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8.如图,若线段MN将由边长为6,8,m的三个正方形组成的图形分成了面积相等的两部分,则m的值为
2或6
。答案
8. 2或6
解析
【分析】
遇到组合图形被直线平分面积的问题，可采用补形法简化计算：将三个正方形组成的图形补成一个长为$6+8+m$、宽为8的大矩形，线段MN恰好是该大矩形的对角线，而矩形的对角线天然平分矩形面积。要让MN平分原图形的面积，只需原图形在大矩形中缺失的两部分面积相等即可：一部分是左上方边长为6的正方形上方缺失的矩形，另一部分是右下方边长为m的正方形下方缺失的矩形，据此列方程求解即可。
【解析】
1. 补形：将原图形补为长$=6+8+m=14+m$、宽$=8$的大矩形，线段MN为该大矩形的对角线，因此MN平分大矩形面积，对角线分出的单个三角形面积为：
$S_{\mathrm{三角形}}=\frac{1}{2} × 8 × (14+m)=4(14+m)$
2. 计算原图形在大矩形中缺失的两部分面积：
左上方缺失矩形：长为6，宽为$8-6=2$，面积$S_1=6 × 2=12$
右下方缺失矩形：长为m，宽为$8-m$，面积$S_2=m(8-m)$
3. 列方程求解：
由于MN平分大矩形面积，要使MN平分原图形面积，需两处缺失面积相等（两部分分别位于MN两侧，缺失面积相等时剩余原图形被MN平分），因此：
$m(8-m)=12$
整理得一元二次方程：$m^2-8m+12=0$
因式分解得：$(m-2)(m-6)=0$
解得$m=2$或$m=6$，均符合实际意义。
【答案】
2或6
【知识点】
矩形的性质；一元二次方程的应用；割补法求面积
【点评】
本题考查了组合图形的面积平分问题，核心是利用补形法将不规则图形转化为规则矩形，借助矩形对角线平分面积的性质简化计算，同时要求熟练掌握一元二次方程的解法，体现了转化思想在几何问题中的应用。
【难度系数】
0.3
遇到组合图形被直线平分面积的问题，可采用补形法简化计算：将三个正方形组成的图形补成一个长为$6+8+m$、宽为8的大矩形，线段MN恰好是该大矩形的对角线，而矩形的对角线天然平分矩形面积。要让MN平分原图形的面积，只需原图形在大矩形中缺失的两部分面积相等即可：一部分是左上方边长为6的正方形上方缺失的矩形，另一部分是右下方边长为m的正方形下方缺失的矩形，据此列方程求解即可。
【解析】
1. 补形：将原图形补为长$=6+8+m=14+m$、宽$=8$的大矩形，线段MN为该大矩形的对角线，因此MN平分大矩形面积，对角线分出的单个三角形面积为：
$S_{\mathrm{三角形}}=\frac{1}{2} × 8 × (14+m)=4(14+m)$
2. 计算原图形在大矩形中缺失的两部分面积：
左上方缺失矩形：长为6，宽为$8-6=2$，面积$S_1=6 × 2=12$
右下方缺失矩形：长为m，宽为$8-m$，面积$S_2=m(8-m)$
3. 列方程求解：
由于MN平分大矩形面积，要使MN平分原图形面积，需两处缺失面积相等（两部分分别位于MN两侧，缺失面积相等时剩余原图形被MN平分），因此：
$m(8-m)=12$
整理得一元二次方程：$m^2-8m+12=0$
因式分解得：$(m-2)(m-6)=0$
解得$m=2$或$m=6$，均符合实际意义。
【答案】
2或6
【知识点】
矩形的性质；一元二次方程的应用；割补法求面积
【点评】
本题考查了组合图形的面积平分问题，核心是利用补形法将不规则图形转化为规则矩形，借助矩形对角线平分面积的性质简化计算，同时要求熟练掌握一元二次方程的解法，体现了转化思想在几何问题中的应用。
【难度系数】
0.3
9.如图，AB=4 cm，线段AB上的点C把线段分成两段，其中AC是较短的一段，且AC：CB=CB：AB，求CB的长.
答案
9.【解】设CB的长为x cm,则AC的长为(4-x)cm.
