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基础知识·预习
问题1 什么是三角形的内切圆？
问题2 三角形内切圆的圆心叫作什么？它是三角形中什么线与什么线的交点？
问题3 三角形的内心到三角形三条边的距离存在什么样的数量关系？
问题1 什么是三角形的内切圆？
问题2 三角形内切圆的圆心叫作什么？它是三角形中什么线与什么线的交点？
问题3 三角形的内心到三角形三条边的距离存在什么样的数量关系？
答案
1. 与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆。
2. 三角形内切圆的圆心叫作三角形的内心，它是三角形三条内角平分线的交点。
3. 三角形的内心到三角形三条边的距离相等，都等于该三角形内切圆的半径。
2. 三角形内切圆的圆心叫作三角形的内心，它是三角形三条内角平分线的交点。
3. 三角形的内心到三角形三条边的距离相等，都等于该三角形内切圆的半径。
解析
【分析】
这三道题均考查三角形内切圆相关的基础概念与性质，解题时只需回忆对应课本知识点逐一作答即可。首先回忆三角形内切圆的定义回答问题1；再回忆内切圆圆心的名称、本质属性回答问题2；最后结合角平分线的性质（角平分线上的点到角两边距离相等）推导或直接回忆内心的性质回答问题3。
【解析】
1. 根据三角形内切圆的定义，与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆。
2. 三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心；因为内切圆和三边都相切，圆心到三边的距离都等于半径，结合角平分线上的点到角两边距离相等的性质，可知内心是三角形三条内角平分线的交点。
3. 由于内心是三角形三条内角平分线的交点，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此三角形的内心到三条边的距离相等，这个距离就是三角形内切圆的半径。
【答案】
1. 与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆。
2. 三角形内切圆的圆心叫作三角形的内心，它是三角形三条内角平分线的交点。
3. 三角形的内心到三角形三条边的距离相等，都等于该三角形内切圆的半径。
【知识点】
三角形内切圆的定义；三角形内心的定义；三角形内心的性质
【点评】
本题属于基础识记类题目，核心考查对三角形内切圆相关概念、性质的掌握情况，只要牢记课本基础知识点即可顺利解答。
【难度系数】
0.9
这三道题均考查三角形内切圆相关的基础概念与性质，解题时只需回忆对应课本知识点逐一作答即可。首先回忆三角形内切圆的定义回答问题1；再回忆内切圆圆心的名称、本质属性回答问题2；最后结合角平分线的性质（角平分线上的点到角两边距离相等）推导或直接回忆内心的性质回答问题3。
【解析】
1. 根据三角形内切圆的定义，与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆。
2. 三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心；因为内切圆和三边都相切，圆心到三边的距离都等于半径，结合角平分线上的点到角两边距离相等的性质，可知内心是三角形三条内角平分线的交点。
3. 由于内心是三角形三条内角平分线的交点，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此三角形的内心到三条边的距离相等，这个距离就是三角形内切圆的半径。
【答案】
1. 与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆。
2. 三角形内切圆的圆心叫作三角形的内心，它是三角形三条内角平分线的交点。
3. 三角形的内心到三角形三条边的距离相等，都等于该三角形内切圆的半径。
【知识点】
三角形内切圆的定义；三角形内心的定义；三角形内心的性质
【点评】
本题属于基础识记类题目，核心考查对三角形内切圆相关概念、性质的掌握情况，只要牢记课本基础知识点即可顺利解答。
【难度系数】
0.9
【典型例题】如图，$\odot O$是$△ ABC$的内切圆，切点分别为$D,E,F$.
(1)点$O$是$△ ABC$的
(2)如图1，若$AB=9,BC=14,CA=13$，设$AF=x$，求$BF$的长.
(3)如图2，若$∠ C=90°,BC,CA,AB$的长分别是$a,b,c$，求$\odot O$的半径长.(用含$a,b,c$的式子表示)
【解】(1)内
(2)因为$△ ABC$的内切圆$\odot O$与$BC,CA,AB$分别相切于点$D,E,F$，
所以$AE=AF,BF=BD,CE=CD$.
因为$AF=x$，所以$BD=BF=AB-AF=9-x,AE=AF=x$.所以$CD=CE=AC-AE=13-x$.
因为$BC=BD+CD$，所以$9-x+13-x=14$.解得$x=4$.所以$BF=9-x=5$.
(3)如图，连接$OD,OE,OF$.易得$AE=AF,BE=BD,CF=CD$，$∠ OFC=∠ ODC=90°$.
设$\odot O$的半径长为$r$，则$OD=OF=r$.
