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2.参加足球联赛的每两支球队之间都进行两场比赛（双循环比赛），共要比赛240场，则参加足球联赛的有
16
支球队。答案
2. 16
解析
【分析】
解题时首先明确双循环赛制的比赛场次计算规则：每两支球队之间要进行2场比赛。我们可以设参赛球队有x支，每支球队需要和其余(x-1)支球队各赛2场，总比赛场次可表示为x(x-1)，再结合题目给出的总比赛场数240场，列出一元二次方程求解即可，注意最后要结合实际意义舍去不符合的根。
【解析】
解：设参加足球联赛的有x支球队。
根据双循环比赛的总场次计算规则，可列方程：
$x(x-1)=240$
整理得：$x^2 - x - 240 = 0$
因式分解得：$(x-16)(x+15)=0$
解得：$x_1=16$，$x_2=-15$
因为球队数量不能为负数，故舍去$x_2=-15$，即$x=16$。
【答案】
16
【知识点】
一元二次方程的应用，双循环场次计算
【点评】
本题属于实际应用类题型，解题核心是准确理解双循环赛制的场次计算逻辑，正确列出方程，求解后要注意验证根是否符合实际场景的要求。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确双循环赛制的比赛场次计算规则：每两支球队之间要进行2场比赛。我们可以设参赛球队有x支，每支球队需要和其余(x-1)支球队各赛2场，总比赛场次可表示为x(x-1)，再结合题目给出的总比赛场数240场，列出一元二次方程求解即可，注意最后要结合实际意义舍去不符合的根。
【解析】
解：设参加足球联赛的有x支球队。
根据双循环比赛的总场次计算规则，可列方程：
$x(x-1)=240$
整理得：$x^2 - x - 240 = 0$
因式分解得：$(x-16)(x+15)=0$
解得：$x_1=16$，$x_2=-15$
因为球队数量不能为负数，故舍去$x_2=-15$，即$x=16$。
【答案】
16
【知识点】
一元二次方程的应用，双循环场次计算
【点评】
本题属于实际应用类题型，解题核心是准确理解双循环赛制的场次计算逻辑，正确列出方程，求解后要注意验证根是否符合实际场景的要求。
【难度系数】
0.7
1. 某场比赛中每两支球队之间比赛1场.若x支球队共进行了21场比赛,则可列方程为 （
A.$x(x-2)=42$
B.$\dfrac{x(x+1)}{2}=21$
C.$x^2 - x =21$
D.$\dfrac{x(x-1)}{2}=21$
D
）A.$x(x-2)=42$
B.$\dfrac{x(x+1)}{2}=21$
C.$x^2 - x =21$
D.$\dfrac{x(x-1)}{2}=21$
答案
1. D
解析
【分析】
本题是单循环比赛列方程的问题，解题思路如下：首先明确赛制规则：每两支球队之间只比赛1场。第一步先思考每支球队的比赛场次：每支球队不需要和自己比赛，所以1支球队要和剩下的(x-1)支球队各赛1场；第二步注意避免重复计数：如果直接用x乘(x-1)，每场比赛会被计算2次（比如A队和B队的比赛，在算A队场次和B队场次时各被算1次），所以总场次需要除以2；最后结合总场次为21，即可列出对应的方程。
【解析】
已知赛制为单循环，每2支球队仅赛1场：
1. 每支球队需和除自身外的$(x-1)$支球队比赛，x支球队的参赛总场次之和为$x(x-1)$场；
2. 由于每场比赛对应2支球队，上述总和中每场比赛被重复统计了1次，因此实际总比赛场数为$\dfrac{x(x-1)}{2}$；
3. 已知总比赛场数为21，因此可列方程：$\dfrac{x(x-1)}{2}=21$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的实际应用、单循环计数
【点评】
本题考查根据实际场景列一元二次方程，核心是理解单循环规则下的计数逻辑，避免重复计算，属于方程应用类的基础题型。
【难度系数】
0.8
本题是单循环比赛列方程的问题，解题思路如下：首先明确赛制规则：每两支球队之间只比赛1场。第一步先思考每支球队的比赛场次：每支球队不需要和自己比赛，所以1支球队要和剩下的(x-1)支球队各赛1场；第二步注意避免重复计数：如果直接用x乘(x-1)，每场比赛会被计算2次（比如A队和B队的比赛，在算A队场次和B队场次时各被算1次），所以总场次需要除以2；最后结合总场次为21，即可列出对应的方程。
【解析】
已知赛制为单循环，每2支球队仅赛1场：
1. 每支球队需和除自身外的$(x-1)$支球队比赛，x支球队的参赛总场次之和为$x(x-1)$场；
