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【典型例题 2】某品牌新能源汽车2026年1月的销售量为9 000辆,2026年3月的销售量为12 960辆,则该品牌新能源汽车1月至3月的销售量的月平均增长率为（）
A. 44% B. 25% C. 22% D. 20%
【解析】设该品牌新能源汽车1月至3月的销售量的月平均增长率为$x$.
根据题意,得$9000(1+x)^2=12960$.
解得$x_1=0.2,x_2=-2.2$(不合题意,舍去).
因此,该品牌新能源汽车1月至3月的销售量的月平均增长率为20%.
故选 D.
【答案】D
规律方法 若$a$为增长(或下降)的基础数,$x$为增长(或下降)率,$n$为增长(或下降)的次数,$b$为增长(或下降)后的数量,则$a(1\pm x)^n = b$.
A. 44% B. 25% C. 22% D. 20%
【解析】设该品牌新能源汽车1月至3月的销售量的月平均增长率为$x$.
根据题意,得$9000(1+x)^2=12960$.
解得$x_1=0.2,x_2=-2.2$(不合题意,舍去).
因此,该品牌新能源汽车1月至3月的销售量的月平均增长率为20%.
故选 D.
【答案】D
规律方法 若$a$为增长(或下降)的基础数,$x$为增长(或下降)率,$n$为增长(或下降)的次数,$b$为增长(或下降)后的数量,则$a(1\pm x)^n = b$.
答案
解：设该品牌新能源汽车1月至3月的销售量的月平均增长率为$x$。
根据题意，得
$9000(1+x)^2=12960$
方程两边同时除以9000，得$(1+x)^2=1.44$，
开平方，得$1+x=\pm1.2$，
解得$x_1=0.2$，$x_2=-2.2$。
因为增长率不能为负数，所以$x_2=-2.2$不合题意，舍去。
则$x=0.2=20\%$，即该品牌新能源汽车1月至3月的销售量的月平均增长率为20%。
故选D。
根据题意，得
$9000(1+x)^2=12960$
方程两边同时除以9000，得$(1+x)^2=1.44$，
开平方，得$1+x=\pm1.2$，
解得$x_1=0.2$，$x_2=-2.2$。
因为增长率不能为负数，所以$x_2=-2.2$不合题意，舍去。
则$x=0.2=20\%$，即该品牌新能源汽车1月至3月的销售量的月平均增长率为20%。
故选D。
解析
【分析】
这是一道典型的增长率类实际应用题，解题可按以下思路推导：首先回忆增长率问题的通用数量关系：若初始基础量为a，平均增长率为x，增长n次后的最终量为b，则满足公式$a(1+x)^n=b$。本题中1月销售量9000辆是初始基础量，从1月到3月共经过2次增长，3月销售量12960辆是增长后的最终量，因此我们可以设月平均增长率为x，代入公式列出一元二次方程，再解方程即可，注意增长率不能为负数，需要舍去不符合实际意义的负根，最后将结果转化为百分数就能得到答案。
【解析】
设该品牌新能源汽车1月至3月的销售量的月平均增长率为$x$。
根据题意，得
$9000(1+x)^2=12960$
方程两边同时除以9000，得$(1+x)^2=1.44$，
开平方，得$1+x=\pm1.2$，
解得$x_1=0.2$，$x_2=-2.2$。
因为增长率不能为负数，所以$x_2=-2.2$不合题意，舍去。
则$x=0.2=20\%$，即该品牌新能源汽车1月至3月的销售量的月平均增长率为20%。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的应用、增长率问题
【点评】
本题是增长率类基础题型，重点考查通用增长率公式的运用和一元二次方程的求解，解题关键是找准初始量、增长次数和最终量，同时要注意结合实际意义排除不符合要求的解，熟练掌握增长率公式即可快速解答这类题目。
【难度系数】
0.8
这是一道典型的增长率类实际应用题，解题可按以下思路推导：首先回忆增长率问题的通用数量关系：若初始基础量为a，平均增长率为x，增长n次后的最终量为b，则满足公式$a(1+x)^n=b$。本题中1月销售量9000辆是初始基础量，从1月到3月共经过2次增长，3月销售量12960辆是增长后的最终量，因此我们可以设月平均增长率为x，代入公式列出一元二次方程，再解方程即可，注意增长率不能为负数，需要舍去不符合实际意义的负根，最后将结果转化为百分数就能得到答案。
【解析】
设该品牌新能源汽车1月至3月的销售量的月平均增长率为$x$。
根据题意，得
$9000(1+x)^2=12960$
方程两边同时除以9000，得$(1+x)^2=1.44$，
开平方，得$1+x=\pm1.2$，
解得$x_1=0.2$，$x_2=-2.2$。
因为增长率不能为负数，所以$x_2=-2.2$不合题意，舍去。
则$x=0.2=20\%$，即该品牌新能源汽车1月至3月的销售量的月平均增长率为20%。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的应用、增长率问题
【点评】
本题是增长率类基础题型，重点考查通用增长率公式的运用和一元二次方程的求解，解题关键是找准初始量、增长次数和最终量，同时要注意结合实际意义排除不符合要求的解，熟练掌握增长率公式即可快速解答这类题目。
【难度系数】
0.8
2. 某芯片公司引进了一条芯片生产线，2025年的第四季度生产了芯片64万个，2026年第二季度生产了芯片100万个.
