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图6所示),由甲、乙两位嘉宾分别从白布两端各选一根细绳,并拉出,若两人选中同一根细绳,则两人同队,否则互为反方队员.
(1)若甲嘉宾从中任意选择一根细绳拉出,求他恰好抽出细绳$AA_1$的概率;
(2)请用列表或画树状图的方法,求甲、乙两位嘉宾能分为同队的概率.
(1)若甲嘉宾从中任意选择一根细绳拉出,求他恰好抽出细绳$AA_1$的概率;
(2)请用列表或画树状图的方法,求甲、乙两位嘉宾能分为同队的概率.
答案
解：
(1) 甲嘉宾任意选择一根细绳，共有3种等可能的结果，恰好抽出细绳$AA_1$的结果只有1种，
因此$P$(甲恰好抽出细绳$AA_1$)$=\frac{1}{3}$。
(2) 画树状图如下：
```
开始
|
甲
/ | \
A B C
/|\ /|\ /|\
乙 A1B1C1A1B1C1A1B1C1
```
由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中甲、乙两位嘉宾能分为同队的结果有3种：$(A,A_1)$、$(B,B_1)$、$(C,C_1)$，
因此$P$(甲、乙两位嘉宾能分为同队)$=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
(1) 甲嘉宾任意选择一根细绳，共有3种等可能的结果，恰好抽出细绳$AA_1$的结果只有1种，
因此$P$(甲恰好抽出细绳$AA_1$)$=\frac{1}{3}$。
(2) 画树状图如下：
```
开始
|
甲
/ | \
A B C
/|\ /|\ /|\
乙 A1B1C1A1B1C1A1B1C1
```
由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中甲、乙两位嘉宾能分为同队的结果有3种：$(A,A_1)$、$(B,B_1)$、$(C,C_1)$，
因此$P$(甲、乙两位嘉宾能分为同队)$=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
解析
【分析】
第(1)问是简单的一步概率问题：首先明确甲从3根细绳中选1根，总共有3种等可能的结果，恰好抽到$AA_1$的结果仅1种，直接代入概率公式即可求解。
第(2)问是两步试验的概率问题：我们可以通过画树状图的方法，先列举甲的所有选择，再对应列举乙的所有选择，得到全部等可能的结果后，找出两人选中同一根细绳的结果数，最后代入概率公式计算同队的概率。
【解析】
(1) 甲嘉宾任意选择一根细绳，共有3种等可能的结果，恰好抽出细绳$AA_1$的结果只有1种，
因此$P$(甲恰好抽出细绳$AA_1$)$=\frac{1}{3}$。
(2) 画树状图如下：
```
开始
|
甲
/ | \
A B C
/|\ /|\ /|\
乙 A1B1C1A1B1C1A1B1C1
```
由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中甲、乙两位嘉宾能分为同队的结果有3种：$(A,A_1)$、$(B,B_1)$、$(C,C_1)$，
因此$P$(甲、乙两位嘉宾能分为同队)$=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
【答案】
(1) $\dfrac{1}{3}$；(2) $\dfrac{1}{3}$
【知识点】
简单事件概率计算，树状图法求概率
【点评】
本题是概率的基础应用题型，解题核心是准确统计等可能的总结果数和符合条件的结果数，用树状图或列表法列举多步试验的结果时要注意做到不重不漏。
【难度系数】
0.8
第(1)问是简单的一步概率问题：首先明确甲从3根细绳中选1根，总共有3种等可能的结果，恰好抽到$AA_1$的结果仅1种，直接代入概率公式即可求解。
第(2)问是两步试验的概率问题：我们可以通过画树状图的方法，先列举甲的所有选择，再对应列举乙的所有选择，得到全部等可能的结果后，找出两人选中同一根细绳的结果数，最后代入概率公式计算同队的概率。
【解析】
(1) 甲嘉宾任意选择一根细绳，共有3种等可能的结果，恰好抽出细绳$AA_1$的结果只有1种，
因此$P$(甲恰好抽出细绳$AA_1$)$=\frac{1}{3}$。
(2) 画树状图如下：
```
开始
|
甲
/ | \
A B C
/|\ /|\ /|\
乙 A1B1C1A1B1C1A1B1C1
```
由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中甲、乙两位嘉宾能分为同队的结果有3种：$(A,A_1)$、$(B,B_1)$、$(C,C_1)$，
因此$P$(甲、乙两位嘉宾能分为同队)$=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
【答案】
(1) $\dfrac{1}{3}$；(2) $\dfrac{1}{3}$
【知识点】
简单事件概率计算，树状图法求概率
【点评】
本题是概率的基础应用题型，解题核心是准确统计等可能的总结果数和符合条件的结果数，用树状图或列表法列举多步试验的结果时要注意做到不重不漏。
【难度系数】
0.8
22. (10分)正四面体各面分别标有数字1,2,3,4,正六面体各面分别标有数字1,2,3,4,5,6,同时掷这两个正多面体,并将它们朝下面上的数字相加.
