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3. 请画出图20中的几何体的主视图、左视图和俯视图。
答案
解：
按照三视图“长对正、高平齐、宽相等”的绘制规则，三个视图的绘制要求如下：
1. 主视图：外轮廓为矩形，矩形上边缘的中间位置有一个向下的等腰三角形缺口，所有可见轮廓线均用实线绘制。
2. 左视图：外轮廓为矩形，矩形内部靠近上边缘处有一条水平实线，该实线为凹槽底部棱的投影，无遮挡的虚线。
3. 俯视图：外轮廓为矩形，矩形内部用实线绘制出一个菱形，菱形右侧延伸出一个小三角形的实线轮廓，所有可见棱的投影均为实线。
按照三视图“长对正、高平齐、宽相等”的绘制规则，三个视图的绘制要求如下：
1. 主视图：外轮廓为矩形，矩形上边缘的中间位置有一个向下的等腰三角形缺口，所有可见轮廓线均用实线绘制。
2. 左视图：外轮廓为矩形，矩形内部靠近上边缘处有一条水平实线，该实线为凹槽底部棱的投影，无遮挡的虚线。
3. 俯视图：外轮廓为矩形，矩形内部用实线绘制出一个菱形，菱形右侧延伸出一个小三角形的实线轮廓，所有可见棱的投影均为实线。
解析
【分析】
解题首先要明确三视图的观察方向：主视图是从正面观察几何体得到的投影，左视图是从左面观察得到的投影，俯视图是从上面观察得到的投影，绘制需遵循“长对正、高平齐、宽相等”的基本原则，可见的轮廓线用实线绘制，被遮挡不可见的轮廓线用虚线绘制。接下来逐个分析三个视图的形状：首先看主视图，从正面看整体是长方体的正面矩形，上方的V型缺口可见，需要画出缺口轮廓；再看左视图，从左面看整体是矩形，凹槽底部的棱在左视方向可见，会出现一条水平实线；最后看俯视图，从上方看整体是矩形，凹槽的轮廓（菱形和右侧小三角）都可见，要全部用实线画出。
【解析】
绘制三视图遵循“长对正、高平齐、宽相等”的规则，可见轮廓线用实线绘制：
1. 主视图：先绘制外轮廓矩形，在矩形上边缘的中间位置绘制向下的等腰三角形缺口，所有可见棱均用实线表示。
2. 左视图：外轮廓为矩形，凹槽底部的棱在左视方向可见，在矩形内部靠近上边缘处绘制一条水平实线。
3. 俯视图：外轮廓为矩形，将上方可见的菱形、菱形右侧的小三角形轮廓全部用实线绘制在矩形内部。
【答案】
按照三视图“长对正、高平齐、宽相等”的绘制规则，三个视图的绘制要求如下：
1. 主视图：外轮廓为矩形，矩形上边缘的中间位置有一个向下的等腰三角形缺口，所有可见轮廓线均用实线绘制。
2. 左视图：外轮廓为矩形，矩形内部靠近上边缘处有一条水平实线，该实线为凹槽底部棱的投影，无遮挡的虚线。
3. 俯视图：外轮廓为矩形，矩形内部用实线绘制出一个菱形，菱形右侧延伸出一个小三角形的实线轮廓，所有可见棱的投影均为实线。
【知识点】
三视图的定义、三视图绘制原则、几何体三视图作图
【点评】
本题重点考查三视图的绘制能力，需要准确把握不同观察方向的可见轮廓，牢记三视图的绘制规范，易错点是容易漏画视图内部的可见线条，做题时可结合实物观察辅助理解投影特点。
【难度系数】
0.7
解题首先要明确三视图的观察方向：主视图是从正面观察几何体得到的投影，左视图是从左面观察得到的投影，俯视图是从上面观察得到的投影，绘制需遵循“长对正、高平齐、宽相等”的基本原则，可见的轮廓线用实线绘制，被遮挡不可见的轮廓线用虚线绘制。接下来逐个分析三个视图的形状：首先看主视图，从正面看整体是长方体的正面矩形，上方的V型缺口可见，需要画出缺口轮廓；再看左视图，从左面看整体是矩形，凹槽底部的棱在左视方向可见，会出现一条水平实线；最后看俯视图，从上方看整体是矩形，凹槽的轮廓（菱形和右侧小三角）都可见，要全部用实线画出。
【解析】
绘制三视图遵循“长对正、高平齐、宽相等”的规则，可见轮廓线用实线绘制：
1. 主视图：先绘制外轮廓矩形，在矩形上边缘的中间位置绘制向下的等腰三角形缺口，所有可见棱均用实线表示。
