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知识点五:画几何体的三视图
1. 图17是由一些完全相同的小正方体组合成的简单几何体。
(1)该几何体的主视图如图18所示,请在图18所示方格纸中分别画出它的左视图和俯视图；
从正面看
主视图 左视图 俯视图
(2)如果在这个几何体上再添加一些小正方体,并保持俯视图和左视图不变,那么最多可以再添加个小正方体。
1. 图17是由一些完全相同的小正方体组合成的简单几何体。
(1)该几何体的主视图如图18所示,请在图18所示方格纸中分别画出它的左视图和俯视图；
从正面看
主视图 左视图 俯视图
(2)如果在这个几何体上再添加一些小正方体,并保持俯视图和左视图不变,那么最多可以再添加个小正方体。
答案
解：
(1) 左视图共3列，从左到右每列的小正方形数量依次为1、3、1；
俯视图共3行，从上到下每行的小正方形数量依次为1、4、1，按上述规则在对应方格纸中填充实线小正方形即可。
(2) 5
(1) 左视图共3列，从左到右每列的小正方形数量依次为1、3、1；
俯视图共3行，从上到下每行的小正方形数量依次为1、4、1，按上述规则在对应方格纸中填充实线小正方形即可。
(2) 5
解析
【分析】
（1）作图类问题首先明确观察方向：左视图是从几何体左侧观察得到的图形，需统计从左到右每一列的最高层数；俯视图是从几何体上方观察得到的图形，需统计底层小正方形的行列分布。结合原几何体结构可直接得到左视图、俯视图的小正方形排布规则，按规则作图即可。
（2）最值计算类问题先明确限制条件：保持俯视图不变，说明只能在原有底层有小正方体的位置上方添加，不能新增底层位置；保持左视图不变，说明几何体前后方向每一行的最大高度不能超过左视图对应列的高度。结合两个限制条件，仅中间行的位置可添加小正方体，计算该行列可添加的数量总和即可得到结果。
【解析】
(1) ①左视图绘制：从几何体左侧观察，共3列，从左到右每列的小正方形个数依次为1、3、1，按照该数量在方格纸对应位置画出实线小正方形即可；
②俯视图绘制：从几何体上方观察，共3行，从上到下每行的小正方形个数依次为1、4、1，按照该分布在方格纸对应位置画出实线小正方形即可。
(2) 根据限制条件分析：
①俯视图不变，仅能在原有底层有小正方体的位置上方添加；
②左视图不变，几何体前后三行的最大高度依次为1、3、1，前后第一行、第三行的位置高度已达最大值1，无法添加；
仅中间行的位置最高可叠加到3层，计算该行列可添加的数量总和为：(3-1)+(3-3)+(3-2)+(3-1)=5，即最多可添加5个小正方体。
【答案】
(1) 左视图3列从左到右小正方形数量依次为1、3、1，俯视图3行从上到下小正方形数量依次为1、4、1，按规则画图即可；
(2) 5
【知识点】
简单组合体的三视图，三视图的画法，三视图的应用
【点评】
本题是三视图模块的典型题型，既考查基础的三视图作图能力，也考查结合限制条件的最值计算，核心是要掌握三视图的观察规则和各视图之间的对应关系，理清高度、位置的限制条件即可顺利解题。
【难度系数】
0.6
（1）作图类问题首先明确观察方向：左视图是从几何体左侧观察得到的图形，需统计从左到右每一列的最高层数；俯视图是从几何体上方观察得到的图形，需统计底层小正方形的行列分布。结合原几何体结构可直接得到左视图、俯视图的小正方形排布规则，按规则作图即可。
（2）最值计算类问题先明确限制条件：保持俯视图不变，说明只能在原有底层有小正方体的位置上方添加，不能新增底层位置；保持左视图不变，说明几何体前后方向每一行的最大高度不能超过左视图对应列的高度。结合两个限制条件，仅中间行的位置可添加小正方体，计算该行列可添加的数量总和即可得到结果。
【解析】
(1) ①左视图绘制：从几何体左侧观察，共3列，从左到右每列的小正方形个数依次为1、3、1，按照该数量在方格纸对应位置画出实线小正方形即可；
②俯视图绘制：从几何体上方观察，共3行，从上到下每行的小正方形个数依次为1、4、1，按照该分布在方格纸对应位置画出实线小正方形即可。
(2) 根据限制条件分析：
①俯视图不变，仅能在原有底层有小正方体的位置上方添加；
②左视图不变，几何体前后三行的最大高度依次为1、3、1，前后第一行、第三行的位置高度已达最大值1，无法添加；
仅中间行的位置最高可叠加到3层，计算该行列可添加的数量总和为：(3-1)+(3-3)+(3-2)+(3-1)=5，即最多可添加5个小正方体。