因为$∠ C=∠ OFC=∠ ODC=90°$，所以四边形$ODCF$为矩形.
又$OD=OF$，所以矩形$ODCF$为正方形.
所以$CD=CF=r$.
所以$AE=AF=CA-CF=b-r,BE=BD=BC-CD=a-r$.
所以$AB=AE+BE=b-r+a-r=c$.
所以$a+b-2r=c$.所以$r=\frac{a+b-c}{2}$.
故$\odot O$的半径长为$\frac{a+b-c}{2}$.
规律方法 已知直角三角形两条直角边的长分别为$a,b$，斜边长为$c$，该直角三角形内切圆的半径为$r$.
(1)根据切线长定理，得$a-r+b-r=c$，所以$r=\frac{a+b-c}{2}$.
(2)根据三角形面积的不同表示方法，得$\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}(a+b+c)r$，所以$r=\frac{ab}{a+b+c}$.
(1)点$O$是$△ ABC$的
内
心.(填“内”或“外”)(2)如图1，若$AB=9,BC=14,CA=13$，设$AF=x$，求$BF$的长.
(3)如图2，若$∠ C=90°,BC,CA,AB$的长分别是$a,b,c$，求$\odot O$的半径长.(用含$a,b,c$的式子表示)
【解】(1)内
(2)因为$△ ABC$的内切圆$\odot O$与$BC,CA,AB$分别相切于点$D,E,F$，
所以$AE=AF,BF=BD,CE=CD$.
因为$AF=x$，所以$BD=BF=AB-AF=9-x,AE=AF=x$.所以$CD=CE=AC-AE=13-x$.
因为$BC=BD+CD$，所以$9-x+13-x=14$.解得$x=4$.所以$BF=9-x=5$.
(3)如图，连接$OD,OE,OF$.易得$AE=AF,BE=BD,CF=CD$，$∠ OFC=∠ ODC=90°$.
设$\odot O$的半径长为$r$，则$OD=OF=r$.
因为$∠ C=∠ OFC=∠ ODC=90°$，所以四边形$ODCF$为矩形.
又$OD=OF$，所以矩形$ODCF$为正方形.
所以$CD=CF=r$.
所以$AE=AF=CA-CF=b-r,BE=BD=BC-CD=a-r$.
所以$AB=AE+BE=b-r+a-r=c$.
所以$a+b-2r=c$.所以$r=\frac{a+b-c}{2}$.
故$\odot O$的半径长为$\frac{a+b-c}{2}$.
规律方法 已知直角三角形两条直角边的长分别为$a,b$，斜边长为$c$，该直角三角形内切圆的半径为$r$.
(1)根据切线长定理，得$a-r+b-r=c$，所以$r=\frac{a+b-c}{2}$.
(2)根据三角形面积的不同表示方法，得$\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}(a+b+c)r$，所以$r=\frac{ab}{a+b+c}$.
答案
1. 内
2. 因为$△ ABC$的内切圆$\odot O$与$BC,CA,AB$分别相切于点$D,E,F$，所以$AE=AF,BF=BD,CE=CD$。因为$AF=x$，所以$BD=BF=AB-AF=9-x,AE=AF=x$。所以$CD=CE=AC-AE=13-x$。因为$BC=BD+CD$，所以$9-x+13-x=14$。解得$x=4$。所以$BF=9-x=5$。
3. 如图，连接$OD,OE,OF$。易得$AE=AF,BE=BD,CF=CD$，$∠ OFC=∠ ODC=90°$。设$\odot O$的半径长为$r$，则$OD=OF=r$。因为$∠ C=∠ OFC=∠ ODC=90°$，所以四边形$ODCF$为矩形。又$OD=OF$，所以矩形$ODCF$为正方形。
所以$CD=CF=r$。所以$AE=AF=CA-CF=b-r,BE=BD=BC-CD=a-r$。所以$AB=AE+BE=b-r+a-r=c$。所以$a+b-2r=c$。所以$r=\frac{a+b-c}{2}$。故$\odot O$的半径长为$\frac{a+b-c}{2}$。解析
【分析】
(1) 本问考查三角形内心的定义，三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心，直接根据定义即可作答。
(2) 本问解题的核心是运用切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。我们可以得到三组等长线段：$AE=AF$，$BF=BD$，$CE=CD$，将各段线段用含$x$的代数式表示后，结合$BC=BD+CD$的等量关系列方程求解，即可得到$x$的值，进而求出$BF$的长度。
