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5.如图,若等边三角形ABC的边长为$4\sqrt{3}$,则这个等边三角形内切圆$\odot O$的半径为
(第5题图)
(第6题图)
2
.(第5题图)
(第6题图)
答案
5. 2
解析
【分析】
要计算等边三角形内切圆的半径，首先回忆相关性质：等边三角形的内心（内切圆圆心）同时是三角形的角平分线、中线、高的交点，即三线合一。我们可以过圆心作底边BC的垂线，垂线段长度就是内切圆半径，再结合30°角直角三角形的性质计算即可；也可以先求出等边三角形的高，利用内心将高分为2:1的比例，内切圆半径为高的$\frac{1}{3}$求解。
【解析】
解：过点O作$OD⊥ BC$于点D，则OD即为$\odot O$的半径。
$\because △ ABC$是等边三角形，O是其内切圆圆心，
$\therefore$OB平分$∠ ABC$，且D为BC中点，
$\therefore ∠ OBD=\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2}×60°=30°$，$BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×4\sqrt{3}=2\sqrt{3}$。
在$Rt△ OBD$中，$\tan∠ OBD=\frac{OD}{BD}$，
代入$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，得：
$OD=BD×\tan30°=2\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}=2$。
也可先计算等边三角形的高$h=\sqrt{(4\sqrt{3})^2-(2\sqrt{3})^2}=6$，内切圆半径$r=\frac{1}{3}h=2$。
【答案】
2
【知识点】
等边三角形的性质，三角形内心的性质，解直角三角形
【点评】
本题是几何基础计算题，解题关键是熟练掌握等边三角形三线合一和三角形内心的性质，建立内切圆半径与三角形边长的关系求解，是三角形与圆结合的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
要计算等边三角形内切圆的半径，首先回忆相关性质：等边三角形的内心（内切圆圆心）同时是三角形的角平分线、中线、高的交点，即三线合一。我们可以过圆心作底边BC的垂线，垂线段长度就是内切圆半径，再结合30°角直角三角形的性质计算即可；也可以先求出等边三角形的高，利用内心将高分为2:1的比例，内切圆半径为高的$\frac{1}{3}$求解。
【解析】
解：过点O作$OD⊥ BC$于点D，则OD即为$\odot O$的半径。
$\because △ ABC$是等边三角形，O是其内切圆圆心，
$\therefore$OB平分$∠ ABC$，且D为BC中点，
$\therefore ∠ OBD=\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2}×60°=30°$，$BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×4\sqrt{3}=2\sqrt{3}$。
在$Rt△ OBD$中，$\tan∠ OBD=\frac{OD}{BD}$，
代入$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，得：
$OD=BD×\tan30°=2\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}=2$。
也可先计算等边三角形的高$h=\sqrt{(4\sqrt{3})^2-(2\sqrt{3})^2}=6$，内切圆半径$r=\frac{1}{3}h=2$。
【答案】
2
【知识点】
等边三角形的性质，三角形内心的性质，解直角三角形
【点评】
本题是几何基础计算题，解题关键是熟练掌握等边三角形三线合一和三角形内心的性质，建立内切圆半径与三角形边长的关系求解，是三角形与圆结合的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
6.如图,点$ I $为$△ ABC$的内心,$ AB = 7 $,$ AC = 5 $,$ BC = 4 $.将$△ ACB$平移,使其顶点$ C $与点$ I $重合,则图中阴影部分的周长为________.
答案
6. 7
【解析】如图,连接AI,BI,设平移后的三角形的两边分别与AB交于点E,F.
∵点I为△ABC的内心,
∴AI平分∠BAC,BI平分∠ABC.
∴∠CAI=∠BAI,∠CBI=∠ABI.
由平移的性质可知AC//EI,BC//FI.
∴∠CAI=∠AIE,∠CBI=∠BIF.
∴∠BAI=∠AIE,∠ABI=∠BIF.
∴AE=EI,BF=FI.
∴阴影部分的周长为 IE+EF+IF=AE+EF+BF=AB=7.
