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17.(9分)(2025·甘肃)如图4是一个可以自由转动的转盘,转盘被等分成3个扇形,分别涂有红、白、蓝三种颜色,转盘指针固定.转动转盘,等转盘停止转动后,观察指针所落区域的颜色.若指针落在区域分界线上,则重新转动转盘.
(1)任意转动转盘一次,指针落在红色区域的概率为;
(2)任意转动转盘两次(第一次转动转盘,等转盘停止转动后,再第二次转动转盘),用画树状图或列表的方法求指针所落区域颜色不同的概率.
(1)任意转动转盘一次,指针落在红色区域的概率为;
(2)任意转动转盘两次(第一次转动转盘,等转盘停止转动后,再第二次转动转盘),用画树状图或列表的方法求指针所落区域颜色不同的概率.
答案
解：
(1) $\frac{1}{3}$
(2) 列表如下：
| 第一次\第二次 | 红 | 白 | 蓝 |
| --- | --- | --- | --- |
| 红 | (红,红) | (红,白) | (红,蓝) |
| 白 | (白,红) | (白,白) | (白,蓝) |
| 蓝 | (蓝,红) | (蓝,白) | (蓝,蓝) |
由表可知，共有9种等可能的结果，其中指针所落区域颜色不同的结果有6种。
∴ $P(\mathrm{指针所落区域颜色不同})=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$。
(1) $\frac{1}{3}$
(2) 列表如下：
| 第一次\第二次 | 红 | 白 | 蓝 |
| --- | --- | --- | --- |
| 红 | (红,红) | (红,白) | (红,蓝) |
| 白 | (白,红) | (白,白) | (白,蓝) |
| 蓝 | (蓝,红) | (蓝,白) | (蓝,蓝) |
由表可知，共有9种等可能的结果，其中指针所落区域颜色不同的结果有6种。
∴ $P(\mathrm{指针所落区域颜色不同})=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$。
解析
【分析】
(1) 首先判断该事件属于等可能事件：转盘被等分成3个扇形，指针落在每个区域的可能性相等。计算单步概率时，只需用红色区域对应的情况数除以所有等可能的总情况数，即可得到对应概率。
(2) 两次转动转盘属于两步试验问题，可通过列表法或树状图法不重不漏地列举出所有等可能的结果，再从中筛选出“两次颜色不同”的结果数，最后代入概率公式计算即可。
【解析】
解：(1)
∵转盘被等分为3个面积相等的扇形，共红、白、蓝3种等可能的结果，其中指针落在红色区域的结果有1种，
∴$P(\mathrm{指针落在红色区域})=\frac{1}{3}$。
(2) 列表统计两次转动转盘的所有可能结果如下：
| 第一次\第二次 | 红 | 白 | 蓝 |
| --- | --- | --- | --- |
| 红 | (红,红) | (红,白) | (红,蓝) |
| 白 | (白,红) | (白,白) | (白,蓝) |
| 蓝 | (蓝,红) | (蓝,白) | (蓝,蓝) |
由表可知，共有9种等可能的结果，其中指针所落区域颜色不同的结果有6种，
∴$P(\mathrm{指针所落区域颜色不同})=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{\frac{1}{3}}$；(2) $\boldsymbol{\frac{2}{3}}$
【知识点】
简单概率计算、列表法求概率、两步试验概率
【点评】
本题是概率模块的基础常考题，重点考查对等可能事件概率的理解，以及用列表法求解两步试验概率的能力，解题核心是准确列举所有等可能结果，再结合概率公式计算，整体难度较低。
【难度系数】
0.8
(1) 首先判断该事件属于等可能事件：转盘被等分成3个扇形，指针落在每个区域的可能性相等。计算单步概率时，只需用红色区域对应的情况数除以所有等可能的总情况数，即可得到对应概率。
(2) 两次转动转盘属于两步试验问题，可通过列表法或树状图法不重不漏地列举出所有等可能的结果，再从中筛选出“两次颜色不同”的结果数，最后代入概率公式计算即可。
【解析】
解：(1)
∵转盘被等分为3个面积相等的扇形，共红、白、蓝3种等可能的结果，其中指针落在红色区域的结果有1种，
∴$P(\mathrm{指针落在红色区域})=\frac{1}{3}$。
(2) 列表统计两次转动转盘的所有可能结果如下：
| 第一次\第二次 | 红 | 白 | 蓝 |
| --- | --- | --- | --- |
| 红 | (红,红) | (红,白) | (红,蓝) |
| 白 | (白,红) | (白,白) | (白,蓝) |
| 蓝 | (蓝,红) | (蓝,白) | (蓝,蓝) |
由表可知，共有9种等可能的结果，其中指针所落区域颜色不同的结果有6种，
∴$P(\mathrm{指针所落区域颜色不同})=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{\frac{1}{3}}$；(2) $\boldsymbol{\frac{2}{3}}$
【知识点】
简单概率计算、列表法求概率、两步试验概率
【点评】
本题是概率模块的基础常考题，重点考查对等可能事件概率的理解，以及用列表法求解两步试验概率的能力，解题核心是准确列举所有等可能结果，再结合概率公式计算，整体难度较低。
【难度系数】
0.8
18. (9分)(2025·陕西)某校召开趣味运动会,经过预赛的激烈角逐,甲、乙、丙、丁四支队伍获得“迎面接力跑”决赛资格.为确定决赛时的赛道(从内到外的道次依次为1,2,3,4),裁判组决定采用下面的方式:在一个不透明的盒子里放入四个小球,分别标有数字1,2,3,4,这四个小球除所标数字外都相同,每支队伍从盒中随机摸出一个小球,摸出的小球上所标的数字作为该队的道次.