∵AC : CB=CB : AB,
∴(4-x) : x=x : 4,即 $x^2+4x-16=0$.
解得 $x_1=-2+2\sqrt{5},x_2=-2-2\sqrt{5}$(不合题意,舍去).
因此,CB 的长为$(-2+2\sqrt{5})$cm.
∵AC : CB=CB : AB,
∴(4-x) : x=x : 4,即 $x^2+4x-16=0$.
解得 $x_1=-2+2\sqrt{5},x_2=-2-2\sqrt{5}$(不合题意,舍去).
因此,CB 的长为$(-2+2\sqrt{5})$cm.
解析
【分析】
本题要求线段CB的长度，已知线段AB总长和AC、CB、AB的比例关系，可通过列方程求解：首先设CB的长度为未知数，结合AB总长表示出AC的长度；再将各线段长度代入已知比例式，利用比例的基本性质将比例式转化为一元二次方程；最后求解方程，结合线段长度为正的实际意义舍去不符合要求的根，即可得到CB的长度。
【解析】
解：设CB的长为$x$ cm，则AC的长为$(4-x)$ cm。
∵$AC:CB=CB:AB$，且$AB=4$ cm，
∴$(4-x):x=x:4$，
根据比例的基本性质交叉相乘得：$x^2=4(4-x)$，
整理得：$x^2+4x-16=0$，
由求根公式解得：$x=\frac{-4\pm\sqrt{4^2+4×16}}{2×1}=-2\pm2\sqrt{5}$，
∵线段长度为正数，
∴$x=-2-2\sqrt{5}＜0$，不合题意，舍去，
因此$x=-2+2\sqrt{5}$。
【答案】
CB的长为$(-2+2\sqrt{5})$ cm
【知识点】
比例的基本性质，一元二次方程的解法，线段的和差计算
【点评】
本题是几何与代数结合的基础题型，解题关键是准确根据比例关系列方程，同时要注意结合实际情况对根进行筛选，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
本题要求线段CB的长度，已知线段AB总长和AC、CB、AB的比例关系，可通过列方程求解：首先设CB的长度为未知数，结合AB总长表示出AC的长度；再将各线段长度代入已知比例式，利用比例的基本性质将比例式转化为一元二次方程；最后求解方程，结合线段长度为正的实际意义舍去不符合要求的根，即可得到CB的长度。
【解析】
解：设CB的长为$x$ cm，则AC的长为$(4-x)$ cm。
∵$AC:CB=CB:AB$，且$AB=4$ cm，
∴$(4-x):x=x:4$，
根据比例的基本性质交叉相乘得：$x^2=4(4-x)$，
整理得：$x^2+4x-16=0$，
由求根公式解得：$x=\frac{-4\pm\sqrt{4^2+4×16}}{2×1}=-2\pm2\sqrt{5}$，
∵线段长度为正数，
∴$x=-2-2\sqrt{5}＜0$，不合题意，舍去，
因此$x=-2+2\sqrt{5}$。
【答案】
CB的长为$(-2+2\sqrt{5})$ cm
【知识点】
比例的基本性质，一元二次方程的解法，线段的和差计算
【点评】
本题是几何与代数结合的基础题型，解题关键是准确根据比例关系列方程，同时要注意结合实际情况对根进行筛选，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
10.一个矩形养鸡场如图所示，养鸡场的一边靠墙，墙长22 m，围成养鸡场的篱笆长40 m，为方便进出，留出了两扇宽均为2 m的门.若养鸡场的面积是160 m²，求养鸡场的宽(AB的长).
答案
10.【解】设 AB 的长为 x m,则 AD 的长为(44-3x)m.
根据题意,得 $x(44-3x)=160$.
解得 $x_1=\frac{20}{3},x_2=8$.
当 $x=\frac{20}{3}$ 时,$44-3x=44-3×\frac{20}{3}=24,24＞22$,不合题意,舍去.
当 $x=8$ 时,$44-3x=44-3×8=20,20＜22$,符合题意.
因此,养鸡场的宽是 8 m.
根据题意,得 $x(44-3x)=160$.
解得 $x_1=\frac{20}{3},x_2=8$.
当 $x=\frac{20}{3}$ 时,$44-3x=44-3×\frac{20}{3}=24,24＞22$,不合题意,舍去.
