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19. (12分)已知反比例函数$y=\frac{k}{x}$和一次函数$y=x-1$，其中一次函数的图象过$(3a,b)$，$(3a+1,b+\frac{k}{3})$两点。
(1)求反比例函数的表达式。
(2)如图11，函数$y=\frac{1}{3}x$，$y=3x$的图象分别与函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象交于A，B两点，在y轴上是否存在点P，使得$△ ABP$的周长最小？若存在，求出周长的最小值；若不存在，请说明理由。
(1)求反比例函数的表达式。
(2)如图11，函数$y=\frac{1}{3}x$，$y=3x$的图象分别与函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象交于A，B两点，在y轴上是否存在点P，使得$△ ABP$的周长最小？若存在，求出周长的最小值；若不存在，请说明理由。
答案
解：
(1) ∵一次函数$y=x-1$的图象过点$(3a,b)$和$(3a+1,b+\frac{k}{3})$
将两点代入$y=x-1$得：
$\begin{cases} b = 3a - 1 \\ b + \frac{k}{3} = (3a + 1) - 1 \end{cases}$
化简第二个方程得：$b + \frac{k}{3} = 3a$
将$b=3a-1$代入上式：
$3a - 1 + \frac{k}{3} = 3a$
解得$k=3$
∴反比例函数的表达式为$\boldsymbol{y=\frac{3}{x}}$。
(2) 存在满足条件的点P。
联立$y=\frac{1}{3}x$和$y=\frac{3}{x}(x＞0)$：
$\frac{1}{3}x = \frac{3}{x}$
整理得$x^2=9$，
∵$x＞0$，∴$x=3$，$y=1$，得$A(3,1)$。
联立$y=3x$和$y=\frac{3}{x}(x＞0)$：
$3x = \frac{3}{x}$
整理得$x^2=1$，
∵$x＞0$，∴$x=1$，$y=3$，得$B(1,3)$。
由两点间距离公式得：
$AB = \sqrt{(3-1)^2 + (1-3)^2} = 2\sqrt{2}$
∵$△ ABP$的周长为$AB + PA + PB$，$AB$为定值，
∴要使$△ ABP$周长最小，只需$PA+PB$最小。
作点A关于y轴的对称点$A'$，则$A'(-3,1)$，且$PA=PA'$，
∴$PA + PB = PA' + PB \ge A'B$，当$A'$、$P$、$B$三点共线时取等号。
计算$A'B$的长度：
$A'B = \sqrt{(1+3)^2 + (3-1)^2} = \sqrt{16+4} = 2\sqrt{5}$
∴$PA+PB$的最小值为$2\sqrt{5}$，
∴$△ ABP$周长的最小值为$2\sqrt{2} + 2\sqrt{5}$。
答：存在y轴上的点P使得$△ ABP$周长最小，周长的最小值为$2\sqrt{2}+2\sqrt{5}$。
(1) ∵一次函数$y=x-1$的图象过点$(3a,b)$和$(3a+1,b+\frac{k}{3})$
将两点代入$y=x-1$得：
$\begin{cases} b = 3a - 1 \\ b + \frac{k}{3} = (3a + 1) - 1 \end{cases}$
化简第二个方程得：$b + \frac{k}{3} = 3a$
将$b=3a-1$代入上式：
$3a - 1 + \frac{k}{3} = 3a$
解得$k=3$
∴反比例函数的表达式为$\boldsymbol{y=\frac{3}{x}}$。
(2) 存在满足条件的点P。
联立$y=\frac{1}{3}x$和$y=\frac{3}{x}(x＞0)$：
$\frac{1}{3}x = \frac{3}{x}$
整理得$x^2=9$，
∵$x＞0$，∴$x=3$，$y=1$，得$A(3,1)$。