2. 左视图：外轮廓为矩形，凹槽底部的棱在左视方向可见，在矩形内部靠近上边缘处绘制一条水平实线。
3. 俯视图：外轮廓为矩形，将上方可见的菱形、菱形右侧的小三角形轮廓全部用实线绘制在矩形内部。
【答案】
按照三视图“长对正、高平齐、宽相等”的绘制规则，三个视图的绘制要求如下：
1. 主视图：外轮廓为矩形，矩形上边缘的中间位置有一个向下的等腰三角形缺口，所有可见轮廓线均用实线绘制。
2. 左视图：外轮廓为矩形，矩形内部靠近上边缘处有一条水平实线，该实线为凹槽底部棱的投影，无遮挡的虚线。
3. 俯视图：外轮廓为矩形，矩形内部用实线绘制出一个菱形，菱形右侧延伸出一个小三角形的实线轮廓，所有可见棱的投影均为实线。
【知识点】
三视图的定义、三视图绘制原则、几何体三视图作图
【点评】
本题重点考查三视图的绘制能力，需要准确把握不同观察方向的可见轮廓，牢记三视图的绘制规范，易错点是容易漏画视图内部的可见线条，做题时可结合实物观察辅助理解投影特点。
【难度系数】
0.7
1. (2024·镇江)如图21，小杰从灯杆AB的底部点B处沿水平直线前进到达点C处，他在灯光下的影长$CD=3$米，然后他转身按原路返回到点B处，返回过程中小杰在灯光下的影长可以是 ()
A.4.5米
B.4米
C.3.5米
D.2.5米
图21 图22
A.4.5米
B.4米
C.3.5米
D.2.5米
图21 图22
答案
D
解析
【分析】
本题属于中心投影的实际应用类题目，解题思路可按以下步骤梳理：首先明确灯光属于点光源，形成的投影是中心投影；其次回忆中心投影的核心规律：高度固定的物体垂直地面放置时，距离点光源越近，影子长度越短，距离点光源越远，影子长度越长。小杰在C点时影长为3米，原路返回B点的过程中，他与灯杆（点光源）的距离逐渐减小，因此影长会小于3米，结合选项即可选出符合要求的答案。
【解析】
灯光照射形成的投影为中心投影，根据中心投影的性质：等高物体垂直于地面放置时，离点光源越近，影子越短。
小杰在C处时影长CD=3米，此时他距离灯杆AB的水平距离为BC；当他沿原路向B点返回时，他与灯杆顶部点光源的距离不断减小，因此他的影长会逐渐变短，即返回过程中的影长一定小于3米。
对比各选项，只有2.5米＜3米，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
中心投影的规律、中心投影的实际应用
【点评】
本题结合生活场景考查中心投影的应用，解题的核心是掌握中心投影下影长和物体到点光源距离的关系，无需复杂计算，结合规律即可快速判断，是比较基础的投影类应用题。
【难度系数】
0.8
本题属于中心投影的实际应用类题目，解题思路可按以下步骤梳理：首先明确灯光属于点光源，形成的投影是中心投影；其次回忆中心投影的核心规律：高度固定的物体垂直地面放置时，距离点光源越近，影子长度越短，距离点光源越远，影子长度越长。小杰在C点时影长为3米，原路返回B点的过程中，他与灯杆（点光源）的距离逐渐减小，因此影长会小于3米，结合选项即可选出符合要求的答案。
【解析】
灯光照射形成的投影为中心投影，根据中心投影的性质：等高物体垂直于地面放置时，离点光源越近，影子越短。
小杰在C处时影长CD=3米，此时他距离灯杆AB的水平距离为BC；当他沿原路向B点返回时，他与灯杆顶部点光源的距离不断减小，因此他的影长会逐渐变短，即返回过程中的影长一定小于3米。
对比各选项，只有2.5米＜3米，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
中心投影的规律、中心投影的实际应用
【点评】
本题结合生活场景考查中心投影的应用，解题的核心是掌握中心投影下影长和物体到点光源距离的关系，无需复杂计算，结合规律即可快速判断，是比较基础的投影类应用题。
【难度系数】
0.8