(3) 本问先连接圆心与各切点，根据切线的性质可知切线垂直于过切点的半径，可得$∠ OFC=∠ ODC=∠ C=90°$，先判定四边形$ODCF$是矩形，再结合邻边$OD=OF$可证得该四边形是正方形，得到$CD=CF=r$；再利用切线长定理将$AB$的长度用含$r$的式子表示，结合$AB=c$列方程整理，即可得到半径$r$的表达式。
【解析】
(1) 因为$\odot O$是$△ ABC$的内切圆，所以点$O$是$△ ABC$的内心。
(2) 因为$△ ABC$的内切圆$\odot O$与$BC,CA,AB$分别相切于点$D,E,F$，所以$AE=AF,BF=BD,CE=CD$。因为$AF=x$，所以$BD=BF=AB-AF=9-x,AE=AF=x$。所以$CD=CE=AC-AE=13-x$。因为$BC=BD+CD$，所以$9-x+13-x=14$。解得$x=4$。所以$BF=9-x=5$。
(3) 如图，连接$OD,OE,OF$。易得$AE=AF,BE=BD,CF=CD$，$∠ OFC=∠ ODC=90°$。设$\odot O$的半径长为$r$，则$OD=OF=r$。因为$∠ C=∠ OFC=∠ ODC=90°$，所以四边形$ODCF$为矩形。又$OD=OF$，所以矩形$ODCF$为正方形。所以$CD=CF=r$。所以$AE=AF=CA-CF=b-r,BE=BD=BC-CD=a-r$。所以$AB=AE+BE=b-r+a-r=c$。所以$a+b-2r=c$。所以$r=\frac{a+b-c}{2}$。故$\odot O$的半径长为$\frac{a+b-c}{2}$。
【答案】
(1) 内
(2) $BF=5$
(3) $\odot O$的半径长为$\frac{a+b-c}{2}$
【知识点】
三角形内心的定义、切线长定理、正方形的判定与性质
【点评】
本题围绕三角形内切圆的核心知识点命题，侧重基础定理的理解与应用，切线长定理是解决内切圆线段计算问题的常用工具，直角三角形内切圆半径公式是常考结论，需掌握其推导过程并能灵活运用。
【难度系数】
0.7
(1) 本问考查三角形内心的定义，三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心，直接根据定义即可作答。
(2) 本问解题的核心是运用切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。我们可以得到三组等长线段：$AE=AF$，$BF=BD$，$CE=CD$，将各段线段用含$x$的代数式表示后，结合$BC=BD+CD$的等量关系列方程求解，即可得到$x$的值，进而求出$BF$的长度。
(3) 本问先连接圆心与各切点，根据切线的性质可知切线垂直于过切点的半径，可得$∠ OFC=∠ ODC=∠ C=90°$，先判定四边形$ODCF$是矩形，再结合邻边$OD=OF$可证得该四边形是正方形，得到$CD=CF=r$；再利用切线长定理将$AB$的长度用含$r$的式子表示，结合$AB=c$列方程整理，即可得到半径$r$的表达式。
【解析】
(1) 因为$\odot O$是$△ ABC$的内切圆，所以点$O$是$△ ABC$的内心。
(2) 因为$△ ABC$的内切圆$\odot O$与$BC,CA,AB$分别相切于点$D,E,F$，所以$AE=AF,BF=BD,CE=CD$。因为$AF=x$，所以$BD=BF=AB-AF=9-x,AE=AF=x$。所以$CD=CE=AC-AE=13-x$。因为$BC=BD+CD$，所以$9-x+13-x=14$。解得$x=4$。所以$BF=9-x=5$。
(3) 如图，连接$OD,OE,OF$。易得$AE=AF,BE=BD,CF=CD$，$∠ OFC=∠ ODC=90°$。设$\odot O$的半径长为$r$，则$OD=OF=r$。因为$∠ C=∠ OFC=∠ ODC=90°$，所以四边形$ODCF$为矩形。又$OD=OF$，所以矩形$ODCF$为正方形。
所以$CD=CF=r$。所以$AE=AF=CA-CF=b-r,BE=BD=BC-CD=a-r$。所以$AB=AE+BE=b-r+a-r=c$。所以$a+b-2r=c$。所以$r=\frac{a+b-c}{2}$。故$\odot O$的半径长为$\frac{a+b-c}{2}$。【答案】
(1) 内
(2) $BF=5$
(3) $\odot O$的半径长为$\frac{a+b-c}{2}$
【知识点】
三角形内心的定义、切线长定理、正方形的判定与性质
【点评】
本题围绕三角形内切圆的核心知识点命题，侧重基础定理的理解与应用，切线长定理是解决内切圆线段计算问题的常用工具，直角三角形内切圆半径公式是常考结论，需掌握其推导过程并能灵活运用。
【难度系数】
0.7