2. 由于每场比赛对应2支球队，上述总和中每场比赛被重复统计了1次，因此实际总比赛场数为$\dfrac{x(x-1)}{2}$；
3. 已知总比赛场数为21，因此可列方程：$\dfrac{x(x-1)}{2}=21$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的实际应用、单循环计数
【点评】
本题考查根据实际场景列一元二次方程，核心是理解单循环规则下的计数逻辑，避免重复计算，属于方程应用类的基础题型。
【难度系数】
0.8
2. 在一次新年聚会中,小朋友们互相赠送礼物,全部小朋友共互赠了110件礼物.若参加聚会的小朋友的人数为$x$,则根据题意可列方程为 （
A.$x(x-1)=110$
B.$\dfrac{x}{2}(x-1)=110$
C.$1+x+x^2=110$
D.$x(\dfrac{x}{2}-1)=110$
A
）A.$x(x-1)=110$
B.$\dfrac{x}{2}(x-1)=110$
C.$1+x+x^2=110$
D.$x(\dfrac{x}{2}-1)=110$
答案
2. A
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要明确互赠礼物的计数规则：甲给乙送礼物和乙给甲送礼物是两件不同的礼物，不存在重复计数的情况。解题思路为：先确定单个小朋友送出的礼物数量，再结合总人数计算总礼物数，最后根据已知的总礼物数列出方程。首先，总共有x个小朋友，每个小朋友不需要给自己赠送礼物，因此每个小朋友要给剩下的(x-1)个小朋友各送1件礼物，即每人送出(x-1)件礼物；总共有x个小朋友，总礼物数就是人数乘以单人送出的礼物数，由此即可列出对应方程。
【解析】
设参加聚会的小朋友人数为x。
1. 计算单个小朋友送出的礼物数：由于不需要给自己赠送礼物，因此每个小朋友需向其余(x-1)个小朋友各赠送1件礼物，即每人送出(x-1)件礼物。
2. 计算总礼物数：互赠礼物时，双方互相赠送属于2件不同的礼物，无需去重，因此x个小朋友赠送的总礼物数为$x(x-1)$件。
3. 根据题意，总互赠礼物为110件，因此可列方程：$x(x-1)=110$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 互赠类计数问题
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的基础题型，解题的核心是区分互赠问题和握手类问题的计数差异：互赠属于双向不同的计数，不需要除以2，握手属于双向相同的计数，需要除以2，理清计数规则即可快速正确列式。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先需要明确互赠礼物的计数规则：甲给乙送礼物和乙给甲送礼物是两件不同的礼物，不存在重复计数的情况。解题思路为：先确定单个小朋友送出的礼物数量，再结合总人数计算总礼物数，最后根据已知的总礼物数列出方程。首先，总共有x个小朋友，每个小朋友不需要给自己赠送礼物，因此每个小朋友要给剩下的(x-1)个小朋友各送1件礼物，即每人送出(x-1)件礼物；总共有x个小朋友，总礼物数就是人数乘以单人送出的礼物数，由此即可列出对应方程。
【解析】
设参加聚会的小朋友人数为x。
1. 计算单个小朋友送出的礼物数：由于不需要给自己赠送礼物，因此每个小朋友需向其余(x-1)个小朋友各赠送1件礼物，即每人送出(x-1)件礼物。
2. 计算总礼物数：互赠礼物时，双方互相赠送属于2件不同的礼物，无需去重，因此x个小朋友赠送的总礼物数为$x(x-1)$件。
3. 根据题意，总互赠礼物为110件，因此可列方程：$x(x-1)=110$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 互赠类计数问题
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的基础题型，解题的核心是区分互赠问题和握手类问题的计数差异：互赠属于双向不同的计数，不需要除以2，握手属于双向相同的计数，需要除以2，理清计数规则即可快速正确列式。
【难度系数】
0.8
3. 某地有若干个加油站，每两个加油站之间都有1条公路，一共有36条公路，则该地共有
9
个加油站.答案
3. 9
解析
【分析】
本题属于一元二次方程的实际应用类问题，解题思路可按以下步骤梳理：首先明确题意，每两个加油站之间仅有1条公路，等价于平面内x个点两两连接形成的线段总条数问题；其次回忆线段计数的规律：x个点中，每个点可与其余(x-1)个点连线，每条线段会被重复计算2次，因此总线段数（即公路数）的计算公式为$\frac{x(x-1)}{2}$；最后根据公路总数为36列方程求解，注意舍去不符合实际意义的负根即可得到结果。
