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如图,某工人师傅想利用一块三角形木板ABC裁出一个尽可能大的圆形木板.
(1)请在图中画出可裁出的最大圆形木板,并标出它的圆心O.(要求尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)
(2)如果$AB=8\ \mathrm{cm},AC=15\ \mathrm{cm},BC=17\ \mathrm{cm}$,求裁出的最大圆形木板的半径长.
(1)请在图中画出可裁出的最大圆形木板,并标出它的圆心O.(要求尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)
(2)如果$AB=8\ \mathrm{cm},AC=15\ \mathrm{cm},BC=17\ \mathrm{cm}$,求裁出的最大圆形木板的半径长.
答案
1. 如图，$\odot O$是可裁出的最大圆形木板，$\odot O$与$△ ABC$的三边分别相切于点$P,N,Q$。
2. 如图，连接$BO,OP,OQ,ON$。设$OP=OQ=ON=r$。
$\because AB=8,AC=15,BC=17$，
$\therefore AB^2+AC^2=8^2+15^2=17^2=BC^2$。
$\therefore ∠ BAC=90°$。
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×8×15=60$。
由(1)得$\odot O$为$△ ABC$的内切圆。
$\therefore \frac{1}{2}(AB+BC+AC)· r=60$，即$\frac{1}{2}×(8+17+15)· r=60$。解得$r=3$。
$\therefore$ 裁出的最大圆形木板的半径长为$3\ \mathrm{cm}$。
解析
【分析】
（1）三角形内可裁出的最大圆形是三角形的内切圆，该圆与三角形三边都相切，圆心是三角形三个内角的角平分线交点（内心），半径为内心到边的距离。作图时先作两个内角的角平分线得到交点O，再过O作任意一边的垂线段，以O为圆心、垂线段长为半径画圆即可。
（2）首先根据三边长度用勾股定理逆定理判断△ABC的形状，再利用三角形内切圆的面积计算公式：三角形面积等于三角形周长的一半乘以内切圆半径，代入对应数据即可求出半径长度。
【解析】
（1）作图如下，⊙O即为所求的最大圆形木板：
（2）连接$BO,OP,OQ,ON$，设内切圆半径$OP=OQ=ON=r$。
已知$AB=8\ \mathrm{cm},AC=15\ \mathrm{cm},BC=17\ \mathrm{cm}$，
$\because AB^2+AC^2=8^2+15^2=64+225=289=17^2=BC^2$，
$\therefore △ ABC$是直角三角形，且$∠ BAC=90°$，
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× AC=\frac{1}{2}×8×15=60\ \mathrm{cm^2}$。
$\because \odot O$是$△ ABC$的内切圆，
$\therefore S_{△ ABC}=S_{△ OAB}+S_{△ OBC}+S_{△ OAC}=\frac{1}{2}(AB+BC+AC)· r$，
代入数据得：$\frac{1}{2}×(8+17+15)· r=60$，
解得$r=3\ \mathrm{cm}$。
【答案】
1. 如图，$\odot O$是可裁出的最大圆形木板，$\odot O$与$△ ABC$的三边分别相切于点$P,N,Q$。
2. 裁出的最大圆形木板的半径长为$3\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
1. 三角形内切圆作图
2. 勾股定理逆定理
3. 内切圆半径计算
【点评】
本题围绕三角形内切圆设置考点，第一问考查尺规作图的基础操作能力，第二问结合勾股定理逆定理和面积法求解内切圆半径，整体难度不高，掌握三角形内心的性质是解题的核心。
【难度系数】
0.7
（1）三角形内可裁出的最大圆形是三角形的内切圆，该圆与三角形三边都相切，圆心是三角形三个内角的角平分线交点（内心），半径为内心到边的距离。作图时先作两个内角的角平分线得到交点O，再过O作任意一边的垂线段，以O为圆心、垂线段长为半径画圆即可。
