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基础知识·预习
问题1 解决单循环问题和双循环问题时，一般设哪个量为未知数？
问题2 单循环比赛和双循环比赛有什么不一样？
问题3 为什么求出来的解必须是正整数？
问题1 解决单循环问题和双循环问题时，一般设哪个量为未知数？
问题2 单循环比赛和双循环比赛有什么不一样？
问题3 为什么求出来的解必须是正整数？
答案
解：
问题1：解决单循环问题和双循环问题时，一般设参与比赛的队伍（或参与活动的人数、参赛单位）的总数量为未知数，通常记为$x$。
问题2：①比赛规则不同：单循环比赛里，任意两个参赛对象之间仅进行1场比赛；双循环比赛里，任意两个参赛对象之间需要进行2场比赛，一般分主、客场两场完成。
②总场次计算方式不同：若参赛总数量为$x$，单循环的总场次公式为$\frac{1}{2}x(x-1)$，双循环的总场次公式为$x(x-1)$，参赛对象数量相同时，双循环的总场次是单循环总场次的2倍。
问题3：这类问题里的未知数代表的是参赛人数、参赛队伍数这类表示事物个数的量，现实中这类计量人数、队伍数的量只能是大于0的整数，因此方程求解得到的解必须是正整数，不符合实际意义的解需要舍去。
问题1：解决单循环问题和双循环问题时，一般设参与比赛的队伍（或参与活动的人数、参赛单位）的总数量为未知数，通常记为$x$。
问题2：①比赛规则不同：单循环比赛里，任意两个参赛对象之间仅进行1场比赛；双循环比赛里，任意两个参赛对象之间需要进行2场比赛，一般分主、客场两场完成。
②总场次计算方式不同：若参赛总数量为$x$，单循环的总场次公式为$\frac{1}{2}x(x-1)$，双循环的总场次公式为$x(x-1)$，参赛对象数量相同时，双循环的总场次是单循环总场次的2倍。
问题3：这类问题里的未知数代表的是参赛人数、参赛队伍数这类表示事物个数的量，现实中这类计量人数、队伍数的量只能是大于0的整数，因此方程求解得到的解必须是正整数，不符合实际意义的解需要舍去。
解析
【分析】
这三个问题是单双循环类实际应用题的基础认知问题，解题思路如下：
1. 思考问题1时，回忆一元二次方程解决比赛类问题的常规设元习惯：我们列方程时需要先确定参与互动的主体总数，以此为未知数推导总场次，因此一般设参与主体的总数量为未知数。
2. 思考问题2时，从两个维度对比差异：首先是比赛规则的本质不同，再由规则推导总场次计算公式的差异，即可清晰区分二者。
3. 思考问题3时，结合实际意义分析：这类问题的未知数代表的是人数、队伍数等计数类的量，这类量在现实中不可能为负数、小数或0，因此解必须符合正整数的要求。
【解析】
我们逐个问题解答：
问题1：解决单循环问题和双循环问题时，一般设参与比赛的队伍（或参与活动的人数、参赛单位）的总数量为未知数，通常记为$x$。
问题2：二者的差异主要有两点：
①比赛规则不同：单循环比赛里，任意两个参赛对象之间仅进行1场比赛；双循环比赛里，任意两个参赛对象之间需要进行2场比赛，一般分主、客场两场完成。
②总场次计算方式不同：若参赛总数量为$x$，单循环的总场次公式为$\frac{1}{2}x(x-1)$，双循环的总场次公式为$x(x-1)$，参赛对象数量相同时，双循环的总场次是单循环总场次的2倍。
问题3：这类问题里的未知数代表的是参赛人数、参赛队伍数这类表示事物个数的量，现实中这类计量人数、队伍数的量只能是大于0的整数，因此方程求解得到的解必须是正整数，不符合实际意义的解需要舍去。
【答案】
问题1：一般设参与比赛的队伍（或参与活动的人数、参赛单位）的总数量为未知数，通常记为$x$。
问题2：①比赛规则不同：单循环比赛里，任意两个参赛对象之间仅进行1场比赛；双循环比赛里，任意两个参赛对象之间需要进行2场比赛，一般分主、客场两场完成。②总场次计算方式不同：若参赛总数量为$x$，单循环的总场次公式为$\frac{1}{2}x(x-1)$，双循环的总场次公式为$x(x-1)$，参赛对象数量相同时，双循环的总场次是单循环总场次的2倍。