(1)求该芯片公司这条生产线的生产量的季度平均增长率.
(2)按照(1)中的平均增长率，该公司希望2026年第三季度这条生产线的芯片生产量达到130万个，这个目标能否实现？请说明理由.
(1)求该芯片公司这条生产线的生产量的季度平均增长率.
(2)按照(1)中的平均增长率，该公司希望2026年第三季度这条生产线的芯片生产量达到130万个，这个目标能否实现？请说明理由.
答案
2. (1)设该芯片公司这条生产线的生产量的季度平均增长率为x。
根据题意，得$64(1+x)^2=100$。
解得$x_1=0.25,x_2=-2.25$(不合题意，舍去)。
因此，该芯片公司这条生产线的生产量的季度平均增长率为25%。
(2)这个目标不能实现.理由如下：
$100×(1+25\%)=125$(万个)。
$\because 125＜130$，
$\therefore$这个目标不能实现。
根据题意，得$64(1+x)^2=100$。
解得$x_1=0.25,x_2=-2.25$(不合题意，舍去)。
因此，该芯片公司这条生产线的生产量的季度平均增长率为25%。
(2)这个目标不能实现.理由如下：
$100×(1+25\%)=125$(万个)。
$\because 125＜130$，
$\therefore$这个目标不能实现。
解析
【分析】
(1) 求解季度平均增长率可利用平均增长率公式：初始量×(1+平均增长率)ⁿ=增长n次后的量。首先明确初始量为2025年第四季度的64万个，从2025年第四季度到2026年第二季度共增长2次，增长后的量为100万个，设平均增长率为x，代入公式列一元二次方程求解即可，注意增长率为正数，需舍去不符合实际的负根。
(2) 要判断目标能否实现，只需按照(1)中得到的增长率，计算2026年第三季度的预计产量，再与130万个比较大小即可，第三季度产量=第二季度产量×(1+平均增长率)。
【解析】
(1) 设该芯片公司这条生产线的生产量的季度平均增长率为x。
根据题意，得$64(1+x)^2=100$
解得$x_1=0.25,x_2=-2.25$(不合题意，舍去)
因此，该芯片公司这条生产线的生产量的季度平均增长率为25%。
(2) 这个目标不能实现，理由如下：
按照25%的增长率计算2026年第三季度生产量：$100×(1+25\%)=125$(万个)
$\because 125＜130$
$\therefore$这个目标不能实现。
【答案】
(1) 25%；(2) 不能实现，理由见解析
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 平均增长率计算
3. 实数大小比较
【点评】
本题是典型的增长率类实际应用题，解题关键是找准增长的周期数，正确建立方程模型，同时要注意方程的解要符合实际问题的意义，属于常考基础题型。
【难度系数】
0.8
(1) 求解季度平均增长率可利用平均增长率公式：初始量×(1+平均增长率)ⁿ=增长n次后的量。首先明确初始量为2025年第四季度的64万个，从2025年第四季度到2026年第二季度共增长2次，增长后的量为100万个，设平均增长率为x，代入公式列一元二次方程求解即可，注意增长率为正数，需舍去不符合实际的负根。
(2) 要判断目标能否实现，只需按照(1)中得到的增长率，计算2026年第三季度的预计产量，再与130万个比较大小即可，第三季度产量=第二季度产量×(1+平均增长率)。
【解析】
(1) 设该芯片公司这条生产线的生产量的季度平均增长率为x。
根据题意，得$64(1+x)^2=100$
解得$x_1=0.25,x_2=-2.25$(不合题意，舍去)
因此，该芯片公司这条生产线的生产量的季度平均增长率为25%。
(2) 这个目标不能实现，理由如下：
按照25%的增长率计算2026年第三季度生产量：$100×(1+25\%)=125$(万个)
$\because 125＜130$
$\therefore$这个目标不能实现。
【答案】
(1) 25%；(2) 不能实现，理由见解析
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 平均增长率计算
3. 实数大小比较
【点评】
本题是典型的增长率类实际应用题，解题关键是找准增长的周期数，正确建立方程模型，同时要注意方程的解要符合实际问题的意义，属于常考基础题型。
【难度系数】
0.8
1.某物流公司2026年1月份和3月份运输的货物总件数分别为4万件和5.76万件.设该物流公司从1月份到3月份运输的货物总件数的月平均增长率为$x$,则可列方程为 (
A.$4(1+x)=5.76$
B.$4(1+2x)=5.76$
C.$4(1+x)^2=5.76$
D.$4+4(1+x)+4(1+x)^2=5.76$
C
)A.$4(1+x)=5.76$
B.$4(1+2x)=5.76$
C.$4(1+x)^2=5.76$
D.$4+4(1+x)+4(1+x)^2=5.76$
答案
1. C
解析
【分析】