2. 如图22,方桌正上方的灯泡(看作一个点)发出的光线照射方桌后,在地面上形成阴影(正方形)。已知方桌边长为1.2 m,桌面离地面1.2 m,灯泡离地面3.6 m,则地面上阴影部分的面积为 m²。
答案
$\boldsymbol{3.24}$
解析
【分析】
本题考查中心投影的性质应用，解题思路如下：1. 明确中心投影中，平行于地面的桌面形成的阴影与桌面是位似图形，二者的相似比等于灯泡到桌面的距离与灯泡到地面的距离之比；2. 先计算灯泡到桌面的距离，求出相似比；3. 根据相似比算出地面阴影的边长，最后计算阴影面积即可。
【解析】
解：由中心投影的位似性质可知，桌面与地面阴影为相似正方形，相似比等于灯泡到桌面的高度与灯泡到地面的高度之比。
第一步：计算灯泡到桌面的距离：$3.6 - 1.2 = 2.4\ \mathrm{m}$
第二步：求相似比：$k = \frac{\mathrm{灯泡到桌面的距离}}{\mathrm{灯泡到地面的距离}}=\frac{2.4}{3.6} = \frac{2}{3}$
第三步：设地面阴影正方形的边长为$x\ \mathrm{m}$，根据相似图形对应边成比例可得：$\frac{\mathrm{桌面边长}}{\mathrm{阴影边长}} = k$，即$\frac{1.2}{x} = \frac{2}{3}$，解得$x = 1.8\ \mathrm{m}$
第四步：计算阴影面积：$S=x^2=1.8^2=3.24\ \mathrm{m}^2$
【答案】
$\boldsymbol{3.24}$
【知识点】
中心投影的性质、相似图形的性质、正方形面积计算
【点评】
本题结合生活实际考查中心投影与相似的综合应用，解题关键是找准相似比对应的高度关系，只要掌握中心投影的位似特征就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
本题考查中心投影的性质应用，解题思路如下：1. 明确中心投影中，平行于地面的桌面形成的阴影与桌面是位似图形，二者的相似比等于灯泡到桌面的距离与灯泡到地面的距离之比；2. 先计算灯泡到桌面的距离，求出相似比；3. 根据相似比算出地面阴影的边长，最后计算阴影面积即可。
【解析】
解：由中心投影的位似性质可知，桌面与地面阴影为相似正方形，相似比等于灯泡到桌面的高度与灯泡到地面的高度之比。
第一步：计算灯泡到桌面的距离：$3.6 - 1.2 = 2.4\ \mathrm{m}$
第二步：求相似比：$k = \frac{\mathrm{灯泡到桌面的距离}}{\mathrm{灯泡到地面的距离}}=\frac{2.4}{3.6} = \frac{2}{3}$
第三步：设地面阴影正方形的边长为$x\ \mathrm{m}$，根据相似图形对应边成比例可得：$\frac{\mathrm{桌面边长}}{\mathrm{阴影边长}} = k$，即$\frac{1.2}{x} = \frac{2}{3}$，解得$x = 1.8\ \mathrm{m}$
第四步：计算阴影面积：$S=x^2=1.8^2=3.24\ \mathrm{m}^2$
【答案】
$\boldsymbol{3.24}$
【知识点】
中心投影的性质、相似图形的性质、正方形面积计算
【点评】
本题结合生活实际考查中心投影与相似的综合应用，解题关键是找准相似比对应的高度关系，只要掌握中心投影的位似特征就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
3. 如图23,小明家窗外有一堵围墙AB,墙上点A处有一盏路灯,灯光恰好从窗户的最高点C射进房间的地板F处,从窗户的最低点D射进房间的地板E处,小明测得窗户距地面的高度$OD=0.8\ \mathrm{m}$,窗户高$CD=1.2\ \mathrm{m}$,并测得$OE=0.8\ \mathrm{m}$,$OF=3\ \mathrm{m}$,求围墙AB的高度。
答案