(1)请用列表或画树状图的方法表示可能出现的所有结果；
(2)求两个正多面体朝下面上的数字之和是3的倍数的概率.
(1)请用列表或画树状图的方法表示可能出现的所有结果；
(2)求两个正多面体朝下面上的数字之和是3的倍数的概率.
答案
解：
(1) 用列表法表示所有可能结果如下：
| 正四面体\正六面体 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 1 | (1,1) | (1,2) | (1,3) | (1,4) | (1,5) | (1,6) |
| 2 | (2,1) | (2,2) | (2,3) | (2,4) | (2,5) | (2,6) |
| 3 | (3,1) | (3,2) | (3,3) | (3,4) | (3,5) | (3,6) |
| 4 | (4,1) | (4,2) | (4,3) | (4,4) | (4,5) | (4,6) |
由表可知，所有等可能出现的结果共24种。
(2) 由上述表格可知，两个朝下面上的数字之和为3的倍数的结果共有8种，分别为：(1,2)、(1,5)、(2,1)、(2,4)、(3,3)、(3,6)、(4,2)、(4,5)。
因此所求概率为：
$P(\mathrm{两数之和是3的倍数})=\frac{8}{24}=\frac{1}{3}$
答：两个正多面体朝下面上的数字之和是3的倍数的概率为$\frac{1}{3}$。
(1) 用列表法表示所有可能结果如下：
| 正四面体\正六面体 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 1 | (1,1) | (1,2) | (1,3) | (1,4) | (1,5) | (1,6) |
| 2 | (2,1) | (2,2) | (2,3) | (2,4) | (2,5) | (2,6) |
| 3 | (3,1) | (3,2) | (3,3) | (3,4) | (3,5) | (3,6) |
| 4 | (4,1) | (4,2) | (4,3) | (4,4) | (4,5) | (4,6) |
由表可知，所有等可能出现的结果共24种。
(2) 由上述表格可知，两个朝下面上的数字之和为3的倍数的结果共有8种，分别为：(1,2)、(1,5)、(2,1)、(2,4)、(3,3)、(3,6)、(4,2)、(4,5)。
因此所求概率为：
$P(\mathrm{两数之和是3的倍数})=\frac{8}{24}=\frac{1}{3}$
答：两个正多面体朝下面上的数字之和是3的倍数的概率为$\frac{1}{3}$。
解析
【分析】
(1)本题涉及两个独立的随机试验，正四面体有4种等可能结果，正六面体有6种等可能结果，适合用列表法梳理所有结果：将正四面体的数字作为行标题，正六面体的数字作为列标题，交叉位置填写两个数字的组合，即可不重不漏列出所有等可能结果，总结果数为4×6=24种。
(2)计算概率需先找到符合“数字之和是3的倍数”的结果数：逐一计算列表中每组数字的和，筛选出和能被3整除的组合，再根据概率公式$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能结果数}$计算即可。
【解析】
(1) 用列表法表示所有可能结果如下：
| 正四面体\正六面体 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 1 | (1,1) | (1,2) | (1,3) | (1,4) | (1,5) | (1,6) |