当 $x=8$ 时,$44-3x=44-3×8=20,20＜22$,符合题意.
因此,养鸡场的宽是 8 m.
解析
【分析】
这是一道利用一元二次方程解决矩形面积的实际应用题，解题思路如下：1. 明确核心等量关系：矩形面积=长×宽；2. 设宽AB的长度为x m，先推导平行于墙的边AD的长度：篱笆总长40m，加上两扇各2m的门的宽度，总可用长度为40+2×2=44m，垂直于墙的边共有3条（AB、中间分隔、CD），每条长均为x，因此AD的长度为总可用长度减去3个x，即(44-3x)m；3. 注意隐含限制条件：墙长仅22m，因此AD的长度不能超过22m，后续解出方程的根需要检验是否符合该条件；4. 根据面积为160m²列方程求解，舍去不符合实际的根即可得到答案。
【解析】
解：设AB的长为x m，则AD的长为$(40 + 2×2 - 3x) = (44 - 3x)\ \mathrm{m}$。
根据养鸡场面积为160 m²，列方程得：
$x(44-3x)=160$
解得 $x_1=\frac{20}{3},x_2=8$。
检验：
当 $x=\frac{20}{3}$ 时，$AD=44-3×\frac{20}{3}=24\ \mathrm{m}$，$24＞22$，超过墙长，不合题意，舍去；
当 $x=8$ 时，$AD=44-3×8=20\ \mathrm{m}$，$20＜22$，符合墙长限制。
【答案】
8 m
【知识点】
一元二次方程应用，矩形面积计算，实际问题验根
【点评】
本题是方程与几何结合的常见应用题，解题的关键是正确用未知数表示出平行于墙的边长，同时不要忽略墙长对边长的限制，解出方程后必须检验根是否符合实际场景，避免出现增解。
【难度系数】
0.7
这是一道利用一元二次方程解决矩形面积的实际应用题，解题思路如下：1. 明确核心等量关系：矩形面积=长×宽；2. 设宽AB的长度为x m，先推导平行于墙的边AD的长度：篱笆总长40m，加上两扇各2m的门的宽度，总可用长度为40+2×2=44m，垂直于墙的边共有3条（AB、中间分隔、CD），每条长均为x，因此AD的长度为总可用长度减去3个x，即(44-3x)m；3. 注意隐含限制条件：墙长仅22m，因此AD的长度不能超过22m，后续解出方程的根需要检验是否符合该条件；4. 根据面积为160m²列方程求解，舍去不符合实际的根即可得到答案。
【解析】
解：设AB的长为x m，则AD的长为$(40 + 2×2 - 3x) = (44 - 3x)\ \mathrm{m}$。
根据养鸡场面积为160 m²，列方程得：
$x(44-3x)=160$
解得 $x_1=\frac{20}{3},x_2=8$。
检验：
当 $x=\frac{20}{3}$ 时，$AD=44-3×\frac{20}{3}=24\ \mathrm{m}$，$24＞22$，超过墙长，不合题意，舍去；
当 $x=8$ 时，$AD=44-3×8=20\ \mathrm{m}$，$20＜22$，符合墙长限制。
【答案】
8 m
【知识点】
一元二次方程应用，矩形面积计算，实际问题验根
【点评】
本题是方程与几何结合的常见应用题，解题的关键是正确用未知数表示出平行于墙的边长，同时不要忽略墙长对边长的限制，解出方程后必须检验根是否符合实际场景，避免出现增解。
【难度系数】
0.7
11.一幅长 20 cm,宽 12 cm 的图案如图所示,图案中有一横两竖的阴影,横向和竖向阴影的宽度比为$3:2$.若阴影面积是图案面积的$\frac{2}{5}$,求横向阴影的宽度.
答案
11.【解】设横向阴影的宽度为 3x cm,则竖向阴影的宽度为 2x cm.
根据题意,得 $20×3x+2×(12-3x)×2x=20×12×\frac{2}{5}$.
解得 $x_1=1,x_2=8$.
当 $x=1$ 时,$3x=3×1=3,3＜12$,符合题意.
当 $x=8$ 时,$3x=3×8=24,24＞20$,不合题意,舍去.
