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3.某商场一种商品的售价为40元/件，为尽快减少库存，商场决定降价销售。若该商品的售价连续两次下调相同的百分率后每件商品的价格变成了32.4元，则每次下调的百分率为
10%
。答案
3. 10%
解析
【分析】
这是典型的连续降价率问题，解题思路如下：1. 设每次下调的百分率为x，明确降价的计算逻辑：第一次降价后价格=原价×(1-降价率)，第二次降价是在第一次降价后的价格基础上再次下调相同百分率，因此两次降价后的价格=原价×(1-降价率)²；2. 根据题目给出的原价和两次降价后的售价列一元二次方程；3. 解方程后舍去不符合实际意义的根，得到最终的降价率。
【解析】
解：设每次下调的百分率为$ x $。
根据题意可列方程：
$ 40(1-x)^2 = 32.4 $
两边同时除以40，得：
$ (1-x)^2 = 0.81 $
开平方，得：
$ 1-x = \pm 0.9 $
解得：
$ x_1 = 0.1 = 10\% $，$ x_2 = 1.9 $
由于降价率不可能大于1，$ x_2=1.9 $不符合实际情况，故舍去。
【答案】
10%
【知识点】
一元二次方程应用，降价率问题，一元二次方程求解
【点评】
本题属于基础类应用题，核心是掌握连续变化率的数量关系，列方程求解后要注意结合实际场景对根进行取舍，避免出现不符合常理的结果。
【难度系数】
0.8
这是典型的连续降价率问题，解题思路如下：1. 设每次下调的百分率为x，明确降价的计算逻辑：第一次降价后价格=原价×(1-降价率)，第二次降价是在第一次降价后的价格基础上再次下调相同百分率，因此两次降价后的价格=原价×(1-降价率)²；2. 根据题目给出的原价和两次降价后的售价列一元二次方程；3. 解方程后舍去不符合实际意义的根，得到最终的降价率。
【解析】
解：设每次下调的百分率为$ x $。
根据题意可列方程：
$ 40(1-x)^2 = 32.4 $
两边同时除以40，得：
$ (1-x)^2 = 0.81 $
开平方，得：
$ 1-x = \pm 0.9 $
解得：
$ x_1 = 0.1 = 10\% $，$ x_2 = 1.9 $
由于降价率不可能大于1，$ x_2=1.9 $不符合实际情况，故舍去。
【答案】
10%
【知识点】
一元二次方程应用，降价率问题，一元二次方程求解
【点评】
本题属于基础类应用题，核心是掌握连续变化率的数量关系，列方程求解后要注意结合实际场景对根进行取舍，避免出现不符合常理的结果。
【难度系数】
0.8
4.学校为了提高学生的安全意识，安排了小小宣讲员的活动.1个人宣讲后，接受安全宣讲的学生要再给同样多且不重复的人宣讲，经过两轮宣讲后共有81个人学习了安全知识.
(1)这次宣讲活动，1个人要给多少个人宣讲？
(2)按照这样的宣讲速度，经过三轮宣讲后共有多少个人学习了安全知识？
(1)这次宣讲活动，1个人要给多少个人宣讲？
(2)按照这样的宣讲速度，经过三轮宣讲后共有多少个人学习了安全知识？
答案
4.【解】(1)设这次宣讲活动,1个人要给x个人宣讲.
根据题意,得$1+x+x(1+x)=81$.
解得$x_1=8$,$x_2=-10$(不合题意,舍去).
因此,这次宣讲活动,1个人要给8个人宣讲.
(2)$81×8+81=729$(个).
因此,按照这样的宣讲速度,经过三轮宣讲后共有729个人学习了安全知识.
根据题意,得$1+x+x(1+x)=81$.
解得$x_1=8$,$x_2=-10$(不合题意,舍去).
因此,这次宣讲活动,1个人要给8个人宣讲.
(2)$81×8+81=729$(个).
因此,按照这样的宣讲速度,经过三轮宣讲后共有729个人学习了安全知识.