| 2 | (2,1) | (2,2) | (2,3) | (2,4) | (2,5) | (2,6) |
| 3 | (3,1) | (3,2) | (3,3) | (3,4) | (3,5) | (3,6) |
| 4 | (4,1) | (4,2) | (4,3) | (4,4) | (4,5) | (4,6) |
由表可知，所有等可能出现的结果共24种。
(2) 由上述表格可知，两个朝下面上的数字之和为3的倍数的结果共有8种，分别为：(1,2)、(1,5)、(2,1)、(2,4)、(3,3)、(3,6)、(4,2)、(4,5)。
因此所求概率为：
$P(\mathrm{两数之和是3的倍数})=\frac{8}{24}=\frac{1}{3}$
【答案】
(1) 所有等可能结果共24种，列表见解析；
(2) 两个正多面体朝下面上的数字之和是3的倍数的概率为$\frac{1}{3}$。
【知识点】
1. 列表法列举结果
2. 概率计算公式
3. 3的倍数特征
【点评】
本题是概率计算的常规基础题，核心考查用列举法梳理随机事件所有等可能结果的能力，以及对概率公式的运用。解题时需注意列举结果时做到不重复、不遗漏，统计符合条件的结果数时要仔细核对，避免计数错误。
【难度系数】
0.75
(1)本题涉及两个独立的随机试验，正四面体有4种等可能结果，正六面体有6种等可能结果，适合用列表法梳理所有结果：将正四面体的数字作为行标题，正六面体的数字作为列标题，交叉位置填写两个数字的组合，即可不重不漏列出所有等可能结果，总结果数为4×6=24种。
(2)计算概率需先找到符合“数字之和是3的倍数”的结果数：逐一计算列表中每组数字的和，筛选出和能被3整除的组合，再根据概率公式$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能结果数}$计算即可。
【解析】
(1) 用列表法表示所有可能结果如下：
| 正四面体\正六面体 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 1 | (1,1) | (1,2) | (1,3) | (1,4) | (1,5) | (1,6) |
| 2 | (2,1) | (2,2) | (2,3) | (2,4) | (2,5) | (2,6) |
| 3 | (3,1) | (3,2) | (3,3) | (3,4) | (3,5) | (3,6) |
| 4 | (4,1) | (4,2) | (4,3) | (4,4) | (4,5) | (4,6) |
由表可知，所有等可能出现的结果共24种。
(2) 由上述表格可知，两个朝下面上的数字之和为3的倍数的结果共有8种，分别为：(1,2)、(1,5)、(2,1)、(2,4)、(3,3)、(3,6)、(4,2)、(4,5)。
因此所求概率为：
$P(\mathrm{两数之和是3的倍数})=\frac{8}{24}=\frac{1}{3}$
【答案】
(1) 所有等可能结果共24种，列表见解析；
(2) 两个正多面体朝下面上的数字之和是3的倍数的概率为$\frac{1}{3}$。
【知识点】
1. 列表法列举结果
2. 概率计算公式
3. 3的倍数特征
【点评】
本题是概率计算的常规基础题，核心考查用列举法梳理随机事件所有等可能结果的能力，以及对概率公式的运用。解题时需注意列举结果时做到不重复、不遗漏，统计符合条件的结果数时要仔细核对，避免计数错误。
【难度系数】
0.75
23. (11分)一个不透明的袋子中装有四个小球,上面分别标有数字-2,-1,0,1,它们除数字不同外,其他完全相同.
(1)随机从袋子中摸出一个小球,摸出的球上面标的数字为正数的概率是.