因此,横向阴影的宽度为 3 cm.
根据题意,得 $20×3x+2×(12-3x)×2x=20×12×\frac{2}{5}$.
解得 $x_1=1,x_2=8$.
当 $x=1$ 时,$3x=3×1=3,3＜12$,符合题意.
当 $x=8$ 时,$3x=3×8=24,24＞20$,不合题意,舍去.
因此,横向阴影的宽度为 3 cm.
解析
【分析】
首先根据题目给出的横向、竖向阴影宽度比3:2，我们可以设参数表示两个宽度：设横向阴影宽为3x cm，竖向阴影宽为2x cm。计算阴影面积时要注意：两个竖向阴影和横向阴影存在重叠区域，若直接计算两个竖向长方形面积会重复计算重叠部分，因此竖向阴影的有效高度为图案总宽度12cm减去横向阴影的宽度3x。再根据“阴影面积是图案总面积的$\frac{2}{5}$”的等量关系列方程，求解后需检验根是否符合实际意义（阴影宽度不能超过图案的长宽），舍去不符合的根即可得到结果。
【解析】
解：设横向阴影的宽度为3x cm，则竖向阴影的宽度为2x cm。
根据题意列方程：
$20×3x+2×(12-3x)×2x=20×12×\frac{2}{5}$
整理得：$x^2-9x+8=0$
因式分解解得：$x_1=1,x_2=8$
检验：当$x=1$时，$3x=3＜12$，符合实际意义；
当$x=8$时，$3x=24＞12$，阴影宽度超过图案总宽度，不符合实际，舍去。
因此横向阴影的宽度为$3×1=3$cm。
【答案】
3 cm
【知识点】
一元二次方程应用、长方形面积计算、实际问题验根
【点评】
本题是方程与几何结合的基础应用题，解题关键是合理设未知数，计算阴影面积时避开重复计算重叠区域，同时要注意解决实际问题时必须检验方程的根是否符合现实情境，排除无意义的解。
【难度系数】
0.6
首先根据题目给出的横向、竖向阴影宽度比3:2，我们可以设参数表示两个宽度：设横向阴影宽为3x cm，竖向阴影宽为2x cm。计算阴影面积时要注意：两个竖向阴影和横向阴影存在重叠区域，若直接计算两个竖向长方形面积会重复计算重叠部分，因此竖向阴影的有效高度为图案总宽度12cm减去横向阴影的宽度3x。再根据“阴影面积是图案总面积的$\frac{2}{5}$”的等量关系列方程，求解后需检验根是否符合实际意义（阴影宽度不能超过图案的长宽），舍去不符合的根即可得到结果。
【解析】
解：设横向阴影的宽度为3x cm，则竖向阴影的宽度为2x cm。
根据题意列方程：
$20×3x+2×(12-3x)×2x=20×12×\frac{2}{5}$
整理得：$x^2-9x+8=0$
因式分解解得：$x_1=1,x_2=8$
检验：当$x=1$时，$3x=3＜12$，符合实际意义；
当$x=8$时，$3x=24＞12$，阴影宽度超过图案总宽度，不符合实际，舍去。
因此横向阴影的宽度为$3×1=3$cm。
【答案】
3 cm
【知识点】
一元二次方程应用、长方形面积计算、实际问题验根
【点评】
本题是方程与几何结合的基础应用题，解题关键是合理设未知数，计算阴影面积时避开重复计算重叠区域，同时要注意解决实际问题时必须检验方程的根是否符合现实情境，排除无意义的解。
【难度系数】
0.6
12. 如图, 在$△ ABC$中, $∠ B = 90°$, $AB = 5\ \mathrm{cm}$, $BC = 7\ \mathrm{cm}$. 点$P$从点$A$出发, 以$1\ \mathrm{cm/s}$的速度向点$B$运动, 同时点$Q$从点$B$出发, 以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度向点$C$运动. 当点$Q$到达点$C$时, $P, Q$两点同时停止运动.
(1) 出发几秒时$△ PBQ$的面积为$4\ \mathrm{cm}^2$?
(2) 出发几秒时$PQ$的长度为$5\ \mathrm{cm}$?