【解析】
设该地共有$x$个加油站。
由“每两个加油站之间都有1条公路”，可得公路总条数为从$x$个加油站中任选2个的组合数，列方程得：
$\frac{x(x-1)}{2}=36$
整理方程得：
$x^2 - x - 72 = 0$
因式分解得：
$(x-9)(x+8)=0$
解得：$x_1=9$，$x_2=-8$。
因为加油站数量不能为负数，故舍去$x=-8$。
【答案】
9
【知识点】
一元二次方程的应用、线段计数问题
【点评】
本题是一元二次方程应用的基础题型，解题核心是准确理解题意提炼出数量关系，列方程求解后要注意结合实际情景检验根的合理性，这类问题也常出现在比赛场次、握手次数等同类情景的考查中。
【难度系数】
0.7
本题属于一元二次方程的实际应用类问题，解题思路可按以下步骤梳理：首先明确题意，每两个加油站之间仅有1条公路，等价于平面内x个点两两连接形成的线段总条数问题；其次回忆线段计数的规律：x个点中，每个点可与其余(x-1)个点连线，每条线段会被重复计算2次，因此总线段数（即公路数）的计算公式为$\frac{x(x-1)}{2}$；最后根据公路总数为36列方程求解，注意舍去不符合实际意义的负根即可得到结果。
【解析】
设该地共有$x$个加油站。
由“每两个加油站之间都有1条公路”，可得公路总条数为从$x$个加油站中任选2个的组合数，列方程得：
$\frac{x(x-1)}{2}=36$
整理方程得：
$x^2 - x - 72 = 0$
因式分解得：
$(x-9)(x+8)=0$
解得：$x_1=9$，$x_2=-8$。
因为加油站数量不能为负数，故舍去$x=-8$。
【答案】
9
【知识点】
一元二次方程的应用、线段计数问题
【点评】
本题是一元二次方程应用的基础题型，解题核心是准确理解题意提炼出数量关系，列方程求解后要注意结合实际情景检验根的合理性，这类问题也常出现在比赛场次、握手次数等同类情景的考查中。
【难度系数】
0.7
4.在某次冰壶比赛中，有若干支队伍参加了双循环比赛，双循环比赛共进行了56场，则参加比赛的队伍有
8
支.答案
4. 8
解析
【分析】
首先明确双循环赛制的含义：每两支参赛队伍之间都要进行2场比赛。我们可以设参加比赛的队伍有x支，接下来推导总比赛场数：每支队伍需要与除自身外的(x-1)支队伍各赛2场，因此总比赛场数可表示为x(x-1)。结合题目给出的总场数为56场，即可列出一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负根，就能得到参赛队伍的数量。
【解析】
解：设参加比赛的队伍有x支。
双循环赛制下，每两支队伍之间进行2场比赛，总比赛场数为x(x-1)场，根据题意列方程：
$x(x-1)=56$
整理得：$x^2 - x - 56 = 0$
因式分解得：$(x-8)(x+7)=0$
解得：$x_1=8$，$x_2=-7$
因为队伍数量为正整数，所以舍去$x=-7$，即$x=8$。
【答案】
8
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 双循环赛制计数
【点评】
本题结合实际赛制场景考查方程的实际应用，解题核心是准确理解双循环规则并列出对应等量关系，求解时要注意结合实际意义对根进行取舍。
【难度系数】
0.7
首先明确双循环赛制的含义：每两支参赛队伍之间都要进行2场比赛。我们可以设参加比赛的队伍有x支，接下来推导总比赛场数：每支队伍需要与除自身外的(x-1)支队伍各赛2场，因此总比赛场数可表示为x(x-1)。结合题目给出的总场数为56场，即可列出一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负根，就能得到参赛队伍的数量。
【解析】
解：设参加比赛的队伍有x支。
双循环赛制下，每两支队伍之间进行2场比赛，总比赛场数为x(x-1)场，根据题意列方程：
$x(x-1)=56$
整理得：$x^2 - x - 56 = 0$
因式分解得：$(x-8)(x+7)=0$
解得：$x_1=8$，$x_2=-7$
因为队伍数量为正整数，所以舍去$x=-7$，即$x=8$。
【答案】
8
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 双循环赛制计数
【点评】
本题结合实际赛制场景考查方程的实际应用，解题核心是准确理解双循环规则并列出对应等量关系，求解时要注意结合实际意义对根进行取舍。
【难度系数】
0.7
5. 某校要组织一次排球邀请赛，赛制为双循环形式，赛程计划安排3天，每天安排4场比赛，组织者应邀请多少支球队参赛？
答案
5.【解】设组织者应邀请 $x$ 支球队参赛.