问题3：这类问题里的未知数代表的是参赛人数、参赛队伍数这类表示事物个数的量，现实中这类计量人数、队伍数的量只能是大于0的整数，因此方程求解得到的解必须是正整数，不符合实际意义的解需要舍去。
【知识点】
单双循环问题概念、实际问题设元方法、方程解的合理性检验
【点评】
本题是单双循环类应用题的入门基础题，覆盖了这类问题的核心基础要点，只有准确掌握单双循环的规则差异、设元方法以及解的实际检验要求，才能正确列方程解决这类实际应用问题。
【难度系数】
0.85
这三个问题是单双循环类实际应用题的基础认知问题，解题思路如下：
1. 思考问题1时，回忆一元二次方程解决比赛类问题的常规设元习惯：我们列方程时需要先确定参与互动的主体总数，以此为未知数推导总场次，因此一般设参与主体的总数量为未知数。
2. 思考问题2时，从两个维度对比差异：首先是比赛规则的本质不同，再由规则推导总场次计算公式的差异，即可清晰区分二者。
3. 思考问题3时，结合实际意义分析：这类问题的未知数代表的是人数、队伍数等计数类的量，这类量在现实中不可能为负数、小数或0，因此解必须符合正整数的要求。
【解析】
我们逐个问题解答：
问题1：解决单循环问题和双循环问题时，一般设参与比赛的队伍（或参与活动的人数、参赛单位）的总数量为未知数，通常记为$x$。
问题2：二者的差异主要有两点：
①比赛规则不同：单循环比赛里，任意两个参赛对象之间仅进行1场比赛；双循环比赛里，任意两个参赛对象之间需要进行2场比赛，一般分主、客场两场完成。
②总场次计算方式不同：若参赛总数量为$x$，单循环的总场次公式为$\frac{1}{2}x(x-1)$，双循环的总场次公式为$x(x-1)$，参赛对象数量相同时，双循环的总场次是单循环总场次的2倍。
问题3：这类问题里的未知数代表的是参赛人数、参赛队伍数这类表示事物个数的量，现实中这类计量人数、队伍数的量只能是大于0的整数，因此方程求解得到的解必须是正整数，不符合实际意义的解需要舍去。
【答案】
问题1：一般设参与比赛的队伍（或参与活动的人数、参赛单位）的总数量为未知数，通常记为$x$。
问题2：①比赛规则不同：单循环比赛里，任意两个参赛对象之间仅进行1场比赛；双循环比赛里，任意两个参赛对象之间需要进行2场比赛，一般分主、客场两场完成。②总场次计算方式不同：若参赛总数量为$x$，单循环的总场次公式为$\frac{1}{2}x(x-1)$，双循环的总场次公式为$x(x-1)$，参赛对象数量相同时，双循环的总场次是单循环总场次的2倍。
问题3：这类问题里的未知数代表的是参赛人数、参赛队伍数这类表示事物个数的量，现实中这类计量人数、队伍数的量只能是大于0的整数，因此方程求解得到的解必须是正整数，不符合实际意义的解需要舍去。
【知识点】
单双循环问题概念、实际问题设元方法、方程解的合理性检验
【点评】
本题是单双循环类应用题的入门基础题，覆盖了这类问题的核心基础要点，只有准确掌握单双循环的规则差异、设元方法以及解的实际检验要求，才能正确列方程解决这类实际应用问题。
【难度系数】
0.85
【典型例题】学校组织篮球比赛,赛制为单循环形式(每两支球队之间比赛1场).
(1)设有n支球队参加比赛,比赛的总场数为m,则m与n的关系是
(2)若学校计划安排10场比赛,则应安排多少支球队参加比赛?
【解】(1)$m=\frac{1}{2}n^2 - \frac{1}{2}n$
(2)把$m=10$代入$m=\frac{1}{2}n^2 - \frac{1}{2}n$,得$\frac{1}{2}n^2 - \frac{1}{2}n =10$.
解得$n_1=5,n_2=-4$(不合题意,舍去).
因此,学校应安排5支球队参加比赛.
规律方法 单循环问题和双循环问题的基本等量关系:
设有n个元素,则单循环的总次数为$\frac{n(n-1)}{2}$,双循环的总次数为$n(n-1)$.
(1)设有n支球队参加比赛,比赛的总场数为m,则m与n的关系是
$m=\frac{1}{2}n^2 - \frac{1}{2}n$
.(2)若学校计划安排10场比赛,则应安排多少支球队参加比赛?