解析
【分析】
要解决这道题可按以下思路思考：首先明确已知条件：点I是△ABC的内心，△ACB平移后顶点C与I重合，已知AB长为7，要求阴影部分周长。第一步回忆相关性质：三角形内心是三个内角角平分线的交点，因此AI平分∠CAB、BI平分∠CBA；平移前后对应边互相平行，因此平移后AC//EI、BC//FI。第二步结合角平分线和平行线的性质，可推导出∠BAI=∠AIE、∠ABI=∠BIF，根据等角对等边可得AE=EI、BF=FI。第三步转化阴影周长：阴影部分周长为IE+EF+FI，将IE替换为AE、FI替换为BF，可得周长等于AE+EF+BF，也就是AB的长度，代入AB的数值即可得到结果。
【解析】
如图，连接AI，BI，设平移后的三角形的两边分别与AB交于点E，F。
∵点I为△ABC的内心，
∴AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，
∴∠CAI=∠BAI，∠CBI=∠ABI。
由平移的性质可知AC//EI，BC//FI，
∴∠CAI=∠AIE，∠CBI=∠BIF，
∴∠BAI=∠AIE，∠ABI=∠BIF，
∴AE=EI，BF=FI，
∴阴影部分的周长为 IE+EF+IF=AE+EF+BF=AB=7。
【答案】
7
【知识点】
三角形内心的性质，平移的性质，等腰三角形的判定
【点评】
本题综合考查了平移、三角形内心和等腰三角形的相关知识，核心是通过角平分线和平行线的性质得到等腰三角形，将未知的阴影周长转化为已知的AB边长，巧妙运用了转化的数学思想。
【难度系数】
0.6
要解决这道题可按以下思路思考：首先明确已知条件：点I是△ABC的内心，△ACB平移后顶点C与I重合，已知AB长为7，要求阴影部分周长。第一步回忆相关性质：三角形内心是三个内角角平分线的交点，因此AI平分∠CAB、BI平分∠CBA；平移前后对应边互相平行，因此平移后AC//EI、BC//FI。第二步结合角平分线和平行线的性质，可推导出∠BAI=∠AIE、∠ABI=∠BIF，根据等角对等边可得AE=EI、BF=FI。第三步转化阴影周长：阴影部分周长为IE+EF+FI，将IE替换为AE、FI替换为BF，可得周长等于AE+EF+BF，也就是AB的长度，代入AB的数值即可得到结果。
【解析】
如图，连接AI，BI，设平移后的三角形的两边分别与AB交于点E，F。
∵点I为△ABC的内心，
∴AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，
∴∠CAI=∠BAI，∠CBI=∠ABI。
由平移的性质可知AC//EI，BC//FI，
∴∠CAI=∠AIE，∠CBI=∠BIF，
∴∠BAI=∠AIE，∠ABI=∠BIF，
∴AE=EI，BF=FI，
∴阴影部分的周长为 IE+EF+IF=AE+EF+BF=AB=7。
【答案】
7
【知识点】
三角形内心的性质，平移的性质，等腰三角形的判定
【点评】
本题综合考查了平移、三角形内心和等腰三角形的相关知识，核心是通过角平分线和平行线的性质得到等腰三角形，将未知的阴影周长转化为已知的AB边长，巧妙运用了转化的数学思想。
【难度系数】
0.6
7.如图1,有一块三角形纸片ABC,在三角形纸片上裁一个圆形纸片,这个圆与三角形的三条边都相切.
(1)尺规作图:在图1中找出这个圆的圆心O.(保留作图痕迹,标明字母,不写作法)
(2)如图2,若$BC=8$,$AC=6$,$AB=10$,$\odot O$与边$AB$,$BC$,$CA$分别相切于点$D$,$E$,$F$,求$\odot O$的面积.
(1)尺规作图:在图1中找出这个圆的圆心O.(保留作图痕迹,标明字母,不写作法)
(2)如图2,若$BC=8$,$AC=6$,$AB=10$,$\odot O$与边$AB$,$BC$,$CA$分别相切于点$D$,$E$,$F$,求$\odot O$的面积.
答案
7. 【解】(1)如图,点O即为所求.
(2)如图,连接OD,OE,OF.
∵在△ABC中,BC=8,AC=6,AB=10,
∴BC²+AC²=8²+6²=10²=AB².