(1)将盒中四个小球摇匀,若从中随机摸出一个小球,摸出标有数字1的小球的概率为.
(2)将盒中四个小球摇匀,甲队先从盒中随机摸出一个小球,不放回,摇匀,乙队再从盒中随机摸出一个小球.请利用画树状图或列表的方法,求甲、乙两队在决赛时赛道相邻的概率.
(1)将盒中四个小球摇匀,若从中随机摸出一个小球,摸出标有数字1的小球的概率为.
(2)将盒中四个小球摇匀,甲队先从盒中随机摸出一个小球,不放回,摇匀,乙队再从盒中随机摸出一个小球.请利用画树状图或列表的方法,求甲、乙两队在决赛时赛道相邻的概率.
答案
解：
(1) $\frac{1}{4}$
(2) 列表表示所有等可能出现的结果如下：
| 甲 | 乙 |
|----|----|
| 1 | 2,3,4 |
| 2 | 1,3,4 |
| 3 | 1,2,4 |
| 4 | 1,2,3 |
由表可知，总共有12种等可能的结果，其中甲、乙两队赛道相邻的结果有6种，分别为$(1,2)$、$(2,1)$、$(2,3)$、$(3,2)$、$(3,4)$、$(4,3)$。
∴ $P$(甲、乙两队在决赛时赛道相邻)$=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$
(1) $\frac{1}{4}$
(2) 列表表示所有等可能出现的结果如下：
| 甲 | 乙 |
|----|----|
| 1 | 2,3,4 |
| 2 | 1,3,4 |
| 3 | 1,2,4 |
| 4 | 1,2,3 |
由表可知，总共有12种等可能的结果，其中甲、乙两队赛道相邻的结果有6种，分别为$(1,2)$、$(2,1)$、$(2,3)$、$(3,2)$、$(3,4)$、$(4,3)$。
∴ $P$(甲、乙两队在决赛时赛道相邻)$=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$
解析
【分析】
(1) 第一问为单步简单概率计算，思考路径：首先确定试验的所有等可能结果总数，盒子中共有4个除数字外完全相同的小球，随机摸1个共有4种等可能结果；再确定符合“摸出数字1”的结果只有1种，代入概率公式$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能的结果数}$即可求解。
(2) 第二问为不放回的两步概率问题，思考路径：首先明确试验规则是甲先摸球不放回，乙再从剩余3个球中摸取，适合用列表法或树状图法列举所有等可能结果；其次统计总结果数，再筛选出“甲、乙摸得的数字差的绝对值为1（即赛道相邻）”的结果数；最后代入概率公式计算即可，注意不放回试验不存在甲、乙摸到相同数字的情况，避免列举错误。
【解析】
(1) 随机摸出1个小球共有4种等可能的结果，其中摸出标有数字1的小球的结果有1种，故所求概率为$\frac{1}{4}$。
(2) 列表表示所有等可能出现的结果如下：
| 甲 | 乙 |
|----|------|
| 1 | 2,3,4|
| 2 | 1,3,4|
| 3 | 1,2,4|
| 4 | 1,2,3|
由表可知，总共有12种等可能的结果，其中甲、乙两队赛道相邻的结果有6种，分别为$(1,2)$、$(2,1)$、$(2,3)$、$(3,2)$、$(3,4)$、$(4,3)$。
∴ $P$(甲、乙两队在决赛时赛道相邻)$=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{4}$；(2) $\frac{1}{2}$
【知识点】
简单概率计算，列表法求概率，不放回试验概率
【点评】
本题属于概率的常规基础考题，第一问难度极低，属于基础得分点；第二问核心考察学生用列举法求解两步概率的能力，需要注意区分放回和不放回试验的差异，做到列举结果不重不漏即可得分。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问为单步简单概率计算，思考路径：首先确定试验的所有等可能结果总数，盒子中共有4个除数字外完全相同的小球，随机摸1个共有4种等可能结果；再确定符合“摸出数字1”的结果只有1种，代入概率公式$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能的结果数}$即可求解。
(2) 第二问为不放回的两步概率问题，思考路径：首先明确试验规则是甲先摸球不放回，乙再从剩余3个球中摸取，适合用列表法或树状图法列举所有等可能结果；其次统计总结果数，再筛选出“甲、乙摸得的数字差的绝对值为1（即赛道相邻）”的结果数；最后代入概率公式计算即可，注意不放回试验不存在甲、乙摸到相同数字的情况，避免列举错误。