【解】(1)$m=\frac{1}{2}n^2 - \frac{1}{2}n$
(2)把$m=10$代入$m=\frac{1}{2}n^2 - \frac{1}{2}n$,得$\frac{1}{2}n^2 - \frac{1}{2}n =10$.
解得$n_1=5,n_2=-4$(不合题意,舍去).
因此,学校应安排5支球队参加比赛.
规律方法 单循环问题和双循环问题的基本等量关系:
设有n个元素,则单循环的总次数为$\frac{n(n-1)}{2}$,双循环的总次数为$n(n-1)$.
答案
1. $m=\frac{1}{2}n^2 - \frac{1}{2}n$
2. 把$m=10$代入$m=\frac{1}{2}n^2 - \frac{1}{2}n$,得$\frac{1}{2}n^2 - \frac{1}{2}n =10$.
解得$n_1=5,n_2=-4$(不合题意,舍去).
因此,学校应安排5支球队参加比赛.
规律方法 单循环问题和双循环问题的基本等量关系:
设有n个元素,则单循环的总次数为$\frac{n(n-1)}{2}$,双循环的总次数为$n(n-1)$.
2. 把$m=10$代入$m=\frac{1}{2}n^2 - \frac{1}{2}n$,得$\frac{1}{2}n^2 - \frac{1}{2}n =10$.
解得$n_1=5,n_2=-4$(不合题意,舍去).
因此,学校应安排5支球队参加比赛.
规律方法 单循环问题和双循环问题的基本等量关系:
设有n个元素,则单循环的总次数为$\frac{n(n-1)}{2}$,双循环的总次数为$n(n-1)$.
解析
【分析】
（1）解决单循环比赛总场数问题，先分析单场比赛的计数逻辑：n支球队中，每支球队需要和除自身外的(n-1)支球队各赛1场，初步计算总场次为n(n-1)场，但每场比赛会被两支参赛球队各统计1次，存在重复计数，因此实际总场数需要除以2，即可推导得到m与n的关系式。
（2）第二问已知总场数m=10，属于已知函数值求自变量取值的问题，将m=10代入第一问得到的关系式，得到关于n的一元二次方程，求解后结合“球队数量为正整数”的实际意义舍去不符合要求的根即可得到结果。
【解析】
（1）每支球队需与其余(n-1)支球队各赛1场，初步统计总场次为n(n-1)场，由于每场比赛被重复计算2次，因此实际总场数为：
$m=\frac{n(n-1)}{2}=\frac{1}{2}n^2-\frac{1}{2}n$
（2）将$m=10$代入$m=\frac{1}{2}n^2-\frac{1}{2}n$，可得方程：
$\frac{1}{2}n^2-\frac{1}{2}n=10$
整理得$n^2-n-20=0$，因式分解为$(n-5)(n+4)=0$，解得$n_1=5$，$n_2=-4$。
由于球队数量不能为负数，因此舍去不合题意的$n_2=-4$，即应安排5支球队参加比赛。
【答案】
(1) $m=\frac{1}{2}n^2 - \frac{1}{2}n$
(2) 5支
【知识点】
单循环计数规律，一元二次方程应用，实际问题根的取舍
【点评】
本题是单循环类实际问题的典型考法，核心是理解单循环计数中“除以2”的逻辑，避免重复计数；求解一元二次方程后一定要结合实际场景的要求对根进行取舍，否则容易出现错误。
【难度系数】
0.8
（1）解决单循环比赛总场数问题，先分析单场比赛的计数逻辑：n支球队中，每支球队需要和除自身外的(n-1)支球队各赛1场，初步计算总场次为n(n-1)场，但每场比赛会被两支参赛球队各统计1次，存在重复计数，因此实际总场数需要除以2，即可推导得到m与n的关系式。
（2）第二问已知总场数m=10，属于已知函数值求自变量取值的问题，将m=10代入第一问得到的关系式，得到关于n的一元二次方程，求解后结合“球队数量为正整数”的实际意义舍去不符合要求的根即可得到结果。
【解析】
（1）每支球队需与其余(n-1)支球队各赛1场，初步统计总场次为n(n-1)场，由于每场比赛被重复计算2次，因此实际总场数为：
$m=\frac{n(n-1)}{2}=\frac{1}{2}n^2-\frac{1}{2}n$
（2）将$m=10$代入$m=\frac{1}{2}n^2-\frac{1}{2}n$，可得方程：
$\frac{1}{2}n^2-\frac{1}{2}n=10$
整理得$n^2-n-20=0$，因式分解为$(n-5)(n+4)=0$，解得$n_1=5$，$n_2=-4$。
由于球队数量不能为负数，因此舍去不合题意的$n_2=-4$，即应安排5支球队参加比赛。