∴△ABC是直角三角形,∠C=90°.
∵⊙O是△ABC的内切圆,切点分别为D,E,F,
∴OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC,BD=BE,AD=AF,CE=CF,OD=OE=OF.
又∠C=90°,
∴四边形OFCE为正方形.
设CE=r,则CF=OE=r.
则BD=BE=8−r,AD=AF=6−r.
∵BD+AD=AB,
∴8−r+6−r=10. 解得r=2.
∴OE=2.
∴⊙O的面积是4π.
解析
【分析】
(1) 与三角形三边都相切的圆是三角形的内切圆，其圆心为三角形的内心，即三角形内角角平分线的交点，因此只需作出△ABC任意两个内角的角平分线，交点即为所求圆心O。
(2) 首先根据给出的三边长度，用勾股定理的逆定理判断△ABC的形状；再利用内切圆的切线性质、切线长定理，推导出半径与三角形边长的关系，设半径为r列方程求解，最后代入圆的面积公式计算即可。
【解析】
(1) 作△ABC两个内角的角平分线，两条角平分线的交点即为圆心O，作图结果如下：
(2) 连接OD、OE、OF，如图：
已知BC=8，AC=6，AB=10，计算得：
$BC^2+AC^2=8^2+6^2=64+36=100=10^2=AB^2$，
根据勾股定理的逆定理，可得△ABC是直角三角形，$∠ C=90°$。
∵$\odot O$是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，
∴$OD⊥ AB$，$OE⊥ BC$，$OF⊥ AC$，且$BD=BE$，$AD=AF$，$CE=CF$，$OD=OE=OF$。
又
∵$∠ C=90°$，
∴四边形OFCE为正方形。
设$\odot O$的半径为r，则$CE=CF=r$，
∴$BE=BC-CE=8-r$，$AF=AC-CF=6-r$，即$BD=8-r$，$AD=6-r$。
∵$BD+AD=AB$，
∴$8-r+6-r=10$，解得$r=2$。
∴$\odot O$的面积$S=π r^2=π×2^2=4π$。
【答案】
(1) 点O的位置见；
(2) $\odot O$的面积为$\boldsymbol{4π}$。
【知识点】
三角形的内切圆与内心，勾股定理的逆定理，切线长定理
【点评】
本题结合了尺规作图和几何计算，既考察了基础作图能力，又综合了直角三角形判定、内切圆性质的应用，解题用到的方程思想是几何计算中的常用方法，是三角形与圆结合的典型基础题。
【难度系数】
0.7
(1) 与三角形三边都相切的圆是三角形的内切圆，其圆心为三角形的内心，即三角形内角角平分线的交点，因此只需作出△ABC任意两个内角的角平分线，交点即为所求圆心O。
(2) 首先根据给出的三边长度，用勾股定理的逆定理判断△ABC的形状；再利用内切圆的切线性质、切线长定理，推导出半径与三角形边长的关系，设半径为r列方程求解，最后代入圆的面积公式计算即可。
【解析】
(1) 作△ABC两个内角的角平分线，两条角平分线的交点即为圆心O，作图结果如下：
(2) 连接OD、OE、OF，如图：
已知BC=8，AC=6，AB=10，计算得：
$BC^2+AC^2=8^2+6^2=64+36=100=10^2=AB^2$，
根据勾股定理的逆定理，可得△ABC是直角三角形，$∠ C=90°$。
∵$\odot O$是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，
∴$OD⊥ AB$，$OE⊥ BC$，$OF⊥ AC$，且$BD=BE$，$AD=AF$，$CE=CF$，$OD=OE=OF$。
又
∵$∠ C=90°$，
∴四边形OFCE为正方形。
设$\odot O$的半径为r，则$CE=CF=r$，
∴$BE=BC-CE=8-r$，$AF=AC-CF=6-r$，即$BD=8-r$，$AD=6-r$。
∵$BD+AD=AB$，
∴$8-r+6-r=10$，解得$r=2$。
∴$\odot O$的面积$S=π r^2=π×2^2=4π$。
