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9.某校九年级举办了一场乒乓球比赛，赛制为单循环形式.乐乐和淇淇针对这次比赛有如下对话.
乐乐:本次比赛一共进行了40场.
淇淇:你说的不正确，按照这个赛制，不应该是40场.
设有x人参加比赛.
(1)根据题意并结合乐乐所说的话列出的方程应该是
(2)乐乐补充道:本次比赛的确一共进行了40场，因为在比赛过程中遇到了特殊情况，有1人身体不适中途退赛了，他只参加了4场比赛.请根据乐乐的说法求出x的值.
乐乐:本次比赛一共进行了40场.
淇淇:你说的不正确，按照这个赛制，不应该是40场.
设有x人参加比赛.
(1)根据题意并结合乐乐所说的话列出的方程应该是
$\dfrac{1}{2}x(x-1)=40$
，请利用此方程分析淇淇说的是否正确.(2)乐乐补充道:本次比赛的确一共进行了40场，因为在比赛过程中遇到了特殊情况，有1人身体不适中途退赛了，他只参加了4场比赛.请根据乐乐的说法求出x的值.
答案
9.【解】(1)$\dfrac{1}{2}x(x-1)=40$
解方程$\dfrac{1}{2}x(x-1)=40$,
得 $x_1=\dfrac{1+\sqrt{321}}{2},x_2=\dfrac{1-\sqrt{321}}{2}$.
$\because$方程的解不符合实际，
$\therefore$按照这个赛制,不应该是 40 场.
故淇淇的说法正确.
(2)根据题意,得$\dfrac{(x-1)(x-2)}{2}+4=40$.
解得 $x_1=10,x_2=-7$(不合题意,舍去).
$\therefore x$ 的值为 10.
解方程$\dfrac{1}{2}x(x-1)=40$,
得 $x_1=\dfrac{1+\sqrt{321}}{2},x_2=\dfrac{1-\sqrt{321}}{2}$.
$\because$方程的解不符合实际，
$\therefore$按照这个赛制,不应该是 40 场.
故淇淇的说法正确.
(2)根据题意,得$\dfrac{(x-1)(x-2)}{2}+4=40$.
解得 $x_1=10,x_2=-7$(不合题意,舍去).
$\therefore x$ 的值为 10.
解析
【分析】
1. 第(1)问先明确单循环赛制规则：每两名选手之间仅赛1场。x名选手参赛时，每人需和其余(x-1)人各赛1场，每场比赛被重复计算1次，因此总场次为$\frac{1}{2}x(x-1)$，结合乐乐说的总场次40场即可列方程。接下来解方程，判断解是否为正整数（参赛人数必须为正整数），若解不符合实际，则淇淇说法正确。
2. 第(2)问中1人退赛且仅参加4场，剩余(x-1)人之间的比赛为单循环，总场次等于剩余(x-1)人的单循环场次加上退赛者已参加的4场，据此列方程求解后舍去不符合实际的负根即可。
【解析】
(1) 根据单循环总场次公式，列方程为：
$\frac{1}{2}x(x-1)=40$
整理得$x^2 - x - 80=0$，由求根公式解得：
$x_1=\frac{1+\sqrt{321}}{2}$，$x_2=\frac{1-\sqrt{321}}{2}$
由于参赛人数x必须为正整数，两个解均不符合实际意义，因此乐乐说法错误，淇淇的说法正确。
(2) 剩余(x-1)人之间的单循环场次为$\frac{(x-1)(x-2)}{2}$，结合总场次40场列方程：
$\frac{(x-1)(x-2)}{2} +4=40$
整理得$x^2 - 3x -70=0$，因式分解得$(x-10)(x+7)=0$，解得：
$x_1=10$，$x_2=-7$
参赛人数不能为负，舍去$x=-7$，因此x的值为10。
【答案】
(1) $\frac{1}{2}x(x-1)=40$，淇淇说法正确；
(2) $x=10$
【知识点】
一元二次方程应用，单循环场次计算，解的合理性检验
【点评】
