18$，得$\frac{9}{2}|t+2|=18$，即$|t+2|=4$，
解得$t=2$或$t=-6$。
因此点$C$的坐标为$(2,0)$或$(-6,0)$。
【答案】
(1) 反比例函数：$\boldsymbol{y_2=\frac{12}{x}}$，一次函数：$\boldsymbol{y_1=\frac{3}{2}x + 3}$；
(2) $\boldsymbol{x ≤ -4}$或$\boldsymbol{0 ＜ x ≤ 2}$；
(3) $\boldsymbol{(2,0)}$或$\boldsymbol{(-6,0)}$
【知识点】
待定系数法求解析式，函数图象解不等式，坐标系面积计算
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合常规题，考查了函数部分的核心考点，解题时要熟练运用待定系数法，结合数形结合思想可快速得到不等式解集，采用分割法计算坐标系中三角形面积能简化运算，处理绝对值方程时注意避免漏解。
【难度系数】
0.6
(1) 求函数表达式采用待定系数法：先将已知点B坐标代入反比例函数解析式求出m，得到反比例函数表达式；再将A点横坐标代入反比例函数求出A点坐标，最后将A、B两点坐标代入一次函数，联立方程组求解k和b即可得到一次函数表达式。
(2) 找$y_1 ≤ y_2$时x的取值范围，即找一次函数图象位于反比例函数图象下方（含交点）对应的x范围，结合图象两个分支（x＜0和x＞0）以交点横坐标为分界点分析即可，注意反比例函数x≠0的限制。
(3) 计算x轴上动点C与A、B构成的三角形面积，先找到一次函数与x轴的交点D，将△ABC拆分为共底CD的△ACD和△BCD，高分别为A、B纵坐标的绝对值，据此列面积方程求解即可，注意绝对值方程有两个解，不要漏解。
【解析】
(1) 将点$B(-4,-3)$代入反比例函数$y_2=\frac{m}{x}$，得
$-3=\frac{m}{-4}$，解得$m=12$，
因此反比例函数的表达式为$y_2=\frac{12}{x}$。
将$x=2$代入$y_2=\frac{12}{x}$，得$y=\frac{12}{2}=6$，即点$A$的坐标为$(2,6)$。
将$A(2,6)$、$B(-4,-3)$代入一次函数$y_1=kx+b$，得
$\begin{cases}2k + b = 6 \\-4k + b = -3 \end{cases}$
解得$\begin{cases}k=\frac{3}{2} \\b=3 \end{cases}$，
因此一次函数的表达式为$y_1=\frac{3}{2}x + 3$。
(2) 观察图象，一次函数图象在反比例函数图象下方（含交点）的区域对应的x范围为：$x ≤ -4$或$0 ＜ x ≤ 2$。
(3) 设一次函数$y_1=\frac{3}{2}x+3$与x轴交于点$D$，令$y_1=0$，则$\frac{3}{2}x+3=0$，解得$x=-2$，即$D(-2,0)$。
设点$C$的坐标为$(t,0)$，则$CD=|t - (-2)|=|t+2|$。
$\begin{aligned}S_{△ ABC}&=S_{△ ACD}+S_{△ BCD}\\&=\frac{1}{2} · CD · |y_A| + \frac{1}{2} · CD · |y_B|\\&=\frac{1}{2} · |t+2| · 6 + \frac{1}{2} · |t+2| · 3\\&=\frac{9}{2}|t+2|\end{aligned}$
由$S_{△ ABC}=18$，得$\frac{9}{2}|t+2|=18$，即$|t+2|=4$，
解得$t=2$或$t=-6$。
因此点$C$的坐标为$(2,0)$或$(-6,0)$。
【答案】
(1) 反比例函数：$\boldsymbol{y_2=\frac{12}{x}}$，一次函数：$\boldsymbol{y_1=\frac{3}{2}x + 3}$；
(2) $\boldsymbol{x ≤ -4}$或$\boldsymbol{0 ＜ x ≤ 2}$；
(3) $\boldsymbol{(2,0)}$或$\boldsymbol{(-6,0)}$
【知识点】
待定系数法求解析式，函数图象解不等式，坐标系面积计算
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合常规题，考查了函数部分的核心考点，解题时要熟练运用待定系数法，结合数形结合思想可快速得到不等式解集，采用分割法计算坐标系中三角形面积能简化运算，处理绝对值方程时注意避免漏解。
【难度系数】
0.6