【答案】
(1) 点O的位置见
；(2) $\odot O$的面积为$\boldsymbol{4π}$。
【知识点】
三角形的内切圆与内心，勾股定理的逆定理，切线长定理
【点评】
本题结合了尺规作图和几何计算，既考察了基础作图能力，又综合了直角三角形判定、内切圆性质的应用，解题用到的方程思想是几何计算中的常用方法，是三角形与圆结合的典型基础题。
【难度系数】
0.7
8. 周长为15 cm的三角形纸片ABC如图所示.小明想用剪刀剪出它的内切圆⊙O,他先沿着与⊙O相切的DE所在直线剪下了一个三角形纸片BDE.若AC=4 cm,则三角形纸片BDE的周长是 （
A.9 cm
B.8 cm
C.7 cm
D.6 cm
C
）A.9 cm
B.8 cm
C.7 cm
D.6 cm
答案
8. C
解析
【分析】
解题核心是运用切线长定理，首先明确三角形内切圆的切线长性质：从圆外一点引圆的两条切线，切线长度相等。第一步先根据△ABC的总周长和AC的长度，求出AB+BC的和；第二步利用切线长定理，将△BDE的周长转化为点B到内切圆的两条切线长之和，即可求得结果。
【解析】
设△ABC的内切圆与AB边切于点P，与BC边切于点Q，与AC边切于点R，DE与⊙O切于点S。
根据切线长定理可得：$AP=AR$，$CQ=CR$，$DP=DS$，$EQ=ES$。
已知△ABC周长为15 cm，$AC=4\mathrm{cm}$，因此$AB+BC+AC=15\mathrm{cm}$，可得$AB+BC=15-4=11\mathrm{cm}$。
又因为$AP+CQ=AR+CR=AC=4\mathrm{cm}$，所以$BP+BQ=(AB-AP)+(BC-CQ)=(AB+BC)-(AP+CQ)=11-4=7\mathrm{cm}$。
△BDE的周长$=BD+DE+BE=BD+DS+SE+BE$，代入$DP=DS$、$EQ=ES$得：
周长$=BD+DP+EQ+BE=(BD+DP)+(BE+EQ)=BP+BQ=7\mathrm{cm}$。
【答案】
C
【知识点】
切线长定理，三角形内切圆
【点评】
本题重点考查切线长定理的灵活应用，解题关键是通过切线长相等的性质，对所求三角形的周长做等量转化，属于基础性质应用类题目。
【难度系数】
0.7
解题核心是运用切线长定理，首先明确三角形内切圆的切线长性质：从圆外一点引圆的两条切线，切线长度相等。第一步先根据△ABC的总周长和AC的长度，求出AB+BC的和；第二步利用切线长定理，将△BDE的周长转化为点B到内切圆的两条切线长之和，即可求得结果。
【解析】
设△ABC的内切圆与AB边切于点P，与BC边切于点Q，与AC边切于点R，DE与⊙O切于点S。
根据切线长定理可得：$AP=AR$，$CQ=CR$，$DP=DS$，$EQ=ES$。
已知△ABC周长为15 cm，$AC=4\mathrm{cm}$，因此$AB+BC+AC=15\mathrm{cm}$，可得$AB+BC=15-4=11\mathrm{cm}$。
又因为$AP+CQ=AR+CR=AC=4\mathrm{cm}$，所以$BP+BQ=(AB-AP)+(BC-CQ)=(AB+BC)-(AP+CQ)=11-4=7\mathrm{cm}$。
△BDE的周长$=BD+DE+BE=BD+DS+SE+BE$，代入$DP=DS$、$EQ=ES$得：
周长$=BD+DP+EQ+BE=(BD+DP)+(BE+EQ)=BP+BQ=7\mathrm{cm}$。
【答案】
C
【知识点】
切线长定理，三角形内切圆
【点评】
本题重点考查切线长定理的灵活应用，解题关键是通过切线长相等的性质，对所求三角形的周长做等量转化，属于基础性质应用类题目。
【难度系数】
0.7
9. 如图，$\odot O$是$△ ABC$的内切圆，$\odot O$与边$AB$，$BC$，$AC$分别相切于点$D$，$E$，$F$. $∠ DOE=120°$，$∠ EOF=150°$.
(1)求$△ ABC$三个内角的度数.