解析
【分析】
本题属于传播类实际应用问题，解题思路如下：(1)首先设1个人要给x个人宣讲，梳理两轮宣讲的总人数构成：初始有1名宣讲员，第一轮宣讲后新增x个学习的人，总共有(1+x)人掌握宣讲内容；第二轮时这(1+x)人每人再宣讲x个不重复的人，因此第二轮新增x(1+x)个学习的人，两轮总人数相加等于81，据此列一元二次方程求解即可，注意人数不能为负数，需舍去不符合题意的解。(2)第三轮宣讲时，第二轮结束后的总人数每人再宣讲8人，用第二轮总人数乘8得到第三轮新增人数，加上第二轮的总人数即可得到三轮后的总人数，也可利用每轮总人数是上一轮的(1+x)倍的规律快速计算。
【解析】
(1) 设这次宣讲活动，1个人要给$x$个人宣讲。
根据两轮宣讲后共有81人学习安全知识，列方程：
$1 + x + x(1 + x) = 81$
整理得$(1+x)^2=81$
解得$x_1=8$，$x_2=-10$，由于宣讲人数不能为负数，因此$x_2=-10$不符合题意，舍去。
(2) 经过两轮宣讲后共有81人学习了安全知识，第三轮新增学习人数为$81×8$，因此三轮后总学习人数为：
$81 + 81×8 = 729$（个）
【答案】
(1) 8个；(2) 729个
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 传播类问题求解
【点评】
本题是典型的传播类实际应用题，解题核心是理清每一轮传播后新增人数和累计总人数的数量关系，列方程求解后要注意结合实际情境检验解的合理性，第二问可利用传播的倍数规律简化计算，降低运算量。
【难度系数】
0.75
本题属于传播类实际应用问题，解题思路如下：(1)首先设1个人要给x个人宣讲，梳理两轮宣讲的总人数构成：初始有1名宣讲员，第一轮宣讲后新增x个学习的人，总共有(1+x)人掌握宣讲内容；第二轮时这(1+x)人每人再宣讲x个不重复的人，因此第二轮新增x(1+x)个学习的人，两轮总人数相加等于81，据此列一元二次方程求解即可，注意人数不能为负数，需舍去不符合题意的解。(2)第三轮宣讲时，第二轮结束后的总人数每人再宣讲8人，用第二轮总人数乘8得到第三轮新增人数，加上第二轮的总人数即可得到三轮后的总人数，也可利用每轮总人数是上一轮的(1+x)倍的规律快速计算。
【解析】
(1) 设这次宣讲活动，1个人要给$x$个人宣讲。
根据两轮宣讲后共有81人学习安全知识，列方程：
$1 + x + x(1 + x) = 81$
整理得$(1+x)^2=81$
解得$x_1=8$，$x_2=-10$，由于宣讲人数不能为负数，因此$x_2=-10$不符合题意，舍去。
(2) 经过两轮宣讲后共有81人学习了安全知识，第三轮新增学习人数为$81×8$，因此三轮后总学习人数为：
$81 + 81×8 = 729$（个）
【答案】
(1) 8个；(2) 729个
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 传播类问题求解
【点评】
本题是典型的传播类实际应用题，解题核心是理清每一轮传播后新增人数和累计总人数的数量关系，列方程求解后要注意结合实际情境检验解的合理性，第二问可利用传播的倍数规律简化计算，降低运算量。
【难度系数】
0.75
5.某公司今年销售一种产品，1月份获得利润10万元，由于产品畅销，利润逐月增加，第一季度共获利36.4万元。已知2月份和3月份利润的月增长率相同。设2，3月份利润的月增长率为x，则x满足的方程为（
A.$10(1+x)^2=36.4$
B.$10+10(1+x)^2=36.4$
C.$10+10(1+x)+10(1+2x)=36.4$
D.$10+10(1+x)+10(1+x)^2=36.4$
D
）A.$10(1+x)^2=36.4$
B.$10+10(1+x)^2=36.4$
C.$10+10(1+x)+10(1+2x)=36.4$
D.$10+10(1+x)+10(1+x)^2=36.4$
答案
5. D
解析
【分析】
解题时首先要明确第一季度的总利润是1月、2月、3月三个月的利润之和，我们需要依次用含x的代数式表示出2月、3月的利润，再根据总获利列方程即可。注意利润逐月增长是复利增长，即每个月的利润是在上一个月利润的基础上乘以（1+增长率），不要误算为单利增长。
【解析】
已知1月份利润为10万元，2、3月份的月增长率为x：
1. 2月份的利润 = 1月份利润×(1+增长率) = $10(1+x)$ 万元；
2. 3月份的利润 = 2月份利润×(1+增长率) = $10(1+x) × (1+x) = 10(1+x)^2$ 万元；
3. 第一季度总获利为36.4万元，即三个月利润相加等于总获利，因此列方程：
$10 + 10(1+x) + 10(1+x)^2 = 36.4$
对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
