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8.某商城的自行车销售量逐月增加，据统计，该商城的自行车1月份的销售量为64辆，3月份的销售量为144辆.
(1)若该商城1—4月的自行车销售量的月平均增长率相同，则该商城4月份卖出多少辆自行车？
(2)该商城准备投入3万元再购进一批两种规格的自行车.已知A型自行车的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B型自行车的进价为1000元/辆，售价为1300元/辆.根据销售经验，购进的A型自行车的数量应不少于B型自行车数量的2倍，但不超过B型自行车数量的2.8倍.假设所购进的自行车全部售完，为使利润最大，该商城应如何进货？
(1)若该商城1—4月的自行车销售量的月平均增长率相同，则该商城4月份卖出多少辆自行车？
(2)该商城准备投入3万元再购进一批两种规格的自行车.已知A型自行车的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B型自行车的进价为1000元/辆，售价为1300元/辆.根据销售经验，购进的A型自行车的数量应不少于B型自行车数量的2倍，但不超过B型自行车数量的2.8倍.假设所购进的自行车全部售完，为使利润最大，该商城应如何进货？
答案
8.【解】(1)设该商城1—4月的自行车销售量的月平均增长率为x.
根据题意,得$64(1+x)^2=144$.
解得$x_1=-2.5$(不合题意,舍去),$x_2=0.5$.
$144×(1+50\%)=216$(辆).
因此,该商城4月份卖出216辆自行车.
(2)设购进B型自行车x辆,则购进A型自行车$\frac{30\ 000-1\ 000x}{500}$辆.
根据题意,得$2x≤ \frac{30\ 000-1\ 000x}{500}≤ 2.8x$.
解得$12.5≤ x≤ 15$.
∵自行车的数量为整数,
∴$13≤ x≤ 15$.
设销售利润为w元.
根据题意,得$w=(700-500)×\frac{30\ 000-1\ 000x}{500}+(1\ 300-1\ 000)x$.
整理,得$w=-100x+12\ 000$.
∵w随x的增大而减小,
∴当$x=13$时,销售利润w有最大值.
此时,$\frac{30\ 000-1\ 000x}{500}=34$.
因此,该商城应购进A型自行车34辆,B型自行车13辆.
根据题意,得$64(1+x)^2=144$.
解得$x_1=-2.5$(不合题意,舍去),$x_2=0.5$.
$144×(1+50\%)=216$(辆).
因此,该商城4月份卖出216辆自行车.
(2)设购进B型自行车x辆,则购进A型自行车$\frac{30\ 000-1\ 000x}{500}$辆.
根据题意,得$2x≤ \frac{30\ 000-1\ 000x}{500}≤ 2.8x$.
解得$12.5≤ x≤ 15$.
∵自行车的数量为整数,
∴$13≤ x≤ 15$.
设销售利润为w元.
根据题意,得$w=(700-500)×\frac{30\ 000-1\ 000x}{500}+(1\ 300-1\ 000)x$.
整理,得$w=-100x+12\ 000$.
∵w随x的增大而减小,
∴当$x=13$时,销售利润w有最大值.
此时,$\frac{30\ 000-1\ 000x}{500}=34$.
因此,该商城应购进A型自行车34辆,B型自行车13辆.
解析
【分析】
(1) 本题属于平均增长率问题，解题思路为：首先设月平均增长率为x，根据“1月销量×(1+月平均增长率)²=3月销量”列一元二次方程，求解得到符合实际意义的增长率，再用3月销量乘(1+增长率)即可得到4月销量。
(2) 本题属于利润最大化的实际应用问题，解题思路为：首先设购进B型自行车x辆，用总进货金额表示出A型自行车的购进数量；再根据“A型数量在B型数量的2倍到2.8倍之间”列不等式组，求解得到x的取值范围，结合车辆数为正整数确定x的可行值；接着根据“总利润=A型利润+B型利润”列出利润关于x的一次函数表达式，根据一次函数的增减性确定利润最大时x的取值，最后求出对应A型的进货量即可。
【解析】
(1) 设该商城1—4月的自行车销售量的月平均增长率为x。
根据题意可列方程：$64(1+x)^2=144$
解方程得：$(1+x)^2=\frac{9}{4}$，$1+x=\pm1.5$
解得$x_1=-2.5$（增长率不能为负，不合题意，舍去），$x_2=0.5=50\%$
则4月份的销售量为：$144×(1+50\%)=216$（辆）
(2) 设购进B型自行车x辆，则购进A型自行车的数量为$\frac{30000-1000x}{500}$辆。
根据A型数量的限制条件可列不等式组：
$2x≤ \frac{30000-1000x}{500}≤ 2.8x$
化简左边不等式得：$2x≤60-2x$，解得$x≤15$
化简右边不等式得：$60-2x≤2.8x$，解得$x≥12.5$
综上得$12.5≤ x≤ 15$
∵自行车的数量为正整数，
∴x的取值为13、14、15，即$13≤ x≤ 15$
