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基础知识·预习
问题1 解决传播问题时，我们通常设哪个量为未知数？
问题2 在平均变化率问题中，怎么找原来的量和变化后的量？
问题3 增长率和下降率在列式时有什么不一样？
问题1 解决传播问题时，我们通常设哪个量为未知数？
问题2 在平均变化率问题中，怎么找原来的量和变化后的量？
问题3 增长率和下降率在列式时有什么不一样？
答案
1. 通常设每轮传染中平均一个人传染的人数为未知数。
2. 原来的量是变化前的基准初始量，可从题干描述的变化前的初始状态获取；变化后的量是经过指定次数变化后得到的最终量，可从题干描述的最终状态获取。
3. 设变化前的基准量为a，平均变化率为x，经过两次变化时，增长率对应的列式为a(1+x)²=变化后的量，下降率对应的列式为a(1-x)²=变化后的量，二者的区别是增长率的表达式中使用加号，下降率的表达式中使用减号。
2. 原来的量是变化前的基准初始量，可从题干描述的变化前的初始状态获取；变化后的量是经过指定次数变化后得到的最终量，可从题干描述的最终状态获取。
3. 设变化前的基准量为a，平均变化率为x，经过两次变化时，增长率对应的列式为a(1+x)²=变化后的量，下降率对应的列式为a(1-x)²=变化后的量，二者的区别是增长率的表达式中使用加号，下降率的表达式中使用减号。
解析
【分析】
这三个问题是一元二次方程实际应用的基础概念题，思考思路如下：1. 传播问题中，每轮的传染人数是决定传播总人数的核心变量，所以优先把这个核心量设为未知数更便于列方程；2. 平均变化率问题中，可根据变化的时间顺序找对应量：变化发生前的起始基准量就是原来的量，经过指定次数变化后的最终结果就是变化后的量，直接对应题干的状态描述即可；3. 区分增长率和下降率列式时，结合变化的方向判断：增长是在原量基础上叠加增量用加法，下降是在原量基础上减去减量用减法，就能快速区分二者的列式差异。
【解析】
1. 传播问题的核心变量为每轮传染中单个个体的传染人数，因此通常设每轮传染中平均一个人传染的人数为未知数。
2. 按照题干描述的变化先后顺序区分：原来的量是变化开始前的初始基准量，对应题干中变化前的初始状态描述；变化后的量是经过指定次数变化后得到的最终量，对应题干中变化结束的最终状态描述。
3. 设变化前的基准量为$a$，平均变化率为$x$，以两次变化为例：增长率是在原量基础上增加，列式为$a(1+x)^2=\mathrm{变化后的量}$；下降率是在原量基础上减少，列式为$a(1-x)^2=\mathrm{变化后的量}$，二者核心区别是增长率列式用加号，下降率列式用减号。
【答案】
1. 通常设每轮传染中平均一个人传染的人数为未知数。
2. 原来的量是变化前的基准初始量，可从题干描述的变化前的初始状态获取；变化后的量是经过指定次数变化后得到的最终量，可从题干描述的最终状态获取。
3. 设变化前的基准量为a，平均变化率为x，经过两次变化时，增长率对应的列式为a(1+x)²=变化后的量，下降率对应的列式为a(1-x)²=变化后的量，二者的区别是增长率的表达式中使用加号，下降率的表达式中使用减号。
【知识点】
传播问题建模；平均变化率概念；增长率与下降率公式
【点评】
本题是实际应用类问题的基础预习题目，侧重梳理核心概念和基本逻辑，掌握相关结论后能快速找准应用题的等量关系，为后续解决复杂的一元二次方程实际应用题目打牢基础。