【解析】
(1) 随机摸出1个小球共有4种等可能的结果，其中摸出标有数字1的小球的结果有1种，故所求概率为$\frac{1}{4}$。
(2) 列表表示所有等可能出现的结果如下：
| 甲 | 乙 |
|----|------|
| 1 | 2,3,4|
| 2 | 1,3,4|
| 3 | 1,2,4|
| 4 | 1,2,3|
由表可知，总共有12种等可能的结果，其中甲、乙两队赛道相邻的结果有6种，分别为$(1,2)$、$(2,1)$、$(2,3)$、$(3,2)$、$(3,4)$、$(4,3)$。
∴ $P$(甲、乙两队在决赛时赛道相邻)$=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{4}$；(2) $\frac{1}{2}$
【知识点】
简单概率计算，列表法求概率，不放回试验概率
【点评】
本题属于概率的常规基础考题，第一问难度极低，属于基础得分点；第二问核心考察学生用列举法求解两步概率的能力，需要注意区分放回和不放回试验的差异，做到列举结果不重不漏即可得分。
【难度系数】
0.7
19. (9分)为了了解某市中学生参加“科普知识”竞赛成绩的情况,随机抽查了部分参赛学生的成绩,整理并制作出如下的统计表和统计图(如图5所示).请根据图表信息解答下列问题:
(1)在表中,$m=$,$n=$.
(2)补全频数分布直方图.
(3)小明的成绩是所有被抽查学生成绩的中位数,据此推断他的成绩在组.
(4)四个小组每组推荐1人,然后从4人中随机抽取2人参加颁奖典礼,恰好抽中A,C两组学生的概率是多少?请用列表或画树状图的方法说明.
(1)在表中,$m=$,$n=$.
(2)补全频数分布直方图.
(3)小明的成绩是所有被抽查学生成绩的中位数,据此推断他的成绩在组.
(4)四个小组每组推荐1人,然后从4人中随机抽取2人参加颁奖典礼,恰好抽中A,C两组学生的概率是多少?请用列表或画树状图的方法说明.
答案
解：
(1) 本次抽查的总人数为 $30÷0.1=300$，
则 $m=300×0.4=120$，$n=\frac{90}{300}=0.3$。
故答案为：$\boldsymbol{120}$，$\boldsymbol{0.3}$。
(2) 在频数分布直方图的$80≤ x＜90$对应区间上，绘制纵轴高度为120的长方形，即可补全频数分布直方图。
(3) 总共有300个数据，中位数为成绩从小到大排序后第150、151个数据的平均数。
前两组频数和为$30+90=120＜150$，前三组频数和为$30+90+120=240＞151$，因此中位数落在C组。
故答案为：$\boldsymbol{C}$（或$80≤ x＜90$）。
(4) 设四个小组推荐的学生分别记为A、B、C、D，画树状图如下：
```
第一个抽取的人
/ | | \
A B C D
/|\ /|\ /|\ /|\
B C D A C D A B D A B C
```
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中恰好抽中A、C两组学生的结果有2种。
因此恰好抽中A,C两组学生的概率为 $P=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
(1) 本次抽查的总人数为 $30÷0.1=300$，
则 $m=300×0.4=120$，$n=\frac{90}{300}=0.3$。
故答案为：$\boldsymbol{120}$，$\boldsymbol{0.3}$。
(2) 在频数分布直方图的$80≤ x＜90$对应区间上，绘制纵轴高度为120的长方形，即可补全频数分布直方图。
(3) 总共有300个数据，中位数为成绩从小到大排序后第150、151个数据的平均数。
前两组频数和为$30+90=120＜150$，前三组频数和为$30+90+120=240＞151$，因此中位数落在C组。
故答案为：$\boldsymbol{C}$（或$80≤ x＜90$）。
(4) 设四个小组推荐的学生分别记为A、B、C、D，画树状图如下：
```
第一个抽取的人
/ | | \
A B C D
/|\ /|\ /|\ /|\
B C D A C D A B D A B C
```
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中恰好抽中A、C两组学生的结果有2种。
因此恰好抽中A,C两组学生的概率为 $P=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
解析