(2)设$\odot O$的直径为$d$.求证：$d=AB+AC-BC$.
(1)求$△ ABC$三个内角的度数.
(2)设$\odot O$的直径为$d$.求证：$d=AB+AC-BC$.
答案
9. (1)【解】
∵⊙O是△ABC的内切圆,⊙O与边AB,BC,AC分别相切于点D,E,F,
∴OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥CA.
∴∠ODB=∠OEB=∠OEC=∠OFC=90°.
∵∠DOE=120°,∠EOF=150°,
∴∠B=360°−∠ODB−∠OEB−∠DOE=60°,∠C=360°−∠OEC−∠OFC−∠EOF=30°.
∴∠A=180°−∠B−∠C=90°.
∴∠A,∠B,∠C的度数分别为90°,60°,30°.
(2)【证明】
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴AD=AF,BD=BE,CF=CE.
∴BD+CF=BE+CE=BC.
∴AB+AC=AD+BD+CF+AF=2AF+BC.
∴2AF=AB+AC−BC.
由(1)知OD⊥AB,OF⊥AC,∠A=90°.
∴四边形ADOF是矩形.
∴OD=AF.
∵⊙O的直径为d,OD为⊙O的半径，
∴d=2OD=2AF.
∴d=AB+AC−BC.
∵⊙O是△ABC的内切圆,⊙O与边AB,BC,AC分别相切于点D,E,F,
∴OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥CA.
∴∠ODB=∠OEB=∠OEC=∠OFC=90°.
∵∠DOE=120°,∠EOF=150°,
∴∠B=360°−∠ODB−∠OEB−∠DOE=60°,∠C=360°−∠OEC−∠OFC−∠EOF=30°.
∴∠A=180°−∠B−∠C=90°.
∴∠A,∠B,∠C的度数分别为90°,60°,30°.
(2)【证明】
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴AD=AF,BD=BE,CF=CE.
∴BD+CF=BE+CE=BC.
∴AB+AC=AD+BD+CF+AF=2AF+BC.
∴2AF=AB+AC−BC.
由(1)知OD⊥AB,OF⊥AC,∠A=90°.
∴四边形ADOF是矩形.
∴OD=AF.
∵⊙O的直径为d,OD为⊙O的半径，
∴d=2OD=2AF.
∴d=AB+AC−BC.
解析
【分析】
(1) 求解三角形内角度数时，首先利用内切圆切线的性质：过切点的半径垂直于切线，得到OD⊥AB、OE⊥BC、OF⊥AC，此时四边形ODBE、OECF中各有两个直角，结合已知的两个圆心角，利用四边形内角和为360°即可求出∠B和∠C，最后根据三角形内角和为180°求出∠A。
(2) 证明等式时，先利用切线长定理得到三组相等的切线段，将AB+AC拆分变形，推导得到AB+AC与BC、AF的数量关系，再结合(1)中∠A=90°的结论，判定四边形ADOF是矩形，得到半径和AF的等量关系，最终推出直径d和AB+AC、BC的关系即可完成证明。
【解析】
(1) 解：
∵⊙O是△ABC的内切圆，⊙O与边AB，BC，AC分别相切于点D，E，F，
∴OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥CA，
∴∠ODB=∠OEB=∠OEC=∠OFC=90°。
∵四边形内角和为360°，∠DOE=120°，∠EOF=150°，
∴∠B=360°−∠ODB−∠OEB−∠DOE=360°−90°−90°−120°=60°，
∠C=360°−∠OEC−∠OFC−∠EOF=360°−90°−90°−150°=30°，
根据三角形内角和为180°：
∠A=180°−∠B−∠C=180°−60°−30°=90°。
(2) 证明：
∵⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F为切点，
∴根据切线长定理可得：AD=AF，BD=BE，CF=CE，
∴BD+CF=BE+CE=BC，