本题结合实际比赛场景考查一元二次方程的应用，解题核心是准确掌握单循环赛制的场次计算逻辑，同时要注意实际问题中方程的解必须符合现实意义，能有效锻炼学生的数学建模能力和逻辑分析能力。
【难度系数】
0.7
1. 第(1)问先明确单循环赛制规则：每两名选手之间仅赛1场。x名选手参赛时，每人需和其余(x-1)人各赛1场，每场比赛被重复计算1次，因此总场次为$\frac{1}{2}x(x-1)$，结合乐乐说的总场次40场即可列方程。接下来解方程，判断解是否为正整数（参赛人数必须为正整数），若解不符合实际，则淇淇说法正确。
2. 第(2)问中1人退赛且仅参加4场，剩余(x-1)人之间的比赛为单循环，总场次等于剩余(x-1)人的单循环场次加上退赛者已参加的4场，据此列方程求解后舍去不符合实际的负根即可。
【解析】
(1) 根据单循环总场次公式，列方程为：
$\frac{1}{2}x(x-1)=40$
整理得$x^2 - x - 80=0$，由求根公式解得：
$x_1=\frac{1+\sqrt{321}}{2}$，$x_2=\frac{1-\sqrt{321}}{2}$
由于参赛人数x必须为正整数，两个解均不符合实际意义，因此乐乐说法错误，淇淇的说法正确。
(2) 剩余(x-1)人之间的单循环场次为$\frac{(x-1)(x-2)}{2}$，结合总场次40场列方程：
$\frac{(x-1)(x-2)}{2} +4=40$
整理得$x^2 - 3x -70=0$，因式分解得$(x-10)(x+7)=0$，解得：
$x_1=10$，$x_2=-7$
参赛人数不能为负，舍去$x=-7$，因此x的值为10。
【答案】
(1) $\frac{1}{2}x(x-1)=40$，淇淇说法正确；
(2) $x=10$
【知识点】
一元二次方程应用，单循环场次计算，解的合理性检验
【点评】
本题结合实际比赛场景考查一元二次方程的应用，解题核心是准确掌握单循环赛制的场次计算逻辑，同时要注意实际问题中方程的解必须符合现实意义，能有效锻炼学生的数学建模能力和逻辑分析能力。
【难度系数】
0.7
10.综合与探究.
【问题背景】
在一次聚会上,规定每两个人见面必须握手,且只握手1次.
【解答问题】
(1)若参加聚会的人数为3,则共握手
(2)若参加聚会的人数为n(n为正整数),则共握手
(3)若参加聚会的人共握手91次,请求出参加聚会的人数.
【拓展应用】
(4)若在∠AOB的内部由顶点O引出m条射线(不含OA,OB边),此时共有28个角,求m的值.
【问题背景】
在一次聚会上,规定每两个人见面必须握手,且只握手1次.
【解答问题】
(1)若参加聚会的人数为3,则共握手
3
次.(2)若参加聚会的人数为n(n为正整数),则共握手
$\dfrac{n(n-1)}{2}$
次.(用含n的代数式表示)(3)若参加聚会的人共握手91次,请求出参加聚会的人数.
【拓展应用】
(4)若在∠AOB的内部由顶点O引出m条射线(不含OA,OB边),此时共有28个角,求m的值.
答案
10.【解】(1)3
(2)$\dfrac{n(n-1)}{2}$
(3)设参加聚会的人数为 $n$.
根据题意,得$\dfrac{n(n-1)}{2}=91$.
解得 $n_1=14,n_2=-13$(不合题意,舍去).
因此,参加聚会的人数为 14.
(4)根据题意,得$\dfrac{(m+2)(m+1)}{2}=28$.
解得 $m_1=6,m_2=-9$(不合题意,舍去).
因此,$m$ 的值为 6.
(2)$\dfrac{n(n-1)}{2}$
(3)设参加聚会的人数为 $n$.
根据题意,得$\dfrac{n(n-1)}{2}=91$.
解得 $n_1=14,n_2=-13$(不合题意,舍去).
因此,参加聚会的人数为 14.
(4)根据题意,得$\dfrac{(m+2)(m+1)}{2}=28$.
解得 $m_1=6,m_2=-9$(不合题意,舍去).
因此,$m$ 的值为 6.