（2）首先根据三边长度用勾股定理逆定理判断△ABC的形状，再利用三角形内切圆的面积计算公式：三角形面积等于三角形周长的一半乘以内切圆半径，代入对应数据即可求出半径长度。
【解析】
（1）作图如下，⊙O即为所求的最大圆形木板：
（2）连接$BO,OP,OQ,ON$，设内切圆半径$OP=OQ=ON=r$。
已知$AB=8\ \mathrm{cm},AC=15\ \mathrm{cm},BC=17\ \mathrm{cm}$，
$\because AB^2+AC^2=8^2+15^2=64+225=289=17^2=BC^2$，
$\therefore △ ABC$是直角三角形，且$∠ BAC=90°$，
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× AC=\frac{1}{2}×8×15=60\ \mathrm{cm^2}$。
$\because \odot O$是$△ ABC$的内切圆，
$\therefore S_{△ ABC}=S_{△ OAB}+S_{△ OBC}+S_{△ OAC}=\frac{1}{2}(AB+BC+AC)· r$，
代入数据得：$\frac{1}{2}×(8+17+15)· r=60$，
解得$r=3\ \mathrm{cm}$。
【答案】
1. 如图，$\odot O$是可裁出的最大圆形木板，$\odot O$与$△ ABC$的三边分别相切于点$P,N,Q$。
2. 裁出的最大圆形木板的半径长为$3\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
1. 三角形内切圆作图
2. 勾股定理逆定理
3. 内切圆半径计算
【点评】
本题围绕三角形内切圆设置考点，第一问考查尺规作图的基础操作能力，第二问结合勾股定理逆定理和面积法求解内切圆半径，整体难度不高，掌握三角形内心的性质是解题的核心。
【难度系数】
0.7
1. 如图，$\odot O$是$△ ABC$的内切圆，切点分别为$D,E,F$.若$AD=3,BE=2,CF=4$，则$BC$的长为（
A.$6$
B.$7$
C.$8$
D.$9$
（第1题图）
（第2题图）
A
）A.$6$
B.$7$
C.$8$
D.$9$
（第1题图）
（第2题图）
答案
1. A
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形内切圆相关的切线长定理：从圆外一点向圆引两条切线，两条切线的长度相等。观察图形可知BC由BE和CE两段组成，已知BE的长度，只需要找到CE的长度即可求出BC；根据切线长定理，CE与CF长度相等，题目已给出CF的长度，直接代入求和即可得到BC的长，本题中AD的长度属于干扰条件，求解时不需要用到。
【解析】
解：
∵$\odot O$是$△ ABC$的内切圆，切点分别为$D,E,F$
根据切线长定理可得：$BD=BE=2$，$CE=CF=4$
∴$BC=BE+CE=2+4=6$
故选A
【答案】
A
【知识点】
1.切线长定理
2.三角形内切圆性质
【点评】
本题属于基础类考题，核心考查切线长定理的实际应用，解题的关键是熟练掌握圆外一点引圆的两条切线长度相等的性质，注意识别题干中的干扰条件，避免多余计算。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆三角形内切圆相关的切线长定理：从圆外一点向圆引两条切线，两条切线的长度相等。观察图形可知BC由BE和CE两段组成，已知BE的长度，只需要找到CE的长度即可求出BC；根据切线长定理，CE与CF长度相等，题目已给出CF的长度，直接代入求和即可得到BC的长，本题中AD的长度属于干扰条件，求解时不需要用到。
【解析】
解：
∵$\odot O$是$△ ABC$的内切圆，切点分别为$D,E,F$
根据切线长定理可得：$BD=BE=2$，$CE=CF=4$
∴$BC=BE+CE=2+4=6$
故选A
【答案】
A
【知识点】
1.切线长定理
2.三角形内切圆性质
【点评】
本题属于基础类考题，核心考查切线长定理的实际应用，解题的关键是熟练掌握圆外一点引圆的两条切线长度相等的性质，注意识别题干中的干扰条件，避免多余计算。
【难度系数】
0.8
2. 如图，在$△ ABC$中，$∠ BIC = 130°$，I是$△ ABC$的内心，连接BI，CI，则$∠ A$的度数是（
A.$60°$
B.$70°$
C.$80°$
D.$100°$
C
）A.$60°$
B.$70°$
C.$80°$
D.$100°$
答案
2. C
解析
【分析】