解：
设围墙$AB$的高度为$x\ \mathrm{m}$，$BO$的长度为$y\ \mathrm{m}$。
$\because AB⊥ BF$，$OD⊥ BF$，$OC⊥ BF$，
$\therefore AB// OD// OC$。
$\because OD=0.8\ \mathrm{m}$，$OE=0.8\ \mathrm{m}$，
$\therefore ∠ DEB=45°$，
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，$AB=BE$，即：
$x = y + 0.8 \quad ①$
$\because OC = CD + OD = 1.2 + 0.8 = 2\ \mathrm{m}$，$AB// OC$，
$\therefore △ ABF ∽ △ COF$，
$\therefore \frac{AB}{BF}=\frac{CO}{OF}$，
又$BF = BO + OF = y + 3$，$OF=3\ \mathrm{m}$，代入得：
$\frac{x}{y+3}=\frac{2}{3}$
整理得：
$3x = 2y + 6 \quad ②$
将①代入②：
$3(y+0.8) = 2y + 6$
解得$y=3.6$，
将$y=3.6$代入①得$x=4.4$。
答：围墙$AB$的高度为$4.4\ \mathrm{m}$。
设围墙$AB$的高度为$x\ \mathrm{m}$，$BO$的长度为$y\ \mathrm{m}$。
$\because AB⊥ BF$，$OD⊥ BF$，$OC⊥ BF$，
$\therefore AB// OD// OC$。
$\because OD=0.8\ \mathrm{m}$，$OE=0.8\ \mathrm{m}$，
$\therefore ∠ DEB=45°$，
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，$AB=BE$，即：
$x = y + 0.8 \quad ①$
$\because OC = CD + OD = 1.2 + 0.8 = 2\ \mathrm{m}$，$AB// OC$，
$\therefore △ ABF ∽ △ COF$，
$\therefore \frac{AB}{BF}=\frac{CO}{OF}$，
又$BF = BO + OF = y + 3$，$OF=3\ \mathrm{m}$，代入得：
$\frac{x}{y+3}=\frac{2}{3}$
整理得：
$3x = 2y + 6 \quad ②$
将①代入②：
$3(y+0.8) = 2y + 6$
解得$y=3.6$，
将$y=3.6$代入①得$x=4.4$。
答：围墙$AB$的高度为$4.4\ \mathrm{m}$。
解析
【分析】
本题是利用几何性质解决实际测量高度的问题，解题思路如下：首先观察图形可得AB、OD、OC都垂直于地面BF，因此三条线段互相平行；首先看Rt△DOE，已知OD和OE长度均为0.8m，可判断它是等腰直角三角形，进而推出Rt△ABE也是等腰直角三角形，得到AB=BE，可列第一个关于AB（设为x）和BO（设为y）的等量关系；再根据AB//OC可证明△ABF∽△COF，利用相似三角形对应边成比例得到第二个等量关系，联立两个方程即可解出AB的高度。
【解析】
解：设围墙$AB$的高度为$x\ \mathrm{m}$，$BO$的长度为$y\ \mathrm{m}$。
$\because AB⊥ BF$，$OD⊥ BF$，$OC⊥ BF$，
$\therefore AB// OD// OC$。
$\because OD=0.8\ \mathrm{m}$，$OE=0.8\ \mathrm{m}$，
$\therefore △ DOE$为等腰直角三角形，$∠ DEB=45°$，