(2)小聪先从袋子中随机摸出一个小球,记下数字作为平面直角坐标系内点M的横坐标;然后放回搅匀,接着小明从袋子中随机摸出一个小球,记下数字作为点M的纵坐标.
,已知四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(-2,0),B(0,-2),C(1,0),D(0,1),请用列表或画树状图的方法,求点M落在四边形ABCD所围成的部分内(含边界)的概率.
(1)随机从袋子中摸出一个小球,摸出的球上面标的数字为正数的概率是.
(2)小聪先从袋子中随机摸出一个小球,记下数字作为平面直角坐标系内点M的横坐标;然后放回搅匀,接着小明从袋子中随机摸出一个小球,记下数字作为点M的纵坐标.
,已知四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(-2,0),B(0,-2),C(1,0),D(0,1),请用列表或画树状图的方法,求点M落在四边形ABCD所围成的部分内(含边界)的概率.答案
解：
(1) 袋子中共有4个小球，标有正数的小球仅有1个，
因此摸出的球上面标的数字为正数的概率是$\boldsymbol{\frac{1}{4}}$。
(2) 列表如下：
| 横坐标\纵坐标 | -2 | -1 | 0 | 1 |
|--------------|----------|----------|----------|----------|
| -2 | $(-2,-2)$| $(-2,-1)$| $(-2,0)$ | $(-2,1)$ |
| -1 | $(-1,-2)$| $(-1,-1)$| $(-1,0)$ | $(-1,1)$ |
| 0 | $(0,-2)$ | $(0,-1)$ | $(0,0)$ | $(0,1)$ |
| 1 | $(1,-2)$ | $(1,-1)$ | $(1,0)$ | $(1,1)$ |
由表可知，共有16种等可能的结果，其中点$M$落在四边形$ABCD$所围成的部分内（含边界）的结果为：$(-2,0)$，$(-1,-1)$，$(-1,0)$，$(0,-2)$，$(0,-1)$，$(0,0)$，$(0,1)$，$(1,0)$，共8种。
因此点$M$落在四边形$ABCD$所围成的部分内（含边界）的概率为$\frac{8}{16}=\boldsymbol{\frac{1}{2}}$。
(1) 袋子中共有4个小球，标有正数的小球仅有1个，
因此摸出的球上面标的数字为正数的概率是$\boldsymbol{\frac{1}{4}}$。
(2) 列表如下：
| 横坐标\纵坐标 | -2 | -1 | 0 | 1 |
|--------------|----------|----------|----------|----------|
| -2 | $(-2,-2)$| $(-2,-1)$| $(-2,0)$ | $(-2,1)$ |
| -1 | $(-1,-2)$| $(-1,-1)$| $(-1,0)$ | $(-1,1)$ |
| 0 | $(0,-2)$ | $(0,-1)$ | $(0,0)$ | $(0,1)$ |
| 1 | $(1,-2)$ | $(1,-1)$ | $(1,0)$ | $(1,1)$ |
由表可知，共有16种等可能的结果，其中点$M$落在四边形$ABCD$所围成的部分内（含边界）的结果为：$(-2,0)$，$(-1,-1)$，$(-1,0)$，$(0,-2)$，$(0,-1)$，$(0,0)$，$(0,1)$，$(1,0)$，共8种。
因此点$M$落在四边形$ABCD$所围成的部分内（含边界）的概率为$\frac{8}{16}=\boldsymbol{\frac{1}{2}}$。
解析
【分析】
(1) 第一问考查简单概率计算，解题时先确定摸球的所有等可能结果总数，再找出标的数字为正数的结果数，代入概率公式$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能结果数}$即可求解。
(2) 第二问是放回型两次摸球试验，两次摸球结果相互独立，总共有$4×4=16$种等可能的结果。我们可以通过列表法列举出所有点M的坐标，再结合四边形ABCD的位置，逐个判断点是否落在四边形围成的部分内（含边界），统计符合条件的结果数后，代入概率公式计算即可。
【解析】