【难度系数】
0.8
这三个问题是一元二次方程实际应用的基础概念题，思考思路如下：1. 传播问题中，每轮的传染人数是决定传播总人数的核心变量，所以优先把这个核心量设为未知数更便于列方程；2. 平均变化率问题中，可根据变化的时间顺序找对应量：变化发生前的起始基准量就是原来的量，经过指定次数变化后的最终结果就是变化后的量，直接对应题干的状态描述即可；3. 区分增长率和下降率列式时，结合变化的方向判断：增长是在原量基础上叠加增量用加法，下降是在原量基础上减去减量用减法，就能快速区分二者的列式差异。
【解析】
1. 传播问题的核心变量为每轮传染中单个个体的传染人数，因此通常设每轮传染中平均一个人传染的人数为未知数。
2. 按照题干描述的变化先后顺序区分：原来的量是变化开始前的初始基准量，对应题干中变化前的初始状态描述；变化后的量是经过指定次数变化后得到的最终量，对应题干中变化结束的最终状态描述。
3. 设变化前的基准量为$a$，平均变化率为$x$，以两次变化为例：增长率是在原量基础上增加，列式为$a(1+x)^2=\mathrm{变化后的量}$；下降率是在原量基础上减少，列式为$a(1-x)^2=\mathrm{变化后的量}$，二者核心区别是增长率列式用加号，下降率列式用减号。
【答案】
1. 通常设每轮传染中平均一个人传染的人数为未知数。
2. 原来的量是变化前的基准初始量，可从题干描述的变化前的初始状态获取；变化后的量是经过指定次数变化后得到的最终量，可从题干描述的最终状态获取。
3. 设变化前的基准量为a，平均变化率为x，经过两次变化时，增长率对应的列式为a(1+x)²=变化后的量，下降率对应的列式为a(1-x)²=变化后的量，二者的区别是增长率的表达式中使用加号，下降率的表达式中使用减号。
【知识点】
传播问题建模；平均变化率概念；增长率与下降率公式
【点评】
本题是实际应用类问题的基础预习题目，侧重梳理核心概念和基本逻辑，掌握相关结论后能快速找准应用题的等量关系，为后续解决复杂的一元二次方程实际应用题目打牢基础。
【难度系数】
0.8
【典型例题1】流感的传染速度很快.已知开始有1个人感染了流感病毒,经过两轮传染后共有64个人感染了流感病毒.
(1)每轮传染中平均1个人传染了多少个人?
(2)如果不及时控制,第三轮又将有多少个人被传染?
【解】(1)设每轮传染中平均1个人传染了x个人.
根据题意,得$1+x+x(1+x)=64$.
解得$x_1=7,x_2=-9$(不合题意,舍去).
因此,每轮传染中平均1个人传染了7个人.
(2)$64×7=448$(个).
因此,如果不及时控制,第三轮又将有448个人被传染.
规律方法 设a为传染源数,x为每个传染源每轮传染的人数,则传染两轮后感染的总人数为$a(1+x)^2$.
(1)每轮传染中平均1个人传染了多少个人?
(2)如果不及时控制,第三轮又将有多少个人被传染?
【解】(1)设每轮传染中平均1个人传染了x个人.
根据题意,得$1+x+x(1+x)=64$.
解得$x_1=7,x_2=-9$(不合题意,舍去).
因此,每轮传染中平均1个人传染了7个人.
(2)$64×7=448$(个).
因此,如果不及时控制,第三轮又将有448个人被传染.
规律方法 设a为传染源数,x为每个传染源每轮传染的人数,则传染两轮后感染的总人数为$a(1+x)^2$.