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，$∠ AEB=45°$，$\therefore AB=BE$，即：
$x = y + 0.8 \quad ①$
$\because OC = CD + OD = 1.2 + 0.8 = 2\ \mathrm{m}$，$AB// OC$，
$\therefore △ ABF ∽ △ COF$，
$\therefore \frac{AB}{BF}=\frac{CO}{OF}$，
又$BF = BO + OF = y + 3$，$OF=3\ \mathrm{m}$，代入得：
$\frac{x}{y+3}=\frac{2}{3}$
整理得：
$3x = 2y + 6 \quad ②$
将①代入②：
$3(y+0.8) = 2y + 6$
解得$y=3.6$，
将$y=3.6$代入①得$x=3.6+0.8=4.4$。
答：围墙AB的高度为4.4m。
【答案】
$\boldsymbol{4.4\ \mathrm{m}}$
【知识点】
相似三角形的应用，等腰直角三角形的性质，二元一次方程组的应用
【点评】
本题属于结合生活场景的几何计算题，核心是将实际测量问题转化为几何模型，通过平行关系推导等腰直角三角形和相似三角形，结合方程思想求解，重点考察学生的建模能力和几何运算能力。
【难度系数】
0.6
本题是利用几何性质解决实际测量高度的问题，解题思路如下：首先观察图形可得AB、OD、OC都垂直于地面BF，因此三条线段互相平行；首先看Rt△DOE，已知OD和OE长度均为0.8m，可判断它是等腰直角三角形，进而推出Rt△ABE也是等腰直角三角形，得到AB=BE，可列第一个关于AB（设为x）和BO（设为y）的等量关系；再根据AB//OC可证明△ABF∽△COF，利用相似三角形对应边成比例得到第二个等量关系，联立两个方程即可解出AB的高度。
【解析】
解：设围墙$AB$的高度为$x\ \mathrm{m}$，$BO$的长度为$y\ \mathrm{m}$。
$\because AB⊥ BF$，$OD⊥ BF$，$OC⊥ BF$，
$\therefore AB// OD// OC$。
$\because OD=0.8\ \mathrm{m}$，$OE=0.8\ \mathrm{m}$，
$\therefore △ DOE$为等腰直角三角形，$∠ DEB=45°$，
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，$∠ AEB=45°$，$\therefore AB=BE$，即：
$x = y + 0.8 \quad ①$
$\because OC = CD + OD = 1.2 + 0.8 = 2\ \mathrm{m}$，$AB// OC$，
$\therefore △ ABF ∽ △ COF$，
$\therefore \frac{AB}{BF}=\frac{CO}{OF}$，
又$BF = BO + OF = y + 3$，$OF=3\ \mathrm{m}$，代入得：
$\frac{x}{y+3}=\frac{2}{3}$
整理得：
$3x = 2y + 6 \quad ②$
将①代入②：
$3(y+0.8) = 2y + 6$
解得$y=3.6$，
将$y=3.6$代入①得$x=3.6+0.8=4.4$。
答：围墙AB的高度为4.4m。
【答案】
$\boldsymbol{4.4\ \mathrm{m}}$
【知识点】
相似三角形的应用，等腰直角三角形的性质，二元一次方程组的应用
【点评】
本题属于结合生活场景的几何计算题，核心是将实际测量问题转化为几何模型，通过平行关系推导等腰直角三角形和相似三角形，结合方程思想求解，重点考察学生的建模能力和几何运算能力。
【难度系数】
0.6