根据题意,得 $x(x-1)=3×4$.
解得 $x_1=4,x_2=-3$(不合题意,舍去).
因此,组织者应邀请 4 支球队参赛.
根据题意,得 $x(x-1)=3×4$.
解得 $x_1=4,x_2=-3$(不合题意,舍去).
因此,组织者应邀请 4 支球队参赛.
解析
【分析】
解题时首先计算本次邀请赛的总比赛场数：赛程共3天，每天安排4场，总场次为3×4=12场。接下来明确双循环赛制的场次计算规则：若有x支球队参赛，每两支球队之间都要进行2场比赛，因此总比赛场次为x(x-1)场。再根据总场次相等的等量关系列出一元二次方程，求解后结合球队数量为正整数的实际要求舍去不符合题意的根，即可得到最终结果。
【解析】
解：设组织者应邀请$x$支球队参赛。
根据题意，双循环赛制总场次与计划安排总场次相等，列方程得：
$x(x-1)=3×4$
整理得$x^2 - x - 12 = 0$
解得$x_1=4$，$x_2=-3$
球队数量不能为负数，因此$x_2=-3$不合题意，舍去。
答：组织者应邀请4支球队参赛。
【答案】
4支
【知识点】
一元二次方程的应用；比赛场次计算
【点评】
本题属于实际应用类问题，解题的核心是准确理解双循环赛制的场次计算规则，同时要注意方程的解需要符合实际场景的要求，排除不符合逻辑的解。
【难度系数】
0.8
解题时首先计算本次邀请赛的总比赛场数：赛程共3天，每天安排4场，总场次为3×4=12场。接下来明确双循环赛制的场次计算规则：若有x支球队参赛，每两支球队之间都要进行2场比赛，因此总比赛场次为x(x-1)场。再根据总场次相等的等量关系列出一元二次方程，求解后结合球队数量为正整数的实际要求舍去不符合题意的根，即可得到最终结果。
【解析】
解：设组织者应邀请$x$支球队参赛。
根据题意，双循环赛制总场次与计划安排总场次相等，列方程得：
$x(x-1)=3×4$
整理得$x^2 - x - 12 = 0$
解得$x_1=4$，$x_2=-3$
球队数量不能为负数，因此$x_2=-3$不合题意，舍去。
答：组织者应邀请4支球队参赛。
【答案】
4支
【知识点】
一元二次方程的应用；比赛场次计算
【点评】
本题属于实际应用类问题，解题的核心是准确理解双循环赛制的场次计算规则，同时要注意方程的解需要符合实际场景的要求，排除不符合逻辑的解。
【难度系数】
0.8
6.若一个凸多边形共有20条对角线，则这个多边形为（
A.六边形
B.七边形
C.八边形
D.九边形
C
）A.六边形
B.七边形
C.八边形
D.九边形
答案
6. C
解析
【分析】
要解决这个问题，首先回忆凸多边形对角线总条数的计算规律：对于n边形，每个顶点除了自身和相邻的2个顶点外，可与其余(n-3)个顶点连接形成对角线，每条对角线会被2个顶点各计算1次，因此n边形的对角线总条数公式为$\frac{n(n-3)}{2}$。已知对角线总条数为20，我们可以设边数为n，列一元二次方程求解，最后根据边数为正整数的实际意义筛选结果即可。
【解析】
设这个凸多边形的边数为$n$，根据多边形对角线总条数公式可得：
$\frac{n(n-3)}{2}=20$
方程两边同乘2得：$n(n-3)=40$
整理为标准一元二次方程形式：$n^2-3n-40=0$
因式分解得：$(n-8)(n+5)=0$
解得：$n_1=8$，$n_2=-5$
因为多边形的边数为正整数，所以舍去$n=-5$，即该多边形为八边形。
【答案】
C
【知识点】
多边形对角线公式；一元二次方程的应用
【点评】
本题属于基础题型，核心考查多边形对角线公式的记忆与应用，解题的关键是牢记公式，列方程求解后注意结合多边形边数的实际意义舍去不符合要求的根。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先回忆凸多边形对角线总条数的计算规律：对于n边形，每个顶点除了自身和相邻的2个顶点外，可与其余(n-3)个顶点连接形成对角线，每条对角线会被2个顶点各计算1次，因此n边形的对角线总条数公式为$\frac{n(n-3)}{2}$。已知对角线总条数为20，我们可以设边数为n，列一元二次方程求解，最后根据边数为正整数的实际意义筛选结果即可。