答案
解：(1) 设每轮传染中平均1个人传染了$x$个人。
根据题意，得
$1+x+x(1+x)=64$
整理得$(1+x)^2=64$
解得$x_1=7$，$x_2=-9$。
因为传染的人数不能为负数，所以$x=-9$不合题意，舍去。
因此每轮传染中平均1个人传染了7个人。
(2) 经过两轮传染后共有64个已感染者，第三轮新增的被传染人数为：
$64×7=448$（个）
答：(1) 每轮传染中平均1个人传染了7个人；(2) 第三轮又将有448个人被传染。
根据题意，得
$1+x+x(1+x)=64$
整理得$(1+x)^2=64$
解得$x_1=7$，$x_2=-9$。
因为传染的人数不能为负数，所以$x=-9$不合题意，舍去。
因此每轮传染中平均1个人传染了7个人。
(2) 经过两轮传染后共有64个已感染者，第三轮新增的被传染人数为：
$64×7=448$（个）
答：(1) 每轮传染中平均1个人传染了7个人；(2) 第三轮又将有448个人被传染。
解析
【分析】
这是典型的传播类应用题，解题思路如下：（1）解决第一问时，先明确每轮传染的传染源数量：初始传染源为1人，设每人每轮传染x人，第一轮传染后总感染人数为初始人数加第一轮新增人数，即1+x人；第二轮传染时，传染源是第一轮结束后的所有感染者，因此第二轮新增感染人数为(1+x)x，两轮总感染人数相加等于64，据此列一元二次方程求解，注意传染人数不能为负，要舍去不符合实际意义的解。（2）解决第二问时，第三轮的传染源是第二轮结束后的64名感染者，每人每轮传染7人，用总感染人数乘每人传染的人数即可得到第三轮新增的被传染人数。
【解析】
(1) 设每轮传染中平均1个人传染了$x$个人。
根据两轮传染后总感染人数为64，列方程：
$1+x+x(1+x)=64$
整理得：$(1+x)^2=64$
解得$x_1=7$，$x_2=-9$。
由于传染的人数不可能为负数，因此$x=-9$不符合实际意义，舍去。
(2) 经过两轮传染后共有64名感染者，第三轮每名感染者仍传染7人，因此第三轮新增被传染人数为：
$64×7=448$（个）
【答案】
(1) 每轮传染中平均1个人传染了7个人；(2) 第三轮又将有448个人被传染。
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 传播问题计算
【点评】
本题考查实际问题中的传播模型，解题核心是理清每轮传染的传染源总数，列方程求解后需结合实际情况对解进行取舍，注意第二问所求为第三轮新增被传染人数，而非三轮总感染人数，审题时要注意区分。
【难度系数】
0.7
这是典型的传播类应用题，解题思路如下：（1）解决第一问时，先明确每轮传染的传染源数量：初始传染源为1人，设每人每轮传染x人，第一轮传染后总感染人数为初始人数加第一轮新增人数，即1+x人；第二轮传染时，传染源是第一轮结束后的所有感染者，因此第二轮新增感染人数为(1+x)x，两轮总感染人数相加等于64，据此列一元二次方程求解，注意传染人数不能为负，要舍去不符合实际意义的解。（2）解决第二问时，第三轮的传染源是第二轮结束后的64名感染者，每人每轮传染7人，用总感染人数乘每人传染的人数即可得到第三轮新增的被传染人数。
【解析】
(1) 设每轮传染中平均1个人传染了$x$个人。
根据两轮传染后总感染人数为64，列方程：
$1+x+x(1+x)=64$
整理得：$(1+x)^2=64$
解得$x_1=7$，$x_2=-9$。
由于传染的人数不可能为负数，因此$x=-9$不符合实际意义，舍去。
(2) 经过两轮传染后共有64名感染者，第三轮每名感染者仍传染7人，因此第三轮新增被传染人数为：
$64×7=448$（个）
【答案】
(1) 每轮传染中平均1个人传染了7个人；(2) 第三轮又将有448个人被传染。
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 传播问题计算
【点评】