∴AB+AC=(AD+BD)+(AF+CF)=AD+AF + (BD+CF)=2AF + BC，
移项得：2AF=AB+AC−BC。
由(1)知OD⊥AB，OF⊥AC，且∠A=90°，
∴四边形ADOF有三个内角为直角，即四边形ADOF是矩形，
∴OD=AF，
∵⊙O的直径为d，OD是⊙O的半径，即d=2OD，
∴d=2OD=2AF=AB+AC−BC，原式得证。
【答案】
(1) ∠A=90°，∠B=60°，∠C=30°；
(2) 证明成立，d=AB+AC-BC。
【知识点】
切线的性质，切线长定理，矩形的判定与性质
【点评】
本题围绕三角形内切圆设计，综合考查了切线相关定理、多边形内角和、矩形判定等知识点，解题核心是熟练掌握内切圆对应的切线性质和切线长定理，属于基础几何综合题，掌握相关定理即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
(1) 求解三角形内角度数时，首先利用内切圆切线的性质：过切点的半径垂直于切线，得到OD⊥AB、OE⊥BC、OF⊥AC，此时四边形ODBE、OECF中各有两个直角，结合已知的两个圆心角，利用四边形内角和为360°即可求出∠B和∠C，最后根据三角形内角和为180°求出∠A。
(2) 证明等式时，先利用切线长定理得到三组相等的切线段，将AB+AC拆分变形，推导得到AB+AC与BC、AF的数量关系，再结合(1)中∠A=90°的结论，判定四边形ADOF是矩形，得到半径和AF的等量关系，最终推出直径d和AB+AC、BC的关系即可完成证明。
【解析】
(1) 解：
∵⊙O是△ABC的内切圆，⊙O与边AB，BC，AC分别相切于点D，E，F，
∴OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥CA，
∴∠ODB=∠OEB=∠OEC=∠OFC=90°。
∵四边形内角和为360°，∠DOE=120°，∠EOF=150°，
∴∠B=360°−∠ODB−∠OEB−∠DOE=360°−90°−90°−120°=60°，
∠C=360°−∠OEC−∠OFC−∠EOF=360°−90°−90°−150°=30°，
根据三角形内角和为180°：
∠A=180°−∠B−∠C=180°−60°−30°=90°。
(2) 证明：
∵⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F为切点，
∴根据切线长定理可得：AD=AF，BD=BE，CF=CE，
∴BD+CF=BE+CE=BC，
∴AB+AC=(AD+BD)+(AF+CF)=AD+AF + (BD+CF)=2AF + BC，
移项得：2AF=AB+AC−BC。
由(1)知OD⊥AB，OF⊥AC，且∠A=90°，
∴四边形ADOF有三个内角为直角，即四边形ADOF是矩形，
∴OD=AF，
∵⊙O的直径为d，OD是⊙O的半径，即d=2OD，
∴d=2OD=2AF=AB+AC−BC，原式得证。
【答案】
(1) ∠A=90°，∠B=60°，∠C=30°；
(2) 证明成立，d=AB+AC-BC。
【知识点】
切线的性质，切线长定理，矩形的判定与性质
【点评】
本题围绕三角形内切圆设计，综合考查了切线相关定理、多边形内角和、矩形判定等知识点，解题核心是熟练掌握内切圆对应的切线性质和切线长定理，属于基础几何综合题，掌握相关定理即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
10.如图，点I是$△ ABC$的内心.请仅用无刻度的直尺在$\overset{\frown}{BC}$上找一点D，使得$BD=ID$，并证明.
答案
10. 【解】如图,连接AI并延长,交$\overset{\frown}{BC}$于点D,连接BD,点D即为所求.
证明:如图,连接BI.
∵点I是△ABC的内心，
∴∠BAD=∠CAD,∠ABI=∠CBI.
∵圆周角∠CAD,∠CBD所对的弧都为$\overset{\frown}{CD}$，
∴∠CAD=∠CBD.
∴∠BAD=∠CBD.
∵∠DBI = ∠CBD + ∠CBI = ∠BAD + ∠ABI=∠DIB,
∴BD=ID.