【解析】
设这个凸多边形的边数为$n$，根据多边形对角线总条数公式可得：
$\frac{n(n-3)}{2}=20$
方程两边同乘2得：$n(n-3)=40$
整理为标准一元二次方程形式：$n^2-3n-40=0$
因式分解得：$(n-8)(n+5)=0$
解得：$n_1=8$，$n_2=-5$
因为多边形的边数为正整数，所以舍去$n=-5$，即该多边形为八边形。
【答案】
C
【知识点】
多边形对角线公式；一元二次方程的应用
【点评】
本题属于基础题型，核心考查多边形对角线公式的记忆与应用，解题的关键是牢记公式，列方程求解后注意结合多边形边数的实际意义舍去不符合要求的根。
【难度系数】
0.8
7. 一列火车在 A 市与 B 市之间往返，沿途有多个火车停靠站（包括首发站与终点站），相关部门针对这列火车的运行路线推出了 72 种不同行程的火车票，则一共有
9
个火车停靠站.答案
7. 9
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确火车票是区分往返方向的，即两个站点之间的往返行程对应2种不同的火车票。假设共有n个火车停靠站，从任意一个站点出发，都可前往其余(n-1)个站点，因此总车票种类数等于站点数乘以每个站点对应的目的地数量，据此列一元二次方程求解即可，注意最终结果要取符合实际意义的正整数。
【解析】
设一共有$ n $个火车停靠站。
因为往返行程为不同的火车票，因此每个站点可到达其余$ n-1 $个站点，总车票种类满足：
$ n(n-1)=72 $
整理得一元二次方程：
$ n^2 -n -72=0 $
因式分解得：
$ (n-9)(n+8)=0 $
解得$ n_1=9 $，$ n_2=-8 $。
由于停靠站数量不能为负数，因此舍去$ n=-8 $，即$ n=9 $。
【答案】
9
【知识点】
1. 一元二次方程应用
2. 排列计数
【点评】
本题结合生活场景考查数学知识的实际应用，解题的关键是理解往返车票属于不同类型，正确建立等量关系，求解后注意要根据实际意义舍去不符合要求的根。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先明确火车票是区分往返方向的，即两个站点之间的往返行程对应2种不同的火车票。假设共有n个火车停靠站，从任意一个站点出发，都可前往其余(n-1)个站点，因此总车票种类数等于站点数乘以每个站点对应的目的地数量，据此列一元二次方程求解即可，注意最终结果要取符合实际意义的正整数。
【解析】
设一共有$ n $个火车停靠站。
因为往返行程为不同的火车票，因此每个站点可到达其余$ n-1 $个站点，总车票种类满足：
$ n(n-1)=72 $
整理得一元二次方程：
$ n^2 -n -72=0 $
因式分解得：
$ (n-9)(n+8)=0 $
解得$ n_1=9 $，$ n_2=-8 $。
由于停靠站数量不能为负数，因此舍去$ n=-8 $，即$ n=9 $。
【答案】
9
【知识点】
1. 一元二次方程应用
2. 排列计数
【点评】
本题结合生活场景考查数学知识的实际应用，解题的关键是理解往返车票属于不同类型，正确建立等量关系，求解后注意要根据实际意义舍去不符合要求的根。
【难度系数】
0.7
8.有若干支球队参加校级篮球比赛，比赛赛制为单循环形式，且每场比赛都要分出胜负，一共进行了15场比赛.比赛规定每队胜1场得2分，负一场得1分，甲队一共得8分.这次校级篮球比赛一共有多少支球队参加？甲队胜了多少场比赛？
答案
8.【解】设这次校级篮球比赛一共有 $x$ 支球队参加.