增长率问题、一元二次方程的实际应用、列代数式
【点评】
本题是典型的增长率类实际应用题，解题核心是准确写出各阶段的量的表达式，同时要注意题干中总利润的统计范围，避免出现漏加某阶段的量、混淆复利和单利计算的错误。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确第一季度的总利润是1月、2月、3月三个月的利润之和，我们需要依次用含x的代数式表示出2月、3月的利润，再根据总获利列方程即可。注意利润逐月增长是复利增长，即每个月的利润是在上一个月利润的基础上乘以（1+增长率），不要误算为单利增长。
【解析】
已知1月份利润为10万元，2、3月份的月增长率为x：
1. 2月份的利润 = 1月份利润×(1+增长率) = $10(1+x)$ 万元；
2. 3月份的利润 = 2月份利润×(1+增长率) = $10(1+x) × (1+x) = 10(1+x)^2$ 万元；
3. 第一季度总获利为36.4万元，即三个月利润相加等于总获利，因此列方程：
$10 + 10(1+x) + 10(1+x)^2 = 36.4$
对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
增长率问题、一元二次方程的实际应用、列代数式
【点评】
本题是典型的增长率类实际应用题，解题核心是准确写出各阶段的量的表达式，同时要注意题干中总利润的统计范围，避免出现漏加某阶段的量、混淆复利和单利计算的错误。
【难度系数】
0.8
6.某种商品经过两次降价后，每件现在的售价为原来售价的64%，则该商品平均每次的降价率为
20%
.答案
6. 20%
解析
【分析】
这是典型的平均变化率类应用题，解题思路如下：1. 先设定基础量，可将商品原价设为参数（或单位1，因计算中会消去不影响结果），再设平均每次降价率为x；2. 牢记降价率的数量关系：每次降价后价格=降价前价格×(1-降价率)，两次降价后价格就是原价×(1-x)²；3. 结合“两次降价后售价为原来的64%”这一等量关系列一元二次方程；4. 求解方程后，结合降价率的实际范围（0＜x＜1）舍去不符合的根，得到最终结果。
【解析】
设该商品的原价为a（a≠0），平均每次的降价率为x。
第一次降价后的售价为：$ a(1-x) $
第二次降价是在第一次降价后的售价基础上进行的，因此两次降价后的售价为：$ a(1-x) · (1-x) = a(1-x)^2 $
根据题意，两次降价后售价为原价的64%，可列方程：
$ a(1-x)^2 = 64\% · a $
因为a≠0，方程两边同时除以a，得：
$ (1-x)^2 = 0.64 $
开平方得：
$ 1-x = \pm 0.8 $
解得：$ x_1 = 0.2 = 20\% $，$ x_2 = 1.8 $
由于降价率不能大于1，$ x_2=1.8 $不符合实际意义，故舍去。
【答案】
20%
【知识点】
一元二次方程的应用，平均变化率问题
【点评】
本题是平均变化率的基础题型，解题核心是掌握变化率的通用计算公式，求解方程后要注意结合实际情境检验根的合理性，排除不符合实际的解。
【难度系数】
0.8
这是典型的平均变化率类应用题，解题思路如下：1. 先设定基础量，可将商品原价设为参数（或单位1，因计算中会消去不影响结果），再设平均每次降价率为x；2. 牢记降价率的数量关系：每次降价后价格=降价前价格×(1-降价率)，两次降价后价格就是原价×(1-x)²；3. 结合“两次降价后售价为原来的64%”这一等量关系列一元二次方程；4. 求解方程后，结合降价率的实际范围（0＜x＜1）舍去不符合的根，得到最终结果。
【解析】
设该商品的原价为a（a≠0），平均每次的降价率为x。
第一次降价后的售价为：$ a(1-x) $
第二次降价是在第一次降价后的售价基础上进行的，因此两次降价后的售价为：$ a(1-x) · (1-x) = a(1-x)^2 $
根据题意，两次降价后售价为原价的64%，可列方程：
$ a(1-x)^2 = 64\% · a $
因为a≠0，方程两边同时除以a，得：
$ (1-x)^2 = 0.64 $
开平方得：
$ 1-x = \pm 0.8 $
解得：$ x_1 = 0.2 = 20\% $，$ x_2 = 1.8 $
由于降价率不能大于1，$ x_2=1.8 $不符合实际意义，故舍去。
【答案】
20%
【知识点】
一元二次方程的应用，平均变化率问题
【点评】
本题是平均变化率的基础题型，解题核心是掌握变化率的通用计算公式，求解方程后要注意结合实际情境检验根的合理性，排除不符合实际的解。
【难度系数】
0.8
7.某种传染病的传染速度很快.如果开始有2个人被传染,经过两轮传染后共有128个人被传染,那么每轮传染中平均1个人传染了多少个人？
答案
7.【解】设每轮传染中平均1个人传染了x个人.