【分析】
（1）先利用A组的频数和对应频率求出抽查的总人数，再根据“频数=总人数×频率”计算m的值，根据“频率=频数÷总人数”计算n的值；
（2）根据（1）中求出的C组频数，在$80≤x＜90$对应区间绘制高度为120的长方形即可补全直方图；
（3）总共有300个数据，中位数是排序后第150、151个数据的平均数，累加各组频数，判断第150、151个数据所在的组别即可；
（4）将4组推荐的学生分别标记为A、B、C、D，通过画树状图列出所有等可能的结果，再找出恰好抽中A、C两组的结果数，最后用概率公式计算即可。
【解析】
(1) 本次抽查的总人数为 $30÷0.1=300$，
则 $m=300×0.4=120$，$n=\frac{90}{300}=0.3$。
(2) 在频数分布直方图的$80≤ x＜90$对应区间上，绘制纵轴高度为120的长方形，即可补全频数分布直方图。
(3) 总共有300个数据，中位数为成绩从小到大排序后第150、151个数据的平均数。
前两组频数和为$30+90=120＜150$，前三组频数和为$30+90+120=240＞151$，因此中位数落在C组。
(4) 设四个小组推荐的学生分别记为A、B、C、D，画树状图如下：
```
第一个抽取的人
/ | | \
A B C D
/|\ /|\ /|\ /|\
B C D A C D A B D A B C
```
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中恰好抽中A、C两组学生的结果有2种。
因此恰好抽中A,C两组学生的概率为 $P=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{120}$，$\boldsymbol{0.3}$
(2) 在$80≤ x＜90$对应区间绘制纵轴高度为120的长方形
(3) $\boldsymbol{C}$（或$80≤ x＜90$）
(4) $\boldsymbol{\dfrac{1}{6}}$
【知识点】
频数与频率，中位数，列表法与树状图法求概率
【点评】
本题是统计与概率的综合基础题，考查对统计图表的信息提取能力、中位数的判断方法以及简单随机事件的概率计算，解题的关键是熟练掌握统计相关概念和概率计算的基本步骤。
【难度系数】
0.7
（1）先利用A组的频数和对应频率求出抽查的总人数，再根据“频数=总人数×频率”计算m的值，根据“频率=频数÷总人数”计算n的值；
（2）根据（1）中求出的C组频数，在$80≤x＜90$对应区间绘制高度为120的长方形即可补全直方图；
（3）总共有300个数据，中位数是排序后第150、151个数据的平均数，累加各组频数，判断第150、151个数据所在的组别即可；
（4）将4组推荐的学生分别标记为A、B、C、D，通过画树状图列出所有等可能的结果，再找出恰好抽中A、C两组的结果数，最后用概率公式计算即可。
【解析】
(1) 本次抽查的总人数为 $30÷0.1=300$，
则 $m=300×0.4=120$，$n=\frac{90}{300}=0.3$。
(2) 在频数分布直方图的$80≤ x＜90$对应区间上，绘制纵轴高度为120的长方形，即可补全频数分布直方图。
(3) 总共有300个数据，中位数为成绩从小到大排序后第150、151个数据的平均数。
前两组频数和为$30+90=120＜150$，前三组频数和为$30+90+120=240＞151$，因此中位数落在C组。
(4) 设四个小组推荐的学生分别记为A、B、C、D，画树状图如下：
```
第一个抽取的人
/ | | \
A B C D
/|\ /|\ /|\ /|\
B C D A C D A B D A B C
```
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中恰好抽中A、C两组学生的结果有2种。
因此恰好抽中A,C两组学生的概率为 $P=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{120}$，$\boldsymbol{0.3}$
(2) 在$80≤ x＜90$对应区间绘制纵轴高度为120的长方形
(3) $\boldsymbol{C}$（或$80≤ x＜90$）
(4) $\boldsymbol{\dfrac{1}{6}}$
【知识点】
频数与频率，中位数，列表法与树状图法求概率
【点评】
本题是统计与概率的综合基础题，考查对统计图表的信息提取能力、中位数的判断方法以及简单随机事件的概率计算，解题的关键是熟练掌握统计相关概念和概率计算的基本步骤。
【难度系数】
0.7
