20. (9分)(2025·云南)九年级某班学生计划到甲、乙两个敬老院开展献爱心活动,老师把该班学生分成A,B两个小组,通过游戏方式确定去哪个敬老院.
游戏规则如下:在一个不透明的箱子中放了分别标有数字1,2的两张卡片(除数字外,都相同),班长先从这个箱子里任意摸出一张卡片,卡片上的数字记为$ x $.在另一个不透明的箱子中放了分别标有数字1,2,3的三张卡片(除数字外,都相同),班长再从该箱子里任意摸出一张卡片,卡片上的数字记为$ y $.若$ x = y $,则A组学生到甲敬老院,B组学生到乙敬老院;若$ x ≠ y $,则A组学生到乙敬老院,B组学生到甲敬老院.
(1)用列表法或画树状图法中的一种方法,求$ (x,y) $所有可能出现的结果总数;
(2)求A组学生到甲敬老院,B组学生到乙敬老院开展献爱心活动的概率$ P $.

解：
(1) 画树状图如下：
```
x
/ \
1 2
/|\ /|\
1 2 3 1 2 3
y y
```
由树状图可得，所有等可能的结果为：$(1,1)$、$(1,2)$、$(1,3)$、$(2,1)$、$(2,2)$、$(2,3)$。
因此$(x,y)$所有可能出现的结果总数为6。
(2) 由游戏规则可知，A组学生到甲敬老院，B组学生到乙敬老院的条件是$x=y$，满足该条件的结果有$(1,1)$、$(2,2)$，共2种。
所以所求概率 $P=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。

【分析】
本题考查概率的相关计算，解题思路如下：(1)要确定$(x,y)$的所有可能结果，由于摸取$x$和摸取$y$是两个相互独立的步骤，可通过树状图法按顺序列举所有等可能的情况：先列举摸取$x$的所有可能，再对每个$x$的取值，列举摸取$y$的所有可能，即可得到所有结果总数；(2)先明确A组到甲敬老院的条件是$x=y$，从第一问得到的所有结果里筛选出满足$x=y$的结果数，再根据概率的计算公式求解即可。
【解析】
(1) 用画树状图法列举所有结果：
第一步摸取标有$x$的卡片，有2种等可能的结果：1、2；
对$x$的每一个取值，第二步摸取标有$y$的卡片，都有3种等可能的结果：1、2、3，树状图如下：
```
x
/ \
1 2
/|\ /|\
1 2 3 1 2 3
y y
```
由树状图可得，所有等可能的结果为：$(1,1)$、$(1,2)$、$(1,3)$、$(2,1)$、$(2,2)$、$(2,3)$，因此$(x,y)$所有可能出现的结果总数为6。
(2) 根据游戏规则，A组学生到甲敬老院、B组到乙敬老院的条件为$x=y$，从上述所有结果中筛选符合该条件的结果，有$(1,1)$、$(2,2)$，共2种。
根据概率公式，所求概率 $P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能结果数}}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{6}$；(2) $\boldsymbol{\dfrac{1}{3}}$
【知识点】
树状图法，概率计算
【点评】
本题属于概率基础应用题，核心考查用列举法梳理随机事件的所有等可能结果，再结合给定条件计算对应概率，解题的关键是不重不漏地列举出所有情况，熟练掌握概率的计算方法即可轻松解答。
【难度系数】
0.8