根据题意,得$2+2x+(2+2x)x=128$.
解得$x_1=7$,$x_2=-9$(不合题意,舍去).
因此,每轮传染中平均1个人传染了7个人.
根据题意,得$2+2x+(2+2x)x=128$.
解得$x_1=7$,$x_2=-9$(不合题意,舍去).
因此,每轮传染中平均1个人传染了7个人.
解析
【分析】
这是典型的传播类一元二次方程应用题，解题核心是理清每轮传染的传染源人数和新增患病人数的关系：首先设每轮平均1人传染x人，初始有2名患者；第一轮传染时，每个患者传染x人，第一轮新增2x名患者，第一轮结束后总共有(2+2x)名患者；第二轮传染时，传染源为第一轮结束后的所有患者，第二轮新增(2+2x)x名患者；根据“初始人数+第一轮新增人数+第二轮新增人数=两轮后总患病人数”的等量关系列方程，求解后结合实际意义（传染人数不能为负）舍去不符合的根即可得到结果。
【解析】
解：设每轮传染中平均1个人传染了x个人。
根据题意列方程：
$2+2x+(2+2x)x=128$
整理得：$2(1+x)^2=128$
化简得：$(1+x)^2=64$
开平方得：$1+x=\pm8$
解得：$x_1=7$，$x_2=-9$
由于传染人数不能为负数，因此$x_2=-9$不合题意，舍去。
【答案】
每轮传染中平均1个人传染了7个人。
【知识点】
一元二次方程的应用，传播类问题，一元二次方程的解法
【点评】
本题是方程实际应用的基础题型，解题关键是找准每轮传播的传染源数量，建立正确的等量关系，求解后要注意结合实际情境检验根的合理性，能有效考察学生的数学建模能力和运算能力。
【难度系数】
0.7
这是典型的传播类一元二次方程应用题，解题核心是理清每轮传染的传染源人数和新增患病人数的关系：首先设每轮平均1人传染x人，初始有2名患者；第一轮传染时，每个患者传染x人，第一轮新增2x名患者，第一轮结束后总共有(2+2x)名患者；第二轮传染时，传染源为第一轮结束后的所有患者，第二轮新增(2+2x)x名患者；根据“初始人数+第一轮新增人数+第二轮新增人数=两轮后总患病人数”的等量关系列方程，求解后结合实际意义（传染人数不能为负）舍去不符合的根即可得到结果。
【解析】
解：设每轮传染中平均1个人传染了x个人。
根据题意列方程：
$2+2x+(2+2x)x=128$
整理得：$2(1+x)^2=128$
化简得：$(1+x)^2=64$
开平方得：$1+x=\pm8$
解得：$x_1=7$，$x_2=-9$
由于传染人数不能为负数，因此$x_2=-9$不合题意，舍去。
【答案】
每轮传染中平均1个人传染了7个人。
【知识点】
一元二次方程的应用，传播类问题，一元二次方程的解法
【点评】
本题是方程实际应用的基础题型，解题关键是找准每轮传播的传染源数量，建立正确的等量关系，求解后要注意结合实际情境检验根的合理性，能有效考察学生的数学建模能力和运算能力。
【难度系数】
0.7