联立$y=3x$和$y=\frac{3}{x}(x＞0)$：
$3x = \frac{3}{x}$
整理得$x^2=1$，
∵$x＞0$，∴$x=1$，$y=3$，得$B(1,3)$。
由两点间距离公式得：
$AB = \sqrt{(3-1)^2 + (1-3)^2} = 2\sqrt{2}$
∵$△ ABP$的周长为$AB + PA + PB$，$AB$为定值，
∴要使$△ ABP$周长最小，只需$PA+PB$最小。
作点A关于y轴的对称点$A'$，则$A'(-3,1)$，且$PA=PA'$，
∴$PA + PB = PA' + PB \ge A'B$，当$A'$、$P$、$B$三点共线时取等号。
计算$A'B$的长度：
$A'B = \sqrt{(1+3)^2 + (3-1)^2} = \sqrt{16+4} = 2\sqrt{5}$
∴$PA+PB$的最小值为$2\sqrt{5}$，
∴$△ ABP$周长的最小值为$2\sqrt{2} + 2\sqrt{5}$。
答：存在y轴上的点P使得$△ ABP$周长最小，周长的最小值为$2\sqrt{2}+2\sqrt{5}$。
解析
【分析】
(1) 第一问解题思路：函数图象上的点满足对应函数的解析式，将已知的两个点代入一次函数解析式，得到关于a、b、k的方程组，消去a、b两个未知量即可求出k的值，进而得到反比例函数表达式。
(2) 第二问解题思路：首先联立正比例函数和反比例函数的解析式，解方程组得到A、B两点的坐标。△ABP的周长为$AB+PA+PB$，其中AB为定值，因此只需让$PA+PB$最小即可让周长最小，该类问题为“将军饮马”最短路径问题：作点A关于y轴的对称点$A'$，根据轴对称性质可知$PA=PA'$，因此$PA+PB=PA'+PB$，根据两点之间线段最短，当$A'$、P、B三点共线时$PA'+PB$取最小值，最小值为$A'B$的长度，最后加上AB的长度即可得到周长的最小值。
【解析】
(1) 将点$(3a,b)$、$(3a+1,b+\frac{k}{3})$代入一次函数$y=x-1$，可得：
$\begin{cases} b = 3a - 1&① \\ b + \frac{k}{3} = (3a + 1) - 1&② \end{cases}$
化简②式得$b + \frac{k}{3} = 3a$，将①式代入上式：
$3a - 1 + \frac{k}{3} = 3a$
消去3a后解得$k=3$，因此反比例函数的表达式为$y=\frac{3}{x}$。
(2) 存在满足条件的点P，求解过程如下：
① 求A、B两点坐标：
联立$y=\frac{1}{3}x$和$y=\frac{3}{x}(x＞0)$，得$\frac{1}{3}x=\frac{3}{x}$，整理得$x^2=9$，
$\because x＞0$，$\therefore x=3$，代入得$y=1$，即$A(3,1)$。
联立$y=3x$和$y=\frac{3}{x}(x＞0)$，得$3x=\frac{3}{x}$，整理得$x^2=1$，
$\because x＞0$，$\therefore x=1$，代入得$y=3$，即$B(1,3)$。
② 计算AB的长度：
由两点间距离公式得：
$AB=\sqrt{(3-1)^2+(1-3)^2}=\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}$
③ 求$PA+PB$的最小值：
△ABP的周长为$AB+PA+PB$，AB为定值，因此要使周长最小，只需$PA+PB$最小。
作点A关于y轴的对称点$A'$，则$A'(-3,1)$，由轴对称性质得$PA=PA'$，因此$PA+PB=PA'+PB$。
根据两点之间线段最短，当$A'$、P、B三点共线时，$PA'+PB$取得最小值，最小值为$A'B$的长度：
$A'B=\sqrt{(1+3)^2+(3-1)^2}=\sqrt{16+4}=2\sqrt{5}$
④ 计算周长最小值：
△ABP周长的最小值为$AB + A'B = 2\sqrt{2} + 2\sqrt{5}$。
【答案】