本题属于平均增长率类应用题，解题思路如下：首先明确初始量（1月份的运输量）、平均增长率、增长次数，再根据增长后的量=初始量×(1+平均增长率)ⁿ（n为增长次数）的关系列方程。首先确定从1月份到3月份，一共经历了2次月增长（1月到2月是第1次，2月到3月是第2次），且题目给出的是3月份单月的运输量，不是三个月的运输总量，因此直接套用单期增长后的量的公式即可。
【解析】
第一步：已知1月份运输货物总件数为4万件，月平均增长率为$x$，则2月份的运输货物总件数为1月份的量乘以（1+增长率），即$4(1+x)$万件；
第二步：3月份的运输货物总件数是在2月份的基础上再增长$x$，因此3月份的量为$4(1+x) × (1+x) = 4(1+x)^2$万件；
第三步：题目已知3月份运输货物总件数为5.76万件，因此可列方程为$4(1+x)^2 = 5.76$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
平均增长率问题，列一元二次方程
【点评】
本题是增长率问题的基础题型，解题核心是明确增长次数以及所求的是增长后的单期量还是多期累计量，本题易错点是误将增长次数当成2直接乘2错选B，或是误以为求三个月总量错选D。
【难度系数】
0.8
本题属于平均增长率类应用题，解题思路如下：首先明确初始量（1月份的运输量）、平均增长率、增长次数，再根据增长后的量=初始量×(1+平均增长率)ⁿ（n为增长次数）的关系列方程。首先确定从1月份到3月份，一共经历了2次月增长（1月到2月是第1次，2月到3月是第2次），且题目给出的是3月份单月的运输量，不是三个月的运输总量，因此直接套用单期增长后的量的公式即可。
【解析】
第一步：已知1月份运输货物总件数为4万件，月平均增长率为$x$，则2月份的运输货物总件数为1月份的量乘以（1+增长率），即$4(1+x)$万件；
第二步：3月份的运输货物总件数是在2月份的基础上再增长$x$，因此3月份的量为$4(1+x) × (1+x) = 4(1+x)^2$万件；
第三步：题目已知3月份运输货物总件数为5.76万件，因此可列方程为$4(1+x)^2 = 5.76$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
平均增长率问题，列一元二次方程
【点评】
本题是增长率问题的基础题型，解题核心是明确增长次数以及所求的是增长后的单期量还是多期累计量，本题易错点是误将增长次数当成2直接乘2错选B，或是误以为求三个月总量错选D。
【难度系数】
0.8
2.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出与这些支干相同数目的小分支.若主干、支干和小分支的总数是31,则每个支干长出的小分支的个数是
5
.答案
2. 5
解析
【分析】
首先梳理题目中的数量关系：主干仅有1个，若设每个支干长出x个小分支，那么主干长出的支干总数就是x个，每个支干又长出x个小分支，因此小分支的总个数为$x × x=x^2$。已知主干、支干和小分支的总数是31，据此可列出关于x的一元二次方程，求解后结合分支数为正的实际意义舍去负根即可得到结果。
【解析】
设每个支干长出的小分支的个数是$ x $。
由题意得：主干数量为1，支干数量为$ x $，小分支数量为$ x^2 $，三者总和为31，列方程：
$1 + x + x^2 = 31$
整理得：
$x^2 + x - 30 = 0$
因式分解得：
$(x + 6)(x - 5) = 0$
解得$x_1=5$，$x_2=-6$。
由于小分支个数不能为负数，故舍去$x=-6$。
【答案】
5
【知识点】
一元二次方程的应用；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的基础题型，解题关键是准确理清不同层级（主干、支干、小分支）的数量关系，列方程时不要遗漏主干的数量，求解后要结合实际意义舍去不符合要求的根。
【难度系数】
0.8
首先梳理题目中的数量关系：主干仅有1个，若设每个支干长出x个小分支，那么主干长出的支干总数就是x个，每个支干又长出x个小分支，因此小分支的总个数为$x × x=x^2$。已知主干、支干和小分支的总数是31，据此可列出关于x的一元二次方程，求解后结合分支数为正的实际意义舍去负根即可得到结果。
【解析】
设每个支干长出的小分支的个数是$ x $。
由题意得：主干数量为1，支干数量为$ x $，小分支数量为$ x^2 $，三者总和为31，列方程：
$1 + x + x^2 = 31$
整理得：
$x^2 + x - 30 = 0$
因式分解得：
$(x + 6)(x - 5) = 0$
解得$x_1=5$，$x_2=-6$。
由于小分支个数不能为负数，故舍去$x=-6$。
【答案】
5
【知识点】
一元二次方程的应用；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的基础题型，解题关键是准确理清不同层级（主干、支干、小分支）的数量关系，列方程时不要遗漏主干的数量，求解后要结合实际意义舍去不符合要求的根。
【难度系数】
0.8