设销售总利润为w元，根据利润公式：
$w=(700-500)×\frac{30000-1000x}{500}+(1300-1000)x$
化简得：$w=-100x+12000$
∵一次函数中$k=-100＜0$，
∴w随x的增大而减小，
∴当x取最小值13时，销售利润w有最大值。
此时A型自行车的数量为：$\frac{30000-1000×13}{500}=34$（辆）
【答案】
(1) 该商城4月份卖出216辆自行车；
(2) 该商城应购进A型自行车34辆，B型自行车13辆。
【知识点】
一元二次方程增长率应用、一元一次不等式组应用、一次函数最值应用
【点评】
本题结合实际销售场景出题，既考查了方程、不等式的基础运算与应用能力，也考查了一次函数的性质及最值求解，解题时需注意实际问题中变量的取值要符合现实要求，有助于提升学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.65
(1) 本题属于平均增长率问题，解题思路为：首先设月平均增长率为x，根据“1月销量×(1+月平均增长率)²=3月销量”列一元二次方程，求解得到符合实际意义的增长率，再用3月销量乘(1+增长率)即可得到4月销量。
(2) 本题属于利润最大化的实际应用问题，解题思路为：首先设购进B型自行车x辆，用总进货金额表示出A型自行车的购进数量；再根据“A型数量在B型数量的2倍到2.8倍之间”列不等式组，求解得到x的取值范围，结合车辆数为正整数确定x的可行值；接着根据“总利润=A型利润+B型利润”列出利润关于x的一次函数表达式，根据一次函数的增减性确定利润最大时x的取值，最后求出对应A型的进货量即可。
【解析】
(1) 设该商城1—4月的自行车销售量的月平均增长率为x。
根据题意可列方程：$64(1+x)^2=144$
解方程得：$(1+x)^2=\frac{9}{4}$，$1+x=\pm1.5$
解得$x_1=-2.5$（增长率不能为负，不合题意，舍去），$x_2=0.5=50\%$
则4月份的销售量为：$144×(1+50\%)=216$（辆）
(2) 设购进B型自行车x辆，则购进A型自行车的数量为$\frac{30000-1000x}{500}$辆。
根据A型数量的限制条件可列不等式组：
$2x≤ \frac{30000-1000x}{500}≤ 2.8x$
化简左边不等式得：$2x≤60-2x$，解得$x≤15$
化简右边不等式得：$60-2x≤2.8x$，解得$x≥12.5$
综上得$12.5≤ x≤ 15$
∵自行车的数量为正整数，
∴x的取值为13、14、15，即$13≤ x≤ 15$
设销售总利润为w元，根据利润公式：
$w=(700-500)×\frac{30000-1000x}{500}+(1300-1000)x$
化简得：$w=-100x+12000$
∵一次函数中$k=-100＜0$，
∴w随x的增大而减小，
∴当x取最小值13时，销售利润w有最大值。
此时A型自行车的数量为：$\frac{30000-1000×13}{500}=34$（辆）
【答案】
(1) 该商城4月份卖出216辆自行车；
(2) 该商城应购进A型自行车34辆，B型自行车13辆。
【知识点】
一元二次方程增长率应用、一元一次不等式组应用、一次函数最值应用
【点评】
本题结合实际销售场景出题，既考查了方程、不等式的基础运算与应用能力，也考查了一次函数的性质及最值求解，解题时需注意实际问题中变量的取值要符合现实要求，有助于提升学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.65
9. 某实验室进行盐水稀释实验.现有总质量为100 g的盐水,其浓度为20%.实验要求:先倒出部分盐水,再加入相同质量的纯净水,再重复该操作一次后(每次倒出的盐水的质量相同),测得新的盐水浓度为9.8%.求每次倒出的盐水的质量.(提示:盐水的浓度=$\frac{盐的质量}{盐水的质量}×100\%$)
答案
9.【解】初始盐的质量为$100×20\%=20(\mathrm{g})$.
设每次倒出的盐水的质量为x g.
第一次操作:倒出x g盐水,即倒出0.2x g盐,故剩余$(20-0.2x)\mathrm{g}$盐.
第一次加入x g纯净水后盐水的总质量为100 g,此时的浓度为$\frac{20-0.2x}{100}×100\%$.
第二次操作:倒出x g盐水,即倒出$\frac{x(20-0.2x)}{100}\mathrm{g}$盐,故剩余$[20-0.2x-\frac{x(20-0.2x)}{100}]\mathrm{g}$盐.
第二次加入x g纯净水后盐水的总质量为100 g,此时的浓度为$\frac{(20-0.2x)(1-\frac{x}{100})}{100}×100\%$.
根据题意,得$\frac{(20-0.2x)(1-\frac{x}{100})}{100}×100\%=9.8\%$.
解得$x_1=30$,$x_2=170$(不合题意,舍去).
因此,每次倒出的盐水的质量为30 g.
设每次倒出的盐水的质量为x g.
第一次操作:倒出x g盐水,即倒出0.2x g盐,故剩余$(20-0.2x)\mathrm{g}$盐.
