18. (12分)如图10,一次函数$y=x+5$的图象与反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$(k为常数,且$k≠0$)的图象相交于$A(-1,m)$,$B$两点。
(1)求反比例函数的表达式；
(2)将一次函数$y=x+5$的图象沿$y$轴向下平移$b(b＞0)$个单位长度,使平移后的图象与反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象有且只有一个交点,求$b$的值。

解：
(1) ∵点$A(-1, m)$在一次函数$y=x+5$的图象上，
将$x=-1$代入$y=x+5$，得$m=-1+5=4$，
∴点$A$的坐标为$(-1,4)$。
将$A(-1,4)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得
$4=\frac{k}{-1}$，解得$k=-4$，
∴反比例函数的表达式为$y=-\frac{4}{x}$。
(2) 一次函数$y=x+5$的图象沿$y$轴向下平移$b(b＞0)$个单位长度后，
所得图象对应的函数表达式为$y=x+5-b$。
联立两个函数的方程：
$\begin{cases}y = x + 5 - b \\ y = -\frac{4}{x}\end{cases}$
消去$y$并整理，得$x^2 + (5-b)x + 4 = 0$。
∵平移后的图象与反比例函数图象有且只有一个交点，
∴该一元二次方程的判别式$\Delta=0$，
即$\Delta=(5-b)^2 - 4×1×4=0$，
整理得$(5-b)^2=16$，
解得$b_1=1$，$b_2=9$，均满足$b＞0$的条件。
∴$b$的值为1或9。

【分析】
(1) 要求反比例函数的表达式，需先确定其经过的点A的坐标：已知点A在一次函数图象上，将A的横坐标代入一次函数解析式即可求出纵坐标m，得到A点坐标后，代入反比例函数解析式即可求出k值，进而得到反比例函数表达式。
(2) 先根据函数图象“上加下减”的平移规律，写出一次函数向下平移b个单位后的解析式；平移后的图象与反比例函数只有一个交点，说明两个函数解析式联立后得到的一元二次方程有且只有一个实数根，即判别式Δ=0，据此列方程求解即可得到b的值，注意结合b＞0的条件验证解的合理性。
【解析】
(1)
∵点$A(-1, m)$在一次函数$y=x+5$的图象上，
将$x=-1$代入$y=x+5$，得$m=-1+5=4$，
∴点$A$的坐标为$(-1,4)$。
将$A(-1,4)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得
$4=\frac{k}{-1}$，解得$k=-4$，
∴反比例函数的表达式为$y=-\frac{4}{x}$。
(2) 一次函数$y=x+5$的图象沿$y$轴向下平移$b(b＞0)$个单位长度后，
所得图象对应的函数表达式为$y=x+5-b$。
联立两个函数的方程：
$\begin{cases}y = x + 5 - b \\ y = -\frac{4}{x}\end{cases}$
消去$y$并整理，得$x^2 + (5-b)x + 4 = 0$。
∵平移后的图象与反比例函数图象有且只有一个交点，
∴该一元二次方程的判别式$\Delta=0$，
即$\Delta=(5-b)^2 - 4×1×4=0$，
整理得$(5-b)^2=16$，
解得$b_1=1$，$b_2=9$，均满足$b＞0$的条件。
∴$b$的值为1或9。
【答案】
(1) $y=-\dfrac{4}{x}$；(2) $1$或$9$
【知识点】
反比例函数解析式的确定，函数图象的平移，一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合基础题，既考查了函数图象上点的坐标特征、平移规律，也结合了一元二次方程根的判别式求解交点个数问题，解题的关键是掌握函数交点与联立方程解的对应关系。
【难度系数】
0.7