(3) 在第(1)问中, $△ PBQ$的面积能为$7\ \mathrm{cm}^2$吗? 若能, 求出$P, Q$出发的时间; 若不能, 请说明理由.
(1) 出发几秒时$△ PBQ$的面积为$4\ \mathrm{cm}^2$?
(2) 出发几秒时$PQ$的长度为$5\ \mathrm{cm}$?
(3) 在第(1)问中, $△ PBQ$的面积能为$7\ \mathrm{cm}^2$吗? 若能, 求出$P, Q$出发的时间; 若不能, 请说明理由.
答案
12.【解】(1)设出发 t s 时$△PBQ$的面积为 4 cm²,则 $AP=t$ cm,$PB=(5-t)$cm,$BQ=2t$ cm.
根据题意,得 $\frac{1}{2}×2t·(5-t)=4$.
解得 $t_1=1,t_2=4$(不合题意,舍去).
因此,出发 1 s 时$△PBQ$的面积为 4 cm².
(2)设出发 m s 时 PQ 的长度为 5 cm,则 $AP=m$ cm,$PB=(5-m)$cm,$BQ=2m$ cm.
根据题意,得$(5-m)^2+(2m)^2=5^2$.
解得 $m_1=2,m_2=0$(不合题意,舍去).
因此,出发 2 s 时 PQ 的长度为 5 cm.
(3)不能. 理由如下:
设出发 n s 时$△PBQ$的面积为 7 cm².
根据题意,得 $\frac{1}{2}×2n·(5-n)=7$.
整理,得 $n^2-5n+7=0$.
∵$Δ=b^2-4ac=(-5)^2-4×1×7=-3＜0$,
∴方程没有实数根.
∴$△PBQ$的面积不能为 7 cm².
根据题意,得 $\frac{1}{2}×2t·(5-t)=4$.
解得 $t_1=1,t_2=4$(不合题意,舍去).
因此,出发 1 s 时$△PBQ$的面积为 4 cm².
(2)设出发 m s 时 PQ 的长度为 5 cm,则 $AP=m$ cm,$PB=(5-m)$cm,$BQ=2m$ cm.
根据题意,得$(5-m)^2+(2m)^2=5^2$.
解得 $m_1=2,m_2=0$(不合题意,舍去).
因此,出发 2 s 时 PQ 的长度为 5 cm.
(3)不能. 理由如下:
设出发 n s 时$△PBQ$的面积为 7 cm².
根据题意,得 $\frac{1}{2}×2n·(5-n)=7$.
整理,得 $n^2-5n+7=0$.
∵$Δ=b^2-4ac=(-5)^2-4×1×7=-3＜0$,
∴方程没有实数根.
∴$△PBQ$的面积不能为 7 cm².
解析
【分析】
这是几何动点结合一元二次方程的应用问题，解题思路如下：首先确定运动时间的取值范围，点Q从B到C需要$7÷2=3.5\mathrm{s}$，因此运动时间$t$的取值范围是$0＜ t ≤ 3.5$；其次针对每一问，设运动时间为未知数，用含未知数的代数式表示出$\mathrm{Rt}△ PBQ$的两条直角边$PB$、$BQ$的长度：$PB=5-t$，$BQ=2t$；（1）问利用直角三角形面积公式列一元二次方程，求解后结合$t$的范围舍去不合理解；（2）问利用勾股定理列方程求解后舍去不符合实际的解；（3）问同样列面积方程，通过计算根的判别式判断方程是否有实根，即可确定面积能否达到$7\mathrm{cm}^2$。
【解析】
(1) 设出发$t\ \mathrm{s}$时$△ PBQ$的面积为$4\ \mathrm{cm}^2$，则$AP=t\ \mathrm{cm}$，$PB=(5-t)\ \mathrm{cm}$，$BQ=2t\ \mathrm{cm}$。
根据直角三角形面积公式，得：
$\frac{1}{2}×2t·(5-t)=4$
整理得$t^2-5t+4=0$
解得$t_1=1$，$t_2=4$，其中$t=4＞3.5$，不符合运动时间范围，舍去。
(2) 设出发$m\ \mathrm{s}$时$PQ$的长度为$5\ \mathrm{cm}$，则$PB=(5-m)\ \mathrm{cm}$，$BQ=2m\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ PBQ$中，由勾股定理得：
$(5-m)^2+(2m)^2=5^2$
整理得$5m^2-10m=0$