【答案】
(1) 左视图3列从左到右小正方形数量依次为1、3、1，俯视图3行从上到下小正方形数量依次为1、4、1，按规则画图即可；
(2) 5
【知识点】
简单组合体的三视图，三视图的画法，三视图的应用
【点评】
本题是三视图模块的典型题型，既考查基础的三视图作图能力，也考查结合限制条件的最值计算，核心是要掌握三视图的观察规则和各视图之间的对应关系，理清高度、位置的限制条件即可顺利解题。
【难度系数】
0.6
2. 已知某几何体的三视图如图19所示，其中俯视图为正六边形，则该几何体的表面积为。
答案
$\boldsymbol{48+12\sqrt{3}}$
解析
【分析】
首先观察三视图，主视图和左视图均为矩形，俯视图为正六边形，可判断该几何体是正六棱柱，其表面积等于侧面积加上两个底面正六边形的面积。解题思路如下：1. 从主视图获取正六棱柱的高为4；2. 根据主视图水平宽度4对应正六边形的最长对角线长度，结合正六边形性质（最长对角线长度为边长的2倍），求出底面正六边形的边长为2；3. 分别计算侧面积和两个底面的面积，相加得到总表面积。
【解析】
解：由三视图可知，该几何体为正六棱柱，棱柱的高$h=4$。
1. 求底面正六边形的边长：
主视图的水平长度为4，对应底面正六边形的最长对角线长度，正六边形的最长对角线长度是其边长的2倍，设正六边形边长为$a$，则$2a=4$，解得$a=2$。
2. 计算侧面积：
正六棱柱有6个全等的矩形侧面，每个侧面的面积为$a× h=2×4=8$，因此侧面积$S_{\mathrm{侧}}=6×8=48$。
3. 计算底面积：
底面正六边形可分割为6个边长为2的全等正三角形，每个正三角形的面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}×2^2=\sqrt{3}$，因此单个底面的面积为$6×\sqrt{3}=6\sqrt{3}$，两个底面的总面积为$2×6\sqrt{3}=12\sqrt{3}$。
4. 计算总表面积：
$S_{\mathrm{表}}=S_{\mathrm{侧}}+2S_{\mathrm{底}}=48+12\sqrt{3}$。
【答案】
$\boldsymbol{48+12\sqrt{3}}$
【知识点】
三视图识别，正六棱柱表面积计算，正六边形面积计算
【点评】
本题主要考查由三视图还原几何体并计算表面积，解题的核心是准确判断几何体类型，结合三视图的尺寸对应关系求出底面正六边形的边长，计算时注意不要遗漏两个底面的面积。
【难度系数】
0.7
首先观察三视图，主视图和左视图均为矩形，俯视图为正六边形，可判断该几何体是正六棱柱，其表面积等于侧面积加上两个底面正六边形的面积。解题思路如下：1. 从主视图获取正六棱柱的高为4；2. 根据主视图水平宽度4对应正六边形的最长对角线长度，结合正六边形性质（最长对角线长度为边长的2倍），求出底面正六边形的边长为2；3. 分别计算侧面积和两个底面的面积，相加得到总表面积。
【解析】
解：由三视图可知，该几何体为正六棱柱，棱柱的高$h=4$。
1. 求底面正六边形的边长：
主视图的水平长度为4，对应底面正六边形的最长对角线长度，正六边形的最长对角线长度是其边长的2倍，设正六边形边长为$a$，则$2a=4$，解得$a=2$。
2. 计算侧面积：
正六棱柱有6个全等的矩形侧面，每个侧面的面积为$a× h=2×4=8$，因此侧面积$S_{\mathrm{侧}}=6×8=48$。
3. 计算底面积：
底面正六边形可分割为6个边长为2的全等正三角形，每个正三角形的面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}×2^2=\sqrt{3}$，因此单个底面的面积为$6×\sqrt{3}=6\sqrt{3}$，两个底面的总面积为$2×6\sqrt{3}=12\sqrt{3}$。
4. 计算总表面积：
$S_{\mathrm{表}}=S_{\mathrm{侧}}+2S_{\mathrm{底}}=48+12\sqrt{3}$。
【答案】
$\boldsymbol{48+12\sqrt{3}}$
【知识点】
三视图识别，正六棱柱表面积计算，正六边形面积计算
【点评】
本题主要考查由三视图还原几何体并计算表面积，解题的核心是准确判断几何体类型，结合三视图的尺寸对应关系求出底面正六边形的边长，计算时注意不要遗漏两个底面的面积。
【难度系数】
0.7