(1) 反比例函数的表达式为$\boldsymbol{y=\frac{3}{x}}$；
(2) 存在，△ABP周长的最小值为$\boldsymbol{2\sqrt{2}+2\sqrt{5}}$。
【知识点】
待定系数法求解析式，函数交点求解，轴对称最短路径
【点评】
本题综合考查一次函数、反比例函数的性质和最短路径模型的应用，第一问为基础题型，考查代入消元的计算能力；第二问需要将周长最小问题转化为线段和最小问题，结合轴对称性质和两点间距离公式求解，兼顾考查代数运算能力和几何转化思维。
【难度系数】
0.6
(1) 第一问解题思路：函数图象上的点满足对应函数的解析式，将已知的两个点代入一次函数解析式，得到关于a、b、k的方程组，消去a、b两个未知量即可求出k的值，进而得到反比例函数表达式。
(2) 第二问解题思路：首先联立正比例函数和反比例函数的解析式，解方程组得到A、B两点的坐标。△ABP的周长为$AB+PA+PB$，其中AB为定值，因此只需让$PA+PB$最小即可让周长最小，该类问题为“将军饮马”最短路径问题：作点A关于y轴的对称点$A'$，根据轴对称性质可知$PA=PA'$，因此$PA+PB=PA'+PB$，根据两点之间线段最短，当$A'$、P、B三点共线时$PA'+PB$取最小值，最小值为$A'B$的长度，最后加上AB的长度即可得到周长的最小值。
【解析】
(1) 将点$(3a,b)$、$(3a+1,b+\frac{k}{3})$代入一次函数$y=x-1$，可得：
$\begin{cases} b = 3a - 1&① \\ b + \frac{k}{3} = (3a + 1) - 1&② \end{cases}$
化简②式得$b + \frac{k}{3} = 3a$，将①式代入上式：
$3a - 1 + \frac{k}{3} = 3a$
消去3a后解得$k=3$，因此反比例函数的表达式为$y=\frac{3}{x}$。
(2) 存在满足条件的点P，求解过程如下：
① 求A、B两点坐标：
联立$y=\frac{1}{3}x$和$y=\frac{3}{x}(x＞0)$，得$\frac{1}{3}x=\frac{3}{x}$，整理得$x^2=9$，
$\because x＞0$，$\therefore x=3$，代入得$y=1$，即$A(3,1)$。
联立$y=3x$和$y=\frac{3}{x}(x＞0)$，得$3x=\frac{3}{x}$，整理得$x^2=1$，
$\because x＞0$，$\therefore x=1$，代入得$y=3$，即$B(1,3)$。
② 计算AB的长度：
由两点间距离公式得：
$AB=\sqrt{(3-1)^2+(1-3)^2}=\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}$
③ 求$PA+PB$的最小值：
△ABP的周长为$AB+PA+PB$，AB为定值，因此要使周长最小，只需$PA+PB$最小。
作点A关于y轴的对称点$A'$，则$A'(-3,1)$，由轴对称性质得$PA=PA'$，因此$PA+PB=PA'+PB$。
根据两点之间线段最短，当$A'$、P、B三点共线时，$PA'+PB$取得最小值，最小值为$A'B$的长度：
$A'B=\sqrt{(1+3)^2+(3-1)^2}=\sqrt{16+4}=2\sqrt{5}$
④ 计算周长最小值：
△ABP周长的最小值为$AB + A'B = 2\sqrt{2} + 2\sqrt{5}$。
【答案】
(1) 反比例函数的表达式为$\boldsymbol{y=\frac{3}{x}}$；
(2) 存在，△ABP周长的最小值为$\boldsymbol{2\sqrt{2}+2\sqrt{5}}$。
【知识点】
待定系数法求解析式，函数交点求解，轴对称最短路径
【点评】
本题综合考查一次函数、反比例函数的性质和最短路径模型的应用，第一问为基础题型，考查代入消元的计算能力；第二问需要将周长最小问题转化为线段和最小问题，结合轴对称性质和两点间距离公式求解，兼顾考查代数运算能力和几何转化思维。
【难度系数】
0.6