解得$m_1=2$，$m_2=0$，其中$m=0$为初始时刻，不符合题意，舍去。
(3) 不能，理由如下：
设出发$n\ \mathrm{s}$时$△ PBQ$的面积为$7\ \mathrm{cm}^2$，根据面积公式得：
$\frac{1}{2}×2n·(5-n)=7$
整理得$n^2-5n+7=0$
根的判别式$\Delta =b^2-4ac=(-5)^2-4×1×7=-3＜0$，因此该方程没有实数根，不存在符合条件的运动时间。
【答案】
(1) 出发$1\ \mathrm{s}$时$△ PBQ$的面积为$4\ \mathrm{cm}^2$；
(2) 出发$2\ \mathrm{s}$时$PQ$的长度为$5\ \mathrm{cm}$；
(3) 不能，对应的一元二次方程没有实数根，不存在符合条件的运动时间。
【知识点】
一元二次方程的应用、勾股定理、根的判别式
【点评】
本题是动点与方程结合的典型应用题，核心是将运动时间作为变量，准确表示相关线段长度，结合几何性质列方程求解，解题时要注意结合运动实际对解进行取舍，第三问通过判别式判断解的存在性，很好地考察了知识的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
这是几何动点结合一元二次方程的应用问题，解题思路如下：首先确定运动时间的取值范围，点Q从B到C需要$7÷2=3.5\mathrm{s}$，因此运动时间$t$的取值范围是$0＜ t ≤ 3.5$；其次针对每一问，设运动时间为未知数，用含未知数的代数式表示出$\mathrm{Rt}△ PBQ$的两条直角边$PB$、$BQ$的长度：$PB=5-t$，$BQ=2t$；（1）问利用直角三角形面积公式列一元二次方程，求解后结合$t$的范围舍去不合理解；（2）问利用勾股定理列方程求解后舍去不符合实际的解；（3）问同样列面积方程，通过计算根的判别式判断方程是否有实根，即可确定面积能否达到$7\mathrm{cm}^2$。
【解析】
(1) 设出发$t\ \mathrm{s}$时$△ PBQ$的面积为$4\ \mathrm{cm}^2$，则$AP=t\ \mathrm{cm}$，$PB=(5-t)\ \mathrm{cm}$，$BQ=2t\ \mathrm{cm}$。
根据直角三角形面积公式，得：
$\frac{1}{2}×2t·(5-t)=4$
整理得$t^2-5t+4=0$
解得$t_1=1$，$t_2=4$，其中$t=4＞3.5$，不符合运动时间范围，舍去。
(2) 设出发$m\ \mathrm{s}$时$PQ$的长度为$5\ \mathrm{cm}$，则$PB=(5-m)\ \mathrm{cm}$，$BQ=2m\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ PBQ$中，由勾股定理得：
$(5-m)^2+(2m)^2=5^2$
整理得$5m^2-10m=0$
解得$m_1=2$，$m_2=0$，其中$m=0$为初始时刻，不符合题意，舍去。
(3) 不能，理由如下：
设出发$n\ \mathrm{s}$时$△ PBQ$的面积为$7\ \mathrm{cm}^2$，根据面积公式得：
$\frac{1}{2}×2n·(5-n)=7$
整理得$n^2-5n+7=0$
根的判别式$\Delta =b^2-4ac=(-5)^2-4×1×7=-3＜0$，因此该方程没有实数根，不存在符合条件的运动时间。
【答案】
(1) 出发$1\ \mathrm{s}$时$△ PBQ$的面积为$4\ \mathrm{cm}^2$；
(2) 出发$2\ \mathrm{s}$时$PQ$的长度为$5\ \mathrm{cm}$；
(3) 不能，对应的一元二次方程没有实数根，不存在符合条件的运动时间。
【知识点】
一元二次方程的应用、勾股定理、根的判别式
【点评】
本题是动点与方程结合的典型应用题，核心是将运动时间作为变量，准确表示相关线段长度，结合几何性质列方程求解，解题时要注意结合运动实际对解进行取舍，第三问通过判别式判断解的存在性，很好地考察了知识的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