本题考查实际问题中的传播模型，解题核心是理清每轮传染的传染源总数，列方程求解后需结合实际情况对解进行取舍，注意第二问所求为第三轮新增被传染人数，而非三轮总感染人数，审题时要注意区分。
【难度系数】
0.7
1.现在需要传播一条信息，开始有1个人收到了这条信息，经过两轮传播后共有25个人收到了这条信息。
(1)每轮传播中平均1个人传播给了多少个人？
(2)不停止传播的话，第三轮将有多少个人收到这条信息？
(1)每轮传播中平均1个人传播给了多少个人？
(2)不停止传播的话，第三轮将有多少个人收到这条信息？
答案
(1)设每轮传播中平均1个人传播给了x个人。
根据题意，得$(1+x)^2=25$。
解得$x_1=4,x_2=-6$(不合题意，舍去)。
因此，每轮传播中平均1个人传播给了4个人。
(2)$25×4=100$(个)。
因此，不停止传播的话，第三轮将有100个人收到这条信息。
根据题意，得$(1+x)^2=25$。
解得$x_1=4,x_2=-6$(不合题意，舍去)。
因此，每轮传播中平均1个人传播给了4个人。
(2)$25×4=100$(个)。
因此，不停止传播的话，第三轮将有100个人收到这条信息。
解析
【分析】
这是典型的传播类实际应用题，解题思路如下：(1)首先设每轮平均1人传播给x个人，第一轮传播后，共有(1+x)人收到信息；第二轮传播时，这(1+x)人每人都传播给x人，因此第二轮结束后总收到信息的人数为$(1+x)^2$，结合两轮后共25人收到信息的条件即可列一元二次方程求解，注意传播人数不能为负，要舍去不符合实际的根。(2)第三轮新收到信息的人数，等于第二轮结束后已收到信息的总人数乘以每轮每人传播的人数，直接计算即可。
【解析】
(1) 设每轮传播中平均1个人传播给了x个人。
根据题意列方程：
$(1+x)^2=25$
解得$x_1=4$，$x_2=-6$，传播人数不能为负，因此$x_2=-6$不合题意，舍去。
因此，每轮传播中平均1个人传播给了4个人。
(2) 第二轮结束后共有25人收到信息，每人每轮传播4人，因此第三轮新收到信息的人数为：
$25×4=100$（个）
因此，不停止传播的话，第三轮将有100个人收到这条信息。
【答案】
(1) 4个人；(2) 100个人
【知识点】
一元二次方程的应用，传播问题计算
【点评】
本题属于基础应用类题型，核心是理清传播过程中每轮总人数的增长规律，求解方程后要注意结合实际意义舍去不符合要求的根，答题时要注意区分“单轮新增收到信息的人数”和“累计收到信息的总人数”，避免审题失误丢分。
【难度系数】
0.7
这是典型的传播类实际应用题，解题思路如下：(1)首先设每轮平均1人传播给x个人，第一轮传播后，共有(1+x)人收到信息；第二轮传播时，这(1+x)人每人都传播给x人，因此第二轮结束后总收到信息的人数为$(1+x)^2$，结合两轮后共25人收到信息的条件即可列一元二次方程求解，注意传播人数不能为负，要舍去不符合实际的根。(2)第三轮新收到信息的人数，等于第二轮结束后已收到信息的总人数乘以每轮每人传播的人数，直接计算即可。
【解析】
(1) 设每轮传播中平均1个人传播给了x个人。
根据题意列方程：
$(1+x)^2=25$
解得$x_1=4$，$x_2=-6$，传播人数不能为负，因此$x_2=-6$不合题意，舍去。
因此，每轮传播中平均1个人传播给了4个人。
(2) 第二轮结束后共有25人收到信息，每人每轮传播4人，因此第三轮新收到信息的人数为：
$25×4=100$（个）
因此，不停止传播的话，第三轮将有100个人收到这条信息。
【答案】
(1) 4个人；(2) 100个人
【知识点】
一元二次方程的应用，传播问题计算
【点评】
本题属于基础应用类题型，核心是理清传播过程中每轮总人数的增长规律，求解方程后要注意结合实际意义舍去不符合要求的根，答题时要注意区分“单轮新增收到信息的人数”和“累计收到信息的总人数”，避免审题失误丢分。
【难度系数】
0.7