【答案】
(1) $m=\frac{1}{2}n^2 - \frac{1}{2}n$
(2) 5支
【知识点】
单循环计数规律，一元二次方程应用，实际问题根的取舍
【点评】
本题是单循环类实际问题的典型考法，核心是理解单循环计数中“除以2”的逻辑，避免重复计数；求解一元二次方程后一定要结合实际场景的要求对根进行取舍，否则容易出现错误。
【难度系数】
0.8
1.九(1)班举行了一个以物换物的活动,参加活动的每两个人之间都互换了1次物品,一共互换了45次.设有x个人参加了这个活动,则下列选项中,正确的是（
A.由题意可列方程为$x(x-1)=45$
B.由题意可列方程为$\frac{1}{2}x(x+1)=45$
C.$x=9$
D.$x=10$
D
）A.由题意可列方程为$x(x-1)=45$
B.由题意可列方程为$\frac{1}{2}x(x+1)=45$
C.$x=9$
D.$x=10$
答案
1. D
解析
【分析】
本题属于单循环计数类的一元二次方程实际应用题，解题思路如下：首先明确参与活动的x人中，每个人需和除自己外的(x-1)人互换物品，若直接计算x(x-1)，每两人的互换会被重复计算2次，因此总互换次数为$\frac{1}{2}x(x-1)$；再结合总互换次数为45次列方程，求解后舍去不符合实际意义的解，最后判断选项即可。
【解析】
1. 推导总互换次数的表达式：
共有x人参加活动，每人与其余(x-1)人互换物品，不剔除重复时总计数为$x(x-1)$次；由于每两人之间的1次互换被重复统计2次，因此实际总互换次数为$\frac{1}{2}x(x-1)$。
2. 列方程并求解：
已知总互换次数为45次，列方程得：
$\frac{1}{2}x(x-1)=45$
整理为一元二次方程的一般形式：$x^2 - x - 90 = 0$
因式分解得：$(x-10)(x+9)=0$
解得：$x_1=10$，$x_2=-9$
人数不能为负数，因此舍去$x_2=-9$，即$x=10$。
3. 逐一判断选项：
A选项方程缺少$\frac{1}{2}$，错误；B选项方程中应为(x-1)而非(x+1)，错误；C选项x=9不符合计算结果，错误；D选项x=10正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程实际应用
2. 单循环计数模型
3. 一元二次方程求解
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的典型题型，易错点是容易忽略重复计数的情况，解题时要牢记单循环问题的计数规律，同时求解后要验证解是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7
本题属于单循环计数类的一元二次方程实际应用题，解题思路如下：首先明确参与活动的x人中，每个人需和除自己外的(x-1)人互换物品，若直接计算x(x-1)，每两人的互换会被重复计算2次，因此总互换次数为$\frac{1}{2}x(x-1)$；再结合总互换次数为45次列方程，求解后舍去不符合实际意义的解，最后判断选项即可。
【解析】
1. 推导总互换次数的表达式：
共有x人参加活动，每人与其余(x-1)人互换物品，不剔除重复时总计数为$x(x-1)$次；由于每两人之间的1次互换被重复统计2次，因此实际总互换次数为$\frac{1}{2}x(x-1)$。
2. 列方程并求解：
已知总互换次数为45次，列方程得：
$\frac{1}{2}x(x-1)=45$
整理为一元二次方程的一般形式：$x^2 - x - 90 = 0$
因式分解得：$(x-10)(x+9)=0$
解得：$x_1=10$，$x_2=-9$
人数不能为负数，因此舍去$x_2=-9$，即$x=10$。
3. 逐一判断选项：
A选项方程缺少$\frac{1}{2}$，错误；B选项方程中应为(x-1)而非(x+1)，错误；C选项x=9不符合计算结果，错误；D选项x=10正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程实际应用
2. 单循环计数模型
3. 一元二次方程求解
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的典型题型，易错点是容易忽略重复计数的情况，解题时要牢记单循环问题的计数规律，同时求解后要验证解是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7