第一次加入x g纯净水后盐水的总质量为100 g,此时的浓度为$\frac{20-0.2x}{100}×100\%$.
第二次操作:倒出x g盐水,即倒出$\frac{x(20-0.2x)}{100}\mathrm{g}$盐,故剩余$[20-0.2x-\frac{x(20-0.2x)}{100}]\mathrm{g}$盐.
第二次加入x g纯净水后盐水的总质量为100 g,此时的浓度为$\frac{(20-0.2x)(1-\frac{x}{100})}{100}×100\%$.
根据题意,得$\frac{(20-0.2x)(1-\frac{x}{100})}{100}×100\%=9.8\%$.
解得$x_1=30$,$x_2=170$(不合题意,舍去).
因此,每次倒出的盐水的质量为30 g.
解析
【分析】
这是溶液反复稀释的实际应用问题，解题核心是抓住稀释前后溶质（盐）的质量变化规律。首先先算出初始盐水中盐的总质量，再设每次倒出的盐水质量为x g：第一次操作时，倒出的盐的质量等于初始浓度乘倒出的盐水质量，加水后盐水总质量回到100g，可算出第一次操作后的浓度；第二次操作时，倒出的盐的质量等于第一次操作后的浓度乘倒出的盐水质量，再次加水后总质量还是100g，此时浓度为9.8%，据此列一元二次方程求解，最后注意舍去大于100g的不符合实际的解。
【解析】
初始盐的质量为$100×20\%=20(\mathrm{g})$。
设每次倒出的盐水的质量为x g。
第一次操作：倒出x g盐水，即倒出$0.2x$ g盐，故剩余$(20-0.2x)\mathrm{g}$盐；加入x g纯净水后盐水的总质量为100 g，此时的浓度为$\frac{20-0.2x}{100}×100\%$。
第二次操作：倒出x g盐水，即倒出$\frac{x(20-0.2x)}{100}\mathrm{g}$盐，故剩余$[20-0.2x-\frac{x(20-0.2x)}{100}]\mathrm{g}$盐；再次加入x g纯净水后盐水的总质量为100 g，此时的浓度为$\frac{(20-0.2x)(1-\frac{x}{100})}{100}×100\%$。
根据题意，得$\frac{(20-0.2x)(1-\frac{x}{100})}{100}×100\%=9.8\%$。
解得$x_1=30$，$x_2=170$，由于倒出的盐水质量不能超过原有盐水总质量100g，$x_2=170$不合题意，舍去。
【答案】
每次倒出的盐水的质量为30 g
【知识点】
一元二次方程的应用、溶液浓度计算、实际问题解的检验
【点评】
本题是典型的溶液稀释类应用题，解题关键是理清每次操作后溶质质量的变化逻辑，明确每次倒出的溶质质量与当前溶液浓度的对应关系，求解后要结合实际场景判断解的合理性，避免出现不符合常识的结果。
【难度系数】
0.6
这是溶液反复稀释的实际应用问题，解题核心是抓住稀释前后溶质（盐）的质量变化规律。首先先算出初始盐水中盐的总质量，再设每次倒出的盐水质量为x g：第一次操作时，倒出的盐的质量等于初始浓度乘倒出的盐水质量，加水后盐水总质量回到100g，可算出第一次操作后的浓度；第二次操作时，倒出的盐的质量等于第一次操作后的浓度乘倒出的盐水质量，再次加水后总质量还是100g，此时浓度为9.8%，据此列一元二次方程求解，最后注意舍去大于100g的不符合实际的解。
【解析】
初始盐的质量为$100×20\%=20(\mathrm{g})$。
设每次倒出的盐水的质量为x g。
第一次操作：倒出x g盐水，即倒出$0.2x$ g盐，故剩余$(20-0.2x)\mathrm{g}$盐；加入x g纯净水后盐水的总质量为100 g，此时的浓度为$\frac{20-0.2x}{100}×100\%$。
第二次操作：倒出x g盐水，即倒出$\frac{x(20-0.2x)}{100}\mathrm{g}$盐，故剩余$[20-0.2x-\frac{x(20-0.2x)}{100}]\mathrm{g}$盐；再次加入x g纯净水后盐水的总质量为100 g，此时的浓度为$\frac{(20-0.2x)(1-\frac{x}{100})}{100}×100\%$。
根据题意，得$\frac{(20-0.2x)(1-\frac{x}{100})}{100}×100\%=9.8\%$。
解得$x_1=30$，$x_2=170$，由于倒出的盐水质量不能超过原有盐水总质量100g，$x_2=170$不合题意，舍去。
【答案】
每次倒出的盐水的质量为30 g
【知识点】
一元二次方程的应用、溶液浓度计算、实际问题解的检验
【点评】
本题是典型的溶液稀释类应用题，解题关键是理清每次操作后溶质质量的变化逻辑，明确每次倒出的溶质质量与当前溶液浓度的对应关系，求解后要结合实际场景判断解的合理性，避免出现不符合常识的结果。
【难度系数】
0.6