(1) 袋子中共有4个除数字外完全相同的小球，摸出每个小球的可能性相等，其中标的数字为正数的小球只有标1的1个，因此摸出的球上面标的数字为正数的概率是$\frac{1}{4}$。
(2) 列表表示所有可能的点M坐标如下：
| 横坐标\纵坐标 | -2 | -1 | 0 | 1 |
|--------------|----------|----------|----------|----------|
| -2 | $(-2,-2)$| $(-2,-1)$| $(-2,0)$ | $(-2,1)$ |
| -1 | $(-1,-2)$| $(-1,-1)$| $(-1,0)$ | $(-1,1)$ |
| 0 | $(0,-2)$ | $(0,-1)$ | $(0,0)$ | $(0,1)$ |
| 1 | $(1,-2)$ | $(1,-1)$ | $(1,0)$ | $(1,1)$ |
由表可知，共有16种等可能的结果，其中点$M$落在四边形$ABCD$所围成的部分内（含边界）的结果为：$(-2,0)$，$(-1,-1)$，$(-1,0)$，$(0,-2)$，$(0,-1)$，$(0,0)$，$(0,1)$，$(1,0)$，共8种。
因此点$M$落在四边形$ABCD$所围成的部分内（含边界）的概率为$\frac{8}{16}=\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{\frac{1}{4}}$；(2) $\boldsymbol{\frac{1}{2}}$
【知识点】
概率公式；列表法求概率；点的坐标判定
【点评】
本题将概率计算与平面直角坐标系知识结合考查，属于基础综合题，重点考查列举法求概率的掌握情况，判断点的位置时需细心，避免漏数或多数符合条件的结果。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问考查简单概率计算，解题时先确定摸球的所有等可能结果总数，再找出标的数字为正数的结果数，代入概率公式$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能结果数}$即可求解。
(2) 第二问是放回型两次摸球试验，两次摸球结果相互独立，总共有$4×4=16$种等可能的结果。我们可以通过列表法列举出所有点M的坐标，再结合四边形ABCD的位置，逐个判断点是否落在四边形围成的部分内（含边界），统计符合条件的结果数后，代入概率公式计算即可。
【解析】
(1) 袋子中共有4个除数字外完全相同的小球，摸出每个小球的可能性相等，其中标的数字为正数的小球只有标1的1个，因此摸出的球上面标的数字为正数的概率是$\frac{1}{4}$。
(2) 列表表示所有可能的点M坐标如下：
| 横坐标\纵坐标 | -2 | -1 | 0 | 1 |
|--------------|----------|----------|----------|----------|
| -2 | $(-2,-2)$| $(-2,-1)$| $(-2,0)$ | $(-2,1)$ |
| -1 | $(-1,-2)$| $(-1,-1)$| $(-1,0)$ | $(-1,1)$ |
| 0 | $(0,-2)$ | $(0,-1)$ | $(0,0)$ | $(0,1)$ |
| 1 | $(1,-2)$ | $(1,-1)$ | $(1,0)$ | $(1,1)$ |
由表可知，共有16种等可能的结果，其中点$M$落在四边形$ABCD$所围成的部分内（含边界）的结果为：$(-2,0)$，$(-1,-1)$，$(-1,0)$，$(0,-2)$，$(0,-1)$，$(0,0)$，$(0,1)$，$(1,0)$，共8种。
因此点$M$落在四边形$ABCD$所围成的部分内（含边界）的概率为$\frac{8}{16}=\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{\frac{1}{4}}$；(2) $\boldsymbol{\frac{1}{2}}$
【知识点】
概率公式；列表法求概率；点的坐标判定
【点评】
本题将概率计算与平面直角坐标系知识结合考查，属于基础综合题，重点考查列举法求概率的掌握情况，判断点的位置时需细心，避免漏数或多数符合条件的结果。
【难度系数】
0.7