解题时先明确三角形内心的性质：内心是三角形三个内角角平分线的交点，因此BI、CI分别平分∠ABC和∠ACB。我们可以先在△BIC中利用三角形内角和求出∠IBC与∠ICB的和，再结合角平分线的性质得到∠ABC与∠ACB的和，最后在△ABC中用内角和定理即可求出∠A的度数。
【解析】
∵I是△ABC的内心，
∴BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，即$∠ IBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ ICB=\frac{1}{2}∠ ACB$。
在△BIC中，由三角形内角和为180°可得：
$∠ IBC+∠ ICB=180°-∠ BIC=180°-130°=50°$，
∴$∠ ABC+∠ ACB=2(∠ IBC+∠ ICB)=2×50°=100°$。
在△ABC中，由三角形内角和为180°可得：
$∠ A=180°-(∠ ABC+∠ ACB)=180°-100°=80°$。
【答案】
C
【知识点】
三角形内心性质，角平分线性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形角度计算的基础题，解题核心是掌握三角形内心是内角角平分线交点的性质，结合内角和定理逐步推导即可求解，是角平分线和三角形内角和的综合常考题型。
【难度系数】
0.8
解题时先明确三角形内心的性质：内心是三角形三个内角角平分线的交点，因此BI、CI分别平分∠ABC和∠ACB。我们可以先在△BIC中利用三角形内角和求出∠IBC与∠ICB的和，再结合角平分线的性质得到∠ABC与∠ACB的和，最后在△ABC中用内角和定理即可求出∠A的度数。
【解析】
∵I是△ABC的内心，
∴BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，即$∠ IBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ ICB=\frac{1}{2}∠ ACB$。
在△BIC中，由三角形内角和为180°可得：
$∠ IBC+∠ ICB=180°-∠ BIC=180°-130°=50°$，
∴$∠ ABC+∠ ACB=2(∠ IBC+∠ ICB)=2×50°=100°$。
在△ABC中，由三角形内角和为180°可得：
$∠ A=180°-(∠ ABC+∠ ACB)=180°-100°=80°$。
【答案】
C
【知识点】
三角形内心性质，角平分线性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形角度计算的基础题，解题核心是掌握三角形内心是内角角平分线交点的性质，结合内角和定理逐步推导即可求解，是角平分线和三角形内角和的综合常考题型。
【难度系数】
0.8
3.如图，$\odot O$是$△ ABC$的内切圆，切点分别为$D$，$E$，$F$，连接$DE$，$DF$。若$∠ C＝α$，则$∠ FDE$的度数是（
A.$90° - α$
B.$180° - α$
C.$90° - \dfrac{α}{2}$
D.$90° + \dfrac{α}{2}$
C
）A.$90° - α$
B.$180° - α$
C.$90° - \dfrac{α}{2}$
D.$90° + \dfrac{α}{2}$
答案
3. C
解析
【分析】
解题时首先观察图形特征：已知圆是三角形的内切圆，存在多个切点，要求圆周角∠FDE的度数，可按以下思路推导：
1. 先连接圆心O和两个切点F、E，利用切线的性质可得OF⊥AC、OE⊥BC，得到两个直角；
2. 在四边形OECF中，利用四边形内角和为360°，可求出弧FE对应的圆心角∠FOE的度数；
3. 最后根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可求出∠FDE的度数。
【解析】
连接OF、OE，
∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为F、E，
∴OF⊥AC，OE⊥BC，即∠OFC=∠OEC=90°，
在四边形OECF中，内角和为360°，已知∠C=α，
∴∠FOE=360°-∠OFC-∠OEC-∠C=360°-90°-90°-α=180°-α，
∵∠FDE是弧FE所对的圆周角，∠FOE是弧FE所对的圆心角，
∴∠FDE=$\frac{1}{2}$∠FOE=$\frac{1}{2}$×(180°-α)=90°-$\frac{α}{2}$。
【答案】
C
【知识点】
切线的性质；四边形内角和；圆周角定理