根据题意,得$\dfrac{x(x-1)}{2}=15$.
解得 $x_1=6,x_2=-5$(不合题意,舍去).
因此,这次校级篮球比赛一共有 6 支球队参加.
设甲队胜了 $y$ 场比赛.
根据题意,得 $2y+(6-1-y)=8$.
解得 $y=3$.
因此,甲队胜了 3 场比赛.
根据题意,得$\dfrac{x(x-1)}{2}=15$.
解得 $x_1=6,x_2=-5$(不合题意,舍去).
因此,这次校级篮球比赛一共有 6 支球队参加.
设甲队胜了 $y$ 场比赛.
根据题意,得 $2y+(6-1-y)=8$.
解得 $y=3$.
因此,甲队胜了 3 场比赛.
解析
【分析】
本题分两个问题求解：①求参赛球队数量：已知赛制为单循环，总比赛场数为15场，单循环赛中每2支球队仅赛1场，若有x支球队，每支球队需和其余(x-1)支球队各赛1场，总场次会重复计算1次，因此实际总场数为$\frac{x(x-1)}{2}$，结合总场数15即可列一元二次方程求解，注意舍去不符合实际意义的负根。②求甲队胜场数：先根据求得的球队数得到甲队的总比赛场数，设胜y场，负场数为总场数减胜场数，结合“胜1场得2分、负1场得1分，总得分8分”的规则列一元一次方程求解即可。
【解析】
解：设这次校级篮球比赛一共有$x$支球队参加。
根据单循环赛总场数的等量关系列方程：
$\dfrac{x(x-1)}{2}=15$
整理得$x^2-x-30=0$，因式分解得$(x-6)(x+5)=0$
解得 $x_1=6,x_2=-5$，球队数量不能为负数，因此舍去$x_2=-5$，即共有6支球队参赛。
再设甲队胜了$y$场比赛，甲队需要和其余5支球队各赛1场，因此总比赛场数为$6-1=5$场，负场数为$(5-y)$场，根据得分规则列方程：
$2y+(5-y)×1=8$
解得$y=3$。
【答案】
这次校级篮球比赛一共有6支球队参加，甲队胜了3场比赛。
【知识点】
一元二次方程的应用、一元一次方程的应用、单循环赛制计算
【点评】
本题属于方程的实际应用类基础题，解题的核心是准确提取题目中的等量关系，尤其要明确单循环赛的场次计算逻辑，求解后注意检验根是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7
本题分两个问题求解：①求参赛球队数量：已知赛制为单循环，总比赛场数为15场，单循环赛中每2支球队仅赛1场，若有x支球队，每支球队需和其余(x-1)支球队各赛1场，总场次会重复计算1次，因此实际总场数为$\frac{x(x-1)}{2}$，结合总场数15即可列一元二次方程求解，注意舍去不符合实际意义的负根。②求甲队胜场数：先根据求得的球队数得到甲队的总比赛场数，设胜y场，负场数为总场数减胜场数，结合“胜1场得2分、负1场得1分，总得分8分”的规则列一元一次方程求解即可。
【解析】
解：设这次校级篮球比赛一共有$x$支球队参加。
根据单循环赛总场数的等量关系列方程：
$\dfrac{x(x-1)}{2}=15$
整理得$x^2-x-30=0$，因式分解得$(x-6)(x+5)=0$
解得 $x_1=6,x_2=-5$，球队数量不能为负数，因此舍去$x_2=-5$，即共有6支球队参赛。
再设甲队胜了$y$场比赛，甲队需要和其余5支球队各赛1场，因此总比赛场数为$6-1=5$场，负场数为$(5-y)$场，根据得分规则列方程：
$2y+(5-y)×1=8$
解得$y=3$。
【答案】
这次校级篮球比赛一共有6支球队参加，甲队胜了3场比赛。
【知识点】
一元二次方程的应用、一元一次方程的应用、单循环赛制计算
【点评】
本题属于方程的实际应用类基础题，解题的核心是准确提取题目中的等量关系，尤其要明确单循环赛的场次计算逻辑，求解后注意检验根是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7