解析
【分析】
要找$\overset{\frown}{BC}$上满足$BD=ID$的点D，本质是要证$△ DBI$为等腰三角形，即$∠ DBI=∠ DIB$。已知点I是$△ ABC$的内心，内心是三角形三条角平分线的交点，因此AI平分$∠ BAC$，先延长AI交$\overset{\frown}{BC}$得到点D，再结合圆周角定理“同弧所对的圆周角相等”，通过角的等量代换推导两角相等，即可证明边相等，确定D点符合要求。
【解析】
作图步骤：
连接AI并延长，交$\overset{\frown}{BC}$于点D，点D即为所求。
证明过程：
连接$BI$：
1. 由点I是$△ ABC$的内心可得，AI平分$∠ BAC$，BI平分$∠ ABC$，即$∠ BAD=∠ CAD$，$∠ ABI=∠ CBI$；
2. 根据圆周角定理，同弧$\overset{\frown}{CD}$所对的圆周角相等，因此$∠ CAD=∠ CBD$，等量代换得$∠ BAD=∠ CBD$；
3. 由角的和的关系得$∠ DBI = ∠ CBD + ∠ CBI$，由三角形外角性质得$∠ DIB=∠ BAD + ∠ ABI$；
4. 代入等量关系可得$∠ DBI=∠ DIB$，根据等角对等边，即可推出$BD=ID$。
【答案】
如图，连接AI并延长，交$\overset{\frown}{BC}$于点D，连接BD，点D即为所求。
证明：如图，连接BI.
∵点I是△ABC的内心，
∴∠BAD=∠CAD,∠ABI=∠CBI.
∵圆周角∠CAD,∠CBD所对的弧都为$\overset{\frown}{CD}$，
∴∠CAD=∠CBD.
∴∠BAD=∠CBD.
∵∠DBI = ∠CBD + ∠CBI = ∠BAD + ∠ABI=∠DIB,
∴BD=ID.
【知识点】
三角形内心的性质、圆周角定理、等腰三角形的判定
【点评】
本题是圆与三角形性质结合的作图证明题，既考查了无刻度直尺作图的方法，也考查了几何性质的综合运用能力，解题核心是利用内心的角平分线特征确定点D的位置，再通过角的等量代换完成证明，有助于提升几何作图与逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
要找$\overset{\frown}{BC}$上满足$BD=ID$的点D，本质是要证$△ DBI$为等腰三角形，即$∠ DBI=∠ DIB$。已知点I是$△ ABC$的内心，内心是三角形三条角平分线的交点，因此AI平分$∠ BAC$，先延长AI交$\overset{\frown}{BC}$得到点D，再结合圆周角定理“同弧所对的圆周角相等”，通过角的等量代换推导两角相等，即可证明边相等，确定D点符合要求。
【解析】
作图步骤：
连接AI并延长，交$\overset{\frown}{BC}$于点D，点D即为所求。
证明过程：
连接$BI$：
1. 由点I是$△ ABC$的内心可得，AI平分$∠ BAC$，BI平分$∠ ABC$，即$∠ BAD=∠ CAD$，$∠ ABI=∠ CBI$；
2. 根据圆周角定理，同弧$\overset{\frown}{CD}$所对的圆周角相等，因此$∠ CAD=∠ CBD$，等量代换得$∠ BAD=∠ CBD$；
3. 由角的和的关系得$∠ DBI = ∠ CBD + ∠ CBI$，由三角形外角性质得$∠ DIB=∠ BAD + ∠ ABI$；
4. 代入等量关系可得$∠ DBI=∠ DIB$，根据等角对等边，即可推出$BD=ID$。
【答案】
如图，连接AI并延长，交$\overset{\frown}{BC}$于点D，连接BD，点D即为所求。
证明：如图，连接BI.
∵点I是△ABC的内心，
∴∠BAD=∠CAD,∠ABI=∠CBI.
∵圆周角∠CAD,∠CBD所对的弧都为$\overset{\frown}{CD}$，
∴∠CAD=∠CBD.
∴∠BAD=∠CBD.
∵∠DBI = ∠CBD + ∠CBI = ∠BAD + ∠ABI=∠DIB,
∴BD=ID.
【知识点】
三角形内心的性质、圆周角定理、等腰三角形的判定
【点评】
本题是圆与三角形性质结合的作图证明题，既考查了无刻度直尺作图的方法，也考查了几何性质的综合运用能力，解题核心是利用内心的角平分线特征确定点D的位置，再通过角的等量代换完成证明，有助于提升几何作图与逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