解析
【分析】
这是一道单循环计数类的综合应用题，解题思路清晰可循：1. 第(1)问，3人聚会时每个人要和其余2人各握手1次，直接计算会重复统计每次握手，因此总次数需要除以2即可得到结果；2. 第(2)问可类比第(1)问的推导逻辑，n个人每人握手(n-1)次，去除重复计算的部分就能得到通用的计数公式；3. 第(3)问将总握手次数91代入第(2)问的公式，得到关于n的一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负根即可；4. 第(4)问角的计数和握手问题本质一致：∠AOB内部加m条射线后总共有(m+2)条射线，每两条射线可组成1个角，同样套用单循环计数公式列方程求解，舍去负根即可得到m的值。
【解析】
(1) 3人握手总次数为$\frac{3×(3-1)}{2}=3$次；
(2) n个人每人握手(n-1)次，每一次握手被重复计算2次，因此总握手次数为$\frac{n(n-1)}{2}$次；
(3) 设参加聚会的人数为$n$，根据题意列方程：
$\dfrac{n(n-1)}{2}=91$
整理得$n^2-n-182=0$，解得 $n_1=14,n_2=-13$，人数不能为负数，舍去$n_2$，因此参加聚会的人数为14；
(4) ∠AOB内部引出m条射线后，总共有$(m+2)$条射线，根据角的计数规律列方程：
$\dfrac{(m+2)(m+1)}{2}=28$
整理得$m^2+3m-54=0$，解得 $m_1=6,m_2=-9$，射线数量不能为负数，舍去$m_2$，因此$m$的值为6。
【答案】
(1) $\boldsymbol{3}$；(2) $\boldsymbol{\dfrac{n(n-1)}{2}}$；(3) $\boldsymbol{14}$；(4) $\boldsymbol{6}$
【知识点】
1. 单循环计数规律；2. 一元二次方程的应用；3. 角的计数
【点评】
本题将规律探究与方程应用相结合，解题的核心是掌握握手计数、角的计数等单循环类问题的通用计数公式，求解方程后要注意结合实际场景检验根的合理性，主动舍去不符合题意的根。
【难度系数】
0.7
这是一道单循环计数类的综合应用题，解题思路清晰可循：1. 第(1)问，3人聚会时每个人要和其余2人各握手1次，直接计算会重复统计每次握手，因此总次数需要除以2即可得到结果；2. 第(2)问可类比第(1)问的推导逻辑，n个人每人握手(n-1)次，去除重复计算的部分就能得到通用的计数公式；3. 第(3)问将总握手次数91代入第(2)问的公式，得到关于n的一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负根即可；4. 第(4)问角的计数和握手问题本质一致：∠AOB内部加m条射线后总共有(m+2)条射线，每两条射线可组成1个角，同样套用单循环计数公式列方程求解，舍去负根即可得到m的值。
【解析】
(1) 3人握手总次数为$\frac{3×(3-1)}{2}=3$次；
(2) n个人每人握手(n-1)次，每一次握手被重复计算2次，因此总握手次数为$\frac{n(n-1)}{2}$次；
(3) 设参加聚会的人数为$n$，根据题意列方程：
$\dfrac{n(n-1)}{2}=91$
整理得$n^2-n-182=0$，解得 $n_1=14,n_2=-13$，人数不能为负数，舍去$n_2$，因此参加聚会的人数为14；
(4) ∠AOB内部引出m条射线后，总共有$(m+2)$条射线，根据角的计数规律列方程：
$\dfrac{(m+2)(m+1)}{2}=28$
整理得$m^2+3m-54=0$，解得 $m_1=6,m_2=-9$，射线数量不能为负数，舍去$m_2$，因此$m$的值为6。
【答案】
(1) $\boldsymbol{3}$；(2) $\boldsymbol{\dfrac{n(n-1)}{2}}$；(3) $\boldsymbol{14}$；(4) $\boldsymbol{6}$
【知识点】
1. 单循环计数规律；2. 一元二次方程的应用；3. 角的计数
【点评】
本题将规律探究与方程应用相结合，解题的核心是掌握握手计数、角的计数等单循环类问题的通用计数公式，求解方程后要注意结合实际场景检验根的合理性，主动舍去不符合题意的根。
【难度系数】
0.7