【点评】
本题是三角形内切圆与圆周角结合的典型题型，解题核心是通过连接圆心和切点构造直角，再结合四边形内角和、圆周角定理完成角度推导，解题思路清晰，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察图形特征：已知圆是三角形的内切圆，存在多个切点，要求圆周角∠FDE的度数，可按以下思路推导：
1. 先连接圆心O和两个切点F、E，利用切线的性质可得OF⊥AC、OE⊥BC，得到两个直角；
2. 在四边形OECF中，利用四边形内角和为360°，可求出弧FE对应的圆心角∠FOE的度数；
3. 最后根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可求出∠FDE的度数。
【解析】
连接OF、OE，
∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为F、E，
∴OF⊥AC，OE⊥BC，即∠OFC=∠OEC=90°，
在四边形OECF中，内角和为360°，已知∠C=α，
∴∠FOE=360°-∠OFC-∠OEC-∠C=360°-90°-90°-α=180°-α，
∵∠FDE是弧FE所对的圆周角，∠FOE是弧FE所对的圆心角，
∴∠FDE=$\frac{1}{2}$∠FOE=$\frac{1}{2}$×(180°-α)=90°-$\frac{α}{2}$。
【答案】
C
【知识点】
切线的性质；四边形内角和；圆周角定理
【点评】
本题是三角形内切圆与圆周角结合的典型题型，解题核心是通过连接圆心和切点构造直角，再结合四边形内角和、圆周角定理完成角度推导，解题思路清晰，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.7
4.如图，四边形ABCD的各边与⊙O分别相切于点E，F，G，H，AB＝9，CD＝15，则四边形ABCD的周长为
48
。答案
4. 48
解析
【分析】
首先观察图形可知四边形ABCD是⊙O的外切四边形，解题时先回忆切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。据此可推导出圆外切四边形的两组对边之和相等的性质，再结合已知的AB、CD的长度，即可求出四边形的周长。
【解析】
∵ 四边形ABCD的各边与⊙O分别相切于点E，F，G，H，
根据切线长定理可得：$AE=AH$，$BE=BF$，$CF=CG$，$DG=DH$，
将上述等式左右分别相加得：
$AE+BE + CG+DG = AH+DH + BF+CF$，
即 $AB + CD = AD + BC$，
已知$AB=9$，$CD=15$，
∴ $AB+CD=9+15=24$，即$AD+BC=24$，
∴ 四边形ABCD的周长 $= AB+BC+CD+DA = (AB+CD)+(AD+BC) = 24+24=48$。
【答案】
48
【知识点】
切线长定理、圆外切四边形的性质、周长计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查切线长定理的实际应用，只要掌握圆外切四边形对边和相等的规律，代入数值即可快速算出结果，解题时注意不要混淆对边的对应关系即可。
【难度系数】
0.8
首先观察图形可知四边形ABCD是⊙O的外切四边形，解题时先回忆切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。据此可推导出圆外切四边形的两组对边之和相等的性质，再结合已知的AB、CD的长度，即可求出四边形的周长。
【解析】
∵ 四边形ABCD的各边与⊙O分别相切于点E，F，G，H，
根据切线长定理可得：$AE=AH$，$BE=BF$，$CF=CG$，$DG=DH$，
将上述等式左右分别相加得：
$AE+BE + CG+DG = AH+DH + BF+CF$，
即 $AB + CD = AD + BC$，
已知$AB=9$，$CD=15$，
∴ $AB+CD=9+15=24$，即$AD+BC=24$，
∴ 四边形ABCD的周长 $= AB+BC+CD+DA = (AB+CD)+(AD+BC) = 24+24=48$。
【答案】
48
【知识点】
切线长定理、圆外切四边形的性质、周长计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查切线长定理的实际应用，只要掌握圆外切四边形对边和相等的规律，代入数值即可快速算出结果，解题时注意不要混淆对边的对应关系即可。
【难度系数】
0.